The Big O Notation The Big O Notation Yazdığımız bir algoritmanın doğru çalıştığından emin olmakla birlikte bu algoritmayı, daha önce yazılmış ve aynı sonucu veren başka algoritmalarla karşılaştırmak isteyebilirsiniz. Burada teknik olarak değerlendirilecek başlıca iki başlık söz konusudur. Birincisi algoritmaların bellek kullanım miktarı, ikincisi ise algoritmaların hesaplama yapmak için harcadığı süredir. Mesela yazdığınız bir algoritma aynı işi yapan diğer bir algoritmadan daha hızlı çalışmasına rağmen çoğu bilgisayar için bellek aşımı gerçekleştiriyorsa bu pek uygun olmayacaktır. Elbette diğer algoritmalarla karşılaştırma yapmak yerine, yazdığınız bir algoritmanın tek başına analizini yapmak da isteyebilirsiniz. Bunun için yazdığınız algoritmaları ve varsa karşılaştıracağınız algoritmaları tek tek çalıştırıp hız ve bellek testi yapabilirsiniz. Ama bu tahmin edebileceğiniz gibi hem zaman açısından sıkıntı yaratır hem de elde edeceğiniz veriler donanımsal ve sistemsel değişikliklerden dolayı bilimsel olmaz.(bu gibi işlemleri performans testi olarak da düşünebiliriz). Bu durumda matematiksel olarak ifade edebileceğimiz, donanımsal ve sistemsel bağımlılığı olmayan bir yönteme ihtiyacımız olacaktır. Bu yöntemle algoritmamıza girdi olarak verilen verilerin miktarına bağlı olarak sonuçlar üretiriz. İşte elde edilen bu sonuçlar ilgili algoritmanın karmaşıklığı olarak tanımlanır. Bir algoritmanın karmaşıklığı performansını etkiler ama karmaşıklık ile performans farklı kavramlardır görüldüğü gibi. Karmaşıklık hesabı yapacağımız asimptotik notasyonlardan en çok kullanılanını açıklamaya çalışayım.
Big O notasyonu, programlama dünyasında, algoritma ve program parçalarının kıyaslanması amacıyla tanımlanan bir zaman kompleksliği açıklama biçimidir. O notasyonu ilk olarak 1894 yılında Alman matematikçi Bachmann tarafından kullanılmış ve Landau tarafından da yaygınlaştırılmıştır. Bu yüzden adına Landau notasyonu veya Bachmann Landau notasyonu da denmektedir. Algoritmanın en kötü durum analizini yapmak için kullanılan notasyondur. Matematiksel olarak şöyle tanımlanır: (x) ve g(x) reel sayılarda tanımlı iki fonksiyon olmak üzere, x > k olacak şekilde bir k vardır öyle ki, f(x) < C* g(x) dir ve f(x) O(g(x)) şeklinde gösterilir. Burada C ve k sabit sayılardır ve x ten bağımsızdırlar. Bu tanımı bir örnekle daha açık hale getirmeye çalışayım: Burada k = 1 (x in 1 den büyük olduğu tüm durumlarda) ve C = 10 olarak alınmıştır. Aşağıda O fonksiyonu ile karmaşıklık hesaplamadaki bazı ana konuları madde madde açıklamaya çalışayım: Sabit zamanlı ifadeler O(1) ile gösterilirler. Örnek, atama işlemleri. if else ifadelerinde, ifadenin if veya else bloğundaki hangi ifade karmaşıklık olarak daha büyükse O fonksiyonu o değeri döndürür. (Çünkü biliyorsunuz ki O fonksiyonu her zaman en kötü durumu analiz eder) Yani bunu şöyle ifade edebiliriz:
Maks (if ifadesinin çalışma zamanı, else ifadesinin çalışma zamanı) Örneğin if bloğu içi O(1) else bloğunun içi O(n) ise if else bloğu O(n) olarak ele alınır. [crayon-595fa28222674874964924/] Bir döngü ifadesinin içindeki bir ifade, döngünün dönme sayısı kadar çalışacağı için, eğer döngü N kez dönüyorsa ve döngü içindeki ifadenin çalışma zamanı C ise, toplam çalışma zamanı N*C dır. [crayon-595fa28222686776673190/] İç içe döngülerde içteki döngü N kez, dıştaki döngü ise K kez dönüyorsa ve iç döngünün içindeki ifadenin çalışma zamanı C ise, toplam çalışma zamanı N*K*C dir. [crayon-595fa2822268f725861970/] O(1) : Sabit zaman / Constant time Girdi sayısına yani n e bağlı olmayan işlerdir. Sabit zamanlı gösterim izah edilirken genel olarak atama operasyonları ile örneklenmektedir. [crayon-595fa28222697574869497/] Yukarıdaki atama operasyonu örneğin, Big O çerçevesinde O(1) olarak değerlendirilir. O(1) Big O çerçevesinde olası en iyi kıyas birimidir. Çünkü en az zamanı o alır. O(n) : Lineer Koşturulacak operasyonun alacağı zaman eğer girdi sayısına bağlı olarak lineer olarak değişecekse, bu O(n) olarak değerlendirilir. Bunun meali, operasyonun alacağı zaman n e bağlıdır olacaktır. O(n) değerlendirmesine örnek için, döngü
yapısı biçilmiş kaftandır. [crayon-595fa282226a0415977543/] Burada döngü içerisindeki atama operasyonun alacağı zaman O(1) dir. Fakat bu operasyon döngüdeki girdi sayısına bağlı olarak n kere tekrar edeceği için, alacağı zaman n e bağlıdır denir. Bu yüzden zaman kompleksliği burada O(n) dir. O(n) > O(1) dir çünkü girdi boyutuna bağlı olduğu için daha fazla zaman alacağı kabul edilir. O(log n): Logaritmik Burada girdi ve alacağı zaman logaritmik olarak ilerler. O(n) e göre daha az zaman alacağı kabul edilir. Örnek olarak girdi sayısı olarak n = 100 düşünülürse, O(n) için zaman kompleksliği 100 e bağlı olacaktır. log 100 = 2 olacağı için, O (log n) burada 2 ye bağlı olacaktır. Bu sebeple O(n) > O(log n) > O(1) dir. O(log n) için ideal örnek binary search algoritmasıdır. binary search algoritmasında dizi elemanları sıralı olduğu için, arama operasyonu her denemede kalan eleman sayısının yarısı kadar elenecektir. Bu sebeple binary search için O (log n) denilebilir. O(n log n) : Doğrusal Logaritmik Bir önceki örnek üzerinden girdi sayısı olarak n = 100 düşünülürse, O(n) için zaman kompleksliği 100 e bağlı olacaktır. log 100 = 2 olacağı için, O (n log n) burada 100* 2 = 200 e bağlı olacaktır. Bu sebeple O(n log n) > O (n) > O(log n) > O(1) dir. O(n2) : Karesel
Operasyon/ algoritma nın zaman kompleksliği n*n e bağlı olan durumlarda geçerlidir. Örneğin iç içe iki döngü operasyonun alacağı zaman n kere n kadardır. yani n*n e bağlıdır. Bu yüzden O(n 2 ) sonucuna varılır. Yine, iç içe üç döngü için zaman kompleksitesi gibi.. O(n3) olacaktır, çünkü n*n*n bağlıdır, Yeni kıyaslama şu biçimdedir. O(n 2 ) > O(n log n) > O(n) > O(log n) > O(1) O(n2) den daha ağır durumlar da olabilir, O(n!) ve O(cn) gibi. Big O ve Eleme Bir kod parçasının Big O analizi yapılırken tek tek Big O çıktıları hesaplanır ve en son sadeleştirmeye gidilir. Çünkü Big O çerçevesinde zaman kompleksliği olarak en büyük çıktı sonuç olarak kabul edilir. Katsayılardan ve diğer küçük Big O çıktılarından feragat edilir. Analizini Yapalım Aşağıda yer alan kod parçasının Big O gösterimi ise, O(n) dir. Ara sonuçlar matematiksel olarak birbirine eklenir ve eleme yapılarak sonuca ulaşılır. [crayon-595fa282226ab370437059/] Bilgisayar bilimlerinde bir algoritmanın incelenmesi sırasında sıkça kullanılan bu terim çalışmakta olan algoritmanın en kötü ihtimalle ne kadar başarılı olacağını incelemeye yarar.
