Ağaçlar v Uygulamaları Bir çvrimsiz graf çvrim içrmyn ir graftır.(aynı zamana orman olarak alanırılır) Bir ağaç ağlı ir çvrimsiz graftır. Böyl ir ormanın hr ir lmanı ir ağaçtır, v hrhangi ir ağaç ir ağlı ormanır. Torm: n üğümlü ir G grafına aşağıakilr şğrir. i. G ir ağaçtır. ii. G hr üğüm çifti arasına, sa ir yol varır. iii. G ağlıır v G ki hr ir ayrıt ir köprüür.(köprü silinin graf ağlı olmaktan çıkar) iv. G ağlıır v (n-) ayrıtı varır. v. G çvrimsizir v (n-) ayrıtı varır. vi. G çvrimsizir v, G komşu olmayan iki kyfi üğüm ir ayrıt il irlştiriliği zaman sonuçtaki gnişlyn G' grafı tk ir tur içrir. vii. G ağlıır, v ğr G hrhangi komşu olmayan iki kyfi üğüm ir ayrıt il irlştirilirs, l iln yni grafın tk ir çvrimi varır. Gnl olarak, ağaçlar il ilgili algoritmalar üç türlüür. Vriln ir ağaçta arama v tiktlm algoritmaları Farklı türlr ağaç oluşturmak için algoritmalar. Özl ir türki ağaçları saymak için algoritmalar. Ağaç: Bir ağaç çvrim içrmyn ağlı ir graftır. Örnk, Şkil. göstrilmiştir. n= n= n= n= vya n= vya vya Şkil.. Düğüm sayısına gör farklı ağaçlar. Torm: T, n üğümlü ir graf olarak vrilsin. Aşağıaki ifalr şğrir. a. T ağlıır v çvrim içrmz.. T ağlıır v n- ayrıtı varır.. T nin n- ayrıtı varır v çvrim içrmz.. T ağlıır v hr ir ayrıt ir köprüür.
. T nin hrhangi iki üğümü tam olarak ir yol il ağlıır. f. T nin hiç çvrimi yoktur, fakat hrhangi ir yni ayrıt klnmsi tam olarak ir çvrim oluşturur.. Ağaçlar il ilgili Tanımlar v özlliklri Bir ağaç, çvrim içrmyn ir ağlı yönsüz graftır. Bir yönsüz graf anak v anak, hrhangi iki üğümü arasına tk ir asit yol var is ir ağaçtır. Bir köklü ağaç, ir ağaçtan ir üğümün kök olarak lirlnmsi v hrir ayrıt köktn yönlnirilrk l iln ir yönlü graftır. Bir köklü T ağaına, (u,v) ir yönlü ayrıt olsun, u, v nin vyni v v u nun çouğuur, aynı vyn sahip çouklara karş nir; ir v üğümünün kök hariinki ataları, köktn v y kaar olan yol üzrinki üğümlrir, v üğümünün torunları v yi ata olarak görn üğümlrir; ir yaprak, hiç çouğu olmayan ir üğümür, çouğu olan üğümlr iç üğümlr nir; torunlarıyla, irlikt ir v üğümü v u torunlara komşu ütün ayrıtlar ir alt graf oluşturur. Hr iç üğümü m çouğa sahip olan ir köklü ağaa m-ilişkili ağaç nir, ğr m= is ikili ağaçtır. Bir köklü ağaçta, ir v üğümünün sviysi, köktn v y olan tk yolun uzunluğuur. Bir köklü ağaın yükskliği, üğümlrin sviylrinin n üyüğüür. Yükskliği h olan ir köklü m-ilişkili ağaç, ğr ütün yapraklar h vya h- sviysin is ngli ağaçtır. Bir sıralı köklü ağaçta, hrir iç üğümün çoukları sıralıır. Eğr ir üğümün iki çouğu varsa, ilk çouğa sol alt ağaç, v sağ çouğa sağ alt ağaç nir. Ağaçlar; oymuş hirokaronları, Kuruluşları, Dosya kataloglarını, parall işlm için ağ iç ağlantılarını mollmk için kullanılailir.. Ağaçların Özlliklri n üğümlü ir ağaın tam olarak n- ayrıtı varır. i at iç üğümü olan ir tam m ilişkili ağaçta n=m.i + üğüm ulunur. Bir tam m-ilişkili; n üğümlü ağaın, i = (n)/m iç üğümü v l = [(m)n + ]/m yaprağı varır. i iç üğümlü ağaın n = m i + üğümü v l = (m)i + yaprağı varır. l yapraklı ağaın, n = (ml)/(m) üğümü v i = (l)/(m) iç üğümü varır. Yükskliği h olan m-ilişkili ir ağaçta n çok m h yaprak varır. Eğr yükskliği h olan ir m-ilişkili ağaın l yaprağı var is, h log m l ir. Eğr m- ilişkili ağaç tam v ngli is, h = log m l ir.
. Ağaçların Uygulamaları İkili Arama Ağaı: Bir sıralı köklü ikili ağaçta hrir üğüm; sol alt ağaınaki üğümlrki anahtarlaran üyük v sağ alt ağaınaki üğümlr ulunan anahtarlaran küçük ir anahtar atanır.(ikili Arama Ağaı Algoritması.) Karar Ağaı: Hrir iç üğümün ir karara karşılık gliği ir köklü ağaçta, kararın hrir olası sonuu için u üğümlr ir alt ağaç ulunur.(örnk, Saht jtonların ulunması) Önk Koları: Farklı uzunluktaki it izilrini kolamaya ayalı kolar, ir harf için it izisinin iğr ir harfin ön kin olmaması özlliği il harflri kolamakta kullanılır. Huffman Kolama Algoritması Bir ikili ağaı vriln w w w n ağırlıklar il aşağıaki şkil yinlmli olarak oluştur:. En küçük iki ağırlığına köklü alt ağaçlı şkil ir ağaç oluştur. Onların irlştirilmiş ağırlıkları, iğr alların oluşturulması için ağırlıkların kullanılailği u alt ağaın kökünün ağırlığı olur.. Bütün ağırlıklar irlştiriln kaar aım i tkrarla.. Hrir iç üğümün alı v olarak tiktlnir. Hrir harf, ikili ağaçtan l iliği şkil tiktlrin yolunu alır. Örnk: Ağaın oluşturulması İlk ön karaktrlrin frkansları (kullanım sıklıkları) hsaplanmalıır. Örnğin, limizki vri "BAACC" olsun, B: A: C: En küçük iki frkans toplanır v frkans talosu ynin üznlnir, Tk ir ağaç oluşturulana kaar sürkli n küçük frkanslar toplanır, Şkil...Huffman kolama algoritması örnği Kapsama Ağaçları(Spanning Trs) G, ağlı ir graf olsun. G ki ir kapsama ağaı, G nin ütün üğümlrini içrn v aynı zamana ir ağaç olan G nin ir alt grafıır. Ağaın ayrıtlarına al nir. Örnğin Şkil. ki G grafını l alalım. Bu grafın üç farklı kapsama ağaı şkil. göstrilmiştir.
