ROBOT KOLLARIN DÜZ VE TERS KİNEMATİĞİ

. Giriş Bir robot kola ilişkin iş planlaması, yörüng planlaması, dinamik, v kontrol problmlri l alındığı zaman ilk grksinm duyulan hususlardan biri, bu robot kolun kinmatik modlinin oluşturulması v buna dayanarak grkli kinmatik ilişkilrin ld dilmsidir. ROBOT KOLLARIN DÜZ VE TERS KİNEMATİĞİ ÖZET Bu makald önc, robot kol kinmatiğin hazırlık olmak üzr, üç boyutlu uzayda yr alan ksn takımları arasındaki konum v yönlim ilişkilri v bu ilişkilri birarada göstrn "homojn dönüşüm matrislri" üzrind durulmuştur. Bunu izlyrk uzaysal mkanizmaların matmatiksl göstrimi için gliştirilmiş olan HD (Hartnbrg-Dnavit) yöntmi tanıtılmış v robot kollara uygulanışı anlatılmıştır. Daha sonra, vriln klm dğişknlri cinsindn robot kolun l'inin konum v yönliminin ifad dilmsi olarak tanımlanan "düz kinmatik" v ardından l'in vriln konum v yönlimini sağlayacak olan klm dğişknlrinin blirlnmsi olarak tanımlanan "trs kinmatik" konuları işlnmiş v Stanford tipi bir robot kol üzrind örnklnmiştir. ABSTRACT in this articl, first, as a prparation for manipülatör kinmatics, location and orintation rlationships ar brifly rviıvd among rfrnc frams in thr dimnsional spac and th us of "homognous transformation matrics" is mntiond for a compact way ofxprssing ths rlationships. Follouıing this, th application of th HD (Hartnbrg-Dnavit) convntion to th manipulators is xplaind ıvhich has originally bn dvlopd for mathmatical modlling ofspatial mchanism. Latr, th subjct of "dirct kinmatics", i.. xprssing th location and orintation of th manipülatör's hand in trms ofthjoint variabls; and th subjct of "invrs kinmatics", i.. dtrmining th joint variabls corrsponding to spcifid location and orintation of th hand ar invstigatd and xmplifid on a Stanford manipülatör. Kinmatik modllm için gnllikl HD (Hartnbrg-Dnavit) yöntmi kullanılmaktadır. Bu yöntm Bölüm 4 v Bölüm 5't açıklanmıştır. Robot kollar için kinmatik ilişkilr, iki farklı yönd ld dilirlr: (i) El'in zmin gör konum v yönlimini klm dğişknlri cinsindn blirlyn "düz kinmatik" ilişkilri. Bu ilişkilr, Bölüm 6'da açıklanmıştır. (ii) El'in zmin gör vriln konum v yönlimini sağlayacak olan klm dğişknlrini blirlyn "trs kinmatik" ilişkilri. Robot kolun srbstlik drcsin v topolojik yapısına (dönr v kayar klmlrinin sayısına v sıralanışına) bağlı olan v gnld linr olmayan bağlaşık dnklmlrin çözümünü grktirn trs kinmatik ilişkilrin ld dilişi, Bölüm 7'd açıklanmıştır. 2. Üç Boyutlu Kinmatiğin Ana Hatları Üç boyutlu uzaydaki bir r vktörü, ortogonal sağ l düznli, ksnlri ş ölçkli, v tml birim vktörlri /ui a) : i=,2,3\ il/uf": j=,2,3j olan F a v F b ksn takımlarında, şu şkild ifad dilbilir: - 3 (a) r= y,r, (a) 3 (b) ı = y.r, j (b) Bu ifaddki rw bilşnlrindn oluşan r (a) kolonu il r.( b ' bilşnlrindn oluşan r (b) kolonu arasındaki ilişki is, F b 'dn F a 'ya dönüşüm matrisi olan &* b) kullanılarak biçimind yazılabilir. (2) Görüldüğü gibi bu ilişki, 3'lü kolonlar arasında 3 x 3'lük bir matris kullanılarak yazılmış homojn bir dnklmdir. Prof. Dr. M. Kmal ÖZGÖREN (*) (*) ODTÜMakina Mühndisliği Bölümü Öt yandan, bir vktörün iki ksn takımındaki bilşnlri arasında dğil d, bir P noktasının iki ksn takımındaki koordinatları arasında ilişki 39-ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 44

