GEOMETRİK YER ve ÇİZİMLER

Transkript

1 GEOMETRİK ER ve ÇİZİMLER LVIII rş. Gör. Dr.Gönü ZGN-SĞ Gazi Üniversitesi Dr. Eçin EMRE-KDOĞN Gazi Üniversitesi İnsanoğu, ik önce doğruarı ve çembereri haya etti ve böyece geometrinin doğumu gerçekeşti Kazanımar Verien bir doğru parçasına eş doğru parçası çizer. Verien bir doğru parçasının orta noktasını ouşturur. Verien bir açıya eş açı çizer. Verien bir açının açıortayını ouşturur. Verien bir doğruya üzerindeki bir noktadan geçen dikmeyi çizer. Verien bir doğruya dışındaki bir noktadan dikme çizer. Verien bir doğruya dışındaki bir noktadan parae bir doğru çizer. ir matematikse konunun öğrencier tarafından İeride ne işime yarayacak? şekinde sorguanması öğretmener tarafından sık karşıaşıan bir durumdur. sında hem öğrencier hem de öğretmener tarafından sorguanması gereken bir durum u konu geçmişte nası kuanımış? sorusuna cevap aramak omaıdır. u matematikse konuardan biri oan teme geometrik yerer ve çizimerinden bahsediecek ounursa; Ökid in çaışmaarından günümüze kadar geen ve birçok matematikçinin zihnini meşgu eden odukça popüer üç tane geometri probemi buunmaktadır: 1. Verien bir çember ie aynı aana sahip bir kare çizimi 2. Verien bir küpün iki katı hacmine sahip küpün çizimi 3. Verien bir açıyı üç eşit açıya böme akaşık 2000 yı boyunca, matematikçier yanızca perge ve cetve yardımıya bu probemeri çözmeye çaışmışardır. ncak cebir aanındaki ieremeer ie birikte yukarıda beirtien probemerin çözümesinin imkânsız oduğu gösterimiştir. Ökid geometrisinin kabinde yer aan geometrik çizimer çeşiti ressamarın taboarına da konu omuştur (Resim 1). ncak Fransız matematikçierden Pierre de Fermat ve René Descartes in 17. yüzyıda kartezyen koordinatar ie igii çaışmaarı, geometrinin gene yapısının değişmesine neden omuştur. yrıca bigisayar teknoojierinin hıza ieremesi ie birikte Geometer s Sketchpad, Geogebra, abri 3D, vb. matematikse yazıımar perge ve cetvein yerini amaya başamıştır. Doayısıya günümüzde çoğu matematik eğitimcisi tarafından bigisayar programarı, geometrik çizimere igii uyguamaar yapma aşamasında birer araç oarak görümektedir. Perge ve cetvein kuanımasına iişkin öğrencierin sebep sonuç iişkierini görmeeri, akı yürütmeeri ve sorguamaarı açısından daha gerçekçi bir zemin hazıramaktadır. unun yanında geometrik yerere ve çizimerine iişkin probemer, matematiği yapıandırarak öğrenmek için uygun bir ortam sağamaktadır. yrıca öğrencierin bu tür probemer ie çaışması öğrencierin kavram yanıgıarına düşmeerine enge oabiir. Günük hayat uyguamaarında ise mühendiser, mimarar kısaca tasarım ve çizim işeri ie uğraşanar düzeni oarak karşıaştıkarı teknik probemeri, geometrinin prensiperini kuanarak çözmeye çaışmaktadırar. u tür işer ie uğraşan herkesin geometrik çizimer ie igii teme bigiere sahip oması gerekmektedir. Resim yüzyıda Raphaeo Sanzio nun resmettiği The Schoo of thens isimi tabosundan bir kesit.