a a a a Şkli.. Graf v kapsama ağaçları Bir G grafının kapsama ağaı sistmatik olarak aşağıaki şkil ulunailir. Küçültm Yöntmi(Cutting-own) o o o G hrhangi ir çvrim sçrk aşla. Çvrimin ayrıtlarınan irini çıkart. Bu işlm çvrim kalmayınaya kaar tkrarla. Örnk olarak Şkil. vriln Bir G grafı için işlmlri yapalım. a a a G a a Şkil... Şkil. ki G grafına aa çvrimini kalırmak için a ayrıtını kalır. Şkil.-a yı l t.. aa çvrimini kalırmak için ayrıtını kalır. Şkil.- yi i l t.. çvrimini kalırmak için ayrıtını kalır. Şkil.- ki kapsama ağaını l t. Yukarıaki algoritma asit fakat vrimsizir. Daha iyi algoritmalaran ilk rinlik arama(gri izlm) v ilk gnişlik arama algoritmalarıır. İlk rinlik Arama(Dpth-first sarh): Bu işlm ir köklü ağaç oluşturur v tmlinki
yönsüz graf ir kapsama ağaıır.. - ön ir aşlangıç üğümü sçilir v ziyart ilir - Sçiln üğümün ir komşusu sçilir v ziyart ilir - Sçiln komşu üğümün ir komşusu sçilir v ziyart ilir. -.aım ziyart ilk komşu kalmayınaya kaar vam r - Komşu kalmaığına aktraking il gri glinir v hr üğüm için ynin.aıma giilir. İlk Gnişlik Arama: Bu işlm ir köklü ağaç oluşturur v tmlinki yönsüz graf ir kapsama ağaıır. Bir grafın ağlı parçalarını olaşır v ir kapsama ağaı oluşturur. Sçiln üğümün tüm komşuları sırayla sçilir v ziyart ilir.. Hr komşu kuyruk içrisin atılır. Komşu kalmaığına kuyruk içrisinki ilk üğüm alınır v.aıma giilir Bir ağırlıklı ağlı grafta minimum kapsama ağaı, ağaın ayrıtlarının ağırlıklarının olası toplamlarının n küçük oluğu ir kapsama ağaıır. Kruskal v Prim in n küçük kapsama ağaı algoritmaları vriln ir ağlı ağırlıklı graftan n küçük kapsama ağaı l tmyi sağlar(sonraki ölüm u algoritmalar üzrin urulaaktır.). Torm: Bir grafın anak v anak ir kapsama ağaı var is ağlıır. İspat: G ağlı ir graf olsun. G n köprü olmayan ayrıtları, hrir ayrıtı ir köprü olan ağlı ir H alt grafı l iny kaar sil. El iln H grafı ir kapsama ağaıır. Diğr taraftan, ğr G ir kapsama ağaı var is, G nin hrhangi üğüm çifti arasına ir yol varır; o hal G ağlıır. Mrkzlr v Çiftmtkzlr Bu ölüm ir ağaç v ağaın mrkzinin l ilmsi v ışa oğru harkttn ahsilktir. Bu yaklaşım, kimyasal molküllrin aım aım sayılması için Arthur Cayly tarafınan kullanılmıştır. Fakat ağaın mrkzi il n kastiliğini açıklamak grkir. Mrkz v çiftmrkzlri hsaplamak için asit ir yol. Algoritma Drsi olan ütün üğümlri komşu ayrıtlar il irlikt sil. İşlmi, ya tk ir üğüm(mrkz) yaa ir ayrıt il ağlı iki üğüm(çift mrkz) kalınaya kaar tkrarla. Bir mrkzli ağaa ana ağaç, ir çift mrkzli ağaa çift ana ağaç nir. Hr ağaç ya ana ya a çiftana ağaçtır.(hr ikisi ğil) Örnğin Şkil. ki ağaç vrilsin.
