MATEMATİK Matematik ve Bilişim Liseleri (Analiz ve olasılık teorisi, haftalık 5, yıllık toplam 175 ders saati) GİRİŞ Matematiğin bir kolu olan Analiz ve olasılık teorisi müfredat programı, onuncu sınıfta edinilen matematik bilgilerin genişletilmiş şeklinin bir devamıdır. Bu nedenle on birinci sınıf müfredat programı öğrencilerin fizik ve toplumsal dünya ile ilgili bilgi ve yetenek kazanılmasına ve genişletilmesine; Aynı şekilde öğrencilere matematikte bilimine karşı olumlu tutumun gelişmesine, pratik hayatta problemleri doğru olarak çözmeye yarayacak şekilde düşünme yolu geliştirmesine de olanak sağlar. Her dersin olduğu gibi matematik dersinin bir takım amaç ve hedefleri vardır. Bunları özetle sıralamak mümkündür. Öğrencilerin: benlik kavramını genişletir; bağımsız ve sistematik çalışma alışkanlığı kazandırır; çalışmalarında yaratıcı, eleştirel ve estetik düşünme gücüne sahip olmalarna yol açar karşılaştığı problemleri çözebilecek bilimsel metodlara göre çalışma yollarını geliştirebilmelerine yol açar. Analiz ve olasılık dersinde kullanılan sembol ve diyagramlar yardımıyla öğrencilerin doğru ve pozitif düşünme yeteneğini ve düşüncelerden genel sonuçlara ulaşabilme özelliği kazandırır. Olasılık teorisinin ve istatistiğin ekonomi, tıp ve teknolojide uygulama alanı bulması her geçen gün daha çok çağdaş toplumun gelişmesinde önemini artırmaktadır. 1
UZAK HEDEFLER Analiz ve olasılık teorisi öğreniminin hedefi öğrencilerin: İyi düşünme yeteneğini, doğru hüküm verme alışkanlığını, konuşma, yaratıcı ve eleştirel gücünü geliştirmesi; matematik dersinde edindikleri bilgi ve becerileri pekiştirmeleri, bağımsız çalışma alışkanlığı kazanabilmeleri, ayrıca fizik, kimya ve diğer doğa bilimlerde, pratik hayatta uygulayabilmeleri; üst öğrenime bir temel oluşturacak şekilde hazırlaması gerekir. GENEL HEDEFLER 11. sınıf Analiz ve olasılık teorisi müfredat programının genel hedeflerini özetle şöyle sıralamak mümkündür: 0 Tutum ve değerler açısından Beden, zihin, ahlâk, ruh ve duygu bakımından dengeli ve sağlıklı şekilde gelişmiş bir kişiliğe ve karaktere, geniş bir dünya görüşüne sahip, topluma karşı sorumluluk duyan, yapıcı, yaratıcı ve eleştirel düşünen, verimli kişiler olarak yetiştirmek. 0 Kavrama açısından Derece, radyan ve grad açı ölçü birimlerini, e sayısını, monoton ve sınırlı dizilerin limitini anlamaları; 0 Anlama açısından Trigonometrik terminleri, kompleks sayıları, dizileri, olasılık ve istatistik fonksiyonları anlamaları ve bilmeleri; Matrislerle yapılan toplama, çıkarma, çarpma, bir matrisin bir skalerle çarpımı ve iki matrisin çarpma işlemlerini anlamaları ve bilmeleri; Problemlerin çözümünde izlenen metod ve süreçleri anlamaları ve bilmeleri; 2
Yakınsak (konvergent) dizilerin esas özelliklerini anlamaları ve bilmeleri gerekir; 0 Uygulama açısından Trigonometrik çember. Geniş açıların trigonometrik fonksiyonları. Peryot kavramı.trigonometrik denklem ve eşitsizliklerin çözümlerini anlamaları; İki açının toplam ve farkı formülerinin farklı trigonometrik problemlerin çözümünde uygulayabilmeleri; Üçgenlerde trigonometrik bağıntılar. Trigonometrik bağıntıların, üçgenlerde ve geometrik şekillerin çözümlerinde uygulayabilmeleri; Kompleks sayının trigonometrik şeklini, kompleks sayılarla yapılan işlemleri, Muavır formülünü, kompleks sayının karekökünü almaları ve bilmeleri; Aritmetik ve geometrik dizi problemleri; Olasılık hesabının özelliklerini, matematik beklenti, varyans, standart sapma ile ilgili problemlerin çözümlerini uygulayabilmeleri gerekir. 