2 582 Teme Matematikse Kavramar ve Uyguamaarı ncak Fransız matematikçierden Pierre de Fermat ve René Descartes, geometrinin prensiperini kuanarak çözmeye çaışmaktadırar. u tür işer ie uğraşan herkes geometrik çizimer ie igii teme bigiere sahip oması gerekmektedir. Ökid Geometrisi Ökid in kendisinden önce süregeen matematikse düşünceeri, düzeni bir şekide yani aksiyomatik yapı ie ifade etme çabası Eementer kitabını ortaya çıkarmıştır. ncak yüzyıar sonra, geometri dışındaki diğer matematikse aanarda da aksiyomatik sistemer inşa edimeye çaışımıştır. Ökid in Eementer i diye biinen ünü yapıt (İ.Ö.300) geometrinin teme esererinden biridir. Ökid in Eementer kitabının teme ikeeri tanımar, aksiyomar ve postuatardan ouşmaktadır. şağıda Ökid geometrisinin beş aksiyomu verimiştir: 1. İki noktadan bir ve yanız bir doğru geçer. 2. ir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekide uzatıabiir. 3. Merkezi ve üzerinde bir noktası verien bir çember çiziebiir. 4. ütün dik açıar eşittir. 5. ir doğruya dışında aınan bir noktadan bir ve yanız bir parae çiziebiir. Herhangi bir geometrik çizim yapıdığında asında, aynı özeiğe sahip noktaarın ouşturduğu bir küme yani bir geometrik yer ede ediir. ahsi geçen noktaarın sağadıkarı ortak özeik dikkat edimesi gereken ası kısımdır. Örneğin çember, bir düzem içinde verien bir noktadan, verien bir uzakıkta buunan noktaarın kümesidir veya geometrik yeridir. şağıdaki Şeki 1 e bakıacak ounursa bir noktasından 3 birim uzakıktaki noktaarın geometrik yeri, bir çember beirtir. 3 br Geometrik çizimerde kuanıan materyaer öçüsüz cetve ve pergedir. etve, iki nokta veridiğinde doğru, ışın veya doğru parçası ouşturmak için kuanıır. Perge ise bir merkez ve yarıçap veridiğinde yay ve çember ouşturmak için kuanıır. Resim 2. Perge ve cetve örneği Her geometrik çizim, Ökid geometrisinde yer aan tanımar, postuatar ve/veya teoremer kuanıarak doğruanabiir. u böümde verien teme geometrik çizimerin bazıarının doğruamaarına yer veriecektir. Teme Geometrik er Çizim 1.Verien bir doğru parçasına eş doğru parçası çizme Herhangi bir 8 doğru parçasına eş oan 8 doğru parçasını çizeim. Veriener: 8 doğru parçası dım 1: etve kuanarak bir doğrusu çizeim. Doğru üzerindeki noktasını işareteyeim. dım 2: Pergei uzunuğunda açarak doğru parçası üzerine yereştireim. Şeki 1. noktasından 3 birim uzakıktaki noktaarın geometrik yeri İki inek, uzunukarı 20 m, 12 m oan dikdörtgen bir bahçede otamaktadır. u ineker bahçenin köşegenini ouşturan iki köşesine, 13 m uzunuğundaki ipe bağıdırar. Geometrik çizime bu iki ineğin ortak otadığı aanı gösteriniz. u probem, geometrik yere igii veriebiecek günük hayat probemerinden biridir. enzer şekide; küre, verien bir noktadan verien bir uzakıkta buunan noktaarın kümesidir veya geometrik yeridir. yrıca anaitik düzemde y=2x şartını sağayan noktaar kümesinin beirttiği geometrik yer de bir doğrudur.

3 Geometrik er ve Çizimer 583 dım 3: noktası merkez, uzunuğu yarıçap omak üzere, doğrusunu noktasında kesen bir yay çizeim. Sonuç oarak, b Uyarı urada kuanıan semboü iki şekin denkiğini ifade etmek için kuanıır. Denkik bağıntısı ie igii sayfaya bakınız. Doğruama Pergein açıkığı sabitendiğinden doğru parçası ie doğru parçası aynı çemberin yarıçaparıdır. Sonuç oarak, 6@ b 6@ dir. Teme Geometrik er Çizim 2.Verien bir doğru parçasının orta noktasını ouşturma Herhangi bir doğru parçasının orta noktasını ouşturaım. Veriener: [] doğru parçası Doğruama: Eş çembererin yarıçaparı da eş oduğundan 6@ b6@ ve 6@ b6@ dir. Denkik bağıntısının yansıma özeiğinden, 6@ b 6@ dir. Sonuç oarak, üçgenerdeki Kenar - Kenar - Kenar eşik teoreminden 3 b 3 ve benzer şekide Kenar - çı - Kenar eşik teoreminden 3M b 3 Mdir. öyece, 6M@ b 6M@ ve M, doğru parçasının orta noktasıdır. [] doğru parçası, doğrusuna dik midir? Neden? Teme Geometrik er Çizim 3.Verien bir açıya eş açı çizme Herhangi bir W açısı için, W b W K oacak şekide KW açısını çizeim. Veriener: W açısı dım 1: ve noktaarı merkez omak üzere, pergei uzunuğunun yarısından biraz faza açarak, kesim noktaarı ve noktaarı oacak şekide yayar çizeim.! Uyarı Pergein açıkığı, ve noktasını merkez aan yayar için aynı kamaıdır. dım 2: doğrusunu çizeim. doğrusu ie doğru parçasının kesişim noktaarını M noktası oarak adandıraım. dım 1: etve kuanarak başangıç noktası K oan bir ışını çizeim. K dım 2: Pergei merkezi noktası oacak şekide yereştirip yayını çizeim. K noktasını merkez aarak aynı yarıçapı ışınını noktasında kesen bir yay çizeim. K M Sonuç oarak, M noktası doğru parçasının orta noktasıdır. dım 3: noktası merkez, ve noktaarını bireştiren doğru parçası yarıçap omak üzere bir yay çizeim. u yay ie dım 2 de çizien yayın kesim noktasını oarak adandıraım. 6 K ışınını çizeim.

