ICNASE 16 International Conference on Natural Science and Engineering (ICNASE 16) March 19-20, 2016, Kilis Periyodik Yapılarda Akustik Dalganın Davranışı: Sonlu Elemanlar Analizi 1. Zafer ÖZER Mersin Üniversitesi, Mersin MYO Elektronik ve Otomasyon Bölümü, Mersin, 33335 2. Kadir ABACI Mersin Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü, Mersin, 33343 3. Oğuzhan ÖZER Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi, Elbistan Meslek Yüksekokulu Elektronik ve Otomasyon Bölümü, Kahramanmaraş, 46340 ÖZET Bu çalışmada, iki boyutlu periyodik yapılarda akustik dalganın ilerlemesi sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak incelendi. Hava içerisine yerleştirilmiş LiNbO 3 silindirlerden oluşan periyodik yapıda ilerleyen akustik dalganın band yapısı düzlem dalga yöntemi ile hesaplandı. Fononik kristalin dalga kılavuzu, lens etkisi, negatif kırılma indisi özellikleri sonlu elemanlar yöntemi ile araştırıldı. Anahtar Kelimeler: Periyodik yapılar, Akustik dalga, Band boşluğu, Sonlu elemanlar metodu Numerical Analysis of Acoustic Wave Behavior in the Periodic System: Finite Element Analysis ABSTRACT In this study the propagation of acoustic waves in two-dimensional periodic structure analyzed by using the finite element method. Band structures of acoustic waves propagating in the periodic structure consisting of LiNbO 3 cylinder placed in air were calculated using plane wave method. The waveguide, lens effect, negative refractive index properties of the photonic crystal were investigated by finite element method. 1 GİRİŞ Keywords: Periodic structures, Acoustic wave, Band gap, Finite element method Tabiatta doğal olarak bulunmayan elektrik geçirgenliği (permittivity) ve manyetik geçirgenlik (permeability) özelliklere sahip yapılar fotonik kristal olarak adlandırılır [1]. Fononik kristaller ise farklı mekanik özelliklere sahip iki veya daha fazla malzemeden oluşan, negatif kırılma indeksi, ses odaklaması, dalga hapsetme, dalga kılavuzu gibi akustik metamateryal olarak tasarlanabilen periyodik yapılardır. Fononik kristallerin temel özelliği, belirli frekans aralığındaki mekanik veya akustik dalgaların geçişine izin vermemesidir. Periyodik yapıdan geçmesine izin verilmeyen frekanslar fononik band olarak isimlendirilir [2,16]. 1 P age
Literatürde, periyodik, yarı-periyodik, düzensiz, bir boyutlu (1D), İki boyutlu (2D), üç boyutlu (3D) fononik kristallerin band yapısı, iletim yansıma katsayıları ve negatif kırılma indisi özelliği incelenerek akustik lens tasarımı, düşük frekanslarda ses bariyeri elde etme, akustik filtre ve sismik yapıların tasarımı konusunda çalışmalar vardır [1-22]. Karakteristik yapılarından dolayı mikro/nano-mekanik yapılarda, MHz, GHz frekanslarda, kablosuz iletişim, algılama, perdeleme vb. potansiyel kullanım alanı bulunmaktadır [23,24]. Fononik kristaller kullanılarak mikroelektronik mekanik cihazların yapımında yaygın olarak kullanılan silikon yapıların termal iletkenliğinin azaltılması araştırılmıştır [14] Bu çalışmada, düzlem dalga yöntemi Plane Wave Expansion (PWE) ile 2D fononik kristalin band yapısının bağlı olduğu parametreler incelemiş, sonlu elemanlar metodu (SEM) simülasyonu ile yöntemin geçerliliğini test edilmiştir. 2 TEORİ Fononik kristallerdeki yasak bandların oluşumu, katı hal fiziğindeki elektronik band yapılarına benzemektedir [3]. Periyodik yapılarda dalganın ilerlemesi konusundaki ilk çalışma Leon Brillouin tarafından yapılmıştır [4]. Elektronun dalga gibi davrandığı düşünüldüğünde, elektron dalga boyu, denklem (1)-(2) deki Bragg şartlarını sağladığında kırınım gerçekleşir. 2d.sinθ = n.