11. ULUAL MAKİNA TEORİİ EMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendisik-Mimarık Fakütesi, -6 Eyü 003 ELATİK BİYELLİ KRANK-BİYEL MEKANİZMALARININ DİNAMİK KARARLILIĞI AKKINDA PARAMETRİK İNCELEMELER Özgür TURAN İstanbu Teknik Üniversitesi, Makina Fakütesi, 80191 Gümüşsuyu, İTANBUL turhanoz@itu.edu.tr Gökhan BULUT İstanbu Teknik Üniversitesi, Makina Fakütesi, 80191 Gümüşsuyu, İTANBUL buutgo@itu.edu.tr ÖZET Bu çaışmada, eastik biyei krank-biye (KB) mekanizmaarının dinamik kararıığına çeşiti sistem parametreerinin etkisi inceenmiştir. Bu amaça hareketi biye viskoeastik mazemeden yapımış bir Euer- Bernouii kirişi oarak modeenmiş, ede edien kısmi türevi diferansiye denkem Gaerkin Yöntemi yardımıya peryodik katsayıı bir adi diferansiye denkem takımına (Mathieu-i denkemeri takımı) dönüştürümüş ve bu denkemerin kararıığı Geneeştirimiş Bootin Yöntemi yardımıya inceenerek çeşiti boyutsuz parametre düzemerinde kararıık kartarı verimiştir. Anahtar Keimeer: Krank-Biye Mekanizması, Dinamik Kararıık, Geneeştirimiş Bootin Yöntemi 1. GİRİŞ Daha hızı, daha güçü fakat daha hafif makinaar yapma gene hedefinin önündeki en büyük enge, bu koşuar atında, makinaarın istenmeyen eastik davranışar göstermesidir. Bu nedene, bu hedefe yöneik kuramsa çaışmaar arasında eastik uzuvu makinaarın dinamiği konusundaki araştırmaar önemi bir yer tutar. Peryodik çevrimi makinaar söz konusu oduğunda -ki çoğu makina böyedireastik uzuvarın dinamik davranışının bir çok durumda peryodik katsayıı, ineer, adi diferansiye denkemere (Mathieu-i denkemeri) uyduğu; yani bunarın parametre tahriki sistemer ouşturduğu biinmektedir. Parametre tahriki sistemer kendierine özgü rezonans koşuarına sahiptir. Bu rezonans koşuarının beirenmesi probemi dinamik kararıık anaizi probemi adını aır ve tıpkı sıradan titreşim sistemerindeki doğa frekans hesabı probemi gibi büyük öneme sahiptir. Geneike, parametrik ve bieşik rezonans omak üzere, iki tip rezonans; buna bağı oarak da (yanız parametrik rezonans koşuarının beirendiği) parametrik kararıık anaizi ve (her iki tipten rezonans koşuarının beirendiği) tam kararıık anaizi omak üzere iki tür kararıık anaizi ayırdediir. Kararıık anaizinin sonuçarı, çoğunuka, seçimiş bir parametre düzeminde kararı ve kararsız parametre bögeerinin gösteridiği kararıık kartarı yardımıya sergienir. Esnek uzuvu makinaarın dinamik kararıık anaizi probemi bir çok araştırmacının igisini çekmiştir. Burada yanızca Krank-Biye (KB) mekanizması ie igii çaışmaarı anmak gerekirse; Jasinski, Lee ve andor [1], Badani ve Keinhenz [], Zhu ve Chen [3], Tadjbakhsh ve Younis [], Turhan [5] ve Wang [6] eastik biyei; Badani ve Midha [7] veturhan [8] visko-eastik biyei KB mekanizmaarının kararıığını inceemişer; Chivate ve Farhang [9] kayış-kasnak mekanizması ie çaıştırıan viskoeastik biyei bir KB mekanizmasının, Lu, aque ve Lakshmikumaran [10] ise zemine eastik oarak bağı, eastik biyei bir KB mekanizmasının kararıığını ee amışardır. Bu çaışmaarda Bootin Yöntemi [11], monodromi matrisi yöntemi, pertürbasyon