4 584 Teme Matematikse Kavramar ve Uyguamaarı dım 3: 6 ışınını çizeim. Sonuç oarak, 6 ışını, W açısını ikiye böer. Doğruama: K Eş çembererin yarıçaparı da eş oduğundan 6@ b6@ ve 6@ b6@ dir. Sonuç oarak, WK b W dır. Teme Geometrik er Çizim 4.Verien bir açının açıortayını ouşturma Herhangi bir W açısının açıortayını ouşturaım. Veriener: W dım 1: noktası merkez omak üzere, herhangi bir yarıçap uzunuğunda yayını çizeim. uzunuğu dım 2: ve noktaarı merkez omak üzere yarıçap doğru parçasının uzunuğunun yarısından faza oacak şekide kesim noktası oan yayar çizeim. öyece 6@, 6@ oduğundan, üçgenerde Kenar - Kenar - Kenar eşik teoreminden 3, 3 dir. öyece %, % ve açıortay tanımından 6 ışını, açısını ikiye böer.! Uyarı ir açının öçüsünü, öçüeri eşit oan iki açıya ayıran ışına, o açının açıortayı denir. Teme Geometrik er Çizim 5.Verien bir doğruya üzerindeki bir noktadan geçen dikmeyi çizme Herhangi bir doğrusuna, üzerindeki P noktasından geçen dik bir doğru çizeim. Veriener: doğrusu ve üzerindeki P noktası dım 1: doğrusu üzerinde, P noktasını merkez aacak şekide beirenen herhangi bir uzunukta yarıçapı oan yayarı çizeim. u yayarın doğrusunu kestiği noktaarı ve oarak isimendireim. P dım 2: ve noktaarını merkez aarak P uzunuğundan daha uzun bir yarıçap uzunuğuya kesim noktaarı Z oan yayar çizeim. Z P dım 2 de, ve noktaarını merkez aarak P uzunukuğunda yarıçapa sahip yayarı neden çizmedik?

5 Geometrik er ve Çizimer 585 dım 3: PZ doğrusunu çizeim. P Sonuç oarak, PZ Z = dir. PZ doğrusunun doğrusuna dik oduğunu gösteriniz. Teme Geometrik Çizim 6.Verien bir doğruya dışındaki bir noktadan dikme çizme herhangi bir doğru ve dışındaki bir nokta P omak üzere doğrusuna dik bir doğru çizeim. Veriener: doğrusu ve dışındaki bir P noktası P PZ Doğrusunun doğrusuna dikiğinin doğruaması nası yapıır? Teme Geometrik er Çizim 7.Verien bir doğruya dışındaki bir noktadan parae bir doğru çizme Herhangi bir doğrusuna parae oan ve dışındaki bir P noktasından geçen bir doğru çizeim. Veriener: doğrusu ve üzerinde omayan P noktası P dım 1: P noktasından geçen ve doğrusunu kesen bir doğru çizeim. Kesim noktasını oarak isimendireim. t P dım 1: P noktası merkez omak üzere doğrusunu ve noktaarında kesecek şekide bir yay çizeim. P dım 2: ve merkezi eşit yarıçapar aarak çizien yayarın kesim noktasını Z oarak adandıraım. P dım 3: PZ doğrusunu çizeim. P Z dım 2: W açısına eş oan PW açısı ouşturaım ve WP, W dir. (Teme geometrik yer çizim 3 ü inceeyiniz) t x p Sonuç oarak, k doğrusu doğrusuna paraedir. dım 2 de W açısına eş oan PW açısı ouşturuurken hangi teme geometrik çizim nası kuanımıştır? uraya kadar bei başı teme geometrik yer çizimerinden bahsedimiştir. u teme geometrik yer çizimeri kuanıarak daha farkı çizimerde üretiebiir. unarın bir kısmı çözümü örneker de yer amaktadır. Çözümü Örneker 1. Perge ve cetve yardımıya verien bir doğru parçasını üç eş parçaya böünüz. Çözüm: Veriener: doğru parçası k Sonuç oarak, PZ doğrusu doğrusuna diktir. 6@, 6D@, 6D@ oacak şekide ve D noktaarını buaım.

