EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) KUANTUM BİLGİ-İŞLEM ALGORİTMALARI ÜZERİNE BİR İNCELEME Gürkan Aydın ŞEN Uluslararası Bilgisayar Anabilim Dalı Bilim Dalı Kodu : 619.03.03 Sunuş Tarihi: 26.09.2002 Tez Danışmanı : Doç. Dr. Mehmet Emin DALKILIÇ Bornova, İZMİR
III ONAY Sayın Gürkan Aydın ŞEN tarafından Yüksek Lisans Tezi olarak sunulan Kuantum Bilgi-İşlem Algoritmaları Üzerine Bir İnceleme adlı bu çalışma Lisansüstü Eğitim ve Öğretim Yönetmeliği nin ve Enstitü yönergesinin ilgili hükümleri dikkate alınarak Jüri Başkanı Raportör Üye Üye : Doç. Dr. Mehmet Emin DALKILIÇ : Doç. Dr. Bahar ALAKENT : Prof. Dr. Serdar KORUKOĞLU Üye:... Üye:... tarafından değerlendirilmiş olup, yapılan Tez Savunma Sınavı nda aday oy birliği/oy çokluğu ile başarılı bulunmuştur.
IV
V ÖZET KUANTUM BİLGİ-İŞLEM ALGORİTMALARI ÜZERİNE BİR İNCELEME ŞEN, Gürkan Aydın Yüksek Lisans Tezi, Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü, Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Mehmet Emin DALKILIÇ Eylül 2002, 127 sayfa Bu çalışmada, henüz çok yeni bir kavram olan, fakat uygulanabilir hale geldiğinde bilgisayar bilimini kökten değiştirebilme potansiyeline sahip kuantum bilgisayarları ve kuantum algoritmaları incelenmiştir. Kuantum bilgi-işlem algoritmaları ve uygulamaları hakkında geniş bir literatür taraması yapılmış, ilgili matematiksel notasyon, önemli uygulama ve algoritmalar hakkında ayrıntılı bilgi verilmiştir. Ayrıca kuantum bilgisayarının temel unsurları olan kuantum yazmaçları ve kübitlerin oluşturulması ile ilgili prosedürleri kullanarak bu yapılara 1- kübitli kuantum geçitleri ve bazı basit klasik fonksiyonları uygulama işlemleri gerçekleştirilmiştir. Bugüne kadar geliştirilen kuantum algoritmalarının en önemlisi olan ve günümüzde en sağlam veri şifreleme algoritmalarının başında gelen RSA algoritmasını kırma potansiyeline sahip olan Shor un polinom zamanlı çarpanlara ayırma algoritması bilgisayar ortamında simüle edilmiş ve bu algoritmayı iyileştirmek için önerilen bazı yaklaşımlar da simülasyon vasıtasıyla test edilmiştir. Test sonuçlarına göre, Shor ve Knill tarafından öne sürülen bu yaklaşımlar, algoritmanın yineleme sayısını ve çalışma süresini azaltmaktadır. Dolayısıyla bu yaklaşımların doğruluğu, simülasyon yardımıyla gözlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Kuantum bilgi-işlem, kuantum bilgisayar, Shor un asal çarpanlarına ayırma algoritması, kübit, kuantum geçitleri.
VI
VII ABSTRACT AN INVESTIGATION ON QUANTUM COMPUTING ALGORITHMS ŞEN, Gürkan Aydın MSc. Thesis in International Computing Institute Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Mehmet Emin DALKILIÇ September 2002, 127 pages In this paper, quantum computers and quantum algorithms, which are still very new concepts, yet have the potential to change computer science radically when they become implementable are analyzed. A wide-scale literature survey has been done about quantum computing algorithms and implementations, detailed information has been given about related mathematical notations, important implementations and algorithms. Moreover, using quantum register and procedures related to formation of qubits, which are the basic elements of quantum computers, 1-qubit quantum gates and some simple classical function implementation operations have been implemented on these structures. Shor s polynomial time factoring algorithm, which has been the most important quantum algorithm till now and have the potential to break the RSA algorithm, has been simulated on computer and several approaches that were proposed to improve this algorithm have been tested by the simulation. According to the test results, approaches proposed by Shor and Knill reduced the algorithm s try count and execution time. Accordingly, corrections of these approaches has been observed with the help of the simulation. Keywords: Quantum computing, quantum computer, Shor s factoring algorithm, qubit, quantum gates.
