En Yüksek Olabilirlik Yöntemi. İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen bir olasılık dağılımı ile tanımlanırlar.

En Yüksek Olabilirlik Yöntemi İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen bir olasılık dağılımı ile tanımlanırlar. Basit(sıradan) en küçük kareler yöntemi, özünde olasılık dağılımları ile ilgili herhangi bir varsayım içermez. Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek başına bir işe yaramaz. BEK, genel bir tahmin yaklaşımından çok regresyon doğrularını bulmada kullanılabilecek bir hesaplama yöntemi olarak görülmelidir.

BEK yönteminden daha güçlü kuramsal özellikler gösteren bir başka nokta tahmincisi EYO, yani en yüksek olabilirlik (maximum likelihood) yöntemidir. En yüksek olabilirlik yönteminin ardında yatan temel ilke şu beklentidir: Rassal bir olayın gerçekleşmesi, o olayın, gerçekleşme olasılığının en yüksek olay olmasındandır. Bu yöntem, 90 li yıllarda Ingiliz istatistikçi Sir Ronald A. Fisher (890-96) tarafından bulunmuştur. Ki-kare testi, bayesgil yöntemler ve çeşitli ölçüt modelleri gibi birçok istatistiksel çıkarım yöntemi, temelde EYO yaklaşımına dayanmaktadır.

EYO yöntemini anlayabilmek için, elimizde dağılım katsayıları bilinen farklı anakütleler ve rassal olarak belirlenmiş bir örneklem olduğunu varsayalım: Bu örneklemin farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve bazı ana kütlelerden gelme olasılığı diğerlerine göre daha yüksektir. Elimizdeki örneklem, eğer bu anakütlelerden birinden alınmışsa, alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır diye düşünülebilir.

Kısaca:. Anakütlenin olasılık dağılımı belirlenir veya bu yönde bir varsayımda bulunulur.. Eldeki örneklem verilerinin, hangi katsayılara sahip anakütleden gelmiş olma olasılığının en yüksek olduğu bulunur. YALTA (007 008 Ders Notları) 4

Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olabilirlik Tahminleri Y b + b i b i Y = b + b + u modelinde katsayıların en yüksek olabilirlik tahminleri yapılmadan önce modelde hata terimi olmadığını ifade edelim. Nokta ile gösterilen yerde Y değerine karşılık gelen değerinin i değerine eşit olduğu görülmektedir. 5

Y b + b i b Eğer modele hata terimini eklersek hataların belli bir ortalama ve varyansa bağlı olarak normal dağıldığını varsayabiliriz. i 6

Y b + b i b Şekilde gösterilen dağılış hata teriminin önceden tahmin edilen dağılışıdır. Gerçekte hata teriminin dağılışının belli bir değere bağlı olarak modelde normal dağıldığını varsayabiliriz. i 7

Y b + b i b i Ayrıca yatay eksene göre bakıldığında; şekilde gösterilen dağılış = i durumunda Y nin tahmini dağılımını da ifade etmektedir. 8

Y b + b i b i Y değeri b + b i e yaklaştıkça göreceli olarak daha yüksek yoğunluğa sahip olmaktadır. 9

Y b + b i b i Bununla birlikte b + b i den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır. 0

Y b + b i b Y i nin ortalama değeri b + b i ve hata terimlerinin standart sapması da s, olduğunu varsayarsak. i

Y f ( Y i ) e Y i i b + b i b i Y i lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları f(y i ) fonksiyonu ile ifade edilebilir.

İki Değişkenli Basit Regresyon Modelinin En Yüksek Olabilirlik Yöntemi İle Tahmini Tek denklemli ekonometrik modellerin tahmininde EKKY dışında kullanılan alternatif yöntem En Yüksek Olabilirlik Yöntemidir. Büyük örneklerde her iki yöntemde yakın sonuçlar vermektedir. Küçük örneklerde ise EYOBY de s e / n olup sapmalıdır. EKKY de ise s e / n sapmasızdır.

