BÖÜM V SİNÜZOİDA KARARI DURUM GÜÇ HESAPARI Bir önceki bölümde, sinüzoidal kaynakla beslenen elektrik devrelerindeki kararlı durum voltajlarını ve akımlarını hesapladık. Bu bölümde ise amacımız, bir kararlı durum (steady-state (SS)) sinüzoidal işlem için güç hesabı yapmaktır (Örneğin, gönderilen veya çekilen ortalama güç hesabı gibi). Bu sayede bir elektrikli aletin (jeneratör, motor, fırın vs.), gerilim ve akım değerleri dikkate alınarak ne kadar bir güçle çalışabileceğini belirleyeceğiz. 1
v Şekil 5.1: Güç hesabının kullanıldığı bir devreye ait kapalı kutu Şekil 5.1 de gerilimi ve akım, SS sinüzoidal sinyallerdir. Böylece zamanın her hangi bir anında güç ifadesi; p vi. (5.1) İlk olarak gerilim ve akım ifadelerini yazacak olursak; vv cos( wt ) (5.) m v
i I cos( wt ). (5.3) m i Sinüzoidal durumda çalıştığımızdan, t = 0 referansı oluşturmak işlem kolaylığı sağlar. Bu yüzden gerilim ve akım işaretlerini i kadar öteleyecek olursak gerilim, akım ve anlık güç ifadeleri sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilir. vv cos( wt ) (5.4) m v i i I cos( ) m wt (5.5) p VI cos( wt )cos( wt) (5.6) m m v i 3
Denklem (5.6) da yer alan güç ifadesinde 1 1 cos cos cos( ) cos( ) trigonometrik fonksiyon kullanılarak wt, wt ) aşağıdaki güç ifadesi elde edilir. ( v i p VI m m VI m m cos( v i) cos( wtv i) (5.7) Denklem (5.7) de ise cos( ) coscos sinsin trigonometrik ifadesi kullanılarak anlık güç ifadesi: VI m m VI m m VI m m p cos( v i) cos( wt)cos( v i) sin( wt)sin( v i) (5.8) 4
5.1 Ortalama ve Reaktif Güç Devre Teorisi Ders Notu Denklem (5.8), aşağıdaki gibi yazılacak olur ise; p PPcos( wt) Qsin( wt) (5.9) VI m m VI m m burada P cos( v i) ortalama gücü ve Q sin( v i) ise reaktif gücü temsil eder. Ortalama güç (Reel güç); P 1 to T pdt T (5.10) to burada T, sinüzoidal fonksiyonun periyodu. 5
cos( wt ) ve sin( wt ) ifadelerinin bir periyottaki ortalaması sıfır olacağından. Ortalama güç (reel güç) (Denklem (5.10) dan); VI m m P cos( v i) olur. Anlık gücün frekansı, voltaj veya akım frekansının iki katı olur. Anlık güç tur (cycle) yaparken, voltaj veya akım 1 tur yapar. Anlık güç her bir turda bir kısmı negatif olabilir (devre pasif olsa bile). Tam pasif devrelerde negatif güç, indüktör veya kapasitörde depolanan enerjinin (gücün negatif olduğu sürece) çekildiği (harcandığı) anlamına gelir. Devrenin SS işleminde anlık güç zamanla değiştiğinden bazı motorla sürülen aletlerin (buzdolabı) titrememesi için sabit monte edilmeleri gerekir. 6
Eğer terminaller arasındaki devre saf rezistif ise voltaj ve akım aynı fazdadır yani v dir. Bu durumda anlık reel güç; i p P Pcos( wt) (5.11) Reel güç terimi, gücün elektrikten elektrik olmayan başka bir forma dönüştürüldüğünü açıklamak için kullanılır. Saf rezistif devrelerde elektrik enerjisi termal enerjiye dönüşür. Denklem (5.11) den, anlık reel gücün her zaman pozitif olduğunda görülür. Buda saf rezistif devrelerden güç çekilemeyeceği anlamına gelir. 7
