DERS 11. Belirsiz İntegral

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 11. Belirsiz İntegral"

Nergis Okyar
9 yıl önce
İzleme sayısı:

1 DERS Blirsiz İnral.. Blirsiz İnral. B rs ürvi bilinn bir onksiyonn ynin inşasını l alacağız. Türvi bilinn bir onksiyonn ynin inşası işlmin rs ürv işlmi aniirniaion nir. v F onksiyonlar, F is, F y nin rs ürvi ani-rivaiv nir. in rs ürvi F ir. Grçkn, F. Bnzr şkil, G ir. onksiyon a nin rs ürviir; çünkü, G Torm. F v G onksiyonları a, b aralığına ürvli v hr a, b için F G is, yn bir c sabii için F G c ir. nin rs ürvlrinn birinin raiği biliniyorsa, hr rs ürvinin raiği biliniyor mkir. Çünkü, F v G onksiyonları nin iki rs ürvi is, F G c ir. F nin raiği G nin raiğinn üşy kayma il l ilir. nin üm rs ürvlrinin ailsini ösrmk için ösrimi kllanılır v bna nin blirsiz inraliinini inral nir. Böylc, ğr F is, F ; sabi inral işari inran inral ğişkni inralin hani ğişkn ör hsaplanacağını ösrir. inral sabii

2 .. İnral Formüllri. Hr ürv ormülü bir inral ormülün yol açar. Türv Formülü İnral Formülü n n LL L L L n k k L L L L k k n n n, n k F k F' L L L k k F m G F ' m G ' L L m m L L L L ln L L L L ln ln., 5 nokasınan çn v hr hani bir nokasınaki ğimi y olan ğrinin nklmini blalım. Çözüm. y F olğna ör, F ir. Diğr yanan, aranan ğri, 5 nokasınan çcğinn, F 5 olmalıır. Dolayısıyla, F 5 n olp aranan ğrinin nklmi, y F ir.

3 Haaa ürün ürn bir işlmnin sabi iri 000 birim para v marjinal iri 0. olarak vriliyor. B işlmnin haalık ir onksiyonn v 0 ürün için haalık oplam irini blnz. Çözüm. 0. v vrilmişir olğnan, 0 000, oplam ir birim para olr v 0 ürün için oplam ir birim para olr Dğişkn Dğişirm Yönmi. Hr ürv ormülünün bir inral ormülün yol açığını blirmişik. Türv hsabı için kllanığımız bazı ormüllr inral hsabı için önmli yönmlr vrir. B yönmlri açıklarkn çok yararlı olacağı için önc iransiyl kavramını anımlıyorz. v ürvli bir onksiyon is, iasin nn iransiyli nir v yazılır., 0 is, 0. is, ; ln is, /. Şimi ürv için zincir kralını haırlayalım: Braan ş inral ormülü l ilir: ' ' ' '

4 B inral ormülün alınırsa, olacağınan ykarıaki ormül ' biçimin yazılabilir. Vriln bir inral, yn bir sçimi il ykarıaki biçim ia ilbilirs, kolayca hsaplanmış olr. B yönm inral hsabına ğişkn ğişirm sbsiion yönmi nir. 5 vriln inral inralinin hsabı için sçilirs olr v biçimin hsaplanmış olr. Dğişkn Dğişirm Yönmi ylanırkn izlnn aımlar:. Uyn bir sçrk inranı basilşiriniz. Özl olarak, y öyl sçiniz ki, inranın bir çarpanı olsn.. İnrali amamn v cinsinn ia iniz.. Yni inrali blnz.. Blğnz inrali ski ğişkn cinsinn ia iniz. inralinin hsabı için sçilirs olr v vriln inral biçimin hsaplanmış olr. 7 böylc inralinin hsabı 7 sçilirs,, / olr v 7 ln ln 7.

5 5 sçilirs,, / olr v böylc - sçilirs, -, -/ olr v böylc sçilirs,, - olr v böylc.. Kısmî İnrasyon. Hr ürv ormülünün bir inral ormülün yol açığını blirmiş v ürv için Zincir Kralınan yola çıkarak inral için Dğişkn Dğişirm Yönmini l mişik. Şimi, çarpım için ürv ormülünü kllanarak inral için bir yönm l ilbilcğini örcğiz: Kısmî İnrasyon Yönmi. Son ürv ormülünn inral çrsk? ?.?. ' ' ' '. ' '

6 B ormül,, v alınırsa,, v olr v ormül aşağıaki biçimi alır: v v v. Eğr vriln bir inral, yn v v sçimiyl, v biçimin ia ilinc, sağ araaki v hsaplanması başlanıçaki inraln aha kolay bir inral olyorsa, b ormül rcih ilir. B yönml inral hsaplamaya kısmî inrasyon nir. v v v., v, v ln v v ln, v /, v v ln ln ln. ln v v v ln ln, v /, v / ln ln. v v v, v -, v / - z z z z, - z, / - 5 5

7 B rs l iklrimizi özlylim. Blirsiz inral ormüllri n n. k k., n n.,. ln, 5. k k 6. ± ± Dğişkn ğişirm, ' ', Kısmî İnrasyon Formülü v v v

8 Problmlr. Aşağıaki blirsiz inrallri hsaplayınız. a 6 b 8 c ç 5 h 5. Aşağıaki blirsiz inrallri hsaplayınız. a b c 5 ç. Aşağıaki blirsiz inrallri hsaplayınız. a b c 9 ç 7 h i ı j ln k l m

9 . Aşağıaki inrallri Kısmî İnrasyon Formülü ylayarak hsaplayınız. a b ln c ç 5. Aşağıaki inrallri hsaplayınız. a ln b c ln ç ln

Benzer belgeler

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II DERS 7 Türv Hsabı v Bazı Uygulamalar II Bu rst bilşk fonksiyonlarının türvi il ilgili zincir kuralını, üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini, ortalama v marjinal ortalama ğrlri; rsin sonuna oğru,