EYOBY nin regresyon modeline uygulanışı şöyledir: Y i b b i u i Y bağımlı değişkeninin E( Yi ) b b i ortalamalı var( Y i ) s varyanslı normal ve Y i değerlerinin bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yani Y i N(b b,s i ) () 4

Bu ortalama ve varyansla Y i nin Y, Y,,Y n değerlerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir: f ( Y, Y,..., Yn b b i, s ) Y ler birbirinden bağımsız olduğundan, bu bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, n tane bireysel yoğunluk fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabilecektir. (Y,Y,...,Y b b,s ) f (Y b b,s ).f (Y b b,s ) n i...f (Y n b b n,s ) () () deki f(y i ), () deki ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk fonksiyonu olup şöyle ifade edilir: 5

) ( Y i i Y i e f... ) (... ) ( Y n n Y n e e Y f Y f () () ü () deki her Y i yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: (4) (4) de Y i ler bilindiğinde ve b,b ve s ler bilinmediğinde (4) ifadesine en yüksek olabilirlik fonksiyonu adı verilir ve L(b,b,s) şeklinde gösterilir. Ortak yoğunluk fonksiyonları her bir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına eşittir. 6

Y β β Yn β βn σ σ n L β,β,σ Y,...,Y e... e σ π σ π L,, Yii ( ) e n n ( ) En yüksek olabilirlik yöntemi bilinmeyen b i parametrelerinin, verilen Y nin gözlenme olasılığının ençok(maksimum) olacak tarzda tahmini esasına dayanır. Bu sebepten b lerin EYOBY ile tahmin için (5) fonksiyonunun maksimumunun (5) araştırılması gerekir. Bu türevdir, türev için en kısa yol alınmasıdır. (5) in log. nın 7

Y Y n n e... e ln lnl i Y ln n ln n L ln 0 Y * lnl i 0 Y * lnl i i i i i n Y i i i i Y 8

4 i Y ** n lnl 0 Y n lnl i n Y i 9

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ t testi F testi Diğer testler: Chow testi MWD testi DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ Benzerlik Oranı Testi Lagrange Çarpanı Testi Wald Test 0

DOĞRUSAL SINIRLAMALAR Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir. Tüketim ve tasarruf eğilimlerinin toplamı, Coubb-Douglas modelinin katsayılarının toplamının ölçeğe göre sabit getiri olması için bire eşit olması gibi durumlarda doğrusal birleşimler söz konusu olabilir. Benzer şekilde bazı katsayıların birbirine eşitliği veya farklı doğrusal birleşimlerinin varlığı da arzu edilebilir. Bu tür sınırlamalara doğrusal sınırlamalar denir.

Regresyon modeli, İ i Y 5 5 4 4 4 4 ve sınırlama, olsun. Bu durumda, olacağından, İ i Y 5 5 4 ) ( İ i Y 5 5 4 4

İ i Y 5 5 4 4 ) ( ( 4 ) Y İ ( 4 ) olacak ve model ve için ve tanımlaması yapılırsa, * Y * İ Y 5 5 * * olarak tahmin edilecektir. Katsayıların birbirine eşitliği de doğrusal sınırlamadır. Aynı modelde sınırlama olursa, İ i Y 5 5 4 4 modeli,

* İ tanımlaması ile model, İ i i Y 5 5 4 4 * olarak tahmin edilir. olarak incelenebilir. Burada, İ i Y 5 5 4 4 ) ( 4

DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için t ve F testleri kullanılabilir. t TESTİ Katsayıların anlamlılığının veya belirli bir değere eşitliğinin söz konusu olduğu durumda açıklanan t testi, doğrusal sınırlamaların testi için de benzer bir şekilde kullanılır. Doğrusal sınırlama türlerinin gösterdiği farklılığa bağlı olarak t testinin uygulanması da farklılıklar gösterir. Sabit değer sınırlamasında katsayılardan birinin belirli bir değere eşit olması söz konusu olduğunda yapılacak t testi katsayıların belirli bir değere eşit olmasının testi ile aynıdır. 5