a f g Şkil. Drsi olan tüm üğümlri sil. f Drsi olan tüm üğümlri sil. Böyl mrkzli ağaç mrkziir. Diğr örnk, Şkil. aki ağaç vrilsin. a g f h Şkil. Drsi olan ütün üğümlri sil. Drsi olan ütün üğümlri sil. Buraan, l iln ağaç çift mrkzi olan çift mrkzliir. İkili Ağaçlar İkili ağaçlar (inary trs), üğümlrin n fazla iki al içrn (, vya ) ağaçlarır. Ağaın n üsttki üğümün kök (root) aı vrilir. (Şkil.7) Doğaaki ağaçların trsin ağaçların graf göstrilimi kökü yukarıa yaprakları aşağıa olaak şkilir. f 7
Şkil.7 : Bir ikili ağaın grafiksl göstrimlri Şkil.8'ki ağaç, A üğümü kök olmak üzr 9 üğümn oluşmaktaır. Sol alt ağaç B kökü il aşlamakta v sağ alt ağaç a C kökü il aşlamaktaır. A'an sola B'y gin v sağa C'y gin iki al çıkmaktaır. Ağaçlar il ilgili Tanımlar: Şkil.8 : Ağaçlara sviylr ) İkili Ağaç (Binary Tr) : Sonlu üğümlr kümsiir. Bu küm oş ir küm olailir (mpty tr). Boş ğils şu kurallara uyar. i) Kök olarak alanırılan özl ir üğüm varır. ii) Hr üğüm n fazla iki üğüm ağlıır. iii) Kök hariç hr üğüm ir alan glmktir. iv) Tüm üğümlrn yukarı oğru çıkılıkça sonuçta kök ulaşılır. ) Düğüm (no) : Ağaın hr ir lmanına üğüm aı vrilir. Örnklr : A, B, C. ) Kök (root) : Sviy 'aki (şmanın n üstünki) tk üğüm. Örnk : Şkil.8' A ilgisini içrn üğüm. ) Çouk (hil) : Bir üğümün sol v sağ alı araılığı il ağlanığı üğümlr o üğümün çouklarıır. Örnk : B v C, A'nın çouklarıır. ) Evyn(Parnt) : Bir üğüm, sağ v sol alları il ağlanığı üğümlrin vyniir. A üğümü, B v C üğümlrinin vyniir ) Bir üğümün sviy (lvl) vya rinliği (pth) : Bir üğümün kök üğümn olan uzaklığıır. Örnk : D üğümünün üzyi vya rinliği 'ir. 7) Ağaın rinliği (pth of tr) : En rinki yaprağın rinliği vya yükskliği (hight). 8
Örnk : Şkil.8'ki ağaın rinliği 'tür. 8) Yaprak (laf) : Sol v sağ alı oş olan üğümlr yaprak aı vrilir. Örnklr : D,G,H,I. 9) Karş (siling, rothr) : Aynı parnt'a sahip iki üğüm karş üğümlr aı vrilir. Örnklr : B il C karştir. D il E karştir. H il I karştir. ) üst üğüm (Anstor) : Bir üğümün vyni irini atasıır. Evynin vyni (rursion) ikini atasıır. Kök, kni hariç tüm üğümlrin atası'ıır. ) alt üğüm (Dsnant) : Bir üğümün iki çouğu irini torunları'larıır. Onların çoukları a ikini torun'larıır. ) Dolu ikili Ağaç(Full inary tr) : i) Hr yaprağı aynı rinlikt olan ii) Yaprak olmayan üğümlrin tümünün iki çouğu olan ağaç olu ikili ağaçtır (İkini şart ytrli). Bir olu ikili ağaçta n tan yaprak varsa u ağaçta toplam n- üğüm varır. ) Tam ikili ağaç(complt inary tr) : Dolu ikili ağaçta yni ir rinliğ solan sağa oğru üğümlr klniğin oluşan ağaçlara Tam ikili ağaç nilir. Böyl ir ağaçta azı yapraklar iğrlrinn aha rinir. Bu nnl olu ikili ağaç olmayailirlr. En rin üzy üğümlr olailiğin solaır. ) Gnl Ağaç(Gnral Tr) : Hr üğümün n fazla iki çouğu olailm sınırı olmayan ağaçlarır. ) İkili Arama Ağaı (Binary Sarh Tr) : Boş olan vya hr üğümü aşağıaki şartlara uyan anahtara sahip ir ikili ağaçtır : i) Kökün solunaki alt ağaçlaraki (ğr varsa) tüm anahtarlar köktki anahtaran küçüktür. ii) Kökün sağınaki alt ağaçlaraki (ğr varsa) tüm anahtarlar köktki anahtaran üyüktür. iii) Sol v sağ alt ağaçlar a ikili arama ağaçlarıır. İkili Ağaçlar v İkili Ağaçlar Üzrinki Dolaşma İşlmlri Dolaşma (travrs), ağaç üzrinki tüm üğümlr uğrayarak grçklştirilir. Ağaçlar üzrinki olaşma işlmlri, ağaçtaki tüm ilgilrin listlnmsi vya aşka amaçlarla yapılır. Doğrusal vri yapılarına aştan sona oğru olaşmak kolayır. Ağaçlar is üğümlri oğrusal olmayan vri yapılarıır. Bu nnl farklı algoritmalar uygulanır. Çok ilinn yöntmlr üç tan olup özyinlmn yararlanırlar : ) Prorr (pth-first orr) Dolaşma (Travrsal) i) Kök uğra (visit) ii) Sol alt ağaı prorr olarak olaş. iii) Sağ alt ağaı prorr olarak olaş. ) Inorr (Symmtri orr) Dolaşma i) Sol alt ağaı inorr'a gör olaş ii) Kök uğra (visit) iii) Sağ alt ağaı inorr'a gör olaş. ) Postorr Dolaşma i) Sol alt ağaı postorr'a gör olaş ii) Sağ alt ağaı postorr'a gör olaş. iii) Kök uğra (visit) 9
Torm: İkili Arama Ağaçları Şkil.9 : İkili Ağaç v ğişik şkillr olaşılması İkili arama ağaçları, hr ir üğümün solunaki (sol alt ağaınaki) tüm üğümlr knisinn küçük, sağınakilr (sağ alt ağaınakilr) knisinn üyük olaak şkil oluşturulurlar (Şkil.). İkili arama ağaçlarınaki n önmli işlmlrn irisi aramaır. Örnk olarak şkil. aki ağaçta, sayısını aratmak için şu işlm sırası izlnir : Karşılaştırma :, 7 il karşılaştırılır. <7 oluğunan sol alan ilrlnir. Karşılaştırma :, il karşılaştırılır. > oluğunan sağ alan ilrlnir. Karşılaştırma :, il karşılaştırılır. > oluğunan sağ alan ilrlnir. Karşılaştırma : ==. Aranan anahtar ğri ağaçta ulunu! Örnk olarak aşağıaki ağaçta, 7 sayısını aratmak için şu işlm sırası izlnir : Karşılaştırma : 7, 7 il karşılaştırılır. 7>7 oluğunan sağ alan ilrlnir. Karşılaştırma : 7, 77 il karşılaştırılır. 7<77 oluğunan sol alan ilrlnir. Karşılaştırma : 7, il karşılaştırılır. 7> oluğunan sağ alan ilrlnir. Karşılaştırma : 7, 8 il karşılaştırılır. 7<8 oluğunan sol alan ilrlnir. : NULL. Aranan anahtar ğri ağaçta ulunamaı. Şkil. : İkili Arama Ağaı Görülüğü gii arama işlminin tkinliği ağaın yükskliğin ağlıır. İkili arama ağaçları ngli tutulailirs, ir anahtar ğrini aramaa olukça hızlıırlar. Böyl oluğuna n
lmanlı ir ağaç n fazla log n üzyn oluşur. Bir ğrin ulunması vya ağaçta olmaığının lirlnmsi için n fazla log n karşılaştırma yapılır. Örnk olarak lmanlı ir ikili arama ağaına ir lmanın ulunailmsi için n fazla karşılaştırma yapmak grkktir ( = > ). Bağlı listlr is ulunaak lmanın ğrin gör (lman sona is) karşılaştırma yapmak grkilir. Torm: n üğümlü ir ikili ağaın minimum yükskliği(rinliği) tavan(log(n+)) - ir. İspat: T n üğümlü ir ikili ağaç v h a yükskliği olsun. k sviysin n fazla k at üğüm ulunur(uraa k=,,,..,h) ır. Böyl, n + + + + + h = h+ - ir. Buraan h + log (n+) ır.u is h tavan(log (n+)) -ir.