<5 <b ' a) (b) v trs ötlnm kolonu r BA, şu şkillrd ifad dilbilirlr. () = r AB = - C = c (8) (9) Şkil. BirP noktasının iki ksn takımına gör konumu kurmak istnirs, bu noktanın orijinlri A v B noktalarında olan F a (A) v F b (B) gibi iki ksn takımına gör tanımlanan konum vktörlri arasında, Şkil 'd görüldüğü gibi, şu ilişki yazılabilir r AP =l AB +r BP (3) Dnklm (3), r il r vktörlri F (A)'da r Ap AB a Bp vktörü is F b (B)'d ifad dilrk, aşağıdaki matris dnklmi biçimind d yazılabilir.(a) yv'^.tb).(a) TAP = C r B p + TAB (4) Görüldüğü gibi, P noktasının F fl (A) v F b (B)'dki (a) (b) koordinatlarından oluşan r AP v r Bp kolonları arasındaki bu ilişki, r ^^ triminin variığı ndniyl, homojn olmayan bir dnklmdir. Bu dnklmi homojn biçim sokmak istnirs, aşağıda tanımlanan büyütülmüş 4'lü kolonlar v 4 x 4'lük homojn dönüşüm matrisi kullanılabilir -(b)l TBP. T ' Dolayısıyla, homojn dönüşüm matrisinin trsi, aşağıdaki biçimd tanımlanmış olur: f [HABJ = I O r AB (0) Eğr ikidn fazla, örnğin 3, ksn takımı söz konusu olursa, P noktasının koordinatlarını ifad tmk üzr ksn takımları ikişr ikişr l alınarak birlşik dönüşüm matrisi için şu dnklm yazılabilir. Ja,b) (b,) HAC = H BC () Bu dnklm, daha fazla ksn takımı söz konusu olursa, HAZ = HAB H B C-H X Y H Y Z (2) şklind gnllştirilbilir. Eğr dörtlü matrislr yrin üçlü matrislr kullanılacak olursa, dnklm (2)'nin drlşik olarak ifad ttiği bilgi, aşağıda olduğu gibi daha ayrıntılı bir biçimd d ifad dilbilir. (5) C = C C... C C (3) Burada O', sıfırlardan oluşan 3'lü O kolonunun transpozunu göstrmktdir. Yukarıdaki tanımlar saysind dnklm (4), homojn olarak aşağıdaki gibi yazılabilir" RAP = HAB RBP. (6) Dikkat dilirs, rt AB (a - b) matrisi, & a - b) bölümü il (a) dönm (a - b),7" AB bölümü «d ötlnm (A -> B) bilgilrini taşımaktadır. Dnklm (6)'nın trsi göz önün alınırsa, [Hİ] =İHBA (7) ' olduğu görülür Öt yandan, trs dönm matrisi _(a).» ^(«b ).W ^(«b )^< b ' c TAZ = r«+ C rac + C C + C C ryz- (4) Yukarıda görüldüğü gibi, dörtlü homojn dönüşüm ifadlri, göstrim kolaylığı il dnklmlrin drlşik olarak yazılabilmsi açılarından üçlü homojn olmayan dönüşüm ifadlrin gör daha avantajlıdırlar v bu ndnl özllikl robotik alanında sıklıkla kullanılmaktadırlar. Buna karşılık, üçlü ifadlr, hsaplamalardaki işlm sayısı v grkli bllk grksinimi açılarından dörtlü ifadlr gör daha avantajlıdırlar. Örnğin, n ksn takımı için; dnklm (2)' 64(n - ) çarpma v 48 (n - ) toplama grktirirkn dnklm (3) v (4), birlikt, 36 (n - ) çarpma v 27 (n - ) toplama grktirmktdir. 39-ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

