8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

Transkript

1 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye çizilen yönlü doğru parçası ile gösterilir ve O: başlangıç noktası, P: bitim noktası olarak adlandırılır. Diğer yandan, yönlü doğru parçasıyla bir matrisini eşleştirebileriz. 8.1.Tanım: Düzlemde bir vektör; 2x1 boyutlu bir matrisidir. Burada reel sayılardır ve in bileşenleri olarak adlandırılır. Bir vektör bir matris olduğundan eğer ve ise vektörlerine eşittir denir. Fiziksel uygulamalarda, noktasından noktasına bir yönlü doğru parçasına düzlemde bir vektör denir. noktası başlangıç ve bitim noktasıdır. vektörü aynı zamanda vektörüyle de gösterilebilir. Her vektörüyle bir noktasını eşleştirebiliriz. Tersine her noktasıyla bir ve yalnız bir vektörünü eşleştirebiliriz. 8.2.Tanım: x-ekseni düzlemde iki vektör olsun. ve vektörlerin toplamı olur. 1

2 8.3.Tanım: bir vektör ve c bir skalar ise, nun c ile vektörüdür. Eğer c>0 ise aynı yöndedir, diğer yandan, d<0 ise ters yöndedir. vektörüne sıfır vektörü denir ve 0 ile gösterilir. Eğer herhangi bir vektör ise olduğu açıktır. Aynı zamanda olduğunu gösterebiliriz ve vektörünü olarak yazarız ve u nun negatifi deriz. Ayrıca ifadesini olarak yazarız ve u ile v arasındaki fark olarak adlandırırız Uzayda vektörler Uzaydaki her bir P noktasını, reel sayılardan oluşan ve o noktanın koordinatları olarak adlandırılan bir sıralı üçlüsüyle eşleştirebiliriz. Tersine reel sayılardan oluşan her bir üçlüyü uzayda bir noktaya eşleştirebiliriz. koordinatalarına sahip P noktası yada kısaca ile gösterilir. Uzaydaki bu tüm noktaların kümesi 3-uzay olarak adlandırılır ve şeklinde gösterilir. Uzayda bir vektör yada kısaca vektör şeklinde 3x1 tipinde bir matristir. Burada reel sayılardır ve in bileşenleri olarak adlandırılır. Eğer karşılıklı bileşenleri eşitse uzayda iki vektöre eşittir denir. noktasından noktasına yönlendirilmiş bir doğru parçası vektör olarak adlandırılır. noktası başlangıç ve noktası bitim noktasıdır. Böyle bir vektörün bileşenleri ve dir. Eğer ve de vektörler ve c bir skalar ise toplamı ve skalar çarpımı sırasıyla ve şeklinde tanımlanır. de sıfır vektörü dır ve 0 şeklinde gösterilir. 0 vektörü, deki bir vektörü için özelliğini sağlar. vektörün negatifi olur ve dır Teorem: ve, veya, de tanımlı vektörler, c ve d reel sabitler ise 2

3 i. u+v=v+u ii. u+(v+ w)=(u+v)+w iii. u+0=0+u=u iv. u+(-u)=0 v. c(u+v)=cu+cv vi. (c+d)u=cu+du vii. c(du)=(cd)u viii. 1u=u ifadeleri geçerlidir Vektör uzayları 8.4.Tanım: Bir vektör uzayı, V üzerinde tanımlı ve işlemler ile birlikte aşağıdaki özellikleri sağlayan elemanların kümesidir: 1.Eğer ve, nin herhangi iki elemanı ise de nin elemanıdır. i. V deki her ve için. ii. V deki her ve için. iii. V deki her için olacak bir elemanı bulunur. iv. V deki her için olacak bir elemanı bulunur. 2. c reel sayı ve u, V nin herhangi bir elemanı ise da nin elemanıdır. v. Herhangi bir c reel sayısı ve V deki her u ve v için. vi. Herhangi iki c ve d reel sayıları ve V deki her u için vii. viii. Herhangi iki c ve d reel sayıları ve V deki her u için V deki her u için iii. özellikteki 0 vektörüne sıfır vektör denir. iv. özellikteki vektörüne nun negatifi denir. 1.Ö.: nx1 tipindeki reel elemanlı [ ] şeklindeki tüm matrislerin kümesi olan yi düşünelim. Şimdi işlemi matris toplamını ve işlemi de matrisin bir reel sayıyla çarpımını göstersin. Matrisin işlemlerinin özelliklerine göre bir vektör uzayıdır. Onun elemenlarına vektör denir. 2.Ö.: mxn tipindeki bir matrisin bir reel sayı ile çarpımı alındığında, tüm mxn matrislerin kümesi bir vektör uzayı olur. Bu vektör uzayını ile gösteririz. 3.Ö.: işlemini reel sayıların bilinen toplamı ve işlemini de reel sayıların bilinen çarpımı olarak kabul edersek, tüm reel sayıların kümesi bir vektör uzayıdır. 3