7 Kapsama Ağaı Prolmlri 7. Tanımlar: Kapsama alt Grafı: Bir grafın tüm üğümlrini kapsayan ağaa kapsama alt grafı nir. Kapsama ağaı: Orijinal grafın ütün üğümlrini kapsayan v ağaç olan ir alt grafa kapsama ağaı nir. En küçük kapsama ağaı: Bir ağırlıklı v ağlı grafın kapsama ağaçları arasına ağırlığı n az olan ağaa En küçük kapsama ağaı nir. Kiriş: Eğr T=(V,E ), G=(V,E) grafına ir kapsama ağaı is, G nin E olmayan ayrıtlarına T nin kirişi nir. Ayırma kümsi: Eğr ir G=(V,E) grafının ayrıtlarının ir alt kümsi olan D nin lmanları olan ayrıtlaran hrhangi irisi G n çıkarılığına G ir ağlı olmayan graf oluyorsa, D y ayırma kümsi nir. Ksi kümsi(cutst): Eğr, ir ayırma kümsinin hiç ir öz alt kümsi ayırma kümsi ğils, D y ksi kümsi nir. Böyl ir ayırma kümsinin tam olarak ir ayrıtı varır v öyl ir ksi kümsi köprü olarak alanırılır. Prolm: Vriln Bir yönsüz ağlı ağırlıklı G=(V,E) grafı için n küçük kapsama ağaı T nin ulunması Ağırlıklar pozitiftir. Kapsama ağaının maliyti T ki ütün ayrıtların ağırlıklarının toplamıır. En küçük kapsama ağaı, olası n küçük maliytli kapsama ağaıır. Tipik uygulama, Bir ilgisayar ağına irkaç üğümü n küçük maliytli ir kapsama ağaı il ağlanması. Torm: Bir ağlı G grafının C vrsinki ayrıtının ağırlığı, C vrsinki iğr ayrıtların ağırlığınan aha üyük is, G ki hrhangi ir n küçük kapsama ağaı için ir ayrıt ğilir. 7. Kruskal ın Algoritması :(Ağırlıklı ağlı yönsüz graf ın kapsama ağaının ulunması) Aım : Grafta n az maliytli ayrıtı ul(eğr irn fazla is rastgl irini sç) Sçiln ayrıtı vriln ir rnk il işartl(kırmızı olsun) Aım : Grafta En üşük maliytli v işartli vya kırmızı vry yakın olmayan işartlnmmiş olan ayrıtı ul. Bu ayrıtı kırmızı olarak işartl. Aım : Graftaki hr ir üğümü ziyart iny kaar vam t.(vya N üğüm sayısı olmak üzr, N- ayrıt ulunana kaar) Kırmızı rnkli ayrıtlar istnn kapsama ağaıır. Örnk : Kruskal algoritması il ir grafın kapsama ağaının l ilmsi
a f Şkil 7.. Kruskal ın algoritması il l iln kapsama ağaı Kruskal ın Algortimasının oğruluğu Kruskal ın algoritması ir En küçük kapsama ağaı ürtir. Kruskal ın açgözlü algoritması ağırlıkları artan şkil sıralanmış olan,,, n- ayrıtlarını içrn ir T G ağaını ürtmiş olsun. Böyl ir grafta, k n- için,,, k ayrıtlarını içrn ir n küçük kapsama ağaı varır. İspat; Tüm varım il yapılaaktır. Başlangıç urumu: k = için önri kolaya sağlanır. Inüksiyon aımı:,,, k- ayrıtlarına sahip ir T* n küçük kapsama ağaı oluğunu kaul lim. Durum : k T*: Böyl, T*,,, k ayrıtlarının tamamını içrir v ifa oğrulanır. Durum : k T*: Eğr k yı T G n çıkartırsak, T G kopuk hal glir v iki ilşni olur(ilşnlr A v B iyğiz. k yı T* a klylim. Bu, T* a A v B nin hr ikisini içrn ir vr oluşturur. Böyl, vr k an farklı v ir uu A a iğri B olan ir ayrıtı içrir. ayrıtını çıkart v yni graf T olarak işartl. T ir kapsama ağaıır. w( ) w(k), oluğunu ikkat al, iğr uruma Kruskal ın algoritması k yrin nü sçkti. T nün maliyti : w(t ) = w(t*) + w(k) w( ) olarak yazılailir. Bu w(t ) w(t*) anlamına glir.. T* ir n küçük kapsama ağaı oluğu için, w(t ) = w(t*) ir v aynı zamana T ir n küçük kapsama ağaıır. Bunan aşka, T,kanıtlamak istiğimiz,,, k ayrıtlarının hr irisini içrir..böyl, hr k için,,, k ayrıtlarının hr irini içrn ir n küçük kapsama ağaı oluğunu ispatlamış oluruz. Kruskal ın algoritmasının zaman karmaşıklığı n kötü uruma, O(m.logm) ir.(m ayrıt sayısı)