yöntemi gibi çeşiti yöntemer kuanımıştır. Anıan çaışmaarın her birinde hızın ve bir tek diğer sistem parametresinin, bazen de bunara ek oarak sönümün KB mekanizmasının kararıığı üzerindeki etkisi inceenmiş ise de; tüm sistem parametreerinin etkierini topuca ortaya koyan bir çaışma buunmamaktadır. Bu çaışmanın amacı, bu çok önemi mekanizmada oası tüm tasarım parametreerinin kararıık üzerindeki etkierini ayrı ayrı inceeyip kararıık kartarı yardımıya bir arada sergiemektir. Bu yapıırken, hız, sönüm, krank yarıçapı, piston kütesi gibi etkieri daha önce de inceenmiş parametreer yanında kaçık merkezi KB mekanizmaarında merkez kaçıkığı da ik kez kararıık üzerindeki etkisi bakımından ee aınacaktır. Çaışmada visko-eastik biyei, kaçık merkezi bir Krank-Biye mekanizması göz önüne aınacak ve bu mekanizmanın kararıığı üzerinde etkii oan sistem parametreerinin tam bir istesi ortaya konuduktan sonra tüm bu parametreerin etkieri, orijina haiye
Turhan ve Buut bir parametrik kararıık anaiz yöntemi oan Bootin yönteminin bir tam kararıık anaiz yöntemine geneeştirmesi oan Geneeştirimiş Bootin Yöntemi [1] yardımıya inceenecektir.. AREKET DENKLEMLERİ Şeki 1-a daki KB mekanizması göz önüne aınsın ve biye dışındaki uzuvarın rijid, buna karşıık biyein, gerime ( σ) - şeki değiştirme ( ε ) iişkisi, E Young modüünü, η ise viskoz sönüm orantı katsayısını dε göstermek üzere, σ = E( ε + η ) oacak şekide dt Kevin-Voight mazeme modeine (Şeki 1-b) uyan visko-eastik, düzgün kesiti, homojen, basit mesneti bir Euer-Bernouii kirişi oduğu varsayısın. Krankın sabit ω açısa hızıya döndüğü, mekanizma üzerine bunun gerektirdiği çaıştırma momenti dışında hiç bir dış kuvvetin etkimediği ve ineer omayan terimere yo açan Coriois kuvveterinin göz ardı ediebidiği kabueri atında hareketi biyein düzem içi eğime titreşimerinin, (EI, A ve ρ, biyein, sırasıya, eğime rijidiğini, kesit aanını ve kütese yoğunuğunu göstermek üzere) u EI L(u) = + [(1 + ηω )u] [rc3( x) ϕ ρaω x ϕ 1 Fx u u + G3 ( x ) + ] + (rc3 + G3x) G u A x x 3 ρ ω 1 + (G 3 x r3] = 0 (1) kısmi türevi diferansiye denkemi ie basit mesnet sınır koşuarından ouşan sınır-değer probemine uyacağı gösteriebiir [5,8]. Burada, 1 1 m && s + ( && ϕ3 r3ω )m33 F 3 x = C3 () pistonun biyee uyguadığı tepki kuvvetinin boyuna bieşeni oup ϕ = ω t, u = y / boyutsuz değişkeneri ie hepsi rijid KB mekanizmasının kinematiğine iişkin ifadeer oan ve ϕ nin fonksiyonu oarak koayca hesapanabien G = ϕ& ω, G = ϕ& ω, G = & s ω, 3 3 / 3 3 / / i = sin ϕi, Ci = cos ϕi, ij = sin( ϕi ϕ j), y A j ρ,a,ei,,(m 3 ) r ϕ 3 i 3 F y F x B m A 0 ϕ e B F x x 1 1 s F y ηe E Şeki 1 Viskoeastik Biyei Krank-Biye Mekanizması Mekanizma Kevin-Voight Mazeme Modei
