HERHANGİ BİR NOKTASINDAN BASİT MESNETLİ ANKASTRE BİR KİRİŞİN FREKANS CEVABI FONKSİYONUNUN BULUNMASI

Transkript

1 0.UUSA MAKİNE EORİSİ SEMPOZYUMU Seçuk Ünverstes, Konya, Eyü 00 HERHANGİ BİR NOKASINDAN BASİ MESNEİ ANKASRE BİR KİRİŞİN FREKANS CEVABI FONKSİYONUNUN BUUNMASI H. Ero ve M. Gürgöze İ..Ü. Makna Fakütes, Gümüşsuyu, 809 İstanbu. Özet. Reseptans matrs veya dğer adıya frekans cevabı matrs, zorayıcı tesr oarak harmonk br kuvvetn uyguandığı neer, sönümü mekank sstemerde tahrk e sstemn davranışı arasındak şky tanımar. Bu konuya g oarak teratürde pek çok yayına rastamak mümkündür. Son zamanarda yapımış oan br çaışmada, bağ şartarı atındak vskoz sönümü ayrık br sstemn reseptans matrsnn fades vermştr. Bu çaışmada, teratürdek sözü eden reseptans matrs fadesnden yararanarak, herhang br noktasından bast mesnet, ankastre-serbest br Bernou-Euer krşnn frekans cevabı fonksyonunun buunması amaçanmıştır.. GİRİŞ Bndğ üzere, reseptans matrs veya dğer adıya frekans cevabı matrs, zorayıcı tesr oarak harmonk br kuvvetn uyguandığı neer, sönümü mekank sstemerde tahrk e sstemn cevabı arasındak şky tanımar. teratürde bu konuya g çok sayıda yayın mevcuttur [-]. Örneğn, Yang [], çaışmasında çnde orantısa omayan sönüm buunan dnamk sstemern reseptans matrsnn ede edebmes çn kesn sonuç veren br yöntem sunmaktadır. Söz konusu çaışmada, sönüm matrsnn ayrıştırımasına dayanan ve matrs tersn amaya gerek bırakmayan br terasyon yöntem geştrmştr. Dğer br çaışmada se n ve Km [], yapısa tasarımın, frekans cevabı fonksyonu, özdeğerer ve özvektörer gb bazı özekernn yapısa parametreere göre duyarııkarını sınırı sayıda deney bgern kuanarak değerendreben yen ve güçü br yöntem geştrmşerdr. Mottershead [] se, frekans cevabı fonksyonarının yapısa parametreere duyarıığı üzernde çaışmıştır. Gürgöze [4-6], yukarıda tanımanan bağ şartarı atındak mekank sstemern karakterstk denkemern nceemştr. Gürgöze [7], dğer br çaışmasında se bağ şartarı atındak neer, sönümü, ayrık mekank sstemerde frekans cevabı matrsnn tayn üzernde durmuştur. Bu çaışmada söz konusu eden probem, herhang br noktasından bast mesnet, ankastreserbest br Bernou-Euer krşnn frekans cevabı fonksyonunun buunmasıdır. Bu amaça [7] de vermş oan ve bağ şartarı atındak br sstemn reseptans matrsn, bağsız sstemn reseptans matrs ve bağ parametreer cnsnden fade eden bağıntıdan yararanımıştır.