7. Prim in Algoritması Ana üşün: Kyfi ir s üğümünn aşla v yavaş yavaş ağaı üyüt. Bağlı üğümlr kümsi S yi l alırız. Hrhangi ir üğümü aşlangıç üğümü olarak al (aşlangıç Düğümü v olsun) v v y ağlı olan tüm ayrıtları inl. En küçük ağırlıklı ayrıt ={v,w} v u ayrıt G'nin T alt grafının ir ayrıtı olsun. v v w y ağlı ütün ayrıtları inl v içlrin ağırlığı n küçük olan f yi sç. Bu f yi T alt grafına kl. F ayrıtı ya v il yni u üğümü arasına vya w il yni u üğümü arasına olailir. Bu vr v,w v u olmak üzr üç at üğüm ulunmuş olur. v,u v w üğümlrin ağlı olan v f ışınaki tüm ayrıtları inl v n küçük ağırlıklı olan ir g ayrıtını v f il çvrim oluşturmayaak şkil al. Bu faza g, T y klnir. Bu işlm ütün üğümlr hsaplanınaya kaar vam r v l iln graf ir kapsama ağaıır. Algoritmanın aımları aşağıa göstrilmiştir. Giriş: V üğümlri v E ayrıtları il ir ağlı v ağırlıklı G. İlklnirm: V yni = {x}, uraa x, V n ir kyfi üğümür(aşlangıç noktası), E yni ={} V yni = V olunaya kaar tkrarla: o v nin V yni için w nin is için olmaığı nküçük ağırlıklı ir (v,w) ayrıtını E n (ğr aynı ağırlıklı irn fazla ayrıt varsa çvrim oluşturmayaak şkil kyfi olarak) sç. o v yi V yni y, (u, v) yi E yni y kl Çıkış: V yni v E yni ir n küçük kapsama ağaını tmsil r. Torm: Eğr v, ağlı ir G grafına hrhangi ir üğüm v v y ağlı olan ayrıtların ağırlığı n küçük olan ir ayrıt is, G ki hr n küçük kapsama ağaının ir ayrıtıır. İspat: T ir n küçük kapsama ağaı olsun v ={v,w}, T nin ir ayrıtı olmaığı kaul ilsin.h, T y klnrk l iln G nin ir alt grafı olsun. H nın v v v..v r w v il göstriln tk ir C() vrsi varır, uraa ={v,w} v f={v,v } ir. Şimi v f nin hr ikisi v y ağlıır v nin ağırlığı f nin ağırlığınan aha küçüktür. Eğr f yi H an ayırırsak, ağırlığı T n aha küçük olan ir T kapsama ağaı l riz, u ir çlişkiir. Sonuç: Eğr v G'nin hrhangi ir üğümü is v ğr v y ağlı ayrıtlaran hiç irisinin ağırlığı n küçük olmayan v y ağlı ir ayrıt is, G ir ayrıtı olan ir n küçük kapsama ağaı varır. Örnk: Prim in algoritması il kapsama ağaı oluşturulması a f Şkil 7.. Prim in algoritması il l iln kapsama ağaı
Prim in Algortimasının oğruluğu Prim in algoritması ir En küçük kapsama ağaı ürtir. Prim in açgözlü algoritması algoritmanın kliği sıraa numaralanmış olan,,, n- ayrıtlarını içrn ir T G ağaını ürtmiş olsun. Böyl ir grafta, k n- için,,, k ayrıtlarını içrn ir n küçük kapsama ağaı varır. İspat Tüm varım il yapılaaktır. Başlangıç urumu: k = için önri kolaya sağlanır. Inüksiyon aımı:,,, k- ayrıtlarına sahip ir T* n küçük kapsama ağaı oluğunu kaul lim. Durum : k T*: Böyl, T*,,, k ayrıtlarının tamamını içrir v ifa oğrulanır. Durum : k T*: S algoritmanın k- aımınan sonra itiriln üğümlrin kümsi olsun. k yı T* a klylim. Bu, T* a ir vr oluşturur. vr k an farklı v ir uu S iğri S olmayan ir ayrıtı içrktir. ayrıtını çıkart v yni graf T olarak işartl. T ir kapsama ağaıır. w( ) w(k), oluğunu ikkat al, iğr uruma Prim in algoritması k yrin nü sçkti. T nün maliyti : w(t ) = w(t*) + w(k) w( ) olarak yazılailir. Bu w(t ) w(t*) anlamına glir.. T* ir n küçük kapsama ağaı oluğu için, w(t ) = w(t*) ir v aynı zamana T ir n küçük kapsama ağaıır. Bunan aşka, T,kanıtlamak istiğimiz,,, k ayrıtlarının hr irisini içrir. Böyl, hr k için,,, k ayrıtlarının hr irini içrn ir n küçük kapsama ağaı oluğunu ispatlamış oluruz. Prim in algoritmasının Analizi Çalışma Zamanı: Hrir üğümü S ğil onun n küçük ağırlıklı komşularının oluğu S ulunurarak algoritmayı aha vrimli hal gtiriliriz. Bu komşunun maliyti ost[v] v komşuları othr[v] saklanır. Aynı küm işlmlrini Dijkstra'nın algoritmasınaki gii yaparız(yapıyı ilklnirm, ğrlri m kr azalt, n küçüğü n- kr sç). Bu yüzn ir izi il grçklniğin O(n ) zaman ulunur, ir hap il grçklniğin, O((n + m) log n) zaman ulunur.(n üğüm sayısı, m ayrıt sayısı) Prim in algoritmasının ira zamanı sa üğümlrin sayısına ağlıır, fakat aynı sayıa üğümlü ir graf için ayrıtların sayısı artarkn Kruskal ın algoritması artar.bununla irlikt gnl hangisinin aha vrimli oluğunu söylmk mümkün ğilir. Vrimlilik, ağın yapısına v ağırlığın ağılımına ağlıır. Çoğu uruma oluşturulan vri yapısı vrimliliğ oğruan tkiliir.