11. ULUAL MAKİNA TEORİİ EMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendisik-Mimarık Fakütesi, -6 Eyü 003 Cij = cos( ϕi ϕ j) gösteriimeri kuanımıştır. Ayrıca m 3 biyein, m ise pistonun kütesini göstermektedir. Gaerkin yöntemi yardımıya, (1) de tanımı sınırdeğer probeminin yerine, onu bei bir yakaşıkıka temsi edecek, sonu sayıda denkemden ouşan bir adi diferansiye denkem takımı geçiriebiir. Bu amaça gi ( ϕ ) er biinmeyen ağırık fonksiyonarı, iπx ψ i (x) = sin( ) fonksiyonarı ise basit mesnet sınır koşuarına sahip hareketsiz kirişin öz fonksiyonarından ibaret bir ortogona fonksiyonar takımı omak üzere, sınır değer probeminin çözümü N ~ u(x, ϕ ) = gi ( ϕ) ψi (x) (3) i= 1 sonu serisi ie yakaşık oarak temsi ediir ve bu çözüm (1) de yerine konuup L ( ~ u) ψ (x)dx = ; 0 j 0 j=1,,...,n şekinde N adet ortogonaizasyon şartı yazıırsa, vektör-matris formundaki ifadesi ζ 1 g + Eg + [ E + P( ϕ )] g = q( ϕ ) () şekinde oan bir adi diferansiye denkem takımına uaşıır. Burada g, eemanarı g i (ϕ ) er oan N boyutu biinmeyener vektörü; E, eemanarı eii ( πi) = oan sabit bir köşegen matris; P(ϕ ), köşegen eemanarı µ 33 1 3 Pii ( ϕ ) = [ (C3 ) + (G3 + G 3) C3 3 C3 G 5 λ ](iπ) G 3 C3 köşegen dışı eemanarı ise i + j i+ j P ij ( ϕ ) = ij {[1 ( 1) ] µ C 3 (i j ) i+ j ( 1) G 3, (5), i j (6) şekinde oan NxN boyutu bir matris, q(ϕ ) ise eemanarı i i q i ( ϕ ) = {[1 ( 1) ] µ 3 + ( 1) G 3 (7) iπ şekinde tanımı Nx1 boyutu bir sütun matris oup EI ζ = η, ρa m λ =, m 3 EI = ω /, ρa µ = r (8) boyutsuz parametreeri kuanımıştır. Yapısında geçen ve KB mekanizmasının kinematiğiye igii oan 3, C 3, 3, C 3, G 3, G 3, G terimeri ϕ nin π peryodik fonksiyonarı oduğundan () denkem takımı bir Mathieu-i denkemeri takımı ouşturmaktadır. Öte yandan, bu terimer (8) de tanımı µ parametresinin yanısıra, igienien KB mekanizmasının merkez kaçıkığının bir öçüsü oan = e parametresine de bağı odukarından, (5) ten λ ya bağımıık da dikkate aınarak P=P(λ,µ,,ϕ ) yazıabieceği anaşıır. Böyece, () denkeminin kararıık anaizinde gereki oan homojen kısmı, probemin bağımı oduğu parametreeri açıkça gösterecek biçimde ζ 1 g + Eg + [ E + P( λ, µ,, ϕ )] g = 0 (9) şekinde yazıabiir. Buna göre, sistemin kararıığı üzerinde etkii oacak sistem parametreeri EI = ω /, ρa µ = r, EI ζ = η, ρa m λ =, m = e (10) şekindeki beş parametreden ibarettir. Aşağıda bu parametreerinin her birinin KB mekanizmasında eastik biyein dinamik kararıığı üzerindeki etkieri inceenecektir. 3. KARARLILIK ANALİZİ Geneeştirimiş Bootin Yöntemine [1] göre dinamik davranışı i=j (9) şekindeki bir Mathieu-i denkemeri takımınca tasvir edien N serbestik derecei bir dinamik sistemin, bir eksenine nın yereştiridiği bir parametre düzemindeki kararsızık (rezonans) bögeerinin sınırındaki değererinin şöye hesapanabieceği gösteriebiir [13]: P p =P p (λ,µ,); p=-m,..,-1,0,1,..m matriseri P=P(λ,µ,,ϕ ) matrisinin m ipϕ ( λ, µ,, ϕ ) = Pp ( λ, µ, )e p= m P (11) şekinde bir karmaşık Fourier serisine açındırımasıya ede edien NxN boyutu karmaşık Fourier katsayı matriseri; E i, F i er k. hiper-satır, q. hiper-sütun eemanarı 3