2 . EORİ Bu çaışmada göz önüne aınan ankastre-serbest Bernou-Euer krşnn frekans cevabı fonksyonun buunmasına geçmeden önce konunun esasarını, neer bağ şartarı atındak ayrık sstemn reseptans matrsnn ede edmes sürecn açıkayan [7] den özetemekte fayda vardır. Vskoz sönümü, n serbestk derece ve harmonk oarak tahrk eden ayrık br sstemn hareketne at knc mertebeden dferansye denkemer matrs formunda, ωt M q& (t) + Dq& (t) + Kq(t) Fe, () şeknde yazıır. Burada, M, D ve K sırasıya (nxn) boyutunda küte matrs, sönüm matrs ve katıık matrsdr. q, (nx) boyutunda geneeştrmş koordnat vektörüdür. F ve ω se sırasıya kuvvet vektörü ve kuvvetn değşm frekansıdır. Buradan q(t) çn yapıan ωt q q e, () çözüm kabuü () matrs denkemnde yerne konuursa zorayıcı tesr e sstem cevabını tems eden vektörern sabt kısımarı arasındak bağıntı şeknde ede edr. Buradak q H ( ω)f, () ( ω) ( ω M + ωd + K) H, (4) kompeks matrs, kompeks frekans cevabı matrs veya reseptans matrs oarak smendrr. Bununa berarber, aynı matrs çn grş matrs veya dnamk tesr katsayıarı matrs smer de kuanımaktadır [7]. Bu noktadan sonra şmd de, mekank sstemn neer bağ şartarının tesr atında oduğu durumu göz önüne amak üzere bu bağ şartarı matrs formunda yazımak stensn. Bu tpten bağ şartarının a p q 0, p,, (5) şeknde fade edebeceğ açıktır. Burada, bağ denkemernn p ncsnn katsayıar vektörü a p şeknde tanımanmıştır. a p [ a,..., a ] p Buraya kadar yapıan hazırıkarın teme amacı, bağ şartarı atındak sstemn reseptans matrsn fade edebmektr. agrange denkemer formüasyonu agrange çarpanarı e brkte kuanıarak () ve (5) denkemer [8] de açıkandığı üzere aşağıdak gb breştrebr: np

3 ωt M q&& + Dq& + Kq µ ja j + Fje, (6) j Burada, µ j er g agrange çarpanarıdır. Eğer, bu denkemn () fadesnde oduğu gb harmonk çözümer aranıyorsa ve benzer oarak agrange çarpanarının j j ωt µ µ e, (7) şekndek değşmer göz önüne aınarak (6) fadesnde yererne konuacak oursa, q µ jha j + HF, (8) j ede edr. (8) denkemnden ede eden q vektörü (5) de yazıan bağ denkemernde yerne konuarak, agrange çarpanarının genker edr: [ a p Ha ] µ... + [ a Ha ] µ a HF Yazıan homojen omayan denkem takımı çözüerek şeknde ede edr. Bu fadede, µ j er tayn etmek çn aşağıdak fadeer ede + p p, p,, (9) µ p er µ A A nhf, (0) [ ] µ µ,..., µ, A n [ a,..., a ], [ F F,..., F n ] () ve (x) boyutu A matrsnn (p,q) nc eemanı oarak tanımanmıştır. a p Ha q Yukarıda ede eden fadeer kuanıarak (8) denkem yenden düzenenrse, q HA n µ + HF, () our. (0) denkemnden ede eden µ fades () denkemnde yerne konuarak - q H[ I A n A AnH ]F, () ede edr. Buradan, bağı sstemn reseptans matrs fades bağsız sstemn reseptans matrs ve bağ denkemernn katsayıar vektörü cnsnden - [ I A A A H ] H cons H n n, (4)

4 formunda yazıır. Burada, I (nxn) boyutu brm matrstr. Öze br ha oarak tek br bağ denkemnn oduğu, yan oan sstemer çn reseptans matrs fades şeknde oacaktır. a a H H cons H I, (5) a Ha Bu kısa özetten sonra, bu çaışmada göz önüne aınan ankastre-serbest Bernou-Euer krşnn frekans cevabı fonksyonun buunmasına geçebrz. Göz önüne aınan ankastreserbest Bernou-Euer krş Şek de göstermştr. Krşn ankastre mesnetten uzakığı s η e göstermştr. Frekans cevabını aradığımızı düşünerek krşe ankastre mesnetten uzakığı x, oan ve zamana harmonk oarak değşen br kuvvetn tesr ettğn kabu edem. Yapımak stenen, krşte söz konusu kuvvetn etks atında ouşacak yer değştrme genkernn dağıımının buunmasıdır. Bunun aynı zamanda krşn frekans cevabı fonksyonun buunmasına karşı geeceğ açıktır. Hesaparın basteştrmes ve yöntemn daha y açıkanabmes amacıya, çaışmada sönümün etks hma edecektr. F(t) w(x,t) x s η Şek. Herhang br noktasından bast mesnet, zamana harmonk oarak değşen br kuvvet tesr atındak ankastre-serbest Bernou-Euer krş... RESEPANS MARİSİ YARDIMI İE ÇÖZÜM İk oarak, Şek de gösteren sstemde bast mesnetn buunmadığı ha göz önüne aaım. Bu durumda krşn hareket denkem, w IV (x, t) + mw(x, & t) F(t) δ(x ) (6) şeknde our. Burada tahrk kuvvet, harmonk karakter göz önünde buunduruarak, F(t) F e 0 Ωt, (7) şeknde fade edmştr. Bu fadeerde krşn eğme rjtğ, m se krşn brm uzunuğunun kütesdr. δ(x), Drac fonksyonudur, Ω se tahrk frekansıdır. Üste konan çzg ve noktaar, aışıdığı üzere x ve t ye yan zamana göre kısm türever tems etmektedr.