Bilindiği üzere bilgisayar bilimlerinde yargılamalar kesin ve net olmak zorundadır. Tahmini ve belirsiz karar verilmesi istenmeyen bir durumdur. Bir algoritmanın ne kadar başarılı olacağının belirlenmesi de bu kararların daha kesin olmasını sağlar. Algoritmanın başarısını ise çalıştığı en iyi duruma göre ölçmek yanıltıcı olabilir çünkü her zaman en iyi durumla karşılaşılmaz. Algoritma analizinde kullanılan en önemli iki ölçü hafıza ve zaman kavramlarıdır. Yani bir algoritmanın ne kadar hızlı çalıştığı ve çalışırken ne kadar hafıza ihtiyacı olduğu, bu algoritmanın performansını belirleyen iki farklı boyuttur. En iyi algoritma en hızlı ve en az hafıza ihtiyacı ile çalışan algoritmadır. İşte en kötü durum analizi olayın bu iki boyutu için de kullanılabilir. Yani en kötü durumdaki hafıza ihtiyacı ve en kötü durumdaki hızı şeklinde algoritma analiz edilebilir.
Limit teorisindeki master teoremde büyük O ile gösterilen (big-oh) değer de bu en kötü durumu analiz etmektedir. Bu yüzden en kötü durum analizine, büyük O gösterimi (Big-O notation) veya algoritmanın sonsuza giderken nasıl değiştiğini anlatmak amacıyla büyüme oranı (growth rate) isimleri verilmektedir. Big O ya neden ihtiyaç duyarız? Hemen hemen her programlama dilinde çeşitli veri yapıları yer almaktadır. Bu veri yapıları üzerindeki operasyonlarda Big O ile yapılan kıyaslamaları incelemek, hangi durumda hangi veri yapısının tercih edileceği hususunda geliştiricilere fayda sağlamaktadır. Yazar: Oğuzhan Yılmaz (notation3)
BUBLESORT ALGORİTMASI Bublesort Algoritması (Kabarcık Sıralama Algoritması) C Programlama Dili Bubble Sort Algoritması ile kullanıcının girdiği sayıları küçükten büyüğe sıralayan program kodu. Sıralama algoritmaları arasında en çok bilinen Bubble Sort (Kabarcık Sıralama) algoritmasını bulabilirsiniz. 1. Kullanıcıdan gireceği sayı adedi öğrenilir. 2. Kullanıcıdan sayılar alınır. 3. Girilen sayılar ekrana yazdırılır. 4. Bubble Sort algoritması ise sayılar küçükten büyüğe sıralandırılır ve dizinin yeni hali ekrana yazdırılır. Sıralama algoritmalarının anlaşılması en kolay olanı Bubble Sorttur. Bubble Sort sayı dizisindeki ilk sayıyı alır ve kendisinden sonra gelen sayıyla karşılaştırır. İkinci sayı büyükse başa alır. Küçükse değişiklik yapmaz.
Örnek : 6, 4, 8, 12, 7 sayı dizisi veriliyor ve bu sayıları büyükten küçüğe doğru sıralamamız isteniyor. 1adım : 6 yı 4 ile karşılaştırırz. 4 < 6 olduğu için sıralamada değişiklik olmaz. 2.adım : 4 ile 8 karşılaştırılır. 8 > 4 olduğundan 6, 8, 4, 12, 7 yeni sayı dizimiz olur. 3.adım : 4 ile 12 karşılaştırılır. 12 > 4 olduğundan 6, 8, 12, 4, 7 yeni sayı dizimiz olur. 4.adım : 4 ile 7 karşılaştırılır. 7 > 4 olduğundan 6, 8, 12, 7, 4 yeni sayı dizimiz olur. 5.adım : Başa dönüyoruz. 8 > 6 olduğundan 8, 6, 12, 7, 4 yeni sayı dizimiz olur. 6.adım : 12 > 6 olduğundan 8, 12, 6, 7, 4 yeni sayı dizimiz olur. 7.adım : 7 > 6 olduğundan 8, 12, 7, 6, 4 yeni sayı dizimiz olur. 8.adım : 4 < 6 olduğundan sayı dizimiz değişmez. 9.adım : Tekrar başa dönüyoruz. 12 > 8 olduğundan 12, 8, 7, 6, 4 yeni sayı dizimiz olur. 9.adımda sıralamamız sonra erer.