λ k.sinθ =. (1) (2) Burada θ geliş açısı, λ dalga boyu, n tam sayıdır.. (3) olursa Brillouin bölgesinde k dalga vektörünün bileşeni. olduğunda Bragg saçılması gerçekleşir ve örgü noktalarından yansıma olur[2]. Gelen ve yansıyan dalgaların etkileşimi neticesinde duran dalga meydana gelir. Periyodik yapı iki farklı malzemeden meydana geliyorsa genişliğinde, ses hızının yüksek olduğu malzeme ile ses hızının düşük olduğu malzemelerde zarf fonksiyonunun maksimum noktaları olabilir. Bu durumda k ya bağlı bağlı frekans için aynı dalga sayısına karşılık iki frekans oluşabilir. Bu durum bandların açılarak boşluk oluşturmasına neden olur. Band boşluğunun genişliği, dalga hızları arasındaki farkın büyüklüğüne bağlıdır. Genel olarak periyodik yapıdaki iki malzemenin özelliklerinin farkının büyük olması, band boşluğunun da büyük olmasına sebep olur. Fononik kristallerde mekanik dalga, silindirlerin rijit yapıda oluşundan dolayı daha çok akışkanda ilerler. Silindirlerin z yönünde uzandığını, örgünün ise xy düzleminde sonsuz periyodik olduğunu varsayılırsa fononik kristalin mekanik özellikleri xy düzleminde periyodik olarak değişir. Periyodik katı-akışkan malzemeden oluşan fononik kristalde akustik Bloch dalgasının hareketi, denklem (4) deki akustik dalga denklemi ile ifade edilir. 1 1. (4) Bu denklemde yoğunluk, akustik dalganın fononik kristaldeki boyuna hızı ve, fononik kristalde, basıncına sahip dalga vektörlü akustik Bloch dalgasının konuma bağlı bölümüdür. İki boyutlu fononik kristalde dalga denklemi aşağıdaki hale gelir. 2 P age
1 1 1. (5) Burada, ve, 2D fononik kristalin mekanik özellikleri ve p uzaysal basınç, dir. Periyodik yapıda band boşluğunun oluşması, değişik mekanik özelliklere sahip malzemelerin ara yüzünde mekanik dalganın çoklu yansımasından meydana gelir. Eğer periyodik yapının band boşluğu varsa, bu band boşluğun bulunduğu aralıktaki bir frekansa sahip mekanik dalga, periyodik yapıda ilerleyemediği için tamamen geri yansıtılır. Hatta mekanik dalga fononik kristal içerisinde oluşmuşsa, fononik kristal tarafından hapsedilerek yayılması engellenir. Fononik kristaller, örgü sabitinin uzunluğu metre ya da santimetre olmasına göre frekansı 20 Hz-20000 Hz aralığında olan mekanik dalgaların geçişine izin vermezler. Akustik veya mekanik dalganın periyodik ortamdaki ilerlemesi, katı hal fiziğindeki elektronik band boşluklarında olduğu gibi akustik band boşlukları ile ilgilidir. Band yapısının elde edilmesinde en yaygın olarak kullanılan yöntem PWE yöntemidir. Band yapısı çıkarılırken ilerleme düzlemine dik olarak polarize olan dalgalar göz önüne alınmıştır. 3 MATERYAL YÖNTEM Bu çalışmada literatürde çoğunlukla çalışılan 2D fononik kristal kullanıldı. 2D fononik kristal tasarımı şekil 1 deki gibi olup hava içerisinde xy düzleminde periyodik olarak dizilmiş, z yönünde sonsuz uzunlukta 10x10 LiNbO 3 silindirlerden oluşmaktadır. Analizde kullanılan malzemelere ait parametreler tablo 1 deki gibidir. Şekil 1 de fononik kristalde ses partiküllerinin normal bileşeninin sıfır olması için silindirlere Sound Hard Boundary sınır şartı, sınırlarına absorber sınır şartları uygulanmıştır. Sol kenar ise p0=1[pa] olan kaynak olarak tanımlanmıştır. Yayılan akustik dalganın basınç seviyesi fononik kristalin önünde ve arkasında tanımlanan A ve B noktaları ile takip edilmiştir. Akustik dalganın fononik kristaldeki davranışını analiz etmek için sırayla şu işlemler yapılmıştır; örgü sabiti a=25 mm olarak sabitlenip silindirlerin yarıçapları r=5.5mm, 6.5 mm, 7.5mm, 8.5mm ve 9.5 mm olarak değiştirilerek doluluk oranının. / band yapısına etkisi, silindirlerin yarıçapı r=8.5 mm de sabit tutularak örgü sabiti a=20mm, 22,mm, 25 mm ve 28 mm olarak değiştirilerek örgü sabiti a nın band yapısına etkisi PWE yöntemi ile incelenmiştir. Fononik kristalin akustik basınç haritası SEM ile analiz edilerek PWE yöntemi ile elde edilen band yapısı ile karşılaştırılıp yöntemin geçerliliği test edilmiştir. Son olarak SEM ile fononik kristalin dalga kılavuzu ve negatif kırılma indeksi özelliği araştırılmıştır. Absorber sınır şartları p=0 Kaynak sınır şartları, p=1 Sound hard boundary Şekil 1: Fononik kristal tasarımı 3 P age