5 Krşe at sınır şartarı, w(0, t) w (0, t) w (,t) w (,t) 0 (8) şekndedr. (6) dferansye denkemnn çözümü aşağıdak gb br ser e fade edebr: w(x, t) n r w (x) η (t). (9) Burada, w r (x) ankastre-serbest krşn brm küteye göre normaze edmş ortogona özfonksyonarıdır. Yapıan (9) çözüm kabuü (6) dferansye denkemnde yerne konuur. Ede eden fadenn her k tarafı s nc özfonksyon w s (x) e çarpıır. Bu sonuç, krş uzunuğunca ntegre edr. Özfonksyonarın ortogonak özeker kuanıarak sstemn moda denkemer, yan hareketn η (t) cnsnden fade eden denkemer oarak aşağıdak dferansye denkemer ede edr: r r && η (t) + ω η (t) N (t) (,,n) (0) Burada, our. m 4 ω (β ), β β , β , N (t) F(t) w β ( ). () Sstemn hareketne at yukarıdak dferansye denkemer matrs formunda && η (t) + ω η (t) N(t) () yazıabr. Burada geçen matrs ve vektörer, η (t) [ η (t)... η ], dag ( ω ) n (t) ω, Ωt N (t) N e, N w( ), w (x) [ w (x)... w n (x)] () F 0 şeknde tanımanmış oup, ω er (,, n) bast mesnetn buunmadığı durumdak ankastre-serbest krşn özfrekansarını göstermektedr. Buradan η(t) çn yapıan (t) η e çözüm kabuü fades () matrs denkemnde yerne konuursa Ωt η (4) η H (Ω) N (5)

6 ede edr. Buradak reseptans matrs H(Ω) aşağıdak formda fade edr: H. (6) ( Ω) ( Ω I + ω ) dag ω Ω Bu noktadan sonra, şmd tekrar gerçek ssteme, yan x η noktasında bast mesnet ankastre-serbest krşe dönem. Bast mesnet, n r w r (s ) ηr (t) 0 (7) şeknde br bağ şartına yo açar. Bu şartın matrs notasyonarıya, şeknde fade edebeceğ açıktır. Burada, a η w (s ) [ w(s )... w n (s ) a ] 0 (8), s η. (9) notasyonarından yararanımıştır. Bağı sstemdek genk vektörü η, (5) denkemne benzer oarak η H ( Ω)N (0) cons şeknde yazıabr. Bağı sstemn reseptans matrs H cons artık [7] den doğrudan doğruya aşağıdak formda fade edebr: I matrs nxn boyutu brm matrstr. (s ) H ( Ω) ( Ω) w (s ( Ω w (s ) w H ) cons H ( Ω ). I w (s ) H ) () Bağı sstemn reseptans matrs fadesnden yararanarak, herhang br noktasından bast mesnet, ankastre-serbest krşn keyf br noktasının yer değştrmeer (4) fades kuanıarak yazıabr. Burada, Ωt w cons (x, t) w cons (x)e () w cons n (x) w (x) η. () şekndedr. Sonuncu fade düzenenerek aşağıdak gb yazıabr: w cons Bu fade se düzenemeer sonucunda r r ( w (x) H cons ( Ω) w ( ) F0 r (x) ), (4)