Bubble Sort C Kodu Kaynak Kod: #include int main() static int k,dizi[100],i,x,boyut,temp; printf( Dizinin boyutunu giriniz : ); scanf( %d,&boyut); for(i=;i<boyut;i++) printf( Dizinin %d. elemanini giriniz :,i+1); scanf( %d,&dizi[i]); for(i=;i<boyut;i++) printf( %d\t,dizi[i]); while(x<boyut) for(i=;i<boyut 1;i++) if(dizi[i]<dizi[i+1]) temp=dizi[i]; dizi[i]=dizi[i+1]; dizi[i+1]=temp; x=; else x++; printf( \n\n ); for(k=;k<boyut;k++) printf( %d\t,dizi[k]);
return ; #include int main() static int k,dizi[100],i,x,boy ut,temp; printf( Dizinin boyutunu giriniz : ); for(i=0;i<boyut; i++) printf( Dizinin %d. elemanini giriniz for(i=0;i<boyut; i++) printf( %d\t,dizi[ i]); while(x<boyut) for(i=0;i<boyut1;i++) if(dizi[i]<dizi[ i+1])
temp=dizi[i]; dizi[i]=dizi[i+1]; dizi[i+1]=temp; x=0; else x++; printf( \n\n ); for(k=0;k<boyut; k++) printf( %d\t,dizi[ k]); return 0; Kod Analiz:
İlk olarak kullanıcıdan dizinin boyutunu ve dizinin elemanlarını teker teker aldık. Daha sonra aldığımız diziyi 1 sefer ekrana yazdırdık. While döngüsünün içerisindeki for döngüsünde dizinin her bir elemanını bir sonraki elemanla karşılaştırıp duruma göre yer değiştirdik. Karşılaştırma işleminde en son olarak son eleman ve ondan bir önceki karşılaştırılacağından for döngüsü dizinin boyutunun bir eksiği kadar döner. Büyükten küçüğe sıraladığımızı varsayalım. Eğer baktığımız eleman bir sonraki elemandan büyükse o zaman değişme işlemi yapılmayacak ve else kısmında x değişkeni 1 artacak. Eğer değişme olursa x değişkeni 0 olacak. Burada dikkat edilmesi gereken yer, eğer hiç bir değişme işlemi yapılmazsa x değişkeni boyut değişkenine eşit olacak ve while döngüsünden çıkılacak. Yani hiç bir yer değiştirme işleminin yapılmaması demek dizi zaten sıralı halde demektir. Bu durumda dizi sıralı olduğu durumda while döngüsünden çıkılacak. Ekran Görüntüsü:
C Dilinde Bubble Sort Algoritma Kodlaması Sayarak Sıralama Sort) algoritması (Counting Verinin hafızada sıralı tutulması için geliştirilen sıralama algoritmalarından (sorting algorithms) bir tanesidir. Basitçe sıralanacak olan dizideki her sayının kaç tane olduğunu farklı bir dizide sayar. Daha sonra bu sayıların bulunduğu dizinin üzerinde bir işlemle sıralanmış olan diziyi elde eder. Sıralanmak istenen verimiz: 5,7,2,9,6,1,3,7 olsun. Bu verilerin bir oluşumun(composition) belirleyici alanları olduğunu düşünebiliriz. Yani örneğin vatandaşlık numarası veya öğrenci numarası gibi. Dolayısıyla örneğin öğrencilerin numaralarına göre sıralanması durumunda
kullanılabilir. Bu dizi üzerinden bir kere geçilerek aşağıdaki sayma dizisi elde edilir: Dizi indisi: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Değeri (sayma): 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 Yukarıdaki tabloda da gösterildiği üzere dizide bulunan en büyük eleman sayısı kadar eleman içeren bir sayma dizisi oluşturulmuş ve bu dizinin her elemanına, sıralanmak istenen dizideki her elemanın sayısı girilmiştir. Bu sayma işleminden sonra sıralı dizinin üretilmesi yapılabilir. Bu işlem de dizinin üzerinden tek bir geçişle her eleman için kaç tekrar olduğu yazılarak yapılabilir. buna göre örneğin sıralanmış dizide 0 hiç olmayacak 1 den 1 tane, 2 den 1 tane olacak şeklinde devam eder ve sonuç: 1,2,3,5,6,7,7,9 şeklinde elde edilir. Bu sıralama algoritmasının JAVA dilindeki kodu verilmiştir: public static void countingsort(int[]a, int[]b, int k) int C[]=new int[k]; // sayma dizisi oluşturuluyor int i; int j; for(i=0; i<k; i++) C[i]=0; for(j=0; j<a.length; j++) C[A[j]]=C[A[j]]+1 ; aşağıda
for(i=1; i<k; i++) C[i]=C[i]+C[i-1]; for(j=0; j<a.length; j++) B[C[A[j]]]=A[j]; C[A[j]]=C[A[j]]-1; Yukarıdaki fonksiyon bir adet sıralanacak dizi, bir adet sıralanmış hali geri döndürecek atıf ile çağırma (call by reference ile) boş dizi ve dizideki en büyük sayının değerini alır. Sonuç ikinci parametre olan boş diziye döner. Bu sıralama algoritmasının karmaşıklığı (complexity) hesaplarnısa. Dizideki her elemanın üzerinden bir kere geçilerek sayıları hesaplanır. Bu geçiş n elemanlı dizi için n zaman alır. Ayrıca dizideki en büyük elemanlı sayı kadar (bu örnekte k diyelim) büyük olan ikinci bir sayma dizisinin üzerinden de bir kere geçilir bu işlem de k zaman alır. Dolayısıyla toplam zaman n+k kadardır. Bu durumda zaman karmaşıklığı O(n) olur. Hafıza karmaşıklığına baklırsa (memory complexity) hafızada mevcut verilerin saklandığı bir dizi (yukarıdaki örnek kodda A dizisi). Sonuçların saklandığı ikinci bir dizi (yukarıdaki örnekte B dizisi) ve her elemanın kaçar tane olduğunun durduğu bir dizi (yukarıdaki örnekte C dizisi) tutulmaktadır. Bu durumda A ve B dizileri n, C dizisi ise k boyutundadır ve toplam hafıza ihtiyacı 2n+k kadardır. HAZIRLAYAN: CANSU KARAKUŞ KAYNAK:http://bilgisayarkavramlari.sadievrenseker.com
QUICK SORT (HIZLI SIRALAMA) ALGORİTMASI Quick sort algoritması türkçe adıyla hızlı sıralama algoritması, günümüzde hala sıklıkla kullanılan bir algoritmadır. Sıralanması istenen dizi, dizi içerisinden belirlenen bir nokta (pivot noktası) yardımıyla iki alt diziye ayrılır. Pivot noktasından küçük olan elemanlar soldaki birinci alt diziye, büyük olan elemanlar ise sağdaki ikinci alt diziye taşınır. Daha sonra, yine aynı algoritma rekürsif olarak çağrılarak bu alt dizilerin sıralanması istenir. Bu işlem diziler parçalanamayacak duruma gelene kadar sürdürülür. Örneğin sıralanacak dizi A=9,5,12,7,3,21 olsun. Şimdi bir pivot noktası belirleyelim. Pivot noktası seçimi algoritmanın çalışma prensibini etkilemese de, dizinin ortanca değerini pivot noktası olarak belirlemekte fayda var. Dizinin ilk indisi 0 ve son indisi 5 i toplayıp int türünde bir değişkene attığımızda, 2. indis numaralı dizi elemanını yani 12 değerini pivot noktası olarak belirleriz. Bu noktayı baz alarak 12 değerinden küçük sayıları soldaki diziye, büyük sayıları ise sağdaki diziye atalım. Alt dizilerimizin son durumu A1=9,5,3,7 ve A2=12,21 şeklinde oluştu. Pivot noktasını da sağdaki yada soldaki diziye dahil edebilirsiniz. Daha sonra sıralama algoritması rekürsif olarak tekrar çağrılır ve yukarıdaki işlemler tekrarlanır. Böylece dizinin öğeleri küçükten-büyüğe doğru sıralanmış olur. Aşağıda quick sort sıralama algoritmasının java ile yazılmış örnek kodlarını inceleyebilirsiniz. public class HizliSiralama public static void main(string[] args)