0 Karar verme becerisi açısından Çeşitli trigonometri, kompleks sayı, dizi olasılık teorisi ve istatistik problemlerin çözümünde etkenleri, teoremleri ve çözüm metodlarını kullanabilme yeteneklerini kullanabilmeleri; Verilerin değerlerine göre verilen denklemin çözümünün çözümleme (analizini) ve irdeleme yapabilme yeteneklerini kullanabilmeleri; Limit ve dizilerin tanımını kullanarak problemlerin çözümünde yeteneklerini kullanabilmeleri; Farklı matematik problemin çözümünde yapıcı ve eleştirel düşünmeyi uygularken önermenin karşı önermesini ortaya koyabilmeleri, ayrıca problemlerin karşı problemlerini kurabilme yeteneklerini kullanabilmeleri gerekir. 3
PROGRAM İÇERİĞİ 11. sınıf müfredat programının hedef ve genel amaçlara göre program içeriğinin dağılımı tablo 1 de verilmiştir Tablo 1 Ders Analiz ve olasılık teorisi İçerik Ders Yüzdelik kategorileri saatleri ( % ) I. Analiz 117 66,86 II.Olasılık teorisi ve istatistik 30 17,14 Yazılı ödevler 12 6,86 Testler 8 4,57 Yedek ders saatler. 8 4,57 Toplam 100 4
PROGRAM İÇERİĞİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Kategoriler Alt kategoriler Program içeriği Kazanımlar Dersler arası ilişki I. ANALİZ I.1.1 Trigonometri I.1.1. Geniş açıların trigonometrik fonksiyonları (trigonometrik çember) Açı ölçü birimleri (Yönlü açı); Trigonometrik çember. Radyan, derece ve grad açı ölçü birimlerinin dönüşümlerinde hesap makinesinin kullanımı. I.1.2.Trigonometrik fonksiyonlar ve trigonometrik çember sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, csecx trigonometrik fonksiyonları. Esas trigonometrik özdeşlikler. Trigonometrik fonksiyonarın sayısal değerlerini hesaplamada hesap Öğrenciler: 1. Açı ölçü birimlerini bilmeleri; 2. Hesap makinesi kullanmadan açı birimlerini dönüşümünü yapabilmeleri; 3. Herhangi bir açının trigonometrik fonksiyonunun tanımını trigonometrik çemberde yapabilmeleri; 4. Esas trigonometrik özdeşlikleri kullanarak farklı trigonometrik özdeşlikleri ispat edebilmeleri; 5. İki yay toplamının veya farkının oranları (adisyon) formülerini akılda bilmeleri ve ve bu Fizik - radyoaktif bozunma kanunu; Coğrafya nufus artımının üslü fonksiyon olarak gösterimi Fizik ve Kimya (radyoaktif elementlerin yarılanma süresinin hesabı) Fizik (harmonik hareketi, yatay atış, alternatif akım v.b.) 5
makinesinin kullanımı. I.1.3.İki yay toplamının veya farkının trigonometrik oranları (adisyon formüleri) İki yay toplamının veya farkının trigonometrik oranları (adisyon formüleri) ve sonuçları.yarım açı formülleri. Dönüşüm formüleri.ters dönüşüm formüleri. I.1.4.Trigonometrik denklem ve eşitsizlikler Özel trigonometrik denklem ve eşitsizlikler. I.1.6. Trigonometrik fonksiyonların çizimi ve incelenmesi y = sinx, y = a sinx, y = sin(x + α ) y = a sin ( w x + α ) aynı şekilde cos, tnx, ctx gibi trigonometrik fonksiyonların grafikleri formülerden çıkan sonuçları çıkarabilmeleri; 6.Trigonımetri bilgilerine dayanarak trigonometrik denklem ve eşitsizlikleri çözebilmeleri; 7. Esas trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini kitaba bakmadan çizebilmeleri; 8. Bileşik trigonometrik fonksiyonların grafiklerini çizebilmeleri; 9. Sinüs ve kosinüs teoremini betimleyebilmeleri ve farklı trigonometrik problemelerin çözümünde uygulayabilmleri; 10. Farklı şekilde verilen kompleks sayıları ayırt edebilmeleri ve birbirlerine dönüştürebilmeleri; Astronomi (küresel üçgen) Fizik 6