Eğer uçlar arasındaki devre saf indüktif ise, voltaj ve akım 90 8 ile farklı fazlardadır. Özelde, akım voltajı 90 geriden takip eder. 90 dır ve 90 olur. v i Bu durumda anlık güç; VI m m p sin( wt) olur. Saf indüktif devrelerde ortalama güç 0 dır. Bu sebeple, saf indüktif devrelerde elektrikten, elektrik olmayan forma bir dönüşüm gerçekleşmez. Saf indüktif devrelerde uçlardaki anlık güç, devre ile devreyi süren kaynak arasında salınır. p 0 ise, indüktif elemana ilişkin manyetik alanda enerji depolanır. p 0 ise; indüktif elemanın manyetik alanından enerji çekilir. i v
Eğer devre saf kapasitif ise; 90 v i VI m m p sin( wt) olur. Ortalama güç sıfır (0) olur. Elektrikten, elektrik olmayan forma dönüşüm olmaz. Saf kapasitif devrede, güç devreyi süren kaynak ile kapasitif elemana ilişkin elektrik alan arasında salınır. Saf indüktif ve kapasitif devrelere ilişkin güce Reaktif güç denir. indüktör ve kapasitörlere reaktif elemanlar denir, çünkü SS analizde C ve nin empedansı reaktanslar ile ifade edilir. Anlık gücün genel tanımında; sin( wt ) nin katsayısı (Denklem (5.9)) reaktif güç olarak tanımlanır ve; Reaktif güç; 9
VI m m Q sin( v i) p PPcos( wt) Qsin( wt) Devre Teorisi Ders Notu Reaktif gücü diğer güçlerden ayırt etmek için var (volt amps reactive) birimi kullanılır. Çünkü p ve Q birim boyutundadır. Güç faktörü açısı v i cos( ) Güç faktörü v i sin( ) Reaktif faktör. v i 10
Örnek 5.1: V Şekil 5.: Örnek 5.1 e ait devre Şekildeki devrede, V 100cos( wt15 ) V ve i 4sin( wt15 ) A olduğuna göre; a) Şekildeki devrede ortalama gücü ve reaktif gücü hesaplayınız. b) Kutu içindeki devre (network) ortalama gücü alıyor mu (absorbing), gönderiyor mu (delivering)? 11
c) Kutu içindeki devre, reaktif (magnetizing VARs) gücü alıyor mu, gönderiyor mu? Cevap: a) i4cos( wt105 ) A P 1 (100)(4)cos[15 ( 105)] 100 W 1 Q (100)(4)sin[15 ( 105)] 173.1 VAR b) P100W 0 olduğundan kutu içindeki devre uçlara güç gönderiyor. c) Q 173.1 0 olduğundan, kutu içindeki devre uçlarındaki reaktif gücü alıyor. 1
5. RMS Değeri ve Güç Hesapları Devre Teorisi Ders Notu V cos( wt+ q ) m v R Şekil 5.3: Direnç terminallerine sinüzoidal gerilim kaynağı uygulanması Şekil 5.3 den görüldüğü gibi R ye sinüzoidal bir voltaj uygulanırsa R ye gönderilen gücü RMS değeri aşağıdaki gibi hesaplanır. P 1 to T t o Böylece; V RMS TVm cos ( wtv) dt R 1 1 R T to T Vm cos ( wtv) dt t (5.1) P (5.13) R o 13
Eğer akım ifadesi I, sinüzoidal verilmiş ise; P IRMS R RMS değer, ayrıca sinüzoidal voltaj kaynağının etkin (effective) değeri olarak da isimlendirilir. Böylece ortalama ve reaktif güç RMS veya efektif değer kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilir. Ortalama güç: VI m m Vm Im P cos( v i) cos( v i) V I cos( ) (5.14) eff eff v i Reaktif güç: QV I sin( ) (5.15) eff eff v i 14
5.3 Kompleks Güç Devre Teorisi Ders Notu Komplek güç, ortalama ve reaktif gücün toplamıdır. S P jq (5.16) burada S, kompleks güç ve birimi volt-amps (VA) P, ortalama güç ve birimi watt (W). Q ise reaktif güç ve birimi volt amper reaktif (VAR). Kompleks gücün genliği yani S, görünür güç (apparent power) olarak bilinir. q v S - q P i Q Şekil 5.4: Güç üçgeni 15
Şekil 5.4 de yer alan güç üçgeni kullanılarak kompleks güç Denklem (5.17) deki gibi elde edilir. S S VI m m VI m m cos( v i) j sin( v i) VI m m cos( v i) jsin( v i) VI m m v i S e j( ) VI m m S v i S Veff Ieff v i (5.17) 16