int []dizi=9,5,12,7,3,21; hizlisirala(dizi, 0, dizi.length-1); for (inti = 0; i < dizi.length; i++) System.out.print(dizi[i]); public static int[] hizlisirala(intdizi[], intsol, intsag) intpivot, gecici, i,j; i=sol; j=sag; pivot=dizi[(sol+sag)/2]; do while(dizi[i]<pivot&& i<sag) i++; while(pivotsol) j ; if(i<=j) gecici=dizi[i]; dizi[i]=dizi[j]; dizi[j]=gecici; i++; j ; while (i<=j); if (sol<j) hizlisirala(dizi, sol, j); if (i<sag) hizlisirala(dizi, i, sag); returndizi; Yukarıda java kodları verilen hızlı sıralama algoritmasına üç adet parametre gelmektedir; biri dizi, diğer ikisi de dizinin sıralamaya koyulacak parçasının sol ve sağ taraflarının indis değerleridir. Algoritma ilk çağrıldığında, n elemanlı bir dizi için sol=0, sağ=n-1 olur. Rekürsif çağırmalar sırasında sol değeri büyürken sağ değeri küçülecektir; ne zaman ki, sol
değeri sağdan büyük olursa dizide bölünecek eleman kalmadığı anlaşılır ve rekürsif çağırmaların geri dönüşü başlar. Hızlı sıralama algoritmasının ortalama zaman karmaşıklı O(nlog2n), en kötü durumda ki zaman karmaşıklığı ise O(n2) olarak çıkmaktadır. HAZIRLAYAN: CANSU KARAKUŞ KAYNAK;http://www.kodlamamerkezi.com/ MERGE SORT(birleştirme sıralaması)algoritması Merge Sort (Bileştirme Sıralaması) Algoritması Merge Sort (Birleştirme Sıralaması), diziyi ardışık olarak en küçük alt dizilerine kadar yarılayan sonra da onları sıraya koyarak bireştiren özyineli bir algoritmadır. Yarılama işlemi en büyük alt dizi en çok iki öğeli olana kadar sürer. Sonra Merge (Birleştirme) işlemiyle altdiziler ikişer ikişer bölünüş sırasıyla sıralı olarak bir üst dizide bireşir. Süreç sonunda en üstte sıralı diziye ulaşılır. Algoritmanın çalışması kavramsal olarak şöyledir: Sıralı olmayan diziyi ortadan eşit olarak iki alt diziye ayırır. Bu ayırma işlemi, alt diziler en çok iki elemanlı olana kadar devam eder. Alt dizileri kendi içinde sıralar. Sıralı iki alt diziyi tek bir sıralı dizi olacak şekilde birleştirir. Merge Sort algoritması ile Heap Sort algoritması aynı zaman
aralığına sahip olmalarına rağmen Heap Sort algoritması bellekte Merge Sort algoritmasına göre daha az yer tutar ve bu algoritmalar gerçeklendiğinde Heap Sort algoritması daha hızlı çalışır. Quick Sort algoritması da bellek tabanlı dizilerde Merge Sort a göre daha hızlı çalışmaktadır. Ancak bağlı liste sıralamasında seçilebilecek en performanslı algoritma Merge Sort algoritmasıdır. Çünkü bağlı listelerin yapısı gereği mergesort bellekte fazladan sadece 1 birim yer tutar ve bağlı listelerin yavaş ve rastgele erişim performansı nedeniyle quicksort gibi diğer algoritmaların çalışma performansı düşer, Heap Sort gibi algoritmalar için ise imkansızdır. Algoritmanın C# Programlama Diliyle Gerçeklenmesi Aşağıdaki Sırala metodu ASP sayfasındaki Sırala düğmesine tıklandığı zaman çalıştırılacak kodları içermektedir. Bu metodda ilk olarak metin kutusuna girilen sayı kadar eleman alabilecek int türünden bir dizi tanımlanmıştır. Dizinin elemanları ise 1 den metin kutusuna girilen sayıya kadar olacak şekilde rastgele verilmiştir. protected void Sırala(object sender, EventArgs e) int n = Convert.ToInt32(tb.Text); int[] A = new int[n]; Random r = new Random(); Stopwatch stopwatch = new Stopwatch(); for (int i = 0; i < n; i++) A[i] = r.next(1, int.parse(tb.text.trim())); stopwatch.start(); MergeSort(A, 0, n 1); stopwatch.stop(); TimeSpan timespan = stopwatch.elapsed; string elapsedtime = String.Format("0:00.1:000", timespan.seconds, timespan.milliseconds);
Response.Write("Gecen Zaman: " + elapsedtime); Aşağıdaki "Merge Sort" metodu tanımlanan diziyi, sadece iki elemanlı altkümeleri kalacak şekilde rekürsif olarak ayırır ve "Merge" metodu çağrılır. static void MergeSort(int[] A, int p, int r) if (p < r) int q = (p + r) / 2; MergeSort(A, p, q) MergeSort(A, q + 1, r); Merge(A, p, q, r); Aşağıdaki "Merge" metodu sıralama işlemini gerçekleştiren metoddur. "MergeSort" metodu ile ayrılan dizi parçalarının elemanlarını, iki elemanlı en küçük dizilerden başlayarak sıralama işlemini gerçekleştirir. Daha sonra bir yanındaki iki elemanlı dizi ile birleştirerek sıralama işlemine devam eder ve sonunda tanımlanan dizi sıralanmış olur. static void Merge(int[] A, int p, int q, int r) int n1 = q p + 1; int n2 = r q; int[] L = new int[n1 + 1]; int[] R = new int[n2 + 1]; for (int i = 0; i < n1; i++) L[i] = A[p + i]; for (int j = 0; j < n2; j++) R[j] = A[q + j + 1]; L[n1] = Int32.MaxValue;
R[n2] = Int32.MaxValue; int x = 0, y = 0; for (int k = p; k <= r; k++) if (L[x] <= R[y]) A[k] = L[x]; x++; else A[k] = R[y]; y++; Bu uygulamanın çıktısı aşağıdaki gibi olacaktır. HAZIRLAYAN;atiye nur özpınar KAYNAK:http://bidb.itu.edu.tr shell sort(kabuk sıralama) Bilgisayar kullanılan bilimlerinde sıralama
algoritmalarından birisi de kabuk sıralamadır (shell sort). İsmi Türkçeye kabuk sıralaması olarak çevrilsede aslında Donald Shell isimli algoritmayı ilk bulan kişinin isminden gelmektedir. Algoritma performansı O(n2) dir. Çalışması aşağıdaki örnek üzerinde anlatılmıştır: Sıralayacağımız sayılar: [crayon-595fa2822372e420943369/] olarak verilmiş olsun. Sıralama işlemi için öncelikle bir atlama miktarı belirlenir. Atlama miktarının belirlenmesi için çok çeşitli yollar bulunmasına karşılık en basit yöntem elimizdeki sayıların yarısından başlamaktır. Yani yukarıdaki örnekte elimizde 7 sayı olduğuna göre 3 atlama miktarı ile başlanabilir. Sırasıyla her sayı kendinden 3 sonraki sayı ile karşılaştırılır ve bu sayılar kendi aralarında sıralanır. Bu sıralamayı daha rahat göstermek için aşağıdaki kolon gösterimi kullanılabilir: 5,7,2
9,6,1 3***** Her kolon kendi içinde sıralanınca aşağıdaki sayılar elde edilir: 3,6,1 5,7,2 9 Yukarkıdaki örnekte de görüldüğü üzere sayıları sıralama işleminin 3te biri bitirilmiştir. Ardından atlama miktarı yarıya indirilir (bu örnek için 3/2 = 1 olur) Bu durumda bütün sayılar tek bir doğrultuda sıralanır. 3,6,1,5,7,2,9 1,2,3,5,6,7,9 Yukarıdaki sıralamada örneğin kabarcık sıralaması (bubble sort) kullanılırsa dizinin orjinal haline göre (yani kabuk sıralamasının 3 atlamalı sıralama işlemi yapılmamış haline göre) çok daha başarılı olduğu görülür. [crayon-595fa28223738976817172/] Yukarıdaki örnek kodda bir dizinin (p) içerisindeki sayıları kabuk sıralamasına göre sıralayan fonksiyon verilmiştir. Fonksiyon girilen sayıları 5/11 oranında küçülen atlama miktarları ile kabarcık sıralaması kullanarak sıralamaktadır. Okuyucu döngünün içerisinde yapılan ve temp değişkeni kullanılan işlemin bir yer değiştirme (swap) işlemi olduğuna dikkat edebilir. HAZIRLAYAN:ATİYE NUR ÖZPINAR KAYNAK :http://bilgisayarkavramlari.sadievrenseker.com