Turhan ve Buut kq E0 = ikiδkq, kq E1 = ζe kq kq F0 = k Iδkq + Pk q, F1 = iqζe, kq F = E (1) şekinde tanımı NxN matriser oan, asında sonsuz boyutu fakat yakaşık bir hesapta K k + K, K q + K oacak şekide η 1xη1 ; η 1 = N(K + 1) boyutu kısımarı dikkate aınan hiper-matriser; U i er 0 I 0 0 U 0 =, - F0 - E U1 =, 0 - F1 - E1 0 0 U = (13) - F 0 şekinde tanımı, yakaşık hesapta η 1xη1 boyutu hiper-matriser; B(U i ) er U i erin [1] ve [1] te tanımarı verien, yakaşık hesapta η xη ; η = η1(η1 1) boyutu karşııkı topam (biaternate sum) matriseri omak üzere, harmonik parametrik rezonans sınırarındaki değereri det[ F 0 + 1/ F1 + 1/ F ] = 0 (1) harmonik atı parametrik rezonans sınırarındaki değereri det[[ F 0 + 1/ ie0 1/ I] + 1/ [ F1 + 1/ ie1] + 1/ F ] = 0 (15) bieşik rezonans sınırarındaki değereri ise det[ B( U0 ) + 1/ B( U1) + 1/ B( U )] = 0 (16) probemerinin çözümünden hesapanabiir. Bu çözümerin nası gerçekeştiriebieceğini görmek için her üç probemi temsien det M 1 1 o + M1 + M = 0 (17) probemi ee aınırsa, ie çarpııp det Mo 0 omak kaydıya [ I] 0 det G = ; 1 1 M M M M G = o 1 o (18) I 0 şekinde ineereştirierek bu probemin için bir özdeğer hesabı probemine dönüştürüebieceği görüür. Artık buradan, uygun bir özdeğer hesabı rutini yardımıya, koayıka hesapanabiecektir. det M =0 oması hainde ise 1 igii matris o δ poinomunun bir özdeğeri omamak kaydıya (17) denkeminde 1 = 1 + 1 yazııp (18) denkemi M δ 1 1 o = M o + M 1 + δ M, M1 M1 + δ 1 M δ M =, M = (19) değereriye için çözüebiir ve buradan δ δ+ = şekinde hesapanabiir. Probemin kurgusu şöye bir gözden geçiridiğinde koayca görüeceği gibi (1-16) probemerinden hangisi söz konusu oursa osun (18) denkemindeki G matrisi G=G(ζ,λ,µ,) şekinde sistem parametreerine bağı oacaktır. Buna göre bu parametreerden üçü sabitenip dördüncüsü adım adım değiştirierek nın det[ G( ς, λ, µ, ) I] = 0 (0) özdeğer anaizi probeminden hesapanmasıya, bu dördüncü parametre ie nın ouşturduğu parametre düzeminde, rezonans bögeerinin sınırarı ede ediebiir. Bu yapıırken, gerçe omayan değererinin ve (yapıan hesabın bir yakaşık hesap omasıya bağantıı oarak) yakınsaması yeteri omayan değererinin eenmesi gerektiğini beirteim fakat kısaık bakımından burada bunu yapmanın yöntemerinin ayrıntıarına girmeyeim.. PARAMETRİK İNCELEMELER Bu böümde, yukarıda kısaca tanıtıan hesaparın, bu amaç için öze oarak geiştirien bir FORTRAN programı yardımıya gerçekeştirimesi ie ede edien sonuçar sergienecektir. Ancak, hesaba geçmeden önce, ede ediecek sonuçarın güveniiriğini etkieyen bazı hesap parametreerinden kısaca söz edimesi yerinde oacaktır. Bu parametreerden iki, (11) denkemindeki Fourier serisi açınımarında dikkate aınacak terim sayısını beireyen m parametresidir. onuçarın güveniiriğini güvence atına aacak m değerini beireyebimek için, P ij fonksiyonarının (5-6) denkemerindeki gerçek ifadeeri ie (11) denkemindeki Fourier serisi açınımarının farkı parametre kombinasyonarına karşıık geen durumarda ayrıntıı bir karşıaştırması yapımış ve en az m=8 (8 harmonik) aınması gerektiği görüüp hesaparda bu değer benimsenmiştir. Buna göre bir parametre taranarak gerçekeştirien hesaparın her adımında m+1=17 adet P p karmaşık Fourier katsayıarı matrisinin hesapanması gerekmiş ve bu iş katsayıarı veren integraer impson kuraı ie sayısa yodan hesapanarak gerçekeştirimiştir.