6 586 Teme Matematikse Kavramar ve Uyguamaarı dım 1: K, doğru parçasının dışındaki bir nokta omak üzere, 6 K ışınını çizeim. Herhangi bir yarıçap uzunuğu aarak birbirine eş oan ve 6 Z@ doğru parçaarını ouşturaım. Z K dım 1 de herhangi bir yarıçap uzunuğu aarak birbirine eş oan ve 6 Z@ doğru parçaarını ouştururken hangi teme geometrik çizim nası kuanımıştır? dım 2: Z ve noktaarını bireştireim. 6 Z@ doğru parçasına parae oan ve noktaarından geçen 6 D@ ve doğru parçasını ouşturaım. D x y z K Sonuç oarak, 6@, 6D@, 6D@ dir. dım 2 de 6 Z@ doğru parçasına parae oan ve noktaarından geçen 6 D@ ve doğru parçasını ouştururken hangi teme geometrik çizim nası kuanımıştır? Doğruama,, Z dir. Z % na eş oan % ve D % açıarını ouşturduk. öyece 6Z@ ' 6D@ ' 6@ dir. Sonuç oarak, Thaes teoreminden doğru parçasını böen parçaar oan 6@, 6D@ ve 6D@ doğru parçaarı birbirine eştir. 2. Perge ve cetve yardımıya = a birim, D = c birim, EF = e birim uzunuğundaki üç doğru parçası veridiğinde a c = e oacak şekide doğru parçasını ouşturunuz. Çözüm: Veriener: = a birim, D = c birim, EF = e birim uzunuğundaki üç doğru parçası. a c e D E F a c = e: oacak şekide doğru parçasını ouşturaım. dım 1: Doğrusa omayan P, Q ve R noktaarı ie RPQ % açısını çizeim. 6 PQ ışını üzerindeki sırasıya a ve c birim uzunuğundaki 6 PS@ ve 6 ST@ doğru parçasını ouşturaım. 6 PR ışını üzerinde e uzunuğundaki 6 P@ doğru parçasını ouşturaım. P e x R a S c T Q 6 PQ ışını üzerindeki sırasıya a birim ve c birim uzunuğundaki 6 PS@ ve 6 ST@ doğru parçasını ve 6 PR ışını üzerinde e birim uzunuğundaki 6 P@ doğru parçasını ouştururken hangi teme geometrik çizim nası kuanımıştır? dım 2: S ve noktaarını bireştirerek 6 S@ doğru parçasını çizeim. 6 S@ doğru parçasına parae oacak şekide 6 T@ doğru parçasını çizeim. öyece birbirine eş oan PT % ve PS % açıarını ouşturmuş ouruz.(kz. Teme Geometrik yer çizim 7. Verien bir doğruya dışındaki bir noktadan parae bir doğru çizme) P e a R S c T Q Sonuç oarak, a c = e oacak şekide doğru parçasını ouşturduk. Doğruama 6S@ ' 6T@ ie 3 PT ni ouşturduk. öyece Thaes teoreminden 6P@ ve 6PT@ doğru parçaarı orantıı oarak böünür ve a c = e yi ede etmiş ouruz. 3. x ve y uzunuğundaki iki doğru parçası veridiğinde x+ y uzunuğundaki doğru parçasını