Tarak Sıralama Algoritması(Comb Sort) Comb Sort yani Tarak Sıralaması adından da anlaşılacağı gibi karşılaştırmalı bir sıralama algoritmasıdır. Aslına bakarsak kabarcık sıralaması ile hızlı sıralama karışımı diyebiliriz.nisan 1991 de Stephen Lacey ve Richard Box tarafından duyurulmuştur. Tarak sıralaması tıpkı kendisi gibi karşılaştırmalı bir sıralama algoritması olan Kabarcık sıralamasından daha iyidir. Kabarcık sıralamasında sayılar bir yanındaki sayı ile karşılaştırılır ve ona göre yer değişimi yapılır.karşılaştırma mesafesi 1 dir. Tarak sıralaması da aynı bu mantıkla çalışır ama yer değişimi yanındaki sayılar ile değilde daha uzaktaki sayılar ile yapılır.bu uzaklık büyük bir sayı ile başlar ve her seferinde shrink factor dediğimiz 1.247330950103979 -çoğunlukla daha kolay olsun diye 1.3 e yuvarlanır- sayısı oranınca ta ki algoritma basitçe kabarcık sıralamadaki uzaklığa yani 1 olana kadar küçültülür. Tarak sıralamasının bu şekilde olmasının ana fikri ise listenin sonundaki küçük değerli öğeleri önce bularak listeden çıkarıp daha hızlı çalışmaktır. Kabarcık sıralamanın en büyük sorunu listenin sonunda olan küçük sayıları bulması için çok zaman harcamasıdır. Tarak sıralaması ile daha hızlı sonuç elde edilir. Aşağıdaki gibi bir dizimiz olduğunu varsayalım ve küçükten büyüğe doğru sıralamaya çalışalım. İşte başlıyoruz
İlk önce dizinin boyutunun shrink factor dediğimiz 1.247330950103979 sayısına bölünmesi gerekir biz yuvarlayıp 1.3 sayısına böleceğiz. Bölümün tam kısmını alırız. 5/1,3 = 3,8. Tam kısmı 3. İlk elemanı seçeriz ve 3 fazlası olan eleman ile karşılaştırırız. Sonra ikinci elemanı seçeriz ve +3 fazlası olan eleman ile karşılaştırırız. Ardından üçüncü elemanı seçeriz. +3 fazlası dizinin uzunluğunu aştığı için işlem yapılamaz. Boşluk sayısını tekrar 1,3 e böler ve tam kısmını alırız. 3 / 1,3 = 2,3 Tam kısmı 2 olarak alırız. Birinci elemanı seçer ve +2 fazlası olan elemanla
karşılaştırırız. İkinci elemanı seçeriz ve +2 fazlası olan elemanla karşılaştırırız. Sonra diğer elemanları seçer +2 fazlası olan elemanlar ile dizinin sonuna kadar karşılaştırırız. Dizinin sonuna geldiğimizde tekrar boşluk sayısını 1,3 e böleriz.. 2 / 1,3 = 1,5 tam kısmı alırız. 1. elemanı seçer ve 1 fazlası olan yani bir sonraki elemanla karşılaştırırız.sonra ikinci elemanı sonraki elemanla. Diğer elemanları da bir sonraki elemanlarla karşılaştırırız.
Ve nihayetinde dizimiz sıralanmış olur. [crayon-595fa28223bf8358427882/] Hazırlayan: Ömer Koyuncu Kaynakça: 1. http://www.ibasoglu.com/
2. http://bilgisayarkavramlari.sadievrenseker.com/ 3. https://en.wikipedia.org/ 2. Dereceden Denklemin Köklerini Bulan Program [crayon-595fa282241ce743077207/] C++ 2.dereceden denklemin köklerini bulan program
[crayon-595fa282241d9629676625/] ÇIKTI; C++ 2. dereceden denklemin köklerini bulan program [crayon-595fa282241e3103780266/] YAZAR:Fatma AKTAŞ SEÇME SIRALAMA ALGORİTMASI Öncelikle seçme sıralama algoritmasını işleyişinden bahsedelim.bu algoritmada dizinin ilk elmanı dizinin sonuna kadar olan diğer elemanlarla karşılaştırılır.eğer önceki eleman sonraki elemandan büyükse yer değiştirlir. -Elemanları 5 1 4 2 8 olan diziyi ele alalım. BİRİNCİ DÖNGÜ -(5 1 4 2 8)>>(1 5 4 2 8)
-(1 5 4 2 8)>>(1 4 5 2 8) -(1 4 5 2 8)>>(1 4 2 5 8) -(1 4 2 5 8)>>(1 4 2 5 8) İKİNCİ DÖNGÜ -(1 4 2 5 8)>>(1 2 4 5 8) -(1 2 4 5 8)>>(1 2 4 5 8) -(1 2 4 5 8)>>(1 2 4 5 8) Buradaki mantığa bakacak olursak n elemanlı bir dizi için birinci döngü 1 ile n-1 arasında,ikinci döngü ise 2 ile n arasında çalışmış olur. Şimdi birde kodlarını inceleyelim. [crayon-595fa2822478e956312074/] YAZAR:Miraç KESKİN KAYNAKLAR -Mühendislik Öğrencileri İçin Temel Klavuz C++/C -http://tr.wikipedia.org/wiki/sıralama_algoritması
Ağaçlar(Trees) AĞAÇ VERİ MODELİ Ağaç, verilerin birbirine sanki bir ağaç yapısı oluşturuyormuş gibi sanal olarak bağlanmasıyla elde edilen hiyerarşik yapıya sahip bir veri modelidir; bilgisayar yazılım dünyasında, birçok problemin çözümünde programcının karşısına çıkar. Örneğin kodlama/kod çözme işlemleri, dosya sistemi, oyunların olası hamleleri, dizinli dosya uygulamasında ve verinin hızlı arama yapılacak şekilde tutulmasında ağaç veri modeli kullanılarak gerçekleştirilir. En hızlı arama şekli, eğer asosiyatif bellek veya çırpı (hash) fonksiyonu kullanılmıyorsa, agaç veri modeli ile sağlanmaktadır; bu nedenle veri tabanlarında ve benzeri uygulamalarda arama işlemi ağaç veri modeline dayanılarak yapılır. Uygulamada birçok problemin çözümü veya modellenmesi, doğası gereği ağaç veri modeline çok uygun düşmektedir. Birbirinden farklı yapıda değişik ağaç çeşitleri vardır ve herbiri farklı bir probleme çözüm sunar. XHTML ile Ağaç Modeli örneği; <html xmlns= http://www.gelecek.net/2017/xhtml xml:lang= en lang= en > <head> <meta http-equiv= Content-Type content= text/html; charset=utf-8 /> <title>basit</title> </head> <body> <h1>basit bir web sayfası</h1> <ul> <li>birinci değer</li> <li>ikinci değer</li>
</ul> <h2><a href= http://www.mustafacemors34.com >Mustafa ÖRS </a><h2> </body> </html> Bu kodlarında ağaçlardaki karşılığı bu resimdeki gibidir. Cem 1.AĞAÇ ÜZERİNE TEMEL KAVRAMLAR Ağaç, bir kök işaretçisi, sonlu sayıda düğümleri ve onları birbirine bağlayan dalları olan bir veri modelidir; aynı aile soyagacında olduğu gibi hiyerarşik bir yapısı vardır ve soyağacında geçen birçok kavram ağaç veri modelinde de tanımlıdır. Örneğin çocuk ve kardeş düğüm, aile ve ata gibi birçok kavram ağaç veri modelinde de kullanılır. Genel olarak, veri, ağacın düğümlerinde tutulur; dallar ise düğümlerin birbiriyle bağlantısını gösterir. Bu nedenle, veri yapısı ağacın düğümü için tanımlanır; bu veri yapısı hem düğümde tutulacak veriyi, hem de düğüme yapılacak bağlantı bilgilerini içerecek şekilde tanımlanır.