I.1.6. Ters trigonometrik fonksiyonlar y = arcsinx y=arccosx, y = arctanx, y = arcctgx grafikleri ve özellikleri Hesap makinesi ile ters fonksiyonların sayısal değerlerinin hesabı. 11. Kompleks sayının trigonometrik şeklini kullanarak kompleks sayılarla yapılan işlemleri yapabilmeleri; 12. Farklı formülerin ispatında Muavır formülünü uygulayabilmeleri gerekir. Biyoloji (canlı varlıkların geometrik dizi olarak artışı) I.2. Komplek ( karmaşık ) sayılar I.1.7. Üçgende trigonometrik bağıntılar (üçgenlerin çözümü) Sinüs ve kosinüs teoremi. Sinüs ve kosinüs teoreminin uygulaması üçgenlerin çözümü. Çeşitli formülerin ispatı. I. 2.1. Kompleks sayılar Kompleks sayının trigonometrik şekli; Kompleks sayının trigonometrik şekilden cebirsel şekle ve cebirsel şekilden trigonometrik şekle 13. fonksiyon kavramını kullanarak sayı dizilerinin tanımını yapabilmeleri; 14. Aritmetik ve geometrik dizileri ayırd edebilmeleri ve özeliklerini farklı problemelerin çözümünde uygullayabilmeleri; 15. Sınırlı ve monoton dizilere ait örnekler vermeleri; 16. Bir dizinin limitini Biyoloji, coğrafya ve kimya. 7
geçilmesi. Kompleks sayılarla yapılan işlemler. Kuvvet ve kök alma işlemi (Muavır formülü) Muavır formülünün uygulaması epsilon komşuluğu tekniği ile yapabilmeleri; 17. Yakınsak ve ıraksak dizilerin özelliklerini limit kavramı yardımıyla yapabilmeleri; I.3. Sayısal (numerik) diziler I.3.1. Sayısal diziler Sayısal dizilerin tanımı; sabit diziler; monoton diziler; sınırlı ve sınırsız diziler; dizilere ait özel örnekler; aritmetik ve geometrik diziler. I.3.2. Bir dizinin limiti 18. Bazı monoton ve sınırlı dizilerin yakınsaklığını incelemeleri; 19. Matemetik indüksiyonla (tümevarımla) Bays teoreminin ispatını yapabilmeleri; Olasılık teorisi ve istatistik II.1. Olasılık teorisi Dizilerde limit kavramı; yakınsak ve ıraksak diziler; yakınsak dzilerin esas özellikleri; monoton dizilerin yakınsaklığı; e sayısı. II.1.1. Olasılık teorisi Deney. Örneklem nokta ve uzayı. Olay, olanksız olay, kesin olay. Olasılık (ölçüsü) fonksiyonu. Eş olumlu 20. Binom ve geometrik dağılımını farklı problemlerin çözümünde kullanabilmeleri; 21. Aritmetik, geometrik harmonik orta, mod, medyan ve lineer korelasyonu farklı problemlerin çözümünde kullanabilmeleri gerekir. 8
örneklem uzayı.bağımsız olay Eş olumlu örnek uzayı. Koşullu olasılık. Bağmsız ve bağımlı olaylar. Matematik beklenti. Varyant ve satandard sapma; Bays formülü. Binom dağılım; Geometrik dağılım Doğum paradoksu II.2. İstatistik II.2.1. Istatistik Aritmetik orta, geometrik orta, medyan, mod, dispersiyonu, lineer korelasyonu ve anlamlılık testi. 9