11. ULUAL MAKİNA TEORİİ EMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendisik-Mimarık Fakütesi, -6 Eyü 003 esapar üzerinde etkii iki diğer parametre de (3) denkemiye verien Gaerkin serisindeki N terim sayısı (ki burada mod sayısı diye anıacaktır) ve (1) matriserinin boyutunu tayin eden K sayısıdır. Bunardan N sayısı, kuanıan ayrık matematikse modein gerçek süreki sistemi temsi yeteneğinin bir öçüsünü ouştururken K sayısı, bir yandan ee aınacak parametre düzemi üzerinde saptanacak kararsızık (rezonans) bögeerinin sayısını bir yandan da bunarın hesap hassasiyetini beiremektedir. Öye ki 1. mertebeden kararsızık bögeerinden K. mertebeden kararsızık bögeerine kadar ede edimekte, bunardan 1. mertebeden oanar için K. mertebeden (en yüksek) yakaşıkık, diğereri için ise giderek azaan mertebeden yakaşıkıkar ede edimektedir. Bu söyenienerden koayca anaşıacağı gibi, N ve K değererinin kararıık anaizi sonuçarında bir yakınsama ouşmasına yetecek kadar büyük seçimesi gerekmektedir. Bu seçimerden Böüm.1 de ayrıntıı oarak söz ediecektir. esaba geçmeden kaydedimesinde yarar oan bir başka husus da ede ediecek kararıık kartarının görünümeri hakkındaki kuramsa bekentierdir. Foquet Kuramına göre, burada ee aınan ve boyutsuz doğa frekansarı () denkemindeki E matrisinin eemanarının karekökeri oarak ω i =i π (1) şekinde bei oan sistemde kararsızık bögeerinin var omaarı hainde- ekseninin hangi noktaarından çıkacağı beidir. Buna göre, sistemde sönüm buunmaması hainde, i. moda ait k. mertebeden harmonik parametrik rezonans bögeeri ik ω i k = i=1,,...,n; k=1,,...,k () i. moda ait k. mertebeden harmonik atı parametrik rezonans bögeeri ω ik = i (k 1) i=1,,...,n; k=1,3,5,... (3) i. ve j. modara ait k. mertebeden (ikii) bieşik rezonans bögeeri ise C ω i mω j ijk = k i, j=1,,...,n; k=1,,...,k () noktaarından çıkacaktır. Aşağıda sunuacak hesaparın hiç birinde pratik bakımdan anamı parametre bögeerinde bieşik rezonans bögesine rastanmadığı için bunar bir yana bırakıır ve (1) değereri () ve (3) ifadeerinde yererine konuarak parametrik rezonans bögeerinin çıkış noktaarı beirenirse, birinci moda (i=1) iişkin harmonik parametrik rezonans bögeerinin 11 = 1 = 1 = 15 = 13 = 9.869,. 935, 3. 89,.67, 1. 97,... (5) harmonik atı parametrik rezonans bögeerinin ise 11 = 1 = 1 = 15 = 13 = 19.739, 6. 579, 3. 98,.819,. 191,... (6) noktaarı civarından çıkmaarı gerektiği anaşıır. Aşağıda veriecek tüm kararıık kartarının bu bekentiere uyumu oduğu görüecektir..1. Merkez Kaçıkığının Kararıık Üzerindeki Etkisi Merkez kaçıkığının kararıık üzerindeki etkisini inceemek üzere, = 0. 3 m, µ = r / = 0. 3, λ = m / m3 = 0.5 şekinde tanımı bir KB e mekanizması için ( = ) parametre düzeminde farkı mod sayıarı ve sönüm değereri için ede edien kararıık kartarı Şeki, 3 ve te verimiştir. Bu şekierde taraı aanar kararsız parametre bögeerini (rezonans bögeeri) göstermektedir. Ayrıca, sınırarı koyu renk çizimiş bögeer harmonik parametrik rezonans bögeeri, açık renk çizimiş oanar ise harmonik atı parametrik rezonans bögeeridir. Şekierde <0.7 bögesinin dışına çıkımamasının nedeni krankın dönebimesi için +µ<1 koşuunun sağanmasının gerekmesidir. Bu şekierden Şeki de yanızca 1. modu hesaba katan (N=1) tek terimi Gaerkin açınımı, Şeki 3 ve te ise, sırasıya, ve 3 mod hesaba katan (N= ve N=3) Gaerkin açınımarı kuanımıştır. Şekierin her birinde da daha düşük (ζ=0.001) de ise daha yüksek (ζ=0.01) sönüm değererine iişkin sonuçar