Her ağacın bir kök işaretçisi vardır; ağaca henüz bir düğüm eklenmemiş ise agaç boştur ve kök işaretçisi NULL değerini içerir. Kök işaretçisine bağlı olan düğüm kök olarak adlandırılır; ağaç bunun etrafında serpilir. Kendisine hiçbir bağlantı yapılmayan düğümler yaprak(leaf) olarak adlandırılır. Kök ve yaprak dışındaki düğümlere ara düğüm denir. Ağacın herhangi bir dalı kesildiğinde ortaya alt ağaç çıkar; bir ağaç veya alt-ağaç birçok alt-ağacın birleşmesinden oluşabilir; alt-ağacın kendisi de ağaç özelliğindedir. Dolayısıyla ağaç veri modeli algoritmaları rekürsif programlama uygun olurlar.
Ağaç üzerine bazı tanımlar aşağıda verilmiştir. Çocuk(Child): Bir düğüme doğrudan bağlı olan düğümlere o düğümün çocukları denilir. Bir düğüme bağlı alt-ağaçların kökleri o düğümün çocuklarıdır. Yaprak düğümler çocuksuz düğümlerdir. Derece(Degree): Bir düğümden alt hiyerarşiye yapılan bağlantıların sayısıdır; yani çocuk veya alt-ağaç sayısıdır. Yaprak düğümlerin derecesi 0 (sıfır) olur. Tüm dürümlerin derecesi eşit olan ağaçlara homojen ağaç denilir. Kardeş(Sibling): Aynı düğüme bağlı olan düğümlere kardeş düğüm veya kısaca kardeş denilir. Bir düğümün kardeş sayısı bağlı olduğu düğümün derecesine eşittir.
Aile(Parent): Düğümlerin üst düğüme doğrudan bağlı oldukları düğüm aile olarak adlandırılır; diğer bir deyişle aile, kardeşlerin bağlı olduğu düğümdür. Ata(Ancestor) Torun(Descendant): Aile düğümünün daha üstünde kalan düğümlere ata denilir; çocuk düğüm ile ata düğüm arasında en az 2 uzunlukta yol olur. Torun, bir düğümün çocuğuna bağlı düğümlere denir. Orman(Forest): Ağaçlar kümesi orman olarak adlandırılır. Örneğin alfabedeki herbir karakter için oluşturulan sözlük ağaçları biraraya gelerek bir orman oluşturur. Yol(Path): Bir düğümden aşağıya doğru bir başka düğüme gidebilmek için üzerinden geçilmesi gereken düğümlerin listesidir; bir düğümden ancak kendi silsilesinde olan düğümlere yol olabilir. Yol uzunluğu ise, başlangıç ve bitiş düğümleri arasındaki dal sayısıdır; bu yol üzerindeki düğüm sayısının bir eksiğidir. Yaprakların yol uzunluğu 0 dır; yani yapraklardan herhangi bir düğüme yol yoktur. Kökten her yaprak düğüme birer yol vardır. Düzey(Level): İki düğüm arasındaki yolun üzerinde bulunan düğümlerin sayısıdır. Kök düğümün düzeyi 1, doğrudan köke bağlı düğümlerin düzeyi 2 dir. Derinlik(Depth): Bir düğümün köke olan uzaklığıdır; yani düzeyidir. Kök düğümün derinliği 1 dir. Bir ağacın derinliği de en uzak mesafede bulunan yaprak düğümün derinliğidir.
Yükseklik(Height): Bir düğümün kendi silsilesinde en uzak mesafedeki yaprak düğüme olan düzey sayısı yükseklik olarak adlandırılır. Ağacın yüksekliği kökün yüksekliğidir. 2.AĞAÇ TÜRLERİ İkili Arama Ağacı(Binary Search Tree): İkili arama ağacında bir düğüm en fazla iki tane çocuğa sahip olabilir ve alt/çocuk bağlantıları belirli bir sırada yapılır. Örneğin, küçük veya alfabetik olarak önce olanlar sola, büyük veya eşit olanlar sağ tarafa bağlanır. İkili arama ağaçlarında anahtar sözcük arama işlemi karmaşıklığını eğer ağaç dengeli ise 0(logN) olmasıdır. Rastgele verilerin girildiği uygulamalarda ağacın dengeli olmasa da dengeli olmaya yakın olduğu istatiksel olarak görülmüştür. Kodlama Ağacı(Coding Tree): Kodlama ağacı bir alfabdeki veya daha genel olarak bir kümedeki karakterlere kod atanması için kurulan ağaç şeklidir. Bu tür ağaçlarda kökten başlanıp yapraklara kadar olan yol üzerindeki bağlantı değerleri kodu verir. Kodlama ağacı denildiğinde ilk akla gelen Huffman kodlaması olmasına karşın çok çeşitli kodlama ağaçları kurulabilir. Sözlük Ağacı(Dictionary Tree): Sözlük ağacı bir sözlükte bulunan sözcüklerin tutulması için kurulan bir ağaç şeklidir. Amaç. arama işleminin en performanslı bir şekilde yapılması ve belleğin optimum kullanılmasıdır. Sözlük ağaçları biraraya gelip sözlük ormanını oluşturur. Bu ormanda alfabedeki karakter sayısı kadar ağaç vardır ve herbir ağacın kökü farklı karakterlerle başlar. Örneğin baba sözcüğü b ile başladığı için b ile başlayan sözlük ağacında aranır veya oraya eklenir.