METODOLOJİK YÖNERGELER Öğrencilerin kazanması gereken hedef ve davranışlar Analiz ve olasılık teorisi müfredat programında öngörülmüştür. Öğretmen kendisini bir hedefteki davranışların hepsini öğrencilere kazandırabilmeyi ilke edinmek zorundadır. Pratik, eğitim amaçlarına ulaştırmada kullanılacak metod ve tekniklerin çok önemli olduğunu göstermektedir. Programda düzenlenen üniteler ve seçilen konular işlenirken izlenecek yollar, baş vurulacak etkinlikler, öğrencide beklenen davranış değişikliğin meydana gelip gelmiyeceğini ve dolayısıyla eğitim amaçlarının gerçekleştirilmesinde önemli rol oynar. Bu nedenle, öğretmen öğrecileriyle birlikte, amaçlara doğru olarak yapacağı çalışmalar, eğitim oluşumuna etki yapan en önemli etkenlerdir. Bu nedenle öğretmen, eğitim, öğretim çalışmalarında; öğrencileri, amaçlara ulaştıracak metod ve etkinlikleri benimsemeli ve uygulamalıdır. Yöntem ve teknikler öğrencilerin, yaratıcı ve eleştirel düşünme yeteneğini geliştirir, problemleri çözmeye yarayacak şekilde düşünme yolu geliştirecek ve matematik dersinde edindikleri bilgi ve becerileri günlük hayattaki problemleri çözmede geliştirir. Ev çalışmaları ve seminerlerin düzenlenmesi de öğrencilerin bağımsız ve yapıcı çalışmaların gelişmesinde önemli bir etkendir. Öğretmen yöntem ve tekniklerin seçiminde bir çok etkenden başka aşağıda belirtilen nitelikleri de göz önünde bulundurmalıdır. Ders biriminin içeriği; Öğrencilerin kavrama nitelikleri; Öğrencilerin bilgi düzeyi ve istemleri Bu nedenle öğretmenin kullanacağı yöntem ve teknikler öğrencilerin kavrama düzeylerine uygun olmalıdır. Öğretmen müfredat programında öngörülen amaç ve hedeflere ulaşması için çok sayıda yöntem ve teknik kullanması gerekir. Kullanılan yöntem ve teknikler öğrencilerde grup çalışmalarına ivme kazandırır. Öğrencilerin toplumsal süreçlerdeki bağların kuvvetlenmesine olanak sağlar. 10
Öğretmen, öğrencilerin, görev ve sorumluluk duygusu kazanmasına, kazandıkları bilgilerin genişlemesi ve değerlendirmesine yardımcı olur. Öğrencilerin söz konusı özellikleri kazanabilmeleri için aşağıda belirtilen süreçleri benimsemeleri gerekir. 1. Öğretmen, matematik problemlerini seçerken, öğrencilerin kendi yaşantısından seçmelidir. Problemler, öğrencinin istekle yapacağı nitelikte olmalıdır. Bu şekilde anlaşılması güç ve yeteri dercede soyut ve teorik olan Analiz ve olasılık teorisi dersine karşı öğrencilerde olumlu tutum, günlük hayata yakın ilişkisi olan bir ders niteliğini kazanmış olur. 2. Öğretmen sözlü olarak verilen bir matematik problemleri hakkında öğrencilerin düşünmelerini teşvik eder. Öğretmen mümkün olduğu kadar öğrencilerin araştırma yapmalarını, problem çözmelerini kendi kendilerine yapmalarına olanak tanımalı, gerekmedikçe müdahale etmemelidir. Öğrenciler herhangi bir zorlukla karşılaştığında onlara yardım etmelidir. Bu şekilde öğrenciler çeşitli araştırma ve gözlem yapmalarını, not almalarını, problemlerin kaydını yapmalarını ve bilgi edinmeleri teşvik edilir. 3. Matematik dersinde sorulan bir çok soruya cevap verilmelidir. Sorulan soruların öğrenciler için anlamlı olması önemlidir. 4. Öğrenciler yukarıda belirtilen niteliklerde belirtilen basit araştırma alanında planlar ve sorular geliştirirler ve sorulara kesin yanıtlar verirler. 5. Öğrenciler öğretmenleriyle birlikte yaptıkları araştırma, pratik çalışma ya da problemlerin çözümü hakkında tartışırlar. Öğretmen öğrencilere çalışmalarla ilgili alternatif çözümler önerirler, görev ve sorumluluk duyguların gelişmesi için rehberlik eder. Öğrencilerin eğitim sürecinde etkili eğitim ve projede öngörülen amaçlara ulaşmaları için Eleştirel düşünme metodu, Öğrenci merkezli eğitim ve Etkili öğretim metodları gibi çağdaş eğitim metodların kullanılması önerilir. Aşağıda birkaç çalışma metodu verilmiştir. 11