4 4.Ö.: Polinomlar. Bir polinom (t cinsinden) şeklinde ifade edilen bir fonksiyondur. Burada reel sayılardır ve n negatif olmayan bir tamsayıdır. Eğer ise p(t) ye n dereceye sahiptir deriz. 0 ile gösterilen sıfır polinomunun bir derecesi yoktur. Şimdi sıfır polinomunu içeren ve derecesi olan tüm polinomların kümesi olsun. Eğer p(t) ve q(t), de iseler ve şeklinde yazabiliriz. yi şöyle tanımlarız: Eğer c bir skalar ise,. yi şöyle tanımlarız: bu işlemlere göre bir vektör uzayıdır. 5.Ö.: V, R üzerinde tanımlı reel-değerli ve sürekli fonksiyonların kümesi olsun. Eğer f ve g, V nin elemanı ise, işlemi şeklinde tanımlanır. Eğer f ve g, V nin elemanı ve reel sayı ise, şeklinde tanımlanır. V bir vektör uzayıdır ve şeklinde gösterilir. 6.Ö.: V, üzerinde ( bilinen çıkarma), ( bilinen çarpma) tanımlı tüm reel sayılar kümesi olsun. Bu bir vektör uzayı mıdır? 8.2. Teorem: Eğer V bir vektör uzayı ise bu taktirde, i. V deki herhangi bir u vektörü için ii. Herhangi bir c skaları için iii. Eğer ise c=0 veya u=0 dır. iv. V deki herhangi bir u vektörü için dır. 8.4 Alt uzaylar 8.5.Tanım: V vektör uzayı ve W, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer W. V deki işlemlere göre bir vektör uzayı ise, o zaman W, V nin bir alt uzayı olarak adlandırılır. 7.Ö.: Her vektör uzayı, kendisi ve sadece sıfır vektöründen oluşan {0} alt uzayı olmak üzere en az iki alt vektör uzayına sahiptir. {0} alt uzayı sıfır alt uzayı olarak adlandırılır. 8.Ö.: derecesi olan tüm polinomlar ve sıfır polinomunun oluşturduğu bir küme olsun. tüm polinomlarin vektör uzayı olan P nin bir altkümesidir. P nin bir altuzayıdır. 9.Ö.: derecesi olan tüm polinomlar bir küme olsun. P nin bir altkümesidir. Ancak ve polinomların toplamı birici dereceden bir polinom olduğu için V de olmadığından, V, P nin bir altuzayı değildir Teorem: V, ve işlemleriyle birlikte bir vektör uzay ve W, N nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. O zaman, W nin V ye ait bir alt uzay olması için gerek ve yeter şart aşağıdakilerin sağlanmasıdır: i. Eğer u,v, W de herhangi vektörler ise ii. Eğer c herhangi bir reel sayı ve u, W de herhangi bir vektör ise 4

5 10.Ö.: herhangi reel sayılar olmak üzere te şekilindeki vektörlerin kümesi W olsun. W, nin bir alt uzayıdır. 11.Ö.: Bir V vektör uzayında ve sabit iki vektör ve keyfi reel sayılar olmak üzere W, V deki formündeki vektörlerin kümesi olsun. W, V nin bir alt uzayıdır. 8.6.Tanım: V de k tane vektör, olsun. Bazı, reel sayılar için ise vektörüne, vektörlerin lineer birleşimidir denir. 12.Ö.: te olsun. vektörü olacak şekilde, reel sayılar bulunabilirse vektörlerinin lineer birleşimidir. Cev:, 8.7.Tanım: bir V vektör uzayında vektörlerin bir kümesi ise S deki vektörlerin bütün lineer birleşiminden oluşan V deki vektörlerin kümesi Sp S veya { } ise gösterilir. 13.Ö.: 2x3 matrislerin { } şeklinde verilen S kümesi gözönüne alalım. Bu durumda olmak üzere reel sayılar formundaki matrislerin tamamının kümesidir Teorem: V deki vektörlerin bir kümesi olsun. O zaman SpS, V nin bir alt uzayıdır. 14.Ö.: de olsun. vektörünün { } e ait olup olmadığını karar veriniz. Ç.: 5

6 Elementer satır işemleriyle ilaveli matris eşelon forma getirilir ve çözümünün olmadığı görülür te doğrular te sıfırdan farklı bir v vektörü ise orijinden geçen ve v vektörüne paralel olan bir doğrusu, konum vektörü olan ve denklemi sağlayan noktalarından oluşur. doğrusu in bir alt uzayıdır. te bir nokta ve ın yer vektörü ise dan geçen ve v ye paralel olan doğrusu denklemi ile verilen ve yer vektörü olan noktalarından oluşur. Bu denklem herhangi bir reel sayıyı temsil eden t parametresini içerdiğinden buna nin parametrik denklemi adı verilir. Denklem, bileşenler cinsinden şeklinde yazılabilir. 15.Ö.: noktasından geçen vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemler olur. 16. Ö.: ve noktalarından geçen doğrusunun parametrik denklemlerini bulunuz. Ç.: = 6

7 8.KONU: Ödevler 1., olsun. i. ii. iii. olacak şekilde r ve s yi bulunuz. 2.,,, olsun. i. ii. iii. olacak şekilde r, s ve t yi bulunuz. 3. Eğer p(t) ve q(t), de iseler, yanı ve için Eğer c bir skalar ise, olduğuna göre nin bu işlemlere göre bir vektör uzayıdığını gösteriniz. 4. V, R üzerinde tanımlı reel-değerli ve sürekli fonksiyonların kümesi olsun. Eğer f ve g, V nin elemanı ise, işlemi şeklinde tanımlanır. Eğer f ve g, V nin elemanı ve reel sayı ise, şeklinde tanımlanır. V nin bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz. 5. Vektör uzayının sadece bir tane sıfır vektörü olduğunu ispatlayınız. 6. Aşağıdaki verilen vektörlerden hangileri vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade edilir: i. ii. iii. iv. 7. Vektor uzayının her bir v vektörü için olduğunu ispatlayınız. 8. V deki vektörlerin bir kümesi olsun. O zaman SpS, V nin bir alt uzayı olduğunu gösteriniz. 9. Verilen in alt kümelerinden hangileri alt uzaydır? i. olmak üzere, ii. ve olmak üzere, iii. ve olmak üzere, iv. ve olmak üzere, 10. Aşağıdaki verilen noktalardan geçen doğrunun parametrik denklemlerini bulunuz i. (2,-3,1), (4,2,5) ii. (-3,-2,-2), (5,5,4) 7