7 w cons ( x) a (s ) a (s ) dag 4 β Ω F0 a (x) dag. I. a( ) (5) 4 β Ω a (s ) dag a(s ) 4 β Ω şeknde yazıabr. Yukarıda Ω ω ω, Ω, m [ a (x)... a (x)] w (x) a (x) n, a (x) cosh β m x cos β m x η snh β x sn β x, η cosh β. (6) snh β + cos β + sn β notasyonarından yararanımıştır. Ede edmş oan (5) fades, herhang br noktasından bast mesnet, ankastre-serbest br Bernou-Euer krşnn, zamana harmonk oarak değşen br kuvvet tesr atında yer değştrme genkernn dağıımını vermektedr. F 0 çn, (5) denkemnn sağ tarafının Şek de gösteren krşn frekans cevabı fonksyonundan başka br şey omadığı açıktır... SINIR DEĞER PROBEMİ FORMÜASYONU İE ÇÖZÜM (5) denkemnn geçerğn göstermek çn kuabecek yegane yöntem, yukarıdak sonuçarı Şek de gösteren sstemn sınır değer probem formüasyonuya ede edecek sonuçarıya karşıaştırmaktır. Şek de böge oarak gösteren krşn her br bögesnn eğme ttreşmerne at dferansye denkemern w (x, t) + mw& (x, t) IV 0, (,,) (7) şeknde oacağı açıktır. İg sınır ve geçş şartarı aşağıda yazıdığı gbdr. (0, t) w (0, t) 0, w (s, t) w (s, t), w (s, t) w (s, t), w (s, t) w (s, t), (, t) w (, t), (, t) w (, t) w w w w (, t) w (, t), w (,t) w (,t) 0, Ωt w (, t) - w (, t) + F0 e 0 (8)

8 Dferansye denkemern harmonk çözümer çn w (x, t) W (x) e Ωt (9) yazıabr. (9) fadeer (7) denkemernde yerne konuursa, W (x) er çn aşağıdak ad dferansye denkemer ede edr: Burada, W IV 4 (x) Λ W (x) 0, (,,) (40) 4 mω Λ. (4) kısatması kuanımıştır. İg sınır ve geçş şartarının yen fadeer: our. (0) W (0) 0, W (s ) W (s ) 0, W (s ) W (s ), W W (s ) W (s ), ( ) W ( ), ( ) W ( ) W W ( ) W ( ), () W () 0, W (40) dferansye denkemernn çözümer se W F0 W ( ) - W ( ) + 0. (4) W + 4 (x) c sn Λx + c cos Λx + c snh Λx c cosh Λx, W (x) c sn Λx + c cos Λx + c snh Λx c cosh Λx, W (x) c sn Λx + c cos Λx + c snh Λx c cosh Λx, (4) our. Buradak, c - c katsayıarı hesapanacak ntegrasyon sabterdr. Eğer, (4) fadeer (4) denkemernde yererne konur ve fadeer yenden düzenenrse, c katsayıarını bumak üzere aşağıda yazıan 0 adet denkemden ouşan, homojen omayan denkem takımı ede edr. Bu denkem takımı matrs formunda A c b (44) oarak yazıabr. (44) fadesnde veren 0x0 katsayıar matrs A, Ek de vermştr. c ve b vektörernn tanımarı se c [ c c c c c c c c c c ] F 0 b (45) Λ 0

