SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Transkript

1 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Ekonometr 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekm 2011)

2 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler UADMK Açık Lsans Blgs İşbu belge, Creatve Commons Attrbuton-Non-Commercal ShareAlke 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lsansı altında br açık ders malzemes olarak genel kullanıma sunulmuştur. Esern lk sahbnn belrtlmes ve geçerl lsansın korunması koşulu le özgürce kullanılablr, çoğaltılablr ve değştrleblr. Creatve Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lsansı le lgl ayrıntılı blg adresnde bulunmaktadır. Bu ekonometr ders notları setnn tamamına adresnden ulaşılablr. A. Talha Yalta TOBB Ekonom ve Teknoloj Ünverstes Ekm

3 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Ders Planı 1 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler

4 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Gauss - Markov Kanıtsavı Klask Doğrusal Bağlanım Model (KDBM) varsayımları geçerl ken, en küçük kareler yöntem le elde edlen tahmnler arzulanan bazı özellkler taşırlar. Gauss - Markov kanıtsavına göre ˆβ SEK tahmnclerne En y Doğrusal Yansız Tahmnc (Best Lnear Unbased Estmator), kısaca EDYT (BLUE) adı verlr.

5 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Gauss - Markov Kanıtsavı EDYT olan ˆβ şu üç arzulanan özellğ taşır: 1 Doğrusaldır. Dğer br deyşle bağlanım modelndek Y bağımlı değşkennn doğrusal br şlevdr. 2 Yansızdır. Beklenen değer E( ˆβ), anakütleye at gerçek β değerne eşttr. 3 Tüm doğrusal ve yansız tahmncler çnde enaz varyanslı olandır. Kısaca en y ya da etkn (effcent) tahmncdr. Gauss - Markov kanıtsavı hem kuramsal olarak hem de uygulamada önemldr.

6 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler SEK Tahmnclernn Doğrusallık Özellğ SEK tahmnclernn doğrusallık (lnearty) arzulanan özellğn göstereblmek çn ˆβ 2 formülünü şöyle yazalım: x y x (Y ˆβ 2 = = Ȳ ) x Y = Ȳ x x Y = x 2 x 2 x 2 x 2 Bu bastçe şu şeklde de gösterleblr: x Y = k x 2 Y, k = x ( x 2 ) x değerler olasılıksal olmadığına göre k ler de gerçekte Y lern önüne gelen brer ağırlık (weght) katsayısıdırlar. ˆβ 2 bu durumda Y lern doğrusal br şlevdr. Bastçe ˆβ 2 nın Y lern br ağırlıklı ortalaması olduğu da söyleneblr. ˆβ 1 nın doğrusal olduğu da benzer bçmde kanıtlanablr.

7 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler SEK Tahmnclernn Yansızlık Özellğ SEK tahmnclernn yansızlık (unbasedness) arzulanan özellğn göstereblmek çn ağırlık term k nn şu beş özellğ önemldr: 1 X ler olasılıksal olmadığından k ler de olasılıksal değldr. 2 k = 0 dır. ( x = 0 olduğu çn) 3 k 2 = x 2 / (x 2 ) 2 = 1/ x 2 olur. 4 k x = x 2 / x 2 = 1 dr. 5 k x = k X olur. ( k x = k (X X) = k X X k olduğu çn) Dkkat: Tüm bu özellkler k nn tanımından türetleblmektedr.

8 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler SEK Tahmnclernn Yansızlık Özellğ ˆβ 2 nın yansız olduğunu kanıtlamak çn Y = β 1 + β 2 X + u bçmndek ABİ y ˆβ 2 formülünde yerne koyalım: ˆβ 2 = k Y = k (β 1 + β 2 X + u ) = β 1 k + β 2 k X + k u = β 2 + k u Yukarıdak son adımda k nn az önce sözü edlen knc, dördüncü ve beşnc özellklernden yararlanılmıştır. β 2 ve k nn olasılıksal olmadığını ve E(u ) = 0 varsayımını anımsayalım ve her k yanın beklenen değern alalım: E( ˆβ 2 ) = E(β 2 ) + k E(u ) = β 2 E( ˆβ 2 ) = β 2 olduğuna göre ˆβ 2 yansız br tahmncdr.

9 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler SEK Tahmnclernn Enaz Varyanslılık Özellğ SEK tahmnclernn enaz varyans (mnmum varance) arzulanan özellğn göstereblmek çn se β 2 nn en küçük kareler tahmncsnden yola çıkalım: ˆβ 2 = k Y Şmd β 2 çn başka br doğrusal tahmnc tanımlayalım: β 2 = w Y Buradak ( ) şaret dalga (tlde) dye okunur. w ler de brer ağırlıktır ama w = k olmak zorunda değldr: β 2 nın yansız olablmes çn gerekl koşullara br bakalım: E( β 2 ) = w E(Y ) = w (β 1 + β 2 X ) = β 1 w + β 2 w X Buna göre, β 2 nın yansız olablmes çn şunlar gerekldr: w = 0, w x = w X = 1 (... devam)

10 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler SEK Tahmnclernn Enaz Varyanslılık Özellğ var( ˆβ 2 ) var( β 2 ) savını kanıtlamak styoruz. Bunun çn şmd β 2 nın varyansını ele alalım: var( β 2 ) = var( w Y ) = w 2 var(y ) [Dkkat: var(y ) = var(u ) = σ 2 ] = σ 2 w 2 = σ ( 2 w x + x x 2 x 2 = σ ( 2 w x x 2 = σ 2 ( w x x 2 [Dkkat: cov(y, Y j ) = 0, ( j)] ) 2 ) 2 + σ ( 2 x x 2 ) 2 + σ 2 ( 1 x 2 ) ) 2 + 2σ 2 ( w x x 2 ) ( (... devam) ) x x 2

11 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler SEK Tahmnclernn Enaz Varyans Özellğ Son satırda bulmuş olduğumuz şey şudur: var( β 2 ) = σ 2 ( ) 2 ( ) w x x 2 + σ 2 1 x 2 Yukarıda en sağdak term w den bağımsızdır. Öyleyse var( β 2 ) yı enazlayablmek lk terme bağlıdır ve lk term sıfırlayan w değer de şudur: w = x x 2 = k Bu durumda aşağıdak eştlk geçerldr: var( β 2 ) = σ2 x 2 = var( ˆβ 2 ) Demek k w ağırlıkları k ağırlıklarına eşt olduğunda β 2 nın varyansı enazlanarak ˆβ 2 nın varyansına eştlenmektedr. Sonuç olarak, en küçük kareler tahmncs ˆβ 2 tüm yansız ve doğrusal tahmncler çnde enaz varyanslı tahmncdr.

12 SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Önümüzdek Dersn Konusu Önümüzdek ders SEK yöntemnn ardındak varsayımlar