7 Geometrik er ve Çizimer 587 Veriener x ve y uzunuğundaki iki doğru parçası x y x+ y yi çizeim. dım 1: D 2 x+ y oacak şekide 6 D ışınını cetve yardımıya çizeim. D dım 2: Merkezi noktası, yarıçapı x uzunuğunda oan bir çember çizeim. u çember ie 6 D ışınının kesim noktasını oarak adandıraım. ÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULRI şağıda istenen çizimeri sadece perge ve cetve kuanarak yapınız ve çizimeri nası yaptığınızı açıkayınız. 1. x ve y uzunuğundaki iki doğru parçası veridiği takdirde x- y uzunuğundaki doğru parçasını 2. x, y ve 1 birim uzunuğundaki üç doğru parçası veridiği takdirde x$ y uzunuğundaki doğru parçasını 3. x, y ve 1 birim uzunuğundaki üç doğru parçası veridiği takdirde x y uzunuğundaki doğru parçasını D 4. x ve 1 birim uzunuğundaki iki doğru parçası veridiği takdirde x uzunuğundaki doğru parçasını 5. Verien bir doğru parçası üzerine kare dım 3: Merkezi noktası, yarıçapı y uzunuğunda oan bir çember çizeim. u çember ie 6 D ışınının kesim noktasını oarak adandıraım. Sonrasında ve noktasını bireştireim. 6. Verien bir doğru parçası üzerine eşkenar üçgen 7. kenarı ve n açıortayı verien ve açısı 90c oan dik üçgenini 8. Verien bir üçgenin üç yüksekiğini 9. Verien bir üçgenin ağırık merkezini D 10. arıçapı verien, sabit bir noktadan geçen ve verien bir doğruya teğet oan çember Sonuç oarak, = x+ y ede ediir. u böümde verien geometrik çizimer giriş böümünde bahsedidiği gibi Geometer s Sketchpad, Geogebra vb. dinamik geometri yazıımarı kuanıarak çiziebiir. yrıca Geometer s Sketchpad, Geogebra vb. dinamik geometri yazıımarı yardımıya daha farkı geometrik çizimer çiziebiir. 11. arıçapı verien, sabit bir noktadan geçen ve verien bir çembere teğet oan çember 12. Merkezi ve üzerindeki bir noktası verien çembere bir noktasında teğet oan bir doğru 13. Çemberin merkezinin yerini beireyiniz. 14. Verien bir doğru parçası üzerine düzgün beşgen 15. arıçapı verien bir çember içine düzgün atıgen

8 588 Teme Matematikse Kavramar ve Uyguamaarı Kaynakar rgün, Z., rıkan,., Haıcıoğu, S., uut, S. (2014). Teme Matematik Kavramarın Künyesi. Gazi Kitabevi, nkara. asic Geometric onstructions. 20 raık, 2014de, den aıntı yapımıştır. ompass-and-straightedgeconstruction. 20 raık, 2014 de en.wikipedia.org/wiki/ompass-and-straightedge_construction den aıntı yapımıştır. Eander, J.E. (1992). Geometry for Decision Making. South-Western Pubishing o., Ohio. Geometric and Loci Probems. (n.d.) 20 raık 2014 de den aıntı yapımıştır. Geometric onstruction. (n.d.). 20 raık 2014 de, den aıntı yapımıştır. Hızarcı, S., Kapan,., İpek,. S., Işık,. (2004). Eucid Geometri ve Öze Öğretimi. 2. askı, Pegem ayıncıık, nkara. Kain, R., orbitt, M. K. (1993). Geometry. Prentice Ha Inc., New Jersey. Lamphier, L. (2014). Geometric onstructions. 20 raık, 2014 de den aıntı yapımıştır. Petersen, J. (1927). Methods and Theories for the Soution of Probems of Geometrica onstruction ppied to 410 Probems. openhagen 1879, reprint in G.E. Stechert&o., New ork. The origins of Geometry. 20 raık, 2014 de den aıntı yapımıştır. ıdırım,. (2000). Matematikse Düşünme, Remzi Kitabevi, İstanbu. iu,p. (2005). Eegant Geometric onstructions. Forum Geometricorum, 5, Weisstein, Eric W. Geometric onstruction. 20 raık, 2014 de htm den aıntı yapımıştır. rş. Gör. Dr. Gönü ZGN-SĞ 1980 yıında enişehir de doğmuştur yıında Gazi Eğitim Fakütesi Ortaöğretim Matematik Öğretmeniği nabiim Daından mezun omuştur. ynı anabiim daında yüksek isans ve doktorasını tamamamıştır. İgi aanarı arasında üstün yeteneki öğrencier, özdüzenemei öğrenme, probem çözme, öğretmen eğitimi yer amaktadır. Haen Gazi Eğitim Fakütesi Ortaöğretim matematik öğretmeniği nabiim daında araştırma görevisi oarak çaışmaktadır. Evi ve 1 çocuk annesidir. rş. Gör. Eçin EMRE KDOĞN 1982 yıında Denizi de doğmuştur yıında Gazi Eğitim Fakütesi Ortaöğretim Matematik Öğretmeniği nabiim Daından mezun omuştur. ynı anabiim daında yüksek isans ve doktorasını tamamamıştır. Çaışma aanarı matematikse söyemer, sosyo-kütüre çaışmaar, probem çözme ve öğretmen eğitimidir. Evi ve 1 çocuk annesidir. İeri Okumaar Freeman,. (2010). Hands-on Geometry: onstructions with a straightedge and compass. Waco, Texas: Prufrock Press. Home,. (2010). Geometry: Our utura Heritage. erin: Springer.