Regresyonun orijinden geçip geçmediği test edilmek istendiğinde ise, sabit katsayının anlamlılığın yani sıfırdan farklı olup olmadığının test edilmesi gerekecektir. Sabit değer kısıtlaması birden fazla parametre için geçerli ise, t testi her biri için ayrı ayrı uygulanacaktır. Test işlemleri sınırlandırılmamış model ile yapılacaktır. İki parametrenin birbirine eşit olması, toplamlarının veya farklarının belirli bir değere eşit olması şeklinde bir sınırlama söz konusu ise, yani veya 0 sınırlaması veya örneğin veya sınırlaması test 0 edilecekse hipotezler daha önce açıklandığı gibi oluşturulur. Test istatistiği ise eşitlik için, t ( olacak ve ) ( ) s test edildiğinden 6

), ( Cov s s s olarak tahmin edilir. Toplamlar veya farklar söz konusu olduğunda test istatistiği, örneğin durumu için, ) ( ) ( s t ve ) ( s t ve s t olacaktır.burada, 7

s Cov(, s s ) olacaktır. Diğer işlemler daha önce açıklandığı gibi yapılacaktır. 8

Uygulama: Türkiye nin 980-000 yılları arasında elde ettiği turizm gelirlerini (TG) incelemek amacıyla Türkiye ye gelen turist sayısı (TS) ve turizm yatırımları (TY) değişkenleri ile tam logaritmik model elde edilmiştir. Bulunan bu modelde turist sayısına ilişkin parametrenin turizm yatırımlarına ilişkin parametre ile eşit olduğunu sınayınız. LN(TG) = -.406+.888LN(TS)+.4LN(TY) s(b i ) = (0.77) (0.5) (0.5) t = (-4.078) (4.85) (.5) prob = [0.0000] [0.0000] [0.0000] F hes = 46.68 prob [0.0000] R=0.9777 e t 0.704 Cov( ) 0.4 9

0) ( : 0 H 0) ( H.74.05;8 t 0 ) ( ) ( s t.7 0. 0.4) (.888 t 0. (0.4) (0.5) (0.5) s 0

t hes =.7 > t tab =.74 H 0 reddedilir. Sınırlama geçerli değildir. Parametrelerin birbirine eşit olduğu söylenemez.( )

F TESTİ Doğrusal sınırlamaların testi için sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin tahmin edilmesi gereklidir. Bu test yapılırken sınırlama sayısı önemli değildir. Test söz konusu olan sınırlamaların geçerli olmaması halinde modellerin açıklandığı değişim miktarlarının aynı olacağı mantığına dayanmaktadır. Diğer bir ifade ile söz konusu olan sınırlamalar geçerli ise sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modeller tarafından bağımlı değişkendeki değişmelerin açıklanma miktarları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olacaktır.

Test için açıklanmayan değişme, yani artıkların kareleri toplamı kullanılabilir. Sınırlandırılmış modelin artıklarının kareleri toplamı kareleri toplamı e R e U ve sınırlandırılmamış modelin artıklarının ile ifade edilirse F test istatistiği, F ( e t e R t U e t U /( n k u ) / c olarak hesaplanacaktır. Burada, ) c k U k R

ve test istatistiğinin dağılımı c ve (n- k U ) serbestlik dereceli F dağılımıdır. F test istatistiği R değerleri ile, F ( RU RR ) / c ( R ) /( n k) U veya F ( RBD RBD ) / c U R ( HBD ) / ( n k) U olarak da hesaplanabilir. 4

Kimya Sanayii dalında faaliyet gösteren 5 firmanın üretimleri (Y), emek girdileri( ) ve sermaye girdileri ( ) aşağıdaki gibidir. Firma Üretim(bin ton) Emek(saat) Sermaye(makine saati) 60 00 00 0 00 400 90 40 40 4 50 00 400 5 00 50 50 6 60 60 590 7 80 800 600 8 40 80 60 9 440 800 60 0 490 750 60 500 950 850 50 960 900 540 80 980 4 40 900 900 5 50 500 800 5