ÇALIŞ MA METODLARI Okul öğrencilerde matematik dersine karşı ilgi alanını adım adım geliştirecek nitelikte bir ortam oluşturması gerekir. Analiz ve olasılık teorsi dersi özde olarak anlam ve bağıntılar açısından soyut bir bilimdir. Bu nedenle matematik dersi soyut ve konuşma şeklinde olmamalıdır. Öğrencilere matematik konuları öğretilirken deneylerden, verilerin grafiklerden ve günlük hayataki uygulamalardan yararlanmalıdır. Analiz ve olasılık teorsi dersin konuları ön koşul bir yapıya sahiptir. Analiz ve olasılık teorisi dersin konularını bir kereden tümüyle anlamak mümkün olmadığından öğrenciler matematik dersine ait bilgileri sarmal yay şeklinde verilmelidir. Matematikte herhangi bir kavram, onun ön koşulu durumundaki diğer kavramlar kazandırılmadan verilemez. Küçük küçük matematik konuları birleştirerek ön koşul durumundaki diğer kavramları kazandırmak iyi bir yol oluşturur. Bu şekilde matematik bilgiler daha kolay benimsenir, pekiştirilir ve ön koşul durumundaki matematik kavramlar için bir ön hazırlık gerçekleşir. Teşvik matematik dersinin öğrenme anahtarıdır. Demek oluyor ki öğrencilere çalışma alışkanlığı kazandırmak için onları sistematik bir şekilde teşvik etmek ve çalışmalarında süreklilik kazandırmak, öğretmenin becerisine bağlı bir işlemdir. Öğrencinin çalışmalarda bağımsız ve sistematik olması bir evrensel özelik belirtisidir. Söz konusu özellikler öğrencilerde mantıksal düşünmeyi, bilimsel araştırma ve tartışmayı hızlandırır. Her öğrenci birbirinden farklıdır. Aynı yaştaki öğrencilerin; yetenekleri, gelişme hızları, ilgi alanları ve kabiliyetleri arasında büyük farklar vardır. Bu nedenle öğretmen öğrenciler arasındaki ferdi farkları ortadan kaldırmak için yöntemler aramalıdır. Eleştirel düşünme metodu öğrenciler arasında zekâ bakımından ferdi farkları gidermek için bireysel ve küçük grup (iki ya da dört kişilik) çalışmalara baş vurmak zorundadır. Öğretmen öğrencilerin karşılaştıkları farklı problemleri çözebilecek özgün yöntemler geliştirebilmek zorundadır. Analiz ve olasılık teorsi dersinin amacı problemlerin çözümlerini mekanik olarak değil, konularını benimseyerek, problemleri ise istekle çözecek nitelikte olmalıdır. Matematik dersinde edinilen ve geliştirilen bilgi ve becerileri, öğrenciler hayatta uyguladıktan sonra önem kazanır. 12
Öğretmen birinci sınıfta sterotip ve öğretmen merkezli eğitim yöntemini asla kullanamaz. Söz konusu yöntem öğrencinin etkinliğini ve anlama eğilimini zorlaştırır. Matematik konuları ön koşul ilişkili bir yapıya sahiptir. Herhangi bir kavram, onun ön koşullu durumundaki diğer kavramlar kazandırılmadan verilemez. Problemler gereği kadar açık olmalı, aynı zamanda öğrencilere bir takım bilgiler kazandırmak amacı taşımalıdır. DEĞERLENDİRME Değerlendirme, eğitim etkinliklerinin ayrılmaz bir parçasıdır. Eğitimde değerlendirme, öğrencilerin bilgi eksikliklerini tespit etmek, başarılarını saptamak, başvurulan öğretim metodunun etkinliğini anlamak, kullanılan eğitim programının uygun olup olmadığını