Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü kutuplarının s-karmaşık sayı düzlemindeki dağılımın araştırılması gerekir. Kapalı-döngü sistemlerinin incelenmesi ve tasarımında kapalı-döngü kutuplarının ve sıfırlarının s-düzleminde arzu edilen konumda yerleşimini sağlamak üzere açık-döngü kutuplarının ve sıfırlarının ayarlanması gerekir. Kapalı-döngü kutupları, özyapısal denklemin kökleridir. Bu kökleri bulmak için özyapısal polinomun çarpanlara ayrılması gerekir. Bu ise genelde üçüncü ve daha yüksek dereceden polinomlarda çok zaman alıcı bir işlemdir. Ayrıca açık-döngü kazancı, değişken bir parametre olduğundan polinomun çarpanlara ayırmak için kullanılan klasik teknikler her zaman uygun olmamaktadır. Özyapısal denklemin köklerinin bulunmasından kullanılan bir yöntem ise W.R. Evans tarafından geliştirilmiştir. Kök-yer eğrisi yöntemi adını alan bu grafik teknik, sistem kazancının bir fonksiyonu olarak sisteme ait özyapısal denklemin köklerinin belirlenmesini sağlar. Bu yöntem kapalı-döngü transfer fonksiyonu ile açık-döngü transfer fonksiyonu arasındaki mevcut bağıntıya dayanır. Özyapısal denklemin köklerinin geometrik yeri, genellikle sistem kazancı olan parametrelerin tüm değerleri için s-düzleminde çizilir. Bu parametrenin özel bir değerine karşılık gelen kökler, elde edilen grafiğin üzerinde belirlenir. Genellikle bu parametre sistemin kazanç değeri olmakla beraber, açık-döngü transfer fonksiyonun diğer herhangi bir parametresi de kullanılabilir.
Kapalı-döngü sistemin özyapısal denklemi köklerinin geometrik yerinin çizdiği eğri kazancın sıfırdan sonsuza kadar olan değişimine bağlı olarak elde edilir. Böyle bir eğri ise açık-döngü kutup veya sıfırının kapalı-döngü kutuplarının yerleşimleri üzerindeki paylarını açık bir şekilde gösterir. Kök-yer eğrisi yöntemi kazanç parametreli açık-döngü kutup ve sıfırlarından kapalı-döngü kutuplarının bulunmasını sağlar. Bir doğrusal denetim sistemi tasarımında, kök-yer eğrisi yöntemi çok kullanışlı olmaktadır. Çünkü bu yöntem yoluyla açık-döngü kutupları ve sıfırlarını sistemin başarım isteklerini karşılayacak biçimde değiştirmek mümkündür.
Kapalı-döngü transfer fonksiyonun kutupların bulunması için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir. Kapalı-döngü sistem 1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)= -1 Yukarıdaki denklemde, kapalı-döngü kutupunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki durumu belirler. Burada G(s)H(s) bir karmaşık sayı fonksiyonu olarak açı ve modül olmak üzere iki unsuru vardır. Açı koşulu, G(s)H(s) = 180 (2k+1) (k = 0, ± 1, ± 2,...) (9.3) ± şeklinde ifade edilir. Burada G(s)H(s) in açısı 180 çarpımının tek katlarıdır. Modül (büyüklük) koşulu: G(s)H(s) modülü birim değere eşit olmalıdır. Bu da G(s)H(s) = 1 (9.4) şeklinde gösterilir. Açı ve modül koşullarını sağlayan s değerleri özyapısal denklemin kökleri veya kapalı-döngü kutuplarıdır.
Karmaşık açı koşulunu sağlayan noktaların çizdiği eğri köklerin geometrik yerinin eğrisi veya kısaca kök-yer eğrisidir. Kazancın belirli bir değerine karşılık gelen özyapısal denklemin kökleri ise modül koşulundan belirlenir. Şekil 9.2 Kök-yer eğrisinin çizimi Belli bir sistemin kök-yer eğrisinin çizimi karmaşık düzlemde açık-döngü kutupları ve sıfırlarının bulunması ve bunların karmaşık sayı düzlemine yerleştirmesi ile başlar. Kök-yer eğrisi üzerinde yer alan diğer noktaları bulmak için çeşitli test noktaları bulunur ve bu noktalarının (9.3) nolu denklemle verilen açı koşulunu sağlayıp sağlamadığına bakılır. Karmaşık düzlemde herhangi bir test noktasındaki G(s)H(s) açısı çeşitli kutup ve sıfırlardan bu noktaya olan açıların ölçülmesi yoluyla bulunur. Örnek olarak açık-döngü transfer fonksiyonu aşağıda verilen kapalı-döngü sistemini ele alalım.
Karmaşık düzlemde herhangi bir test noktasındaki G(s)H(s) açısı çeşitli kutup ve sıfırlardan bu noktaya olan açıların ölçülmesi yoluyla bulunur. Örnek olarak açıkdöngü transfer fonksiyonu aşağıda verilen kapalı-döngü sistemini ele alalım.
KÖK-YER EĞRİSİ DİYAGRAMININ KESİŞEN VE KESİŞMEYEN KOLLARI, GENEL BİÇİMİ VE BASKIN KARAKTERLİ KOLLARI Bundan önceki bölümlerde ve ele alınan çeşitli örneklerde kökyer eğrisinin genellikle birden fazla kolu olan kök-yer eğrileri diyagramından ibaret olduğunu gördük. Bu kollar üzerinde köklerin yeri ise bir sistem parametresine göre değişim gösterir. Örneğin gerçek kökler gerçek eksen üzerinde yer alan kolların durumunu vermektedir. Benzer şekilde karmaşık sayı düzlemi içinde yer alan karmaşık eşlenik köklerin yerini de kök-yer eğrisinin karmaşık sayı düzleminde yer alan kol çiftlerini verir. Sisteme ait bir 's' değerinin kök-yer eğrisi üzerinde yer alabilmesi için bu değerin (9.3) nolu denklem ile verilen açı koşulunu sağlaması gerekir. Eğer ele alınan bu noktada dw(s)/ds= 0 ise bu noktadan geçen yalnızca bir tek kök-yer eğrisi kolu bulunabilir. Diğer bir deyişle böyle bir nokta üzerinde kök-yer eğrisi kolları kesişemez. Burada W(s), 1+KG(s)H(s)=0 özyapısal denklemde kazanç katsayısının çekilmesiyle elde edilen fonksiyondur. G(s)H(s) = 180 (2k+1) (k = 0, ± 1, ± 2,...)
Eğer kök-yer eğrisi üzerinde verilen bir noktada W(s) fonksiyonun ilk (y-1) nci türevi sıfır değerini alıyorsa bu noktaya giden ve bu noktadan ayrılan "y" adet kök-eğrisi kolu bulunur. Dolayısıyla kökyer eğrileri bu noktada kesişirler. Bu noktaya giden iki komşu kol arasında açı formülü, şeklinde verilir. Benzer şekilde noktaya giden ve noktadan ayrılan iki komşu kol arasındaki açı ise 180 θ y = ± y