7. b b Y b log Y 6.700.790log 0.668log 0.95 R u n=5, k= Bu üretim fonksiyonu sınırlanmamış modeldir, zira b parametrelerine sınır konmamıştır. Şimdi b + b = sınırlamasını koymak isteyelim.. Aşama:. Aşama: H H 0 : b : b 0.05 b b anlamlılık seviyesi ve f =c= sınırlama, f =n-k=5-= sd. lerinde F tab =4.75

. Aşama: R =0.95 Sınırlandırılmamış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısıdır. Sınırlandırılmış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısı; R R? Bunu bulabilmek için sınırlandırılmış üretim fonksiyonunu belirleyip EKKY ile tahmin etmeliyiz, yani sınırlandırılmış EKKY yı uygulamalıyız. Şöyleki; yukarıdaki sınırlandırılmamış orijinal üretim fonksiyonu; lny b b ln b ln u göre H 0 hipotezi sınırlaması b + b = i dikkate almak için b b veya b b alınmalıdır. Biz sonuncusunu alalım: veya ln Y b b ( b ln )ln b (ln b ln ln u ) u 7

ln Y ln Y veya ln ln( ln ln Y Y ) b b b b b ln b b (ln ln b ln( b ln( Y / ) b b ln( / ) u Burada Y/, üretim/emek oranı; /, sermaye/emek oranı olup, iktisadi yönden önemlidir. İşte b ve b ün denklemden EKKY ile tahmini sınırlandırılmış EKKY adını alır. b ü bu yöntemle bulduktan sonra b =-b den b yi bulabiliriz. Üretim fonksiyonu için yani sınırlandırılmış EKKY tahmin sonuçları şöyledir: ln( Y / ) 0.76067.7976ln( ) ln ln s( b i ) (0.4407080) (0.409) R R Şimdi formül uygulanabilir, / u ln ) ) b 0.40 u ln u u 8

F hes (0.95 0.40) / ( 0.95) / 7.5 4. Aşama: %5 ve %0 önem düzeyinde, F hes =7.5 > F tab =4.75 H 0 reddedilir. Yani sabit verimlilik reddedilir. Yani ilgili dönemde ^ b ^ b.0889 değeri %5 ve %0 anlamlılık seviyesinde.0889 un den farklı olduğu kabul edilir. Buradan, istatistik testlerden anlamlılık seviyesinin tespitinin, testi gerçekleştirmeden önce yapılması gerektiği sonucu çıkmaktadır. Sınırlı EKKY tahminlerinden ^ b.7976 0.7976 olacaktır. ^ b.7976 bulunduğuna göre 9

Yapısal Kararlılığın Sınanması.-0. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır. 40

Yapısal Kararlılığın Sınanması HKT =8,90 HKT =0,487 HKT =55,006.-0. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır. 45

Chow Sınaması.-0. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır. 46

Chow Sınaması Verilen varsayımlar altında Chow sınaması şöyle yapılır. Birinci modelden sd si (n k) olan HKT bulunur. İkinci modelden sd si (n k) olan HKT bulunur. İki bağlanıma ait hata terimleri bağımsız kabul edildiği için, HKT R =HKT +HKT olarak hesaplanır. Tüm gözlemlerin kullanıldığı. model tahmin edilir ve HKT yada HKT U bulunur. Yapısal değişim yoksa HKT R ve HKT U istatistiksel olarak farklı olmamalıdır. Sınırlamalar için şu istatistik kullanılır. HKT U HKT R / k F Fk, n n k HKT / n n k R.-0. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır. 47

Chow Sınaması 6.-0. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır. 48

Chow Sınaması HKT HKT HKT HKT R.-0. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır. 49

Regresyon Modelinin Fonksiyonel Biçiminin Test Edilmesi (MWD) Bir doğ-doğ regresyon modeli ile log-log regresyon modelinden hangisinin tercih edileceğine karar vermek için MWD testini kullanabiliriz. Y a a a u () lny b b ln b ln v () H 0 : Doğ-doğ model geçerlidir H : Log-log model geçerlidir. 50

