Wavelet Transform and Applications A. Enis Çetin Bilkent Üniversitesi
Multiresolution Signal Processing Lincoln idea by Salvador Dali Dali Museum, Figueres, Spain M. Mattera
Multi-resolution signal and image processing http://www.ling.ohio-state.edu/~culicove/publications/lincoln.pdf
Decimation by a factor of 2 Decimation is a lossy operation We loose the high-frequency components Use a high-pass filter to retain the high-frequency band
Two-Channel Filter Bank Ho, Go are low-pass and H1 and G1 are half-band high-pass filters ^ Perfect reconstruction is possible: f=f Esteban & Galand, 1977
Subband (halfband) Decomposition Filter-bank Orthogonality condition: 2 2 Ho(ω) + Ho(ω+π) = 1 High-pass filter: H1(ω) = Ho(ω+π) Provides perfect reconstruction There are many solutions: Daubechies filter banks = Smith-Barnwell filter banks
Multi-Stage Filterbank
Block Wavelet Transform Order(N log N) transform Order(N) is also possible Cetin, Gerek, Ulukus, 1993:
Outline Wavelets form a basis for L2 Wavelets can be orthonormal They provide a time-frequency decomposition of a given signal Orthogonal wavelets are constructed from perfect reconstruction filterbanks Adaptive filterbanks with a lifting structure Image coding Wildfire detection
Wavelet basis of L2(R) : wavelet coefficients Notasyon: Bu konuşmada psi(t) yerine w(t) yi de ana dalgacık olarak kullanacağım
Wavelet coefficients Properties: Wavelets can be compactly supported Countable number of wavelets Wavelet is a band-pass waveform
Wavelet Functions Haar wavelet Çoklu-çözünürlüklü sinyal analizini mümkün kılar Zillion çeşit ortogonal dalgacık tasarlamak mümkündür It is possible to define a scaling function ( ) for each wavelet with the property Scaling functions are low-pass signals: Scaling coefficients:
Example: Haar Wavelet Corresponding scaling (smoothing) function:
Multiresolution wavelet basis functions:
Fourier Transform Fourier basis function: is of infinite extent Uncountably many basis functions: w is a real number
Multiresolution Subspaces An ordinary signal may have components in all subspaces:
L2 nin Çoklu-cözünürlüklü Altuzaylara Bölünmesi
Wavelet supspaces Wo = span{ w(t-k), k: tamsayı} Vj nin Wj ye dik olması şart değildir but it is a desirable property.
Structure of subspaces - I Wj+1 z ekseni olur, Vj+2 de 3-boyutlu uzay
Structure of subspaces
Wavelet Equation d[k]= < w(t), phi(2t-k) >, w(t)=2 g[k]= d[k]: bir yüksek geçirgen filtredir Haar Dalgacığı g[k] phi(2t-k)
Scaling Equation Vo < V1 => h[k] = < phi(t), phi(2t-k) > Yukarda h[k]= c[k] bir alçak geçirgen filtredir (pi/2'ye kadar) Dalgacık denklemindeki g[k] ise bir yüksek geçirgen filtredir (pi/2'den pi'ye kadar geçirir)
Dalgacık ve Ölçekleme Denklemlerinin Fourier Transformları Diklik şartı:
Wavelet Construction: Multi-resolution Analysis Start with a Perfect Reconstruction filterbank We never compute innerproducts with phi(t) and w(t) in practice! We only use the filterbank! Order(N) operation
Dalgacık, Ölçek Fonksiyonu ve Altuzayların Frekans İçerikleri Vo uzayı yaklaşık olarak frekans içeriği (0,pi) arasındaki sinyallerden oluşur Wo uzayı (pi,2pi) arasındaki sinyallerden oluşur V1 uzayı (0,2pi) arasındaki sinyallerden oluşur W1 uzayı (2pi,4pi) arasındaki sinyallerden oluşur V2 uzayı (0, 4pi) arasındaki sinyallerden oluşur
Wavelet family...w(t/2), w(t), w(2t), w(4t),... covers all frequencies
Filtre Kutusu Tasarımı Örnek p[n]: Lagrange filtreleri: p[n]= [ ½ 1 ½], p[n] = 2*[-1/32 0 9/32 1 9/32 0-1/32]
Vj Uzayına Projeksiyon
Dalgacık Örneklemesi = V altuzaylarına projeksiyon
Örnekleme-II
Mallat's Algorithm (=Tam geri çatmalı filtre kutusu ile sinyal analizi) Üst uzay katsayılarından alt uzay katsayılarına geçiş: Geri çatma:
Mallat'ın algoritması (Ağaç yapısı) fj[n]'den fj-1[n] ve bj-1[n] yi üret fj-1[n]'den fj-2[n] ve bj-2[n] yi üret fj-2[n]'den fj-3[n] ve bj-3[n] yi üret Bir sinyalin ağaç gösterimi
Pratikte Yapılan Kesikli Dalgacık Dönüşümü
Dalgacık Paket Dönüşümü Örneği
Görüntü İşleme için iki-boyutlu Filtreleme
Örnek x[n] = ( 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2...) Altbant sinyalleri Alçakgeçirgen (lowband) sinyali xo[n] = ( 1 1 1 1.5 2 2 2 2...) Dalgacık (highbad) sinyali x1[n]= ( 0 0-0.5-0.5 0 0 0 0...)
1-D filtre kutusu ile 2-boyutlu görüntü işleme (ayrılabilir filtreleme)
1-D filtre kutusu ile 2-boyutlu görüntü işleme (ayrılabilir filtreleme) Bir kanalın ayrık işlenmesi:
Bir görüntünün Dalgacık Dönüşümü Bir ölçeklik dönüşüm: Alçak geçirgen filtrelenmiş low-low görüntüsü tekrar ayrıştırılabilir
Görüntü Sıkıştırma JPEG-2000 dalgacık dönüşümüne dayalıdır Yüksek geçirgen filtrelenmiş görüntülerde bilgi daha azdır, sadece kenarlara karşı gelen yerlerde dalgacık değerleri vardır Bu görüntülerde pekçok değer sıfıra yakındır Sıfıra yakın değerleri eşikleyerek sıfır yapın Ayrıca altbant sinyalleri arasındaki ilişkiden de faydalanılır