3. Dönm Matrisi İfadlri F b ksn takımının F a ksn takımana gör dönmsini blirlyn n birim vktörlü ksn v 6 açısı biliniyorsa, aradaki dönm matrisi şöyl ifad dilbilir [5], [6], ^» l. ~ ı C = I cos 0 + n sin 9 + n n ( - cos 6 ). (5) Bu ifadd şu tanımlar kullanılmıştır: h = U I = Birim matris. ( a ) _ ( b ) n = n = n n = Vktörl çarp im matrisi Bu matrisin n kolonundan türtilişi şöyldir n = -> n = O - n 3 n 2 n 3 O - n, - n 2 n, O n matrisinin özlliklrindn bazıları şunlardır: (i) n v = n x v. ~ı ~ (ii) n = - n. jı ı» (iii)n = n n - I. (iv) n = - n. rt matrisinin yukarıdaki özlliklri v sin 8 il cos O'nın Taylor Srisi açılımları kullanılarak dnklmlr (5), c = y, ( n ) / k i k-0 şklind d yazılabilir. Bu dnklm is, dönm matrisi için aşağıdaki "üstl" ifadnin Taylor Srisi açılımıdır [5], [6]: C^^" 6. (6) Bir çok durumda, F b 'nin F g 'ya gör dönmsi, ( n, 6) paramtrlri yrin Eulr Açıları olarak adlandırılan üç açısal paramtr ( 0, 0 2, 0 3 ) il ifad dilir. Böyl bir durumda, dönm matrisinin Şkil 2. El 'in 323 Eulr açı düznin gör yönlimi Eklm ( k - O *(k-2> / /uzuv (k-) / ^ : ^ -i -K 0 k-ı Şkil 8. Uzuv paramtrlri v ksn takımları larıyla yapıldığı varsayılır. Buradaki birim vktörlr; F a, F, F ksn takımlarının tml vktörlrindn biri olarak sçilir. Y apılan sçim gör, dğişik Eulr açısı düznlri ortaya çıkar. Örnğin, oldukça sık kullanılan 23 v 323 düznlrindki sçimlr v oluşan dönm matrislri aşağıda göstrilmiştir. (i) 23 Eulr Açı Açı Düzni: ).» - ( P ) _ - «D, n 2 = U2, n 3 = u 3 ; k rj Eklm (k) Uzuv ^ (7) \^" i (k> V n»ck-i) Eklm (k + O c = c şklind ayrıştı rıldığı v F a -» F p -> F q -» F b dönûşlrinin öncdn blirlnmiş n, n 2, n 3 birim vktörlü ksnlr trafında 0, 0 2, 0 3 açı- (ii) 323 Eulr Açı Düzni: = U3, = U3 ; ^ ıa - D) u 3 0, U 2 0 2 u 3 0 3 (8) 39- ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 3

Yukarıdaki a Uı = T 0 0 2 = a 3 oj matrislri,, U 3 = o" 0 tml kolonlarından türtilmişlrdir. Bir robot kolda, l'in (son uzvun) zmin gör yönliminin blirtilmsind, gnllikl, 323 Eulr açı düzni daha uygun olmaktadır. Bu düzn gör yönltilmiş bir l, Şkil 2'd göstrilmiştir. 4. Robot Kolların Eklmlri v Uzuvları Srbstlik drcsi n olan bir robot kol, son uzva (l') bağlı işlm lmanı (örnğin kıskaç) hariç tutulursa, n harktli uzuvdan v n klmdn oluşur. Kinmatik inclmlrd zmin, sıfırına uzuv olarak l alınır. Eklm (k), uzuv (k - ) il uzuv (k) arasında yr alır. Endüstriyl robotlarda, uzuvların rijit oldukları, klmlrin is bağladıkları iki uzuv arasında yalnızca bir tk bağıl harkt sağladıkları varsayılır. Bu harktin türün gör, klmlr, dönr (rvolut) v kayar (prismatic) olarak ikiy ayrılırlar. Uzuvlar rijit varsayıldıktan için hr bir uzvun harkti, kndisin bağlanan bir ksn takımının harkti il blirlnir. Ortogonal, sağ l düznli, v ş ölçkli olarak alınan ksn takımlarının uzuvlara bağlanışı, Hartnbrg - Dnavit (HD) yöntmiyl yapılır. HD yöntminin bir kaç dğişik biçimi vardır. Farkı bazı indis kaymaları olan bu biçimlr şunlardır: HD (O) : Hartnbrg v Dnavit tarafından önriln orijinal biçim [4]. HD (): R.P. Paul, H. Asada, M. Shahinpoor, R.C. Gonzals, gibi bir çok yazar tarafından kullanılan biçim [], [3], [7], [9]. HD (2): J.J. Craig tarafından önriln biçim [2]. HD (3) : W.A. VVolovich tarafından önriln biçim [0]. Bunlardan n yaygın olan HD () biçiminin Şkil 3'tn yararlanılarak yapılan açıklaması aşağıdadır: a) Uzuv (k)'y bağlı F k ksn takımının tml birim vktörlri: il*, (k> : Eklm (k + )'in dönm ya da kayma ksni boyunca alınan birim vktör. Eksn üzrindki yönü kyfidir. İstnirs, şkildkinin trsi yönd d sçilbilir. û~ > (k) : Eklm (k)'nin v klm (k + )'in ksnlri arasındaki ortak normal boyunca (k)'dn (k + )' doğru alınan birim vktör. U2 = U3 X Ul. Not: Eksnlr için burada kullanılan,2,3 indislri yrin x, y, z indislri d kullanılabilir. b) F k 'nin orijini, O' - M _(k) boyunca uzanan doğruların ksim noktasıdır, c) Uzuv (k)'nin uzuv paramtrlri: (i) Etkin uzuv boyu, a k : _0<) _ ( k - ) a k = D k O k. D k, uı ilu 3 boyunca uzanan doğruların ksim noktasıdır, (ii) Büküm (tvvist) açısı, «k : <x k trafında U3 'dn U3'y doğru sağ l kuralına gör ölçüln açıdır, (iii) Kayma uzunluğu (offst), d k : d k = K- k " (iv) Dönm açısı, 9 R : _<k-l) _0<-)) _»M 8 k, u 3 trafında Uı 'dn uı 'y doğru sağ l kuralına gör ölçüln açıdır, d) Eklm dğişkni: (i) Eklm (k), dönr klm is; uzuv paramtrsi 0 k, klm dğişkni olur. Uzuv (k)'nin uzuv (k - )' gör bağıl dönmsini göstrir. (ii) Eklm (k), kayar klm is; uzuv paramtrsi d k, tklm dğişkni olur. Uzuv (k)'nin uzuv (k - )' gör bağıl ötlnmsini göstrir. Yukarıda gnl olarak açıklanan HD () yöntminin uygulanışında aşağıda blirtiln özl durumlar ortaya çıkmaktadır: (i) Robot kollarda, K k açısı yalnızca - 90,0, + 90 dğrlrindn birini almaktadır. 4 39 - ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

-(o) 2-9o? h - 9 5 = 6 = o "ikn üsttn Şkil 4. Stanford tipi robot kol. (ii) Gnllikl, O = 0 Q olarak alınır, u^0' vktörünün yönlimi is kyfidir.... _(K-D _M -W ^ ın ' u 3 il u 3 parall olursa («k = O is), uı tkliğini yitirir. Bu durumda, klm (k) dönr is, gnlliği bozmadan d k = O alınabilir. Fakat, klm (k) kayar is, d k dğişkn olur v d k = O rfrans konumu kyfi olarak sçilir. (iv) ü y ^ (k) ' il ü* 3 çakışık olursa da, u* ^ tkliğini yitirir. Bu durumda, klm (k) dönr is, yin gnlliği bozmadan d k = O alınabilir; ayrıca 9 k = O rfrans konumu kyfi olarak sçilir. Eklm (k) kayar is, bu kz, gnlliği bozmadan 0 k = O alınabilir; ayrıca d = O rfrans konumu kyfi olarak sçilir. (v) ü y ^ ' il ü~* 3 (k) dik olarak ksişirs (a k = O olursa), u (k) 'nin doğrultusu blli (söz konusu iki klm ksnin dik), ancak bu doğrultu üzrindki yönü kyfi olur. Bu durumda, uı = u 3 x U3 olarakalnrsa, cc k = 90 olur. _,M _W _,(k-i) Uı = U3 x U3 olarak aln rsa, a k = - 90 olur. (vi) Son uzva (l') bağlı ksn takımının (F n 'nin) "bilk noktası" olarak tanımlanan orijini O n = O n _ olarak alınır. El'in özl adlarla anılan tml birim vktörlri is şunlardır:» _Jn-) Yaklaşır vktörü: u a = U3 = U3 Yönlim vktörü: u o = U2. Normal vktör: u n = Uı. El'in uç noktası (P) is, l' gör, vktörüyl göstrilbilir. Bir çok durumda, P noktası yaklaşım ksni üzrind olur "*r = O P v dolayısıyla r p = d p u a yazlabilir. HD () yöntminin şkil 4't şmatik olarak göstriln, 5 dönr v kayar klmdn oluşan "Stanford" tipindki bir robot kola uygulanmasıyla blirlnn uzuv paramtrlri v klm dğişknlri aşağıda vrilmiştir. 39 - ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 5