8 En Kısa Yol Prolmlri Eğr ir yönlü grafın hr ir yayına ir ağırlık(örn.uzaklık) vrilirs, u oğal olarak vriln ir üğümn vriln iğr ir üğüm ir n kısa yol ulma prolmi olur. Çoğu optimizasyon prolmi u tiptn n kısa yol prolmin önüştürülrk çözülür v yönylm araştırmasınaki çoğu optimizasyon prolmi, n kısa yol algoritmalarını alt rutin olarak çağrılarak çözülür. En kısa yol prolmlrinin çözümün Dijkstra v Floy-Warshall algortimaları açıklanaaktır. Dijksta nın algoritmasına grafın ayrıtlarının ağırlığı pozitif ğrliir. Oysa Floy-Warshall algoritması ngatif ağırlıklı vrlrin varlığına kullanılailir. 8. Dijkstra nın Algoritması Dijkstra nın Algoritması, ir graf üzrin istniln ir üğümn, graftaki iğr tüm üğümlr gin En Küçük Maliytli(E.K.M) yolları (shortst path) ulmak için kullanılan ir algoritmaır. Algoritma şu şkil açıklanailir. G=(V,E) yönlü grafına, V={,,.,n} v (i,j) yaylarının ngatif olmayan ağırlıkları a(i,j) olsun. Eğr i n j y ir yay yok is a(i,j) sonsuz olarak alınır. Böyl G için A= a(i,j) iyagonalı sıfır olan nxn oyutlu ir ağırlık matrisi varır. Prolm, üğüm n iğr ütün üğümlr n kısa yol v n kısa msafyi ulmaktır. Hr ir i üğümün kalıı vya gçii ir tikt vrilir. Kalıı tikt L(i). üğüm i. Düğüm olan n kısa msafir, oysa gçii tikt L (i). n i. y olan n kısa msafnin üst sınırıır. Algoritmanın hr ir fazına, P kalıı tiktli üğümlrin kümsi v T onun şlniğiir. Başlangıçta hr ir i için, P={}, L()= v L (i) = a(,i) ir. P=V oluğu zaman algoritma urur. Hr ir itrasyon aşağıaki iki aıman oluşur. Aım : (Kalıı tiktin lirlnmsi) : T n küçük L (k) olan ir k üğümünü lirl. Eğr öyl ir k yok is ur, çünkü T ki üğüm n hrhangi ir üğüm yol yoktur. k yı P kümsin kl. Eğr P=V is ur. Aım : (Gçii tiktin gözn gçirilmsi) : Eğr j, T ir üğüm is, L (j) yi aha küçük L (j) v L(k)+ a(k,j) il ğiştir. Aım git. min(l (j), (L(k)+ a(k,j)) Düğüm tiktlri gçii v kalıı olarak işartlnirlr. Gçii tikt, aynı üğüm aha kısa ir yol ulunursa aşka ir tiktl ğiştirilir. Daha iyi ir yol ulunamayaaksa tikt kalıı olarak işartlnir. Torm: Dijkstra nın algoritması üğüm n hr ir i üğümün olan n kısa msafyi ulur. İspat (İnüksiyon): P ulunan hrir i için, L(i), n i üğümün olan E.K.M.y şit v P ulunmayan hrir j için v L (j), n j. Düğüm olan E.K.M ir. P ir lmanlı is u oğruur. P nin m lmanına kaar tormin oğru oluğunu kaul lim. İnüksiyon hipotzi il k üğümünü P y klmn hmn ön L (k), P ki hr ara üğüm için n k ya n kısa yolun uzunluğuna şittir. Şimi k, P y klnir v L(k)=L (k) ır. L(k) nın n k ya n küçük msaf oluğunu iia iyoruz. Eğr ğils, n k ya n kısa msaf olsun. Buraan <L(k)=L (k) ır. Böyl n k ya hrhangi ir n kısa yolun P n olmayan n az ir ara üğümü olmalıır. Böyl ir üğüm v olsun. n v y n kısa msaf olsun. Buraan oluğu açıktır. Fakat < L (k) nin n küçük oluğu anlamına glir. Bu is L (k) nın n küçük kaulüyl çlişkiir. O hal tormin oğruluğu sağlanır. Örnk: Şkil 8. vriln ağı kullanarak Dijkstra algoritması il n kısa yolları ulalım. Yay üzrinki sayılar msaflri göstrmktir. Şkil 8.. En kısa yolları lirlnk Örnk yönlü graf. 8 7 8 7
Talo 8.. Şkil 8.ki graf için Dijkstra algoritmasının Aımları Aım (Kalıı tiktin lirlnmsi) Aım (Gçii tiktin gözn gçirilmsi) P={} L()= İtr P={,} L()= L()= İtr P={,,} L()= L()= L()= İtr P={,,,} L()= L()= L()= L()=7 İtr P={,,,,} L()= L()= L()= L()=7 L()=9 İtr P={,,,,,} L()= L()= L()= L()=7 L()=9 L()= )-) İtr T={,,,,,7} L ()= L ()= L ()= 8 L ()= - L ()= - L (7)= - T={,,,,7} L ()= L ()= 8 L ()= L ()= - L (7)= - T={,,,7} L ()= 7 L ()= L ()= 9 L (7)= - T={,,7} L ()= L ()= 9 L (7)= - T={,7} L ()= L (7)= 7 T={7} L (7)= P=V is ur. P={,} L()= L()= P={,,} L()= L()= L()= P={,,,} L()= L()= L()= L()=7 P={,,,,} L()= L()= L()= L()=7 L()=9 P={,,,,,} L()= L()= L()= L()=7 L()=9 L()= P={,,,,,,7} L()= L()= L()= L()=7 L()= L()=9 L(7)= T= T-{}={,,,,7} L ()= min{, L ()+ a(,)} L ()= min{8, L ()+ - } L ()= min{-, L ()+ a(,)} L ()= min{-, L ()+ -} L (7)= min{-, L ()+ -} gii T= T-{}={,,,7} L ()= min{8, L ()+ a(,)} L ()= min{, L ()+ a(,)} L ()= min{-, L ()+ a(,)} L (7)= min{-, L ()+ -} T= T-{}={,,7} L ()= min{, L ()+ -} L ()= min{9, L ()+ a(,)} L (7)= min{-, L ()+ -} T= T-{}={,7} L ()= min{, L ()+ a(,)} L (7)= min{-, L ()+ a(,)} T= T-{}={7} L (7)= min{7, L ()+ a(,7)} T= Boş Küm Bir kr üğüm n iğr üğümlr olan n küçük msaf hsaplanına, üğüm n iğr üğümlr olan n kısa yolun ulunması çok kolayır. Bu aşağıaki şkil n kısa yol ağaı oluşturularak yapılır. 7