belirlemek gibi amaçlarla yapılır. Öğrenci eksikliklerini saptamak ve kullanılan öğretim metodların etkinliğini anlamak, öğrenciden çok öğretimi ilgilendirir. Öğrenci başarısını değerlendirmede, öğrenimin programda belirtilen amaç ve davranışların ne kadarını kazandığının saptanması işlemidir. Bu çalışmaların sonunda, öğrencinin başarısı değerlendirilir. Matematik eğitiminde öğrencinin eksikliklerini saptamak ve bireyin sonraki yaşantısında esas olacak davranışları geliştirmeye yönelik olması gerekir. Öğrencilerin başarısını değerlendirmek amacıyla çalışmalar öğretim yılı içinde yönetmenliğe uygun olarak gerçekleştirilen ölçmelere, ödevler ve öğrencinin sınıf içi çalışmalardan oluşmalıdır. Öğrencinin başarısını saptamak için yarı yıl ya da yıl içindeki ölçmelerden öğrencilerin eksikliklerini anlamak için de faydalanılır. Ayrıca sonuçlar öğrenciyi mekanik çalışmalardan kurtarır, güdüler ve ilerdeki öğrenmelere hazır hâle getirir. Öğretmen öğrencilerin çalışmalarını değerlendirirken öğrenim programında öngörülen amaç ve davranışlara uyması gerekir. 1. Öğrencilerin kazanım seviyeleri Öğrencilerin kazanım seviyeleri genel olarak üç basamakta değerlendirilir. 1. seviye - Öğrenci başarısını değerlendirmede öncelikle öğrencinin programda belirtilen amaçlara ne derece ulaştığının saptamasıdır. Öğrenciler geçilen derslerin benimsenmesinde müsade edilen alt sınır (minimum) % 40 olmalıdır. Söz konusu düzeye sahip 13
öğrenciler, sınırlı sayıda matematik yöntem kullanarak ve öğretmenin yardımı ile her zaman matematik problem ve konularının açıklamasını yapabilen öğrencileri kapsar. 2. seviye - Burada dersleri benimseme sınırı %50 - % 80 arasında değişir. İkinci basamak bilgisine sahip öğrenciler matematik problem ve konularını öğretmenin sınırlı yardımı ve çok olmayan matematik yöntem ve hatalarla çözebilen öğrencileri kapsar. 3. seviye - Burada derslerin benimseme sınırı % 80 nin üzerindedir. Bu düzeydeki öğrenciler en yüksek (maksimum) bilgi düzeyine sahip olan öğrencileri kapsar.üçüncü basamak bilgisine sahip öğrenciler, matematik problem ve konularını farklı matematik yöntemlerle çözer, problemlerin analizini yapar, verilerin değerlendirmesini ise çok yüksek bir düzeyde mantıklı ve muhakeme ederek, bağımsız olarak çalışabilen öğrencileri kapsar. 2. ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SÜRECİ Ölçme ve değerlendirme süreci programda öngörülen amaç ve davranışlara uyum içinde yapılması önerilir. Ölçme ve değerlendirme işlemi öğrenim programında öngörülen amaç ve davranışlara uygun olmalıdır. Öğrencilerin bilgi başarısını değerlendirmede aşağıda belirtilen kriterler ile saptanabilir Ders çalışmaları o Sözlü yanıtların değelendirmesi; o Sınıf çalışmaların değerlendirmesi; o Grup çalışmaların değerlendirmesi; Test çalışmaları o Belirli konular için test değerlendirmesi; o Ünite sonundaki test değerlendirmesi; o İlk yarı yıl sonunda test değerlendirmesi; Yazılı (sınavlar) yoklamalar; Ev ve seminer çalışmaları. 14
KAYNAKÇA Analiz için: Ö. Faruk Ertürk;Galip Kır; İsamail Bilgin, Matematik lise - 2 ; Ders kitabı. Devlet kitapları M.E.B. Istanbul 2001 Olasılık ve istatistik için: Liseler için MATEMATİK III, A. Yılmaz; O Altıntaş; D.Çoker; F.Yıldırım; M.Zirek M.E.B. yayınları yedinci basılış 1991. 15