Kümeleme Ağacı(Heap Tree): Kümeleme bir çeşit sıralama ağacıdır; aslında ikili arama ağacı da sıralama ağacıdır. Ancak kümeleme ağacında çocuk düğümler her zaman için aile düğümünden daha küçük değerlere sahip olur. Dolayısıyla kök düğüm en büyük değere sahip olurken yaprak düğümler kendi silsilesi içerisinde en küçük değerlere sahip olurlar. Bu tür ağaçların kullanımı için en iyi örnek öncelikli kuyruk uygulamasıdır. Bağıntı Ağacı(Expressin Tree): Bağıntı ağaçları bir matematiksel bağıntının ağaç şeklinde tutulması için tanımlanmış bir ikili ağaç uygulamasıdır. Bağıntı ağacının yapraklarda değişkenler veya sabit değerler bulunurken, kök ve ara düğümlerde de işlem değeri olan simgeler bulunur. Verilen denklemden bağıntı ağacı kurulması veya verilen ağaçtan denklemin çıkarılması için iç-takı, öntakı ve son-takı olarak adlandırılan üç değişik yöntem vardır. 3.AĞAÇLARIN TUTULMASI BELLEK ÜZERİNDE Ağacın bilgisayar belleğinde tutulması için indis-bağlantısı veya düğüm-bağlantısı yöntemleri kullanılmaktadır. İndis bağlantısı yaklaşımında ağacın düğümleri bir dizi üzerinde tutulurlar; dizinini ilk elemanı kök olup alt hiyerarşi deki diğer düğümlere bir bağlantı uyarınca erişilir. İndis bağlantısı, bir düğümün çocuklarına erişmek için gerekli indisi oandaki aile düğümün indis değerine göre hesaplamada kullanılır. Böylece hiçbir bağlantı bilgisi kullanılmadan bir düğümde onun herhangi bir çocuğuna indis hesabı yapılarak erişilebilir. Düğüm-bağlantısı olan yöntemde düğümler arası bağlantılar veri yapısı içerisine eklenmiş olan işaretçi değişkenler
aracılığıyla sağlanır Ağacın bellekte tutulması için iki farklı yöntem bulunur: Düğüm Bağlantısıyla Ağaç Kurulması/Veri Yapısı Bu yöntemde ilk akla gelen herbir bağlantı için birer bağlantı bilgisi tutulmasıdır; dolayısıyla veri yapısı içerisinde bilginin tutulacağı değişkenlere ek olarak m tane indis/işaretçi değişken olmalıdır. Bu yöntem, eğer ağacın derecesi, örneğin m=2, m=3 gibi, oldukça küçükse kullanılabilir; veya, eğer ağacın herbir düğüme ayrılan bağlantı bilgisi sayısı kadar bağlantı yapılmışsa uygulanabilir. Genel olarak bir ağaç düğümlerin derecesi ne olursa olsun yukarıdaki gibi veri yapısında iki tane bağlantı bilgisiyle bellekte tutulabilir. Biri, şekilde yatay olanlar, kardeş düğümleri, diğeri de, şekilde eğik olanlar çocuk düğümleri işaret eder. Kök düğümün bir tane bağlantısı var gibi görülse de diğer üç çocuk düğümüne V1 verisinin bulunduğu düğümden erişmektedir. Bu yöntem bellek alanından kazanç sağlar; ancak, programın yürütme zamanını arttırır. Çünkü, bir düğümünden onun çocuklarına doğrudan erişim ortadan kalkmış, bağlantı listede olduğu gibi ardışıl erişme ortaya çıkmıştır. struct ikili Veri kısmı; İşaretçi Tipi sol, sağ; AGAC2; İndis-Bağıntısıyla Ağaç Kurulması/Veri Yapısı Ağacın indis-bağıntısı yöntemine göre bellekte tutulması şekilde görüldüğü gibi düğümlerin veri kısmının bir dizi üzerinde tutulması kavramına dayanır. Dizinin ilk elamanı ağacın köküdür; daha sonraki elamanlar ağaç hiyerarşisi üzerindeki herhangi bir düğüme karşılık düşer. Ancak dizinin ikinci ve üçüncü elemanları kök düğümün çocuklarıdır; daha
sonraki, yani dördüncüden sonraki düğümler için ağacın derecesi bilinmelidir. Ağacın derecesine bağlı olarak bir indis bağıntısı bulunur ve düğümler arasındaki akrabalık ilişkileri bu bağıntı uyarınca belirlenir. Bu nedenle bu yöntem indis-bağıntısı olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekilde düzeyli bir ikili ağaç olası tüm düğümleri gösterilmiştir; düğümler en üst hiyerarşiden, kök ten, başlanarak d0, d1 d14 olarak adlandırılmıştır. Düğümler b) de görüldüğü gibi yerleştirilirse bir bağıntı uyarınca herhangi bir düğümün çocuklarına doğrudan ulaşılabilir. İndis Bağıntısı Yönteminin Olumsuz Yanı Bu yöntem seyrek özellikte ağaçlar için fazla bellek alanı harcar. Çünkü, bu yöntemde ağacın olması gereken ama o andaki gelen verilere göre henüz olmayan düğümleri için de yer ayrılır. Dolayısıyla ağaç seyrek özellikte ise veya bazı alt ağaçları bağlantılı liste gibi tek bir yönde uzayıp giderse, eklemelerde ağacın düğümleri fazla artmadığı halde düzeyi artarsa bellek sarfiyatı oldukça artar. Şekilde böylesi durumlar bir ikili ağaç için gösterilmiştir; a) da olmayan 4 ve b) de de 11 tane düğümün yeri denklem 10.1 ve 10.2. yi sağlaması için boş bırakılmıştır. İndis Bağıntısı Yönteminin Olumlu Yanı Dolu veya dengeli ağaçların tutulmasında kullanışlıdır.
Özellikle, kendisi de özel bir dengeli ağaç olan kümeleme ağaçlarının (heap trees) tutulması için çok elverişlidir. 4.HUFF MAN KODLAMA AĞACI Kodlama ağacına dayanılarak değişken uzunlukta kod atanması, özellikle, veri sıkıştırma algoritmalarında başvurulan bir yöntemdir.
Kodlama tablosunda kod uzunluğu log2n bağıntısından hesaplanır. N=4 için log24=2 bulunur. Genişletilmiş ASCII tablosu için (256karakter) log2256=8elde edilir Bu amaçla Huffman, ShannonFano gibi birçok kodlama ağacı şekli geliştirilmiştir. Bunlar dışında, uygulamaya dönük özel kodlama ağaçları da oluşturulabilir. Huffman ile elde edilen sonuçlara göz atalım: Kodlama ağacı karakterlerin sıklığına göre oluşturulur. Kodlama ağacına göre BABACABA sözcüğünü kodlayıp kaç bit yer işgal ettiğini bulmak istersek; A harfine 0, B harfine 10, C harfine 110, D harfine 111 kodları atanmıştır. Buna göre BABACABA sözcüğü. 1001001100100 olarak kodlanır ve toplam 13 bit işgal eder. 5.İKİLİ AĞACI AĞAÇLAR VE İKİLİ ARAMA İkili Ağaç (Binary Tree) Agaçların özel bir hali olan ikili ağaçlarda her düğümün çocuklarının sayısı azami 2 olabilir. Bir düğümün daha az çocuğu bulunması durumunda ( 0 veya 1) ağacın yapısı bozulmaz.