a, = O, a, = - 90, d, = O, 9, : dğişkn.. A A ( n El'in zmin gör yönlimi, C = C (o " n) maa 2 = O, K 2 = + 90, d 2 = O, O 2 = sabit, 9 2 : dğişkn..... - - ı Q ) - - yaaa u = u trısı, yada n =u n * ' n o = no. a a a 3 = O, cc 3 = + 0, d 3 = O 2 O 3 = dğişkn, 0 3 = O. kolonları il; bilk v uç noktalarının konumları is r = O O o n a 4 = O, oc 4 = - 90», d 4 = O, 6 4 : dğişkn. v P = Ö~* P vktörlri a 5 = O, <x 5 = + 90*, d 5 = O, 9 5 : dğişkn. ya da zmin ksn takımında F = r~ (o) v p = p (a) kolonları il göstrilck olursa; l'in konumu, a 6 = O, a 6 = + 0», d 6 = O, 9 6 : dğişkn. dnklm (9) v (2 )'dki tanımlar kullanılarak şu 5. Uzuvlar Arası Kinmatik dnklmlrl ifad dilbilir: Uzuv (k)'nin uzuv (k-)' gör konumu, iki dönm v iki ötlnm il blirlnir. Dönmlr, önc u (k ~ ) trafında 9 k, sonra u^3(k) trafında «k biçiminddir. Dolayısıyla, iki uzuv arasındaki dönm matrisi, (k-l.k) R k = C = 3 k ' (9) olarak ld dilir. Ötlnmlrin (d k v a k ) bilşksi is, _ _,0<-) _(k) i"k= O k _,O k = d k u 3 + a k u ı (20) vktörüyl ifad dilir. Bu vktörün F k 'd kolon olarak ifadsi şöyldir. r = d k u 3 + a k k (2) Ötyandan, dönm v ötlnm ifadlri birlştirilrk aşağıdaki uzuvdan uzva homojn dönüşüm matrisi ld dilir: C=R R 2...R n. < 24 ) U n = C Uı, U o = C U 2, U a = C U 3. ( 25 ) r = n + C r 2 +... +6 r.(26) p = r + d p C u 3. (27) tinim, yapıfarak v röboftollarda son uzuv için a = d n = o olduğu göz önün alınarak dnklm (25) şöyl d yazılabilir: r = V. < >k-ı ( d k ü 3 + a k R k ü,) (28) Ot yandan, büyütülmüş 4'lü kolonlar v dnklm (22) il tanımlanan 4 x 4'lük homojn dönüşüm matrislri kullanılarak (24) - (28) sayılı dnklm takımı yrin, aşağıdaki daha drlşik dnklm takımı da yazılabilir: = H o k _ o k = O! Bu matrisin grkli işlmlr yapıldıktan sonra ld diln açık biçimi şöyldir. c8 k -a k s9 k s«k s9 k \c\ s9 k c «k c9 k -s <x k c9 k a k s9 k O s <x k c K k d k O O O ; (22) A = Ho o o n = H 2... H n ; (29) (23) P = R OO P = A Ro n p = d p A U 3.(30) Hr n kadar, (29) v (30) sayılı dnklmlr, hr tür robot kol için l'in konumunu vrn gnl v drlşik bir dnklm takımı oluşturuyorlarsa da, göz önün alınan blli bir robot kolun yapısal özlliklrindn yararlanılarak sadlştirilmiş ifadlr ld tmy olanak sağlamamaktadırlar. Oysa; (24), (28), (25), v (27) sayılı dnklmlr, cbirsl işlmlr v sadlştirmlr yapmaya lvrişlidirlr. Sadlştirmlr, tml kolonlar il tml dönm matrislri arasında bulunan aşağıdaki özdşliklrdn yararlanılarak yapılabilir. [6]: Burada göstrim kolaylığı sağlaması için cos0 v sin0 yrin c0 v s0 kullanılmıştır. 6. El'in Konumunun Blirtilmsi (Düz Kinmatik) El'in konumunun, yani yönliminin v gnllikl uç ya da bilk noktası olarak alınan uygun bir noktasının koordinatlarının klm dğişknlri cinsindn ifad dilmsi, "düz kinmatik" olarak alınır. UI=UIC< >+ u k s<(>. (3) (32) Î = (33) Uiit/2 Ui( ) -UiJt/2 (34) - Y = nklm (32) v (34)'t i * j v u k = u ( x a dir. «I ^ 39 -ELEKTRİK I O MÜHENDİSLİĞİ