. ADIM: nolu model (doğ-doğ) model tahmin edilir. Y ( doğ ). ADIM: nolu model (log-log) model tahmin edilir. lnŷ Y ( doğ ). ADIM:. adımdaki değerlerinin log. lny( doğ) 4. ADIM: Z i lny( doğ) lny 5.ADIM: 4.adımda elde edilen Z değişkeni nolu modeldeki doğrusal regresyon modeline bağımsız değişken olarak eklenir. Z değişkeninin katsayı tahmini istatistiksel olarak anlamlı ise H 0 red edilir. 5

UYGULAMA: year and quarter Y 97 III,484.6.49 IV 9,48.54.85 97 I 8,49.07 4.06 II 0,079.9.64 III 9,40.7. IV 8,86.77.66 97 I 6,6.59.76 İzmir ilinde 97(III)-975(II) üçer aylık dönemlerinde onikişer adetlik demet gül talebi (Y), demet gülün fiyatı ( ) ile ikame mal olarak bir demet karanfilin fiyatı ( ) değişkenlerine ait veriler yan tabloda verilmiştir. II 8,5..49 III 8,08.6. IV 7,476.89. 974 I 5,9.77.65 II 7,950.64.6 III 6,4.8.94 IV 5,868.96. 975 I,60 4.4.58 II 5,87.69.5

UYGULAMA: İzmir ilinde 97(III)-975(II) üçer aylık dönemlerinde onikişer adetlik demet gül talebi incelenmiştir. Demet gül talebi Y bağımlı değişken, bir demet gülün fiyatı ve ikame mal olarak da bir demet karanfilin fiyatı bağımsız değişken olarak modele alınmıştır. Bu model hem doğ-doğ hem de log-log model olarak tahmin edilmiştir. Hangi model tercih edilmelidir? Doğ-doğ model: Y 974.6 78.9 85.5 R = 0.776 Log-log model: ln Y 9.78.7607ln.98ln R = 0.79 5

Z i değişkeni ile birlikte tahmin edilen doğrusal model Y 977.56 78.06 87.7 85.Z i t (.78) (-6.7) (.866) (0.007) R = 0.7707 H 0 : Doğ-doğ model geçerlidir H : Log-log model geçerlidir. t tab = t n-k = t, =0.05 =.79 t hes < t tab H 0 reddedilemez. 54

UYGULAMA: Bir ekonomideki para talebi modelinde M D = Talep edilen para miktarı, Y = Milli Gelir, L = (para dışındaki) likit Akifler stoku( tasarruflar, vadeli mevduat gibi) değişkenleri yer almaktadır. 960-997 dönemi verileri ile bir ülke için şu tahmin edilmiştir. MD 0.00 0.6i 0.5Y 0.67L s(b ) 0.009 0. 0.0 0.0 i i y 0.90 R 0.579 Daha sonra bu değişkenlerle tam logaritmik model oluşturulmuştur. ln MD 0.4.5ln i.98 ln Y 0.47 ln L s(b ) 0.59 0. 0.9.56 i yi 0. R 0.4 Doğrusal modelin doğru model olduğu hipotezini test etmek için aşağıdaki model kurulmuştur. Gerekli hipotezleri kurup %5 önem seviyesinde hangi modelin tercih edileceğini söyleyiniz. M 0.0 0.08 i 0. Y 0.68 L.84Z s(b ) 0.004 0.006 0.004 0.5 0.64 D i i y 0.09 R 0.495 55

UYGULAMA:.Adım:H 0 : Dog-dog model geçerlidir. H : Log-log model geçerlidir..adım: z değişkeninin t değeri.84 thes 7.5 0.64.Adım: t tab = t 8-5=,=0.05 =.04 4.Adım: t hes > t tab H 0 reddedilir. Log-log model geçerlidir 56