Yapraklar hariç bütün düğümlerin ikişer çocuğu bulunması ve yaprakların aynı derinlikte bulunması durumunda bu ağaca dengeli ağaç (balanced tree) denilir. Aşağıda bir dengeli ikili ağaç örneği tasvir edilmiştir: Bu ağacı değişik sıralarda yeniden oluşturabiliriz. Örneğin aşağıdaki ağaç da yukarıdaki verilerin aynılarını taşıyan bir ikili ağaç örneğidir. Yukarıdaki bu ağacın ilk örnekten farkı dengesiz olması ve
özel olarak her düğümün çocuk sayısının 1 olmasıdır. Tanım hatırlanacak olursa yukarıdaki bu ağaç da bir ikili ağaç olarak kabul edilebilir. C dilinde bir ikili ağacı ifade edecek struct aşağıdaki şekilde yazılabilir: [crayon-595fa28224fa5062136082/] [crayon-595fa28224fb0233493717/] [crayon-595fa28224fb7086409154/] [crayon-595fa28224fbd986550248/] [crayon-595fa28224fc3857136308/] Yukarıdaki kodda bir düğümün taşıması gereken bilgiler tanımlanmıştır. Buna göre düğümün sağındaki ve solundaki çocukları gösteren birer gösterici (pointer) ve düğümün içindeki veriyi tutan bir veri değişkeni bulunmaktadır. Benzer durum java dilinde aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: [crayon-595fa28224fc9248990199/] [crayon-595fa28224fcf238345778/] [crayon-595fa28224fd5328288096/] [crayon-595fa28224fda722298599/] [crayon-595fa28224fe0306280690/] Yukarıdaki kodda ise nesne göstericisi (object referrer) kullanılarak bir nevi gösterici (pointer) yapısı kullanılmıştır. Buna göre her düğümün sol ve sağında gene düğüm cinsinden birer nesne bulunabilecektir. İkili ağaçlarda bir düğümün derecesi en fazla iki olabilir, yani en fazla iki tane çocuk bağlantısı olabilir. İkili arama ağacına bir düğüm eklenirken ağacın solunamı, sağınamı ekleme yapılacağı düğümün verialanı içerisindeki anahtar sözcüğe bakılarak yapılır. Bu konudaki genel yaklaşım, anahtar veri aile düğümünden küçük ise soluna büyük ise sağına eklemektir. Eğer anahtar veri sözce(string) ise alfabetik olarak önce geliyorsa soluna, sonra geliyorsa sağına eklenir. Bağıntı ağaçlarıda ikili ağaç şeklindedir; bağıntı ağacında amaç bir matematiksel bağıntıya ait operatör, değişken ve sabitleri bağıntıyı ifade edecek şekilde ikili ağaç üzerinde tutmaktır.ikili ağaçtaki bir düğüme ait veri yapısında veriye
ek olarak iki tane işaretçi tutulur; biri sol diğeri sağ olarak adlandırılan bu işaretçilere düğümün çocukları bağlanır. struct DUGUM2 Veri kısmı; struct DUGUM2 *sol; struct DUGUM2 *sag; ;
İkili ağaç üzerinde dolaşma İkili ağaç üzerinde önce -kök(preorder), ortada -kök(inorder) ve sonra-kök(postorder) olmak üzere üç farklı dolaşma şekli uygulamalara çözüm olmaktadır. Önce-Kök(preorder): Kök,Sol,Sağ Ortada Kök(inorder): Sol,Kök,Sağ Sonra-Kök(postorder):Sol,Sağ,Kök Önce kök yaklaşımda önce ağacın kökü, sonra sol altağaç ve ardından sağ altağaç Ortada kökta ise, önce sol altağaç, kök ve sağ altağaç Sonra kökte ise, önce sol altağaç, sonra sağ altağaç ve kök dolaşılır. Bağıntı Ağaçları Bir matematiksel bağıntının ağaç şeklinde tutulması için tanımlanmış bir ikili ağaç uygulamasıdır. Birçok derleyici, program içerisindeki denklemleri, bağıntı ağacı aracılığıyla ayrıştırır ve karşılığı olan kodları üretir. Bağıntı ağacı üç farklı yöntem ile çıkarılabilir: iç-takı, ön-takı ve sontakı. İç-takı (İnfix) Bağıntı ağacının iç-takı yöntemine göre değerlendirilmesi, bir önceki sayfada verilen örneklerde
görüldüğü gibi, matematikte alışılagelen şekilde, operatörlerin ortada, değişken veya sabit değerlerin operatörün kenarlarında bulunması şeklinde yapılır. Değerlendirmeye iki çocuğu da yaprak (yani parametreleri hazır; işleme hazır) olan en soldaki altağaçtan başlanır ve sağa doğru, sırasıyla, yine çocukları yaprak olan altağaçlar ele alınarak bağıntı değerlendirilir. Ön-takı (Prefix) ve Polonyalı Notasyonu Ön-takı yönteminde operatörler kendilerine karşı düşen parametrelerin (değişken veya sabit değerler) önündedir. Ön-takı yöntemi ikili ağaç üzerinde önce-kök dolaşması gibidir. Son-takı (Postfix) Son-takı yöntemi ters Polonyalı notasyonu (reverse Polish notation) olarak da adlandırılır ve operatörler kendi parametrelerinin arkasından gelir. Ön-takı ve sontakı yönteminin en önemli özelliği bağıntıların parantez kullanılmadan gösterilebilmesidir. İkili arama ağaçları arama işleminin yoğun olduğu uygulamalarda ilk başvurulan veri modelleridir; arama işleminde kullanılacak anahtar sözcüğe bağlı olarak bir veya birden fazla ikili arama ağacı kurularak arama işlemi logn mertebesinde yapılır.
İkili Arama Ağacı Uygulaması Ağacın herhangi bir düğümünde bir tamsayı ve bir de 100 karakterlik bir mesaj tutulacaktır, bunlara ek olarak biri sağ diğeri sol olmak üzere iki adet işaretçiye de sahip olmalıdır. Böyle bir düğümün veri yapısı;
struct topluluk AGAC2 int bilgi; bilgi, mesaj, sol, sag char mesaj[100]; struct topluluk *sol,*sag; AGAC2; AGAC2 *kok=null; Bu aşamada bir ikili ağaç oluşmuş olur. Ancak içerisinde hiçbir düğüm yoktur. İlk yapılacak işlem ağaca düğüm ekleyecek algoritmanın tasarlanmasıdır. Bunun içinde her şeyden önce sıralamada kullanılacak olan anahtar sözcüğün belirlenmesidir. Bu örnekte, türü tamsayı olan bilgi adlı değişken anahtar veri olarak seçilmiştir. Dolayısıyla ikili ağaç üzerindeki ekleme, silme, arama gibi işlemler bu anahtar sözcük üzerinden gerçekleştirilecektir. /* Düğüm Ekleme Fonksiyonu */ void ekle(agac2 *agackok, AGAC2 *eklenen) if(agackok==null) kok=eklenen; else if(eklenen->bilgi <= agackok->bilgi) if(agackok->sol==null) agackok->sol=eklenen;
else ekle(agackok->sol, eklenen); else if(agackok->sag==null) agackok->sag=eklenen; elseekle(agackok->sag, eklenen); /* Listedeki tüm kayıtları listeleme */ void listele(agac2 *agackok) if(agackok=!null) listele(agackok->sol); yazekrana(agackok); listele(agackok->sag); /* Ağaç üzerinde bir kayıt arama */ AGAC2 *ara(agac2 *agackok, int aranan) while(agackok!=null && agackok->bilgi!=aranan) if(aranan <= agackok->bilgi) agackok=agackok->sol;
else agackok=agackok->sag; return agackok; /* İkili ağaç üzerindeki düğüm sayısını sayar*/ int sayagacdugum(agac2 *agackok, int miktar) if(agackok==null) return miktar; miktar++; miktar=sayagacdugum(agackok->sol, miktar); miktar=sayagacdugum(agackok->sag, miktar); return miktar; İkili arama ağacı uygulamasının tam kodu [crayon-595fa28224ff0743158604/] Yazar: Mustafa Cem ÖRS Kaynak: Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları Üniversite Yayıncılık.