Hrir i üğümü( üğüm hariç) için öyl ir j üğümü ulalım ki; a. ağa i n j y ir yay. L(j)<L(i) v. L(j) + a(i,j) = L(i) olsun. Eşitlik ozma kyfiir.yay(j,i) ağaç için ulunur. Şkil 8. l alınan örnkt,. v.üğümn ya yaylar varır. Bunu şöyl göriliriz L() +a(,) = + = 9 = L() v L() +a(,) = 7+ = Böyl (,) yayı ağaın içinir. (,) il (,) arasına ağaçta ulunailk ir sonuç şitliği oluğu kolaya görülilir v onlaran sa irini alailiriz. Şkil 8., Şkil 8. ki grafın. üğümünn iğr ütün üğümlrin n kısa yolları vrn ir n kısa yol ağaı görülmktir. Şkil 8.. n kısa yol Ağaı Algoritmanın karmaşıklığı n kötü uruma O(n ) ir. 8. Floy-Warshall Algoritması Dijkstra nın algoritması, ağırlık fonksiyonu kyfi oluğu zaman uygun ğilir. Ağırlık fonksiyonu pozitif olarak sınırlanmaığı zaman n kısa msaf prolmini çözmk için kullanılan ir algoritma Floy-Warshall algoritmasıır. Eğr i aşlayıp i itn ir ngatif tur var is, i n hrhangi ir üğüm n küçük yolu üşünmnin anlamı yoktur. Warshall Algoritması, ir graf üzrin tüm üğüm çiftlri arasınaki minimum uzaklığı (shortst path) ulmak için kullanılan ir algoritmaır. Bunun için hr (i, k) üğüm çifti için aşağıaki şitliğ akılır: D [i, k] = min (D [i, k], D [i, j] + D [j, k]) Yani, i üğümünn k üğümün gitmk için ir yni ir j üğümü üzrinn gçiln aşka ir yol ulunmuşsa v ulunan u yni yolun aha az maliytli oluğu anlaşılırsa i v k arasınaki yni yol, u yol olarak sçilir. n üğümlü v kyfi ağırlık fonksiyonlu ir yönlü grafı l alalım. A=a ij, nxn lik ağırlık matrisi v P=(p ij ),p ij =j olan iğr ir nxn lik matris olsun. Algoritmanın irasına n itrasyon varır. j. İtrasyon, A (j-) v P (j-) olan iki nxn lik matris il aşlar(aşlangıçta A () =A v P () =P ir) v A (j) v P (j) il sona rr. Matristki lmanlar aşağıaki şkil tanımlanır. Eğr, ik (j-) ij (j-) + jk (j-) is, A (j) (i,k) = A (j-) (i,k) v P (j) (i,k)=p (j-) (i,k)ir. Diğr uruma, A (j) (i,k) = A (j-) (i,j) + A (j-) (j,k) v P (j) (i,k)=p (j-) (i,j) ir. 8
9 Algoritma ittiğin A =A(n) v P = P(n) olmak üzr iki matris l ilir. Bu yoram n kötü uruma A matrisinin günllnmsin (n-) karşılaştırma v hr itrasyona şit sayıa toplama işlmi grktirir, oysa P matrisinin günllnmsi hrhangi ir iş grktirmz. Bu nnl n çok n itrasyon oluğu için n kötü urum karmaşıklığı O(n ) ür. Şkil 8. ki graf için algoritmanın itrasyonları Aşağıa göstrilmiştir. Şkil 8.. Örnk Graf. A () = 7 P () = A () = 7 P () = (,)=;,, A () = 7 7 P () = A () = 7 7 P () = A =A () = 9 7 P =P () = A matrisinn üğüm n üğüm (,) girişinin oluğu görülür. P n (,) girişinin oluğu görülür. Böyl n n kısa yola (,), ilk yayır. (,) girişi ir. Böyl sonraki yay (,) ir. Sonra (,) girişinin oluğunu görürüz. Böyl son yay (,) ir. Ortalamaa Dijkstra nın algoritmasının Floy-Warshall ınkinn aha prformanslı oluğu görülür. Floy-Warshall ın algoritması graftaki ngatif çvrimlri ulailmktir. - -7 -
9 Sonlu Durumlu makinlr v Otomata Torisi 9. Sonlu Durumlu Makinlr v Turing Makinlri 9.. Sonlu urumlu Makin: (a) Bir aşlangıç urumu olan v Sonlu sayıa uruma sahip {Q = q,q,...q n } olan, () : Giriş{G=x,x,...,x n }, v Çıkış{Ç=z,z,...,z m }, olmak üzr sonlu Alfa(A) varır. () : Bu paramtrlr il ir gçiş fonksiyonu tanımlanır: { QxG ÇxQ } Z(t+) çıkışı tml x(t) y ağlıır Q(t) y, o anaki urum vya makinlrin aşınan gçn olaylar(history) nir. x x x n M z z z m t t t n t t n t Şkil 9. 9.. Aksptör(Sonlu) : Bir sonlu aksptör aşağıakilrn oluşur. (a) Başlangıç urumu q, Son urumlar alt kümsi Q olmak üzr ir Q (sonlu) urum kümsi: Q Q, q o Q, () : Bir A alfasi(sonlu) () : g : QxA Q fonksiyonu Örnk: g/ç q q q q q q Q ={ q, q } ; A{,} q q Şkil 9. Çıkışta ir işart yok. q i son urum alsak, tk sayıa vrrk unu yin q gtirmk mümkün. Bu aksptör tk sayıa ir ulunan ir katarı kaul r.( i kaul tmz, a. var) Sonuç : Sonlu aksptör vriln ir katarın vriln ir gramr uygun olup olmaığını kontrol r. Uygunluk son uruma rişip rişmm il anlaşılıyor. Örnk : A{,}, Q{ q,q,q }, q : ipsiz kuyu girn çıkamaz} Bu aksptör oş katar,,, gii katarları kaul r. Türkçki azı hlr ssli sssiz harflarn oluşur. Bunlar üznlnilir.(şkil: 8.)
