Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)
UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmuştur. Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması koşulu ile özgürce kullanılabilir, çoğaltılabilir ve değiştirilebilir. Creative Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi http://creativecommons.org adresinde bulunmaktadır. Bu ekonometri ders notları setinin tamamına adresinden ulaşılabilir. A. Talha Yalta TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011
Ders Planı 1 EO Açıklayıcı Örnekler
EO yöntemine bir örnek olarak Poisson dağılımını ele alalım. Bu kesikli dağılım, verili bir süre ya da uzaysal alan içerisinde bir olayın belirli bir sayıda tekrarlanma olasılığını anlatır. Örnek olarak, 5 dakikalık süre içinde belli bir noktadan geçen araç sayısı Poisson dağılımına uyan bir rastsal değişkendir. Poisson dağılımının genel gösterimi şöyledir: f (x) = e λ λ x x! Burada x olayın gerçekleşme sayısını, λ ise belirli bir süredeki beklenen gerçekleşme sayısını göstermektedir. Artı değerli bir gerçel sayı olan λ ya ait EO tahmincisini bulmak istiyoruz. (1)
Poisson dağılımının matematiksel gösterimini alalım ve n sayıda gözlem için olabilirlik işlevini aşağıdaki gibi yazalım. Oİ(λ) = f (x 1 )f (x 2 )... f (x n ) = e λ λ x 1 x 1! e λ λ x 2 x 2!... e λ λ xn x n! = e nλ λ x i xi! (2) İki yanlı logaritmasını alarak log-olabilirlik işlevini bulalım. ln Oİ = nλ + x i ln λ ln x i! (3)
Log-olabilirlik işlevinin türevini alıp sıfıra eşitleyelim: ln Oİ λ = n + x i 1 λ = 0 (4) Yukarıdaki eşitliği λ ya göre çözersek şunu buluruz: λ = xi n (5) Demek ki EO yöntemi λ değiştirgesinin tahmincisini x in örneklem ortalaması olarak bulmaktadır.
İkinci bir örnek olarak üstel (exponential) dağılıma bakalım. Bu sürekli dağılım, olayların belli bir sabit hızda yinelendiği Poisson türü bir süreçteki gerçekleşmeler arası süreyi anlatır. Örnek olarak, belli bir noktadan rastsal olarak geçen araçlar arasında geçen süre üstel dağılıma uyan bir rastsal değişkendir. Üstel dağılımın olasılık yoğunluk işlevi ise şöyledir: f (x) = ( ) 1 θ e x/θ X > 0 için, = 0 X 0 için. (6) Burada x süreyi, θ ise dağılıma ait hız (rate) değiştirgesini göstermektedir. Şimdi de θ nın EO tahmincisini türetmek istiyoruz.
Baştaki örneklerde yaptığımız gibi, önce n gözlem için olabilirlik işlevini bulalım. Oİ = 1 ( ) θ n exp xi θ Log-olabilirlik işlevini yazalım, türevini alıp sıfıra eşitleyelim: ln Oİ = n ln θ x i θ ln Oİ θ (7) (8) = n θ + x i θ 2 = 0 (9) xi θ = (10) n Demek ki örneklem büyüklüğü n iken θ değiştirgesinin EO tahmincisi θ = x i /n olarak bulunmaktadır.
Son olarak, şimdi de Y i = β 1 + β 2 X i + u i iki değişkenli bağlanım modelini EO yöntemi ile tahmin edelim. Bunun için önce hata teriminin sıfır ortalama ile normal ve bağımsızca dağıldığını (u i NBD(0, σ 2 )) varsayalım. X N(µ, σ 2 ) rastsal değişken X in olasılık yoğunluk işlevi aşağıdaki gibidir: { } f (x) = 1 σ 2π exp 1 (x µ) 2 2 σ 2 (11) Yukarıdaki exp işlemcisi e üzeri anlamına gelmektedir.
Hataların u i N(0, σ 2 ) olduğunu varsaydığımıza göre Y i N(β 1 + β 2 X i, σ 2 ) dir. Diğer bir deyişle, Y i değerleri β 1 + β 2 X i ortalama ve σ 2 varyans ile normal dağılırlar. Buna göre tek bir Y nin olasılık yoğunluk işlevi şudur: { } f (Y β 1 + β 2 X, σ 2 ) = 1 σ 2π exp 1 (Y β 1 β 2 X) 2 2 σ 2 Birbirinden bağımsız i {1, 2,..., n} sayıda Y i nin ortak olasılık yoğunluk işlevi ise n tekil OYİ nin çarpımıdır: (12) f (Y 1 β 1 + β 2 X 1, σ 2 ) f (Y 2 β 1 + β 2 X 2, σ 2 )... f (Y n β 1 + β 2 X n, σ 2 ) (13)
Elimizdeki n gözlemdeki her bir Y i ve X i için (12) i (13) de yerine koyarsak, olabilirlik işlevini buluruz: { } Oİ(β 1, β 2, σ 2 1 ) = σ n 2π n exp 1 n (Y i β 1 β 2 X i ) 2 2 σ 2 i=1 (14) Bu denklemin doğal logaritmasını alırsak da log-olabilirlik işlevini elde ederiz: ln Oİ = n ln(σ) n 2 ln(2π) 1 n (Y i β 1 β 2 X i ) 2 2 σ 2 (15) ln Oİ değerini ençoklamak en sondaki terimi enazlamak demektir. Bu da en küçük kareler yaklaşımı ile aynı şeydir. i=1
Log olabilirlik işlevinin β 1, β 2 ve σ 2 ye göre kısmi türevleri alınırsa şu eşitlikler bulunur: ln Oİ β 1 = 1 σ 2 ln Oİ β 2 = 1 σ 2 n (Y i β 1 β 2 X i )( 1) (16) i=1 n (Y i β 1 β 2 X i )( X i ) (17) i=1 ln Oİ σ 2 = n 2σ 2 + 1 2σ 4 n (Y i β 1 β 2 X i ) 2 (18) i=1 (... devam)
(16), (17) ve (18) sıfıra eşitlenip birlikte çözüldükten sonra ise aşağıdaki EO tahmincileri elde edilir: β 1 = Ȳ β 2 X (19) β 2 = σ 2 = xi y i (20) x 2 i ûi 2 n (21)
Görüldüğü gibi u i lerin normal dağıldığı varsayımı altında β bağlanım katsayılarının EO ve SEK tahmincileri aynıdır. Diğer yandan σ 2 tahminleri farklıdır: SEK tahmincisi ˆσ 2 = ûi 2 n 2 (22) EO tahmincisi σ 2 = ûi 2 Buna göre σ 2 nin SEK tahmincisi yansızken EO tahmincisi aşağı doğru yanlıdır. Ancak kavuşmazsal olarak, diğer bir deyişle n sonsuza yaklaştıkça, EO tahmincisi de yansızlaşır. Öyleyse, σ 2 nin EO tahmincisi kavuşmazsal yansızlık (asymptotic unbiasedness) özelliğini taşımaktadır. n (23)
Önümüzdeki Dersin Konusu Önümüzdeki ders Aralık tahmini