Tablo 1. Analizde kullanılan malzemelerin özellikleri LiNbO 3 Hava Su Ses hızı (m/s) 4810 343 998 Yoğunluk (kg/m 3 ) 4628 1.25 1497 4 BULGULAR VE SONUÇ 4.1 Doluluk faktörünün etkisi PWE yöntemi kullanılarak, doluluk oranının (f ) band boşluğuna etkisi araştırılmıştır. Fononik kristale ait parametreler tablo 2 de gösterildiği gibidir. Resim 2 de görüldüğü gibi band boşluğunun genişliği ve sayısı doluluk oranı ile doğru orantılı olarak artmıştır (dikdörtgen içindeki gölgeli alanlar). Elde edilen band yapılarında farklı frekanslarda ve farklı yönlerde yasak bandlar oluşmuştur. Doluluk oranı 0.212 olduğunda ΓX yönünde 5302 Hz-8405 Hz frekansları arasında merkez frekansı 6853 Hz olan bir band oluşmuştur (Şekil 2a). Doluluk oranı 0.283 olduğunda ΓX yönünde 5016 Hz-8406 Hz frekansları arasında merkez frekansı 6711 Hz olan bir band oluşmuştur (Şekil 2b). Doluluk oranı 0.363 olduğunda ΓX yönünde 4738 Hz-8509 Hz frekansları arasında merkez frekansı 6623 Hz olan bir band oluşmuştur (Şekil 2c). Doluluk oranı 0.454 olduğunda ΓX yönünde 4451 Hz-8736 Hz frekansları arasında merkez frekansı 6593 Hz olan bir band oluşmuştur (Şekil 2d). Şekillerden görüldüğü gibi fononik kristalin ΓX yönündeki band aralığı, doluluk oranı ile doğru orantılı olarak artmıştır. a) 4 P age
b) c) 5 P age
d) Şekil 2: Doluluk oranının band boşluğuna etkisi. Örgü parametresi a=25 mm iken a) r=6.5mm, b) r=7.5mm c) r=8.5mm d) r=9.5 mm olarak alınmıştır. Tablo 2. Doluluk oranının band aralığına etkisi Silindir yarıçapı (mm) Örgü parametresi (mm) Doluluk oranı (f) 6.5 25 0.212 7.5 25 0.282 8.5 25 0.363 9.5 25 0.453 4.2 Örgü parametresinin etkisi Silindir çapı r=8.5 mm de sabit tutularak örgü sabitinin band boşluğu üzerindeki etkisi PWE yöntemi ile incelendi. Örgü parametresi a=20 mm iken ilk band boşluğu ΓX yönünde merkez frekansı 8314 Hz olan 5080 Hz-11550 Hz frekansları aralığında oluşmuştur (Şekil 3a). Örgü parametresi a=22 mm iken ilk band boşluğu ΓX yönünde merkez frekansı 7494 Hz olan 5003 Hz-9985 Hz frekansları aralığında oluşmuştur (Şekil 3b). Örgü parametresi a=25 mm iken ΓX yönünde frekansı 6623 Hz olan 4738 Hz- 8509 Hz frekansları aralığında oluşmuştur (Şekil 3c). Örgü parametresi a=28 mm iken ΓX yönünde frekansı 5983 Hz olan 4457 Hz- 7510 Hz frekansları aralığında oluşmuştur (Şekil 3d). Bu durum göstermektedir ki örgü parametresi arttıkça düşük frekanslı gürültülerde azalma meydana gelmektedir. Diğer yandan fononik kristalin boyutunun artması bir dezavantaj oluşturmaktadır. 6 P age
a) b) 7 P age
c) d) Şekil 3: Örgü parametresinin band boşluğuna etkisi. Band boşluğu r=8.5 mm iken a) a=20mm, b) a=22mm c) a=25mm d) a=28 mm olarak değiştirilmiştir. 8 P age