VIII
IX TEŞEKKÜR Bu ilgi çekici tez konusu üzerinde çalışma imkanı veren ve çalışma boyunca deneyimleri, bilgileri, yapıcı eleştirileri ve yorumlarıyla sürekli olarak konuya katkımı arttırmama yardımcı olan değerli tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Mehmet Emin DALKILIÇ a ve tez çalışmam boyunca bana lojistik destek sağlayan çok değerli UBE asistan kadrosuna teşekkür ederim. Çalışma süresince benden hiçbir desteklerini esirgemeyen aileme de teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
İÇİNDEKİLER X Sayfa ÖZET... V ABSTRACT...VII TEŞEKKÜR...IX ŞEKİLLER DİZİNİ... XV ÇİZELGELER DİZİNİ...XVII SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... XVIII 1. GİRİŞ... 1 1.1 Tarihçe... 2 2. KUANTUM FİZİĞİ... 5 2.1 Heisenberg in Belirsizlik İlkesi... 6 2.2 Üst Üste Gelme Prensibi ve Ölçüm İşlemi... 6 2.3 EPR Deneyi... 7 3. HESAPLANABİLİRLİK VE KARMAŞIKLIK... 10 3.1 Hesaplanabilirlik Teorisi ve Turing Makineleri... 10 3.1.1 Gerekirci Turing Makinesi (GTM)...11 3.1.2 Olası Turing Makinesi (OTM)...11 3.1.3 Kuantum Turing Makinesi (KTM)...12 3.2 Karmaşıklık Teorisi... 13 3.2.1 Klasik karmaşıklık sınıfları...14
İÇİNDEKİLER (devam) XI Sayfa 3.2.2 Kuantum karmaşıklık sınıfları...15 4. KUANTUM BİLGİ-İŞLEMİN TEMEL İLKELERİ... 16 4.1 Matematiksel Yapılar... 16 4.1.1 Kübit ve kuantum yazmacı...16 4.1.2 Dolanıklık...21 4.2 Kuantum Devre Modeli ve Kuantum Geçitleri... 21 4.2.1 Tersinirlik...23 4.2.2 1-kübitli geçitler...25 4.2.3 2-kübitli geçitler...27 4.2.4 3-kübitli geçitler...28 4.2.5 Evrensellik...28 4.2.6 Kuantum ağları...29 4.2.7 Kuantum fonksiyonları...30 5. KUANTUM BİLGİ_İŞLEM UYGULAMALARI... 32 5.1 Kuantum Işınlama... 32 5.2 Kuantum Yoğun Kodlama... 38 5.3 Kuantum Şifreleme... 41 5.3.1 Foton polarizasyonunun özellikleri...42 5.3.2 BB84 protokolü...46 6. KUANTUM BİLGİSAYARI ALGORİTMALARI... 50 6.1 Deutsch Algoritması... 50 6.2 Kuantum Fourier Dönüşümü (KFD)... 53 6.2.1 Fourier Dönüşümünün Karmaşıklığı...55
İÇİNDEKİLER (devam) XII Sayfa 6.3 Asal Çarpanlarına Ayırma Algoritması... 56 6.3.1 Algoritmanın incelenmesi...60 6.3.2 Algoritmanın karmaşıklığı...67 6.4 Ayrık Logaritma Hesaplama Algoritması... 68 6.4.1 Algoritmanın incelenmesi...70 6.5 Veritabanı Arama Algoritması... 73 6.5.1 Bir Sorgulama İle Veritabanı Arama...73 7. SİMÜLASYON... 79 7.1 Yapılan Çalışma... 79 7.2 Uygulanan Farklı Yöntemler... 80 7.2.1 Shor un önerdiği yaklaşımlar...81 7.2.2 Knill in yaklaşımı...82 7.2.3 McAnally nin yaklaşımı...83 7.3 Simülasyon... 84 7.3.1 Simülasyon ortamı...84 7.3.2 Simülasyondaki yapılar...85 7.3.3 Asal çarpanlara ayırma algoritmasının simülasyonu...91 7.3.4 Bellek gereksinimi...95 7.4 Simülasyondan Elde Edilen Sonuçlar... 96 7.4.1 Kuantum yazmacı ve Hadamard geçidi istatistikleri...97 7.4.2 Asal çarpanlara ayırma algoritması istatistikleri...100 8. SONUÇ...116 KAYNAKLAR DİZİNİ...118
İÇİNDEKİLER (devam) XIII Sayfa EKLER...122 Ek 1 Kuantum Fourier Dönüşümü Devresi...123 Ek 2 Türkçe - İngilizce Terimler Sözlüğü...124 ÖZGEÇMİŞ...127
XIV