9 şekndedr. c katsayıar vektörü, MAHEMAICA paket programı kuanıarak sembok oarak ede edmştr. Ancak, yer sınıraması nedenye eemanarının açık fadeer burada verememştr. Bununa brkte, c katsayıarı kuanıarak (4) denkemernden W (x), W (x) F0 ve W (x) yer değştrme fonksyonarı ortak çarpanı dkkate aınarak hesapanmaktadır. Ede eden W (x) (,,) yer değştrme fonksyonarı, harmonk kuvvetn x de buunması durumunda herhang br x noktasındak yer değştrmeern genğn vermektedr.. SAYISA UYGUAMAAR Bu böümde, öncek böümde açıkanan k yöntem kuanıarak ede eden fadeern geçerğ br sayısa uyguama e gösterecektr. Bu amaça, ve Ω 5 seçsn. Buradan, Şek de gösteren krşn ucuna tesr ettğ düşünüen düşey harmonk kuvvetn açısa frekansı 5 4 oarak tayn edr. m F0 abo, krşn üzerndek muhtef noktaarın, fades kuanıarak boyutsuzaştırımış yer değştrmeern göstermektedr. Bu taboda η, bast mesnetn konumunu boyutsuz oarak x fade etmektedr. Ayrıca, x term krşn üzernde gözönüne aınan noktaarın konumunu boyutsuz oarak tanımamaktadır. abo de gösteren k koonar (5) denkem kuanıarak ede eden sonuçarı göstermektedr. Bu sonuçarı ede etmek çn (9) ser fadesnde n 5 aınmıştır. Ayrıca, β den β 5 e kadar oan değerer kaynak [8] den aınmıştır. Bu değerer, sayısa hesaparda noktadan sonra basamak aınarak kuanımıştır. abo de gösteren knc koonar se sınır değer probem formüasyonu e çözümden ede eden sonuçarı göstermektedr. Her k koonda gösteren sonuçar arasındak uyum odukça ydr. Bu sonuç, (5) denkem e fade eden muhtef bağ şartarı atındak, neer, sönümü, herhang br noktasından bast mesnet, ankastre-serbest br Bernou-Euer krşnn reseptans matrs formuasyonunun geçerğn göstermektedr. β değerernn daha hassas, yan noktadan sonra daha faza basamakı aınmaarı durumunda abo de veren sayısa sonuçarın daha da y br uyum sergeyeceğ açıktır. 4. SONUÇAR Bu çaışmada, herhang br noktasından bast mesnet, ankastre-serbest br Bernou-Euer krşnn frekans cevabı fonksyonu buunmuştur. Frekans cevabı fonksyonu, neer bağ şartarı atındak ayrık sstemn reseptans matrsnn taynnde kuanıan formüasyon kuanıarak ede edmştr. Söz konusu metoda ede eden sayısa sonuçarın, aynı sstem çn sınır değer probem formüasyonuya ede eden sonuçara y br uyum gösterdğ görümüştür.

10 abo. η X

11 KAYNAKAR [] B. Yang, 99 ransactons of ASME Journa of Vbraton and Acoustcs 5, Exact receptances of nonproportonay damped dynamc systems. [] R.M.n ve M.K.m, 997 Journa of Sound and Vbraton 0, 6-6. Dervaton of structura desgn senstvtes from vbraton test data. [] J.E. Mottershead, 998 Mechanca Systems and Sgna Processng, On the zeros of structura frequency response functons and ther senstvtes. [4] M.Gürgöze, 999 Computers and Structures 70, Mechanca systems wth a snge vscous damper subject to a constrant equaton. [5] M.Gürgöze, 999 Journa of Sound and Vbraton, 7-5. Mechanca systems wth a snge vscous damper subject to severa constrant equatons. [6] M.Gürgöze ve N.A.Hıza, 999 Journa of Sound and Vbraton, 7-5. Vscousy damped mechanca systems subject to severa constrant equatons. [7] M. Gürgöze, 000 Journa of Sound and Vbraton 0, Receptance matrces of vscousy damped systems subject to severa constrant equatons. [8].R.KANE, P.W.IKINS ve D.A.EVINSON 98 Spacecraft Dynamcs, New York: McGraw-H.

12 (44) denkemnde tanımanan A matrs : Ek sn Λ η snh Λ η Cos Λ η - cosh Λ η sn Λ η Cos Λ η snh Λ η cosh Λ η cos Λ η - cosh Λ η -(sn Λ η + snh Λ η) -cos Λ η Sn Λ η -cosh Λ η -snh Λ η -(sn Λ η + snh Λ η) -(cos Λ η + cosh Λ η) sn Λ η Cos Λ η -snh Λ η -cosh Λ η A sn Λ Cos Λ snh Λ cosh Λ -sn Λ -cos Λ -snh Λ -cosh Λ cos Λ -sn Λ cosh Λ snh Λ -cos Λ sn Λ -cosh Λ -snh Λ -sn Λ -cos Λ snh Λ cosh Λ sn Λ cos Λ -snh Λ -cosh Λ -cos Λ Sn Λ cosh Λ snh Λ cos Λ -sn Λ -cosh Λ -snh Λ sn Λ -cos Λ snh Λ cosh Λ -cos Λ sn Λ cosh Λ snh Λ