4.3 Fononik kristal basınç alanı ile band aralığı ilişkisi International Conference on Natural Science and Engineering (ICNASE 16) Fononik kristalin basınç alanı haritası SEM ile elde edilmiştir. Fononik kristalin örgü sabiti a=25 mm ve silindir yarıçapı r= 9.5 mm için A ve B noktalarında elde edilen akustik basınç seviyesi Sound Pressure Level (db), PWE yöntemiyle elde edilen band aralıkları ile karşılaştırmış olup her iki şekilden de görüldüğü gibi yansıyan dalganın artış gösterdiği 4000 Hz 8000 Hz arasında Bragg band aralığı oluşmuş olup sonuçlar birbiri ile uyumludur (Şekil 4). Şekil 4 de görüldüğü gibi fononik kristalin gerisinde bulunan B noktasında, maksimum akustik basınç azalmasının olduğu 7500 Hz de akustik basınç 95 db kadar azalmıştır. Şekil 4: PWE yöntemi ile elde edilen band yapısı ve SEM ile elde edilen akustik basınç (db). Yasak band aralığındaki en fazla basınç azalmasının olduğu 7500 Hz frekanslı dalgaya ait akustik basınç haritası Şekil 5 de verilmiş olup dalganın fononik kristal içerisinde ilerleyemediğini görülmektedir. 9 P age
Şekil 5: Band aralığında bulunan frekans (7500 Hz) için elde edilen akustik basınç (Pa). 4.4 Fononik kristalin dalga kılavuzu özelliği Fononik kristaller üzerindeki çalışmaların büyük çoğunluğu frekans domeninde kılavuzlar konusundadır [20]. Bu konudaki çalışmalar akustik ve sismik metamateryallerin geliştirilmesine öncülük edecektir. Çalışmanın bu kısmında SEM ile fononik kristalin dalga kılavuzu olarak kullanımı analiz edilmiştir. Nümerik analiz göstermiştir ki fononik kristal akustik enerjinin dalga kılavuzunun içinde ilerleme yönü kontrol edebilir (Şekil 6). Şekil 6: Fononik kristalin akustik dalga kılavuzu etkisi 10 P age
4.5 Fononik kristalin negatif kırılma indeksi ve akustik lens özelliği International Conference on Natural Science and Engineering (ICNASE 16) Sonlu elemanlar yöntemi ile fononik kristalin akustik lens etkisi incelenmiştir. Bu amaçla su içerisine yerleştirilmiş LiNbO 3 silindirlerden oluşan fononik kristal tasalanmış olup, şekil 7 de görüldüğü gibi fononik kristalin negatif kırılma indeksi özelliği göstermesi akustik lens etkisi oluşturmaktadır. a) b) Şekil 7: Akustik dalganın lens etkisi a) Normalizde edilmiş total pressure field (Pa) b) Sound pressure level (db) Fononik kristallerin bu özelliği kullanılarak yeni akustik metamateryaller örneğin akustik ve ultrasonik pelerin [21], negatif kırılma indeksine sahip cihazlar geliştirilebilir [22]. 11 P age
5 SONUÇ Bu çalışmada 2D fononik kristalde, boyuna mekanik dalganın ilerlemesi SEM ile incelenmiştir. 2D fononik krital hava içerisinde periyodik olarak dizilen LiNbO 3 silindirlerden oluşmaktadır. Fononik kristalin band yapısı PWE yöntemi ile elde edilmiş olup SEM analizinde elde edilen sonuçlarla uyumludur. Simulasyonu yapılan rezonatör, akustik ses seviyesinde zayıflama sağlayan geniş band yapısına sahiptir. Rezonatör tasarımında kullanılan malzemeler, örgü yapısı değiştirilerek akustik ses seviyesinin düşürüleceği farklı frekans aralığına sahip yapılar geliştirilebilir. Periyodik yapılar sadece band yapısı ile değil aynı zamanda negatif kırılma indisi, perdeleme gibi özellikleri ile de fayda sağlamaktadır [1]. Fononik kristallerin rezonatör, dalga kılavuzu gibi temel bileşenleri büyük entegre fononik cihazların tasarımına hizmet verebilir. Önerilen yapı kullanılarak, alt frekans ve üst frekanslarda band yapısına sahip sismik ve ultrasonik yapılar geliştirilebilir, gaz ve sıvı ortamlarda değişik akustik sensorlar, akustik pelerin ve akustik lens tasarımları yapılabilir. Bu yönüyle sıvı ve gaz ortamlarda algılama ve perdeleme yapabilecek fononik yapıların analiz ve tasarımı ile ilgili çalışmalar büyük ilgi alanına sahip olacaktır. REFERANSLAR [1] Maetani N., Kurose T. and Tsuruta K. (2010). Numerical Simulation of Acoustic Waves in Two-Dimesional Phononic Crystal: Negative Refraction. Memoirs of Faculty of Engineering, - Okayama University, Vol. 44, pp. 7-12. [2] Elford D.P. Band Gap Formation in Acoustically Resonant Phononic