Örnğin, şkil 4't göstriln Stanford tipi robot kol için, yukarıdaki özdşliklrin kullanılmasıyla, (24), (28), v (27) sayılı dnklmlrdn aşağıdaki sadlştirilmiş ifadlr ld dilir: 0 3 ) arasından yalnızca uygun görüln n tansi blirtilir; gri kalan (6 - n) tansi, n klm dğişkni il birlikt, (24) v (28) sayılı dnklmlr çözülrk bulunur. C = 3.(35) Robot kol fazla srbstlikli is, şu iki yoldan biri sçilbilir: r = uı (dsc, s 0 2 - d 2 S9,) + u 2 (d 3 s 9, s 9 2 + d 2 s 9,) + u 3 (d 3 c 9^.(37) d p "384 4 3.(38) Yukarıdakilr bnzyn v yalnızca ikinci v üçüncü tml dönm matrislrini içrn sadlştirilmiş ifadlr, diğr robot kol tiplri (örnğin PUMA 560) için d ld dilbilirlr []. 7. Eklm Dğişknlrinin Blirlnmsi (Trs Kinmatik) El'in blirtiln bir konumunu sağlayan klm dğişknlrinin bulunması, "trs kinmatik" ya da "vrik kinmatik" olarak anılır, iş tanımı l'in harktlriyl, robot kolun bu iş için kontrolü is klm dğişknlri üstünd yapıldığı için trs kinmatik, robotik alanında oldukça önmli bir yr tutmaktadır. El'in konumu gnllikl uç noktası P'nin koordinatlarından oluşan P kolonu; yönlimi is, daha çok 323, bazan da 23 düznindki Eulr açılarıyla oluşturulan C matrisi il blirtilir. C matrisi; yaklaşım, yönlim, v normal birim vktörlri blirtilrk C = [Ün Üo Üa] (39) biçimind d oluşturulabilir. Ayrıca, p v C bilgilrindn yararlanılarak bilk noktası o n 'nin koordinatlarını içrn "r=p-d p CÜ 3 (40) kolonu da oluşturulur. Daha sonra, T v C'y karşılık gln klm dğişknlri, (24) v (28) sayılı dnklmlr aracılığı il blirlnir. Burada, l alınan robot kolun srbstlik drcsin gör şu üç durum söz konusu olmaktadır: (i) Tam srbstlikli kol (n = 6). (ii) Eksik srbstlikli kol (n < 6). (iii) Fazla srbstlikli kol (n > 6). Robot kol, tam srbstlikli is, (24) v (28) sayılı dnklmlr, 6 klm dğişkni için çözülür. Çözüm ilişkin hususlardan ilrid söz dilcktir. Robot kol, ksik srbstlikli is, uç noktasının koordinatları v Eulr açıları (P, P 2, P 3 ; 0 t, 0 2, (i) Eklm dğişknlrindn uygun görüln (n - 6) tansi kyfi olarak sçilir; gri kalan 6 tansi, (24) v (28) sayılı dnklmlr çözülrk bulunur. (ii) (24) v (28) sayılı dnklmlrin oluşturduğu kısıtlamaya uyacak biçimd v blli bir kritr gör (örnğin klm harktlrini minimum yapmak üzr) optimizasyon yapılarak klm dğişknlri blirlnir [5]. (24) v (28) sayılı dnklmlrin çözümün glinc göz çarpan ilk husus, bu dnklmlrin gnld bağlaşık v linr olmayan bir sistm oluşturduklarıdır. Bu ndnl, çözüm tk olmadığı gibi, söz konusu robot kolun bazı konumlarında blirsiz duruma da düşmktdir. Bu dnklmlri çözmk üzr, cbirsl ya da sayısal yöntmlr kullanılabilir. Doğal olarak, kullanım kolaylığının yamsıra, çoğul v blirsiz klm konumlarını açıkça göstrmsi bakımından cbirsl çözüm hr zaman trcih dilir. Ancak, cbirsl çözüm, bazı robot kol tiplri için ld dilmmktdir. Böyl bir robot kol için zorunlu