q q q q V Örnk : a ; at ; yat, ört gii Örnk : ANKARA a KAR var mı? Aksptörü Şkil 9. AvNvR Şkil 9.. q K q NvK vr AvNvK A q R q KAR uluğu zaman son urumuna glktir. Buna Karaktr uyuşturma{string mathing} nilir. Uzun ir mtnin içrisin lirli ir harf izisi var mı onu arıyoruz. KAR Dğil aşka ir şy aranırsa, msla, aynı katar tkrarlanıyor, öylki tkraran sonra n aşa ğil aha ilri ir uruma gçilk. Örnk KARAKAYA, Alt katarlar tkrarlanıyorsa aksptörü çizmk ir hayli zorur. 9.. Sonlu Dönüştürüülr(Transusr) : Bir Q kümsi (aşı q ) Bir A alfasi g : QxA QxA Bu makinlr yni ir katarı alır, unan yni ir katar ürtir q i a j q k a l ; q i Q ; a j A q i <a j,a l > q k Şkil 9.. (q i,a j,q k,a l ) örtlüsü g fonksiyonunu tanımlar ( q i : urum, a j, alfa, q k : sonraki urum a l : çıkış) Örnk : A= {a,,,} alfasi üzrin aşağıaki önüşüm işlmi yapılaaktır. Arka arkaya görülüny kaar a v karaktrlri aynı şkil kopyalanaak, lr a ya ; lr y önüştürülktir. Arka arkaya gln n ikinisi a ya önüştürülk. Daha sonra gln karaktrlrin yrin koyulaaktır. Böyl önüştürüünün urum gçiş iyagramı yukarıaki gii olaaktır. Bunlara llk yoktur. Eğr llk klnirs Turing makinlri l ilir.
<,> <av,a> <,> q <av,a> q <,a> q <,> <A,> Şkil 9. 9.. Turing makinlri : Bu makinlr şrit şklin llk varır. Hrir llk gözün alfanin smollrinn iri olaaktır. Yin, Bir Q kümsi (aşı q ) Bir A alfasi ( oşluk ahil) g : QxA QxA {R,L} kümsi u şrii okuyup kafanın sağa mı, yoksa sola mı harkt ttiğini lirtiyor. (q i,a j,q k,a l,y) il tanımlanır q i : Makinnin urumu a j : kafanın şrittn okuuğu smol q k : Makinnin yni urumu a l : Kafanın şrit yazığı yni karaktr Y : R vya L olarak sağa yaa sola oğru kafanın harkti(ir göz harkt k). Böyl ir llk özlliği olan ilkl makin turing makinsi olarak ilinir. Turing makinsi programı lirli ir işlmi yapan lilrn oluşur Örnk: m,n tamsayıları irli sistm şrit üzrin tmsil ilmiştir. Sıfırı lirtmk için m tamsayısı m+, il tmsil ilmiştir Birli sistm v ü i tmsil tmk için aşağıaki göstrilim kullanılır. Yazaağımız program m il n i toplayaaktır Buraa kafanın konumunun nr oluğu önmliir. Kafa n solaki in üzrinir q i s j q k s l Y R L L R R R Bunu yukarıaki programla toplayailiriz. Turing makinlri il aşka işlmlr yapılailir.
Örnk : A = {,},aşta v sona oşluk ulunsun. Bu sayıyı tk yaa çift paritli yapmak için grkli karaktri n sağına ilav n program. lri sayıp tk is sona koyar, çift sayıa varsa oşluğu sıfır yapar Başka ir örnkt ikili sistmki sayının ğrini irli sistm yazmaktır. Msla i ikili sistm okuyup tan ir koymak olailir. Alıştırmalar. n uzunluğunaki ir list ulunan sayılaran tamsayı(onalık kısmı sıfır) olanların toplamını ulan ir algoritmayı psuoko il yazınız.. Sa atama yimlri kullanarak x v y ğişknlrinin ğrlrini yr ğiştirn algoritmayı psuoko il yazınız.. Hrir işlmin -9 sn alığı ir işlm f(n) in aşağıaki karmaşıklık ğrlri oluğu algoritmalara ir saniy için n kaar üyüklükt prolm çözülilğini hsaplayın. a)logn )n ) n ) n. Aşağıaki aksptör ün hangi izilri kaul ttiğini ulun.. Başla q q, q,. {,,} izilrini kaul n ir aksptör çizin. Kaynaklar. Rowan Garnir, John Taylor, "Disrt mathmatis for nw thnology ", Aam Hilgr Pulishing, 99.. Mathmatis, V.K. Balakrishnan Introutory, Disrt Dovr Pul.ISBN -8-9-. Knnth H.Rosn, Disrt Mathmatis an its Appliations, M Graw Hill,999.