Crystals. Doctoral Thesis, Loughborough University (2010). [3] Glusker J.P. Crystal Structure Analysis, 2nd Edition, Oxford University Press (1985). [4] Brillouin L. (1931). Wave Propagation in Periodic Structures, Springer-Verlag, Berlin. [5] Su M.F., Olsson R.H. Leseman Z.C. and El-Kady I. (2010). Realization of a phononic crystal operating at gigahertz frequencies, Applied Physics Letters 96, 053111. [6] Wang G, Yu D., Wen J. Liu Y., Wen X. (2004). One-dimensional phononic crystals with locally resonant structures, Physics Letters A 327 (2004) 512 521. [7] Sheng P., Zhang X.X., Liu Z., Chan C.T. (2003). Locally resonant sonic materials, Physica B 338 (2003) 201 205. [8] Chen L.A., Wang Y.S. (2006). Study on band gaps of elastic waves propagating in onedimensional disordered phononic crystals, Physica B 392 (2007) 369 378. [9] Kurose T., Tsuruta K., Totsuji C. and Totsuji H. (2009). Negative Refraction of Acoustic Waves in a Two-Dimensional Phononic Crystal via FDTD Simulation,Materials Transactions, Vol. 50, No. 5 (2009) pp. 1004 to 1007. [10] Alaie S., Su M. F., Goettler D. F., El-Kady I., Leseman Z. (2013). Effects of flexural and extensional excitation modes on the transmission spectrum of phononic crystals operating at gigahertz frequencies. J. Appl. Phys. 113, 103513 (2013); doi: 10.1063/1.4790485 [11] Feng Z. X., Sheng-Chun L., TaoXu T., Tie-Hai W., and Jian-Chun C. (2010), Investigation of a silicon-based one-dimensional phononic crystal plate via the super-cell plane wave expansion method, Chin. Phys. B Vol. 19, No. 4 (2010) 044301. [12] Meidani M., Kim E., Li F., Yang J., Ngo D. (2015), Tunable evolutions of wave modes and band gaps in quasi-1d cylindrical phononic crystals, Journal of Sound and Vibration334 (2015) 270 281 [13] Elford D. P. et al. (2011). Matryoshka Locally Resonant Sonic Crystal, J. Acoust. Soc. Am. 130 (5). [14] Chung G., Phan D. -T. (2010). Finite Element Modeling of Surface Acoustic Waves in Piezoelectric Thin Films, Journal of the Korean Physical Society, Vol. 57, No. 3, September 2010, pp. 446-450. 12 P age
[15] Lucklum R, Zubtsov M., Oseev A., Schmidt M.-P., Hirsch S., Hagemann F. (2013), Phononic Crystals and Applications, doi 10.5162/sensor2013/A3.1 [16] Liu X.-J., Fan Y.-H.,(2013). Band structure characteristics of T-square fractal phononic crystals, Chin. Phys. B Vol. 22, No. 3 (2013) 036101. [17] Pachiu C., Ion M., J. Izbicki L., Moagar V., (2011). Congrès Français de Mécanique, Besançon, 29 août au 2 Septembre 2011. [18] Brûlé S., Javelaudv E.H., Enoch S., Guenneau S. (2013). Seismic metamaterial: how to shake friends and influence waves? http:// http://arxiv.org/abs/1301.7642 consulted 31.12.2015. [19] Chiyan L., S. G. Johnson, and J. D. Joannopoulos, All-angle negative refraction without negative effective index, Phys. Rev. B 65 (2002) 201104-201107. [20] http://www.nature.com/articles/srep03351 consulted 30.12.2015 [21] Stenger, N., Wilhelm, M. & Wegener M. (2012). Experiments on elastic cloaking in thin plates. Phys. Rev. Lett. 108, 14301. [22] Lu, M. et al. (2007). Negative birefraction of acoustic waves in a sonic crystal. Nat. Mater. 6, 744 748. [23] Mohammadi S., (2010). Phononic Band Gap Micro/Nano-Mechanical Structures for Communications and Sensing Applications, In Partial Fulfillment Of the Requirements for the Degree Doctor of Philosophy in Electrical and Computer Engineering, Georgia Institute of Technology. [24] P. M. A. Thiago, Safavi-Naeini A., Winger M., Painter O. (2011). Quasi-two-dimensional optomechanical crystals with a complete phononic bandgap, Optical Society of America. 13 P age