olarak sayısal itratif yöntmlrl çözüm ld dilmsin'çalışılır. Cbirsl çözüm ld dbilmk için grkli olmayan ancak ytrli bir koşul, robot kolda kürsl bilk kullanılmış olmasıdır [8]. Kürsl bilğin özlliği, şkil 4'tki Stanford kolunda olduğu gibi, son üç klm ksninin tk bir noktada (bilk noktasında) ksişmsidir. Kürsl bilkli kolların n önmli özlliği, klm dğişknlrinin kol v bilk dğişknlri olarak adlandırılabilck iki gruba ayrılmalarıdır. Kol dğişknlri (ilk n - 3 klm dğişkni), bilk noktasının zmin gör konumunu blirlrlr. Bilk dğişknlri (son 3 açısal klm dğişkni) is, l'in azuv (n - 3)' gör yönlimini blirlrlr. Kürsl bilkli kollarda dnklm (28), yalnızca kol dğişknlrini içrir v dnklm (24)'tn bağımsız hal glir. Dnklm (24) is, kol dğişknlri hr hangi bir biçimd bulunarak vrildiğind, R n - 2 R n _, R n = Rn-3... R 2 R C = C (4) biçimind yazılarak bilk dğişknlrinin (0 p 2, n-ı - ö n) b u l u n m a s ı iç' n kullanılır. Örnğin, 6 srbstlik drcli v kürsl bilkli bir robot kolda, kol dğişknlri dnklm (28) çözülrk; bilk dğişknlri is, dnklm (4) çözülrk bulunur. Kürsl bilkli v 6 srbstlik drcli tipik bir kol, şkil 4't göstriln Stanford tipi robot koldur. Dnklm (28) v (4), bu kol için, dnklm (35) v (36)'dan yola çıkılarak şöyl yazılabilir: 39 - ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 7

d 2 u 2 + (42) U 3 V 2 V 3 6 = = 2 9 2 = 3 Ö ı C = C. (43) Bu dnklmlrdn aşağıdaki skalar dnklmlr ld dilir: d 2 = r 2 r, - r, s 9,, (44.a) d 3 s 9 2 = r 2 s 9, + r, c 9,, (44.b) d 3 c 9 2 = r 3. (44.c) c9 4 s 9 5 = C ı3 s 9, s 9, = C 23 (45. a) (45. b) (45.c) S 9 fi S 9it- C~ (45.d) c 9 6 s 9^= - C 3. (45.) Bu dnklmlrin çözümündn d klm dğişknlri, aşağıdaki gibi bulunurlar: 9, = a, cos ( d 2 / r 2 ) - o, = + vya -, (46) a) Çoğul klm konumları: Bu konumlar, dnklm (46), (48), v (49)'da yr alan o, o 3, v a 5 işart blirsizliklri il göstrilmiştir. Bunlardan o" 3 v G 5, Stanford kolunun fiziksl yapısı ndniyl, uygulamada ancak (+) dğrini alabilmktdirlr. Fakat o hr iki dğrini d alabilir v şu iki farklı kol konumuna yol açar: (i) Sol omuzlu kol: o = +. ', = atan 2 (r,, r^. 0 2 = atan 2 (r 2 s0, + r,c0,, / d 3 = o 3 V (r 2 s0,+ o 3 = + vya -. (49) o 5 = + vya -. (50) 9 4 = atan 2 (G 5 C 23, a 5 CJ. (47) (48) (ii) Sağ omuzlu kol: o = -. b) Blirsiz klm konumları: Bu konumlar, o 6, o 4, v a 2 dğişknlrind ortaya çıkmaktadır. Bu dğişknlri vrn (5), (50), v (47) sayılı dnklmlrd yr alan atan 2 (y, x) fonksiyonunda y v x aynı anda sıfır olursa, ilgili dğişkn blirsiz olur. Buna gör, şu iki farklı blirsiz klm konumu mydana glir: (i) r 2 s9 + c6 = 0 v r 3 = 0 9 6 = atan 2 (o 5 C 32, - o 5 C 3 ). Yukarıdaki ifadlrd, alan 2 (y, x), iki argümanlı arktanjant fonksiyonunu göstrmktdir. Bu fonksiyonla y il x argümanlarının işartlri ayrı ayrı göz önün alınarak ilgili açının bulunduğu çyrk düzlm doğru olarak blirlnir [7]. (46) - (5) dnklmlriyl vriln çözüm, aynı zamanda aşağıda açıklanan çoğul v blirsiz klm konumlarını da göstrmktdir. Bu konumda d 3 = 0 olur v 9 2, hr hangi bir dğri kyfi olarak alabilir. Diğr bir dyişl, d 3 = 0 olunca, 9'nin bilk noktasının yri üzrindki tkisi kaybolur. (ii) sin 9 5 = 0 Bu durum fiziksl olarak 9 5 = 0 ikn ortaya çıkar. 9 C = ± 80 olmasına Stanford kolunun yapısı lvrmz. Bu durumda, hr n kadar 8 4 v 9 fi blirsizlşslr d, ikisinin toplamı yin d blirli bir dğr olarak bulunabilir. Bu amaçla, 9 5 = 0 için dnklm (43), 39 - E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