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR Bazı durumlarda sınırlamaların yapısı doğrusal olmaz. Bu durumda doğrusal sınırlamalardan farklı olarak modellerin tahmininde problemlerle karşılaşılır. Parametreler klasik en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilemeyebilirler. Y Regresyon modelinin, i i i 4 i4 İ olduğunu ve katsayılar ile ilgili sınırlamanın varsayalım. Bu durumda, 4. 4 olduğunu 57

İ i i i i Y 4 olacaktır. Bu model doğrusal olmayan bir modeldir. Model parametreleri, en küçük kareler veya farklı bir yöntemle tahmin edilecektir. olacağı model, 58

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ Gerçekte doğrusal olmayan modeller için söz konusu olan doğrusal olmayan sınırlamalar için kullanılacak testlerde, bu tür modellerin tahmincilerinin dağılımı normal dağılım olmadığından farklı olacaktır. Sınırlamalar için Benzerlik Oranı testi (LR), Wald testi (W) ve Lagrange Çarpanı testi (LM) kullanılır. Bu testler sadece doğrusal olmayan sınırlamalar için geçerli olmayıp, doğrusal sınırlamalar için de geçerlidir. Ancak doğrusal sınırlamalar için açıklanan testlerin gerçekte doğrusal olmayan modeller için kullanılması söz konusu değildir. 59

BENZERLİK ORANI TESTİ Benzerlik oranı testi için adından da anlaşılacağı gibi benzerlik fonksiyonu kullanılır. Test için sınırlandırılmış modelin tahmini de yapılır ve logaritmik benzerlik fonksiyonunu eğiminin sıfır veya sıfırdan farklı olması durumuna göre sınırlamaların geçerli olup olmayacağına karar verilir. Sınırlandırılmış modelin logaritmik benzerlik fonksiyonunu L R, sınırlandırılmamış modelin logaritmik benzerlik fonksiyonu L U ile ifade edersek test istatistiği, LR ( L R LU ) olarak hesaplanır. LR test istatistiğinin dağılımı c serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. c sınırlama sayısıdır. Temel hipotez sınırlamaların geçerli olduğunu,alternatif hipotez ise 60 sınırlamaların geçerli olmadığını ifade eder.

LR test istatistiği hata payı ve c serbestlik derecesi ile ki-kare tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. LR tablo değerinden büyükse H 0 hipotezi reddedilir, sınırlamalar geçersizdir. Aksi söz konusu ise sınırlamalar geçerlidir. LR test istatistiği sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin artıklarının karelerinin toplamı ile LR e t R nlog e et U veya sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin belirlilik katsayısı ile, LR nlog e R R R U olarak da hesaplanabilir. 6

LAGRANGE ÇARPANI TESTİ Bu test Lagrange fonksiyonuna ve sınırlandırılmış modelin tahminine dayanarak yapılır. Büyük örnekler için LM e t e R e / n t R t U olarak hesaplanır ve test istatistiğinin dağılımı c (sınırlama sayısı) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. LM test istatistiği R değerleri ile, LM ( R ( U R hesaplanabilir. R RR ) ) / n Doğrusal sınırlamalar söz konusu olduğunda test istatistiği, 6

LM nr olarak hesaplanabilir. Hipotezler ve hipotezin kabul kararı benzerlik oranı testinde açıklandığı gibidir. LM testi F testi gibi bağımsız değişken katsayılarının tümünün anlamlılığını test etmek için kullanılabilir. Bu durumda test istatistiği sınırlandırılmamış modelin belirlilik katsayısı kullanılarak R U LM nr U hesaplanır. LM test istatistiğinin dağılımı test edilen parametre sayılı (k-) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. 6

WALD TESTİ Testte, sınırlandırılmamış modelden tahmin edilen varyans kullanıldığından sınırlandırılmamış modelin tahminini gerektirir. Birden fazla sınırlama test edilebilir. Sınırlama sayısı c ile ifade edilebilir. Wald test istatistiği, W e t e R e / n t U t U olarak hesaplanır. Wald test istatistiği R değerleri ile, W ( RU R ( R ) / U R ) n hesaplanır. 64