verimiştir. Şeki, 3 ve ün çıpak göze bir karşıaştırması, N= ve N=3 ie yapıan hesaparın, 1. mod bakımından zaten kararsız oan bögeerin içerisinde. moda ve 3. moda ait kararsızık bögeerinin de buunacağı kuramsa öneme sahip bigisini sağamaka birikte, kararsız bögenin dış sınırını ouşturan birinci moda ait böge sınırarında göze görüür bir değişikiğe yo açmadıkarını ortaya koymaktadır. Buradan N=1 ie yapıan hesaparın pratik bakımdan yeteri oduğu izenimi doğsa da daha kesin bir hükme varabimek ve hesaparda kuanıacak N ve K değererini kararaştırabimek için Tabo 1 ve de birinci moda ait bazı kararıık sınırarının farkı N ve K değereri ie ede edien sayısa değereri karşıaştırımıştır. Bu Taboarın (ve burada verimeyen diğererinin) inceenmesinden, pratik bakımdan önem taşıyan 1. mod kararıık sınırarında yeteri yakınsama için N=, K=8 aınmasının uygun oacağı anaşımış ve tüm hesaparda bu değerer benimsenmiştir. Burada, N= gibi mütevazi bir terim sayısıya süreki sistemin dinamik davranışına yakınsama sağayan 5
Turhan ve Buut Gaerkin yönteminin gücüne işaret etmeden geçmeyeim. Tabo 1 =0.3 İçin N 11 Bögesi At ınırı (ζ=0.001) K 8 1 16 1 6.5570 6.55891 6.55891 6.55891 6.51705 6.517985 6.517985 6.517985 3 6.51750 6.51788 6.51788 6.51788 Tabo =0.3 İçin N Bögesi At ınırı (ζ=0.001) 1 K 8 1 16 1 5.5663 5.5796 5.5796 5.5796 5.37181 5.38651 5.38651 5.38651 3 5.3707 5.38595 5.38596 5.38596 Şeki - ten dikkate aınan parametreerin kararıık üzerindeki etkieri bakımından çıkartıabiecek sonuçara geince; i) ızın kararıık üzerindeki etkisi oumsuzdur. Biyein eğime titreşimerinin 1. doğa frekansı (Boyutsuz karşıığı: ω 1 =π ) ie karşıaştırıabiir mertebedeki yüksek hızarda kararsızık neredeyse kaçınımaz görünmektedir. Ayrıca, bunun yarısı mertebesindeki hızardan itibaren dar kararsızık bantarıya karşıaşma oasıığının da dikkate aınması gerektiği anaşımaktadır. ii) Mazeme sönümünün kararıık üzerindeki etkisi oumudur. ivri uçu kararsızık bögeerinin uçarını yuvaratıp bunarı hız ekseninden kopartarak özeike küçük merkez kaçıkığına sahip mekanizmaarda kararı hız araıkarını genişetmektedir. Şekierden çıpak göze görümese de sönümün hesapara yansıyan bir etkisinin de sistem doğa frekansarını ve bununa bağantıı oarak rezonans bögesi sınırarını hafifçe aşağı çekmesi oduğunu beirteim. iii) Merkez kaçıkığının kararıık üzerindeki etkisi oumsuzdur. Kaçıkık arttıkça kararsızık bögeeri genişemekte ve üst mertebeden yeni kararsızık bögeeri devreye girmektedir. Ancak <0.1 oacak şekideki maku bir Merkez kaçıkığının kararıık üzerinde kayda değer bir etkisi buunmamaktadır. Şeki KB Mekanizmasının Kararıığına Merkez Kaçıkığının Etkisi (1 Mod) ζ=0.001, ζ=0.01 6
11. ULUAL MAKİNA TEORİİ EMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendisik-Mimarık Fakütesi, -6 Eyü 003 Şeki 3 KB Mekanizmasının Kararıığına Merkez Kaçıkığının Etkisi ( Mod) ζ=0.001, ζ=0.01 Şeki KB Mekanizmasının Kararıığına Merkez Kaçıkığının Etkisi (3 Mod) ζ=0.001, ζ=0.01 7