V Şekil 5.5: Fazör akım ve gerilimin terminallere uygulanması Şekil 5.5 den görüldüğü gibi fazör domeninde akım ve gerilimin terminallere uygulanması durumunda, kompleks güç ifadesi fazör domeninde aşağıdaki gibi ifade edilir. 1 VI (5.18) * S P jq S V I P jq (5.19) eff * eff 17
Örnek 5.: V 10015V ve I 4105A olduğuna göre kompleks güç; Cevap: * 1 S Veff I eff (100 15 )(4 105 ) 0010 100 j173.1va olarak bulunur. 18
Örnek 5.3: Devre Teorisi Ders Notu a) Maksimumu 65 V olan sinüzoidal voltaj kaynağı 50 luk bir direncin uçlarına uygulanırsa R ye gönderilen ortalama gücü bulunuz. b) a yı akımı bularak tekrarlayınız. Cevap: a) Veff 65 441.94V V eff 441.94 P 3906.5W R 50 b) 65 Im 1.5, 50 Irms 1.5 8,84 A, P I R W ( eff ) (8.84) 50 3906.5 19
Örnek 5.4: 1W j4w 50V 0 rms V I 39W j6w a) I, V? Kaynak Hat Yük Şekil 5.6: Örnek 5.4 e ait devre b) Ortalama ve reaktif gücü (yüke gönderilen) hesaplayınız. c) Ortalama ve reaktif gücü (hatta gönderilen) hesaplayınız. d) Kaynaktan sağlanan ortalama ve reaktif gücü hesaplayınız. 0
Cevap: 500 a) I 4 j3 536.87 A( rms). 40 j30 V (39 j6) I 34 j13 34.363.18 V( rms) b) S V I (34 j13)(4 j3) 975 j650va * c) P (5) (1) 5 W Q (5) (4) 100 VAR d) S 5 j100 975 j650 1000 j750va (Yük+hat) s 1
Örnek 5.5: Elektrik yükü 40 V (rms) de işlem görüyor. Yük 8 kw ortalama güç alıyor ve güç faktörü = 0.8 dir. (lagging) a) Yükün kompleks gücünü hesaplayınız. b) Yükün empedansını hesaplayınız. Cevap: a) Güç faktörü (lagging) geriden gelen yük olduğundan yük indüktiftir ve reaktif gücün işareti pozitiftir. P S cos Q S sin cos 0.8 ve sin 0.6 olur.
S Q P 8kW 10kVA cos 0.8 10sin 6kVAR ve S 8 6 j kva P Q b) Z * V 40 Z 4.608 j3.456 5.76 36.87 P jq 8000 j6000 4.608 j3.4565.7636.87 3
Örnek 5.6: 3 paralel yükün bulunduğu devre şöyle açıklanmaktadır. Yük 1, 8 kw ortalama güç çekiyor (absorbing) ve geriden gelen (lagging) güç faktörü 0.8. Yük, 0 kva çekiyor ve ileri giden (leading) güç faktörü 0.6 dır. Yük 3 ise; Z3.5 j5.0 luk bir empedans. Kaynak frekansı 60 Hz ise V () t için SS denklemini çıkarınız. 0.05W j0.5w s 50 0 V rms 1 V S I1 I 3 I3 Şekil 5.7: Örnek 5.6 e ait devre 4
Cevap: Yük 1 için; S P 8000 10000 cos 0.8 S P jq 50I 8000 j6000 * 1 I j A rms * 1 3 4 ( ) I1 3 j4 A( rms) Yük için; S 0000 P S cos 0000x0.6 1000 Q S sin 0000x0.8 16000 Devre Teorisi Ders Notu 5
50I 1000 j16000 * * I j A rms 48 64 ( ) I 48 j64 A( rms) Yük 3 için; 50 I3 0 j40 Arms ( ).5 j5 KC kullanılarak kaynaktan çekilen akım ise; I I1I I3 100 j0 A( rms) S KV kullanılarak kaynak gerilimi ise; V 50 (0.05 j0.5)100 55 j50 5911.09 V( rms) S V ( t) (59.86) cos( 60t11.09 ) 367.49cos(377t11.09 ) V S 6
Örnek 5.7: V S V1 3 1W jw I1 I V V 1W j3w 1W I x -j16w 39I x Şekil 5.8: Örnek 5.7 e ait devre V s 1500 V, V 1 (78 j104) V, V (7 j104) V, V 3 (150 j130) V, I 1 ( 6 j5) A, I ( 4 j58) A, I x ( j6) A. 7
a) Şekildeki devrede her bir empedansa gönderilen ortalama ve reaktif gücü hesaplayınız. b) Devrede kaynaklara ilişkin ortalama ve reaktif gücü hesaplayınız. c) Ortalama gönderilen gücün ortalama absorbe edilen güce ve gönderilen Cevap: a) reaktif gücün absorbe edilen reaktif güce eşit olduğunu gösteriniz. 1 S VI P jq * 1 1 1 1 1 1 (78 j 104)( 6 j 5) 1690 j 3380 VA 1 S VI P jq * x 8
1 (7 j 104)( j 6) 40 j 30 VA 1 S VI P jq * 3 3 3 3 1 (150 j 130)( 4 j 58) 1970 j 5910 VA 1 * b) Ss VI s 1 Ps jqs ( S s, V s ile ilişkin güç) 1 (150)( 6 j 5) 1950 j