Sınırlama sayısı c= olduğundan ki-kare tablosunda serbestlik derecesi ile tablo değeri bulunarak benzerlik oranı testinde olduğu gibi karar verilir. Aynı modelde aynı kısıtlamalar için Lagrange çarpanı, Benzerlik oranı ve Wald testleri hesaplandığında, LM LR W ilişkisi görülür. 65

Uygulama: Mayıs 00-Mart 00 dönemi için faiz oranları (FAİZ), enflasyon açığı (EACIK), üretim açığı (URETİMACIK), bir dönem önceki faiz oranı (GFAİZ) ve döviz kuru açığı (DKACIK) değişkenleriyle model tahmin edilmiştir. Daha sonra döviz kuru açığının yer almadığı modeli ele alarak sınırlama testlerinden F, LR, LM ve W testleri ile hangi model ile çalışılacaktır. 66

Y t =β +β GFAİZ β DKAÇIK+β 4 EAÇIK+β 5 ÜRETİMAÇIK+u t H H 0 : : 0 0 R U Sınırlandırılmamış model: = 0.995498 t U e.49 67

Sınırlandırılmış model: R R = 0.99484 t R e 9.70 68

. F TESTİ ÖRNEĞİ. aşama: H 0 : Sınırlamalar geçerlidir. ( H 0 ) 0 : H : Sınırlamalar geçersizdir. ( H 0 ) :. aşama: f : c=, f : n-k= 06-5=0 F tab =6,85. aşama: F ( RU RR ) / c ( R ) /( n k) U F (0.995498 0.99484) / ( 0.995498) /0 4.770 69

4. aşama: F hes = 4.770 > F tab = 6.85 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 70

.BENZERLİK ORANI TESTİ ÖRNEĞİ. aşama: H 0 : Sınırlamalar geçerlidir. ( H 0) H : Sınırlamalar geçersizdir. ( H 0 ) : 0 :.aşama: c=.84.aşama: LR e t R nlog e et U 9.70 LR 06log e 4.4.49 7

4.aşama: LR=4.4 > tab.84 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. veya LR nlog e R R R U 0.99484 06log e 4.49 0.995498 LR > tab. 84 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. 7

.LAGRANGE ÇARPANI TESTİ ÖRNEĞİ. aşama: H 0 : Sınırlamalar geçerlidir. ( H 0) H : Sınırlamalar geçersizdir. ( H 0 ) : 0 :.aşama: c=.84.aşama: LM e t e R e / n t R t U LM 9.7.49 9.7 /06.48 7

4.aşama LM=.48 >.84 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. veya LM ( RU R ( R ) / R R ) n (0.995498 0.99484) LM.48 >. 84 ( 0.99484) /06 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 74

WALD TESTİ ÖRNEĞİ. aşama: H 0 : Sınırlamalar geçerlidir. ( H 0) H : Sınırlamalar geçersizdir. ( H 0 ) : 0 :.aşama: c=.84.aşama: W e t e R e / n t U t U W 9.70.49.49/06 5.449 75

W=5.449 >.84 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. veya W ( RU RR ( R ) / U ) n (0.995498 0.99484) W 5.446 >. 84 ( 0.995498) /06 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 76

LM=.48 LR=4.4 W=5.449 LM LR W 77

Y t =β +β GFAİZ β DKAÇIK+β 4 EAÇIK+β 5 ÜRETİMAÇIK+u t 0 : 0 : 4 4 0 H H Sınırlandırılmamış model: = 0.995498 R U.49 U t e 78

Sınırlandırılmış model: R R =0.994597 e t R 45.76 79

4.WALD TESTİ ÖRNEĞİ. aşama: H 0 : Sınırlamalar geçerlidir. ( H 0) H : Sınırlamalar geçersizdir. ( H 0) : 4 0 : 4.aşama: c= tab 5.99.aşama: W e t e R e / n t U t U W 45.76.49.49/06.8 80

W=5.449 > tab 5.99 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. veya W ( RU RR ( R ) / U ) n W (0.995498 0.994597) ( 0.995498) /06.4 W=5.449 > tab 5.99 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 8