Turhan ve Buut.. Krank-Biye Mekanizmasının Kararıığına Piston Kütesinin Etkisi = 0.5 m, µ = r / = 0. 5, = 0 şekinde tanımı merkezci bir KB mekanizması için, N=, K=8 değereri ve iki farkı sönüm değeri için m λ( = ) düzeminde ede edien kararıık m3 kartarı Şeki 5 te verimiştir. Bu şekierin inceenmesiye, göz önüne aınan parametreerin kararıık üzerindeki etkieri hakkında şu sonuçara varımaktadır: i) ızın kararıık üzerindeki etkisi oumsuzdur ve Böüm.1 deki değerendirmeer geçeridir. Ancak, birinci doğa frekansın üstündeki hızarda kararı çaışmayı oanakı kıan dar bir kararıık bandının buunacağı anaşımaktadır. ii) Mazeme sönümünün kararıık üzerindeki etkisi oumudur ve yine Böüm.1 deki değerendirmeer geçeridir. iii) Piston kütesinin kararıık üzerindeki gene etkisi oumsuzdur. Piston kütesinin artması hem, geneike (Geneike çünkü bunun önemi istisnaarı buunduğu şekiden görümektedir), var oan kararsızık bögeerinin genişemesine, hem de üst mertebeden yeni kararsızık bögeerinin devreye girmesine yo açmaktadır. Buradan, çok yüksek hızara çıkması istenen KB mekanizmaarında pistonun eden gediğince hafif yapıması gerektiği anaşımaktadır. Esasen bu, sarsma kuvveterinin azatıması, düzgün çaışmanın sağanması, mafsa ve yatak kuvveterinin küçütümesi gibi başka dinamik gerekçeere de istenen bir özeiktir. λ λ Şeki 5 KB Mekanizmasının Kararıığına Piston Kütesinin Etkisi ζ=0.001, ζ=0.01.3. Krank-Biye Mekanizmasının Kararıığına Krank Yarıçapının Etkisi = 0.5 m, λ = m / m3 = 0. 5, = 0 şekinde tanımı merkezci bir KB mekanizması için, N=, K=8 değereri ve iki farkı sönüm değeri için µ ( = r ) düzeminde ede edien kararıık kartarı Şeki 6 da verimiştir. Bu şekierin inceenmesiye, göz önüne aınan parametreerin kararıık üzerindeki etkieri hakkında şu sonuçara varımaktadır: i) ızın kararıık üzerindeki etkisi oumsuzdur ve Böüm.1 ve. deki değerendirmeer geçeridir. ii) Mazeme sönümünün kararıık üzerindeki etkisi oumudur ve yine Böüm.1 deki değerendirmeer geçeridir. iii) Krank yarıçapının kararıık üzerindeki gene etkisi oumsuzdur. Krank yarıçapının artması hem - istisnai parametre bögeeri dışında- var oan kararsızık bögeerinin genişemesine, hem de üst mertebeden yeni kararsızık bögeerinin devreye girmesine yo açmaktadır. er ne kadar kendierinden bekenen göreveri yerine getirebimek için KB mekanizmaarının 0.-0.3 araığında bir µ değerine sahip omaarı gerektiği ve uyguamanın bu yönde oduğu biinmekte ise de, dikkat çekici bir özeik oarak, çok küçük µ değereri bögesinde kararıığı yitirmeden çok yüksek hızara çıkma oanağının buunduğunu not etmekte yarar vardır. 8
11. ULUAL MAKİNA TEORİİ EMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendisik-Mimarık Fakütesi, -6 Eyü 003 Burada son bir not oarak, merkezci KB mekanizmaarında stroğun s=r oacak biçimde krank yarıçapının iki katına eşit omasıya bağantıı oarak, Şeki 6 nın bu tip KB mekanizmaarı özeinde bir s diyagramı oarak okunmasının da mümkün oduğunu, doayısıya büyüyen stroğun kararıık üzerinde oumsuz etkisi buunacağının anaşıdığını kaydedeim. µ µ Şeki 6 KB Mekanizmasının Kararıığına Krank Yarıçapının Etkisi ζ=0.001, ζ=0.01 5. ONUÇ Biyei eastik diğer uzuvarı rijid kabu edien Krank-Biye mekanizmaarında çeşiti sistem parametreerinin biyein düzem içi eğime titreşimerinin kararıığı üzerindeki etkieri inceenmiştir. Modede krank ve piston eastikiğinin göz ardı edimiş oması, bu uzuvarın teme frekansarının biyeinkine orana yüksek mertebeden oması hainde -ki gerçek durum budur- biyein kendi yüksek titreşim modarının göz ardı edimesinden - ki bu çaışmada bunun yerinde oduğu gösterimiştirdaha büyük bir eksikik değidir. Buna karşıık, mekanizmanın kendi parametreerinin etkierini açıkça gözeyebimek amacıya, oası dış kuvveterin dikkate aınmamış oması, burada ede edien sonuçarı, böye kuvveter etkisindeki mekanizmaara doğrudan uyguanamaz hae getirmektedir. omut durumarda bu etkieri de hesaba katarak buradaki anaizin yineenmesi