U3 V 396 = U3( «+ < > = C (52) biçimind yazılır v buradan * * 4 + 6 6 = 6 46 = atan 2 (C 2, C J (53) olarak bulunur. Dnklm (52)'dn d görüldüğü gibi, 9 5 = 0 ikn, 6 4 v 0 6 açıları, aynı ksn trafında oluşan dönüşlr durumuna düştüklri için farklılıklarını yitirirlr v bu ndnl d ayrı ayrı blirlnmzlr. Ancak, ikisindn biri kyfi olarak sçilip diğri onun 6 46 ' ya gör tümlyni olarak bulunur. Diğr bir dyişl, 9 5 = 0 olunca, 6 4 v 8 6 açılarından birinin l'in yönlimi üzrindki tkisi kaybolur. KAY NAKLAR. Asada, H. and J.J.E. Slotin, "Robot Analysis and Control", John Wily, 986. 2. Craig, J.J. "Introduction to Robotics: Mchanics and Control", Addison VVsly, 986. 3. Fu, K.S., R.C. Gonzals, C.S.G. L, "Robotics. Control, Snsing,. Vision, Intllignc". McGraw-Hill 987. 4. Hartnbrg, R.S. and J. Dnavit, "Kinmatic Synthsis of Linkags", McGraw-HİII, 964. 5. Özgörn, M.K., "Optimization of Manipülatör Motions", Procdings of th 2nd CISM-IFTOMM Symposium on Thory and Practic of Robots and Manipulators, Warsaw, Poland, 976. 6. Özgörn, M.K., "Application of Exponntial Rotation Matrics to th Kinmatic Analysis of Manipulators". 7th World Congrss on th Thory of Machins and Mchanisms, Svilla, Spain, 987. 7. Paul, R.P., "Robot Manipulators: Mathmatics, Programming, and Control", Th MİT Prss, 98. 8. Pipr, D., "Th Kinmatics of Manipulators undr Computr Control", Ph.D. Thsis, Stanford Univrsity, 968. 9. Shahinpoor, M., "A Robot Enginring Txtbook", Harpr and Row, 987. 0. VVolovich, W.A., "Robotics: Basic Analysis and Dsing", HRW (Holt, Rinhart, VVİnston), 987.. Özgörn, M.K., "Lctur Nots on Robotics, ME 522 drsinin basılmamış notları, Makina Müh. Bol., ODTÜ. ÖNDER GÜLSOY (2069) NECDET BAKİ (8875) 28.02.932 yılında Turgutlu'da doğdu. İlk v orta ğitimini Turgutlu'da, Lis öğrnimini İzmir'd tamamladı...963 yılında İTÜ Elktrik Bölümündn mzun oldu. 966-68 yıllarında Turgutlu ESHOT işltmsind Müdür olarak görv yaptıktan sonra srbst olarak çalışmaya başladı. Evli v 2 çocuk babası GÜLSOY, aramızdan ayrıldı. 29.0.955 tarihind İzmir'd doğdu. izmir'd tamamladığı ilk v orta ğitimindn sonra Mithatpaşa End. Mslk Lissini bitirdi. 979 yılında A.D.M.M.A. Elktrik Bölümündn mzun oldu. Mzuniytindn itibarn ücrtli olarak özl işyrlrind çalıştı. Evli v çocuk babası Ncdt BAKİ yakalandığı hastalığa ynik düşrk aramızdan ayrıldı. AİLESİNE, Y AKINLARINA VE ODAMIZ TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ. AİLESİNE, Y AKINLARINA VE ODAMIZ TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ. 39 - ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 9