gerekeceğinin beirtimesi gerekir. Yapıan inceemeerde, zaten parametrik rezonansın hüküm sürdüğü çok yüksek hız bögeerinde bazı bieşik rezonans bögeerine rastanmış omaka birikte bu probemde bieşik rezonansarın uyguama bakımından etkii omadığı ve parametrik kararıık anaizinin yeteri oduğu sonucuna varımıştır. Kararıık üzerindeki etkisi inceenen parametreerden hız, merkez kaçıkığı, krank yarıçapı ve piston kütesinin gene oarak oumsuz, mazeme sönümünün ise oumu etkisi buunduğu beirenmiştir. Buna göre çok yüksek hızara çıkması düşünüen bir Krank-Biye mekanizmasının e tasarımında = merkez kaçıkığı / biye boyu oranı, µ = r krank yarıçapı / biye boyu oranı ve m λ = piston kütesi / biye kütesi oranı eden m3 gediğince küçük; mazeme sönümü ise eden gediğince büyük tutumaıdır. Ayrıca, aynı EI = ω / boyutsuz hız oranında kaarak ρa fiien daha yüksek hızara çıkabimek için biyein büyük eğime rijidiğine fakat küçük küte ve uzunuğa sahip oacak biçimde tasaranması; yani biyein eğime titreşimerinin doğa frekansarının eden gediğince yüksek tutuması gerektiği 9
Turhan ve Buut anaşımaktadır. Bütün bu sonuçar sağ duyuya uygun ve bekenen sonuçardır. Bunarın yanısıra, yüksek hızara çıkıırken rastanan ik rezonans bögesinin üzerinde dar da osa kararı çaışma bögeerinin var oabieceği görümüştür. Bu, kritik üstü hızarda çaışacak mekanizmaar tasaranabieceğini gösteren anamı bir sonuç oarak görümeidir. 1. Fuer, A., T., 1968, Conditions for A Matrix to ave Ony Characteristic Roots With Negative Rea Parts, Journa of Mathematica Anaysis and Apications, 3, 71-98 KAYNAKLAR 1. Jasinski, P.W., Lee,.C., andor, G.N., 1970, tabiity and teady-tate Vibrations in A igh-peed ider-crank Mechanism, J. of Appied Mech., 1069-1076.. Badani, M., Keinhenz, N., 1979, Dynamic tabiity of Eastic Mechanisms, AME J. Mech. Des., 101, 19-153. 3. Zhu, Z.G., Chen, Y., 1983, The tabiity of Motion of A Connecting Rod, AME J. Mech., Trans. And Autom. in Design, 105, 637-60.. Tadjbakhsh, I.G., Younis, C.J., 1986. Dynamic tabiity of the Fexibe Connecting Rod of A ider-crank Mechanism, AME J. Mech.,Trans. and Autom. in Design, 108, 87-96. 5. Turhan, Ö., 1995. Dynamic tabiity of Four- Bar and ider-crank Mechanism With Eastic Couper, Mech. and Mach. Theory, 30, 871-88. 6. Wang, Y.M.,1998, The tabiity Anaysis of A ider-crank Mechanism Due To the Existence of Two-Component Parametric Resonance, Int. J. of oids and tructures, 36, 5-50. 7. Badani, M., Midha, A., 1983, Effect of Interna Materia Damping on the Dynamics of A ider-crank Mechanism, 105, 5-59. 8. Turhan, Ö., 1996, Dynamic tabiity of Four- Bar and ider-crank Mechanisms With Viscoeastic (Kevin-Voight Mode) Couper, Mech. and Mach. Theory, 31, 77-78. 9. Chivate, P.N., Farhang, K., 1993, Parametric tabiity of Bet-Driven ider-crank Mechanisms With Fexibe Couper, AME Dyn. and Vib. of Time-Varying ys. and tr., 56, 97-109. 10. Lu,.Y., aque, I., Lakshmikumaran, A., 1995, An Investigation of the Dynamic tabiity of A ider-crank Mechanism with Link and Drive Train Fexibiity, Journa of ound and Vibration, 18,3-. 11. Bootin, V.V., 196, The Dynamic tabiity of Eastic ystems, oden-day Inc., Caifornia. 1. Turhan, Ö., 1998, A Generaized Bootin s Method for tabiity Limit Determination of Parametricay Excited ystems, Journa of ound and Vibration, 16, 851-863. 13. Buut, G., Eastik Uzuvu Makinaarın Dinamik Kararıığı, Y. Lisans Tezi, İstanbu Teknik Üniversitesi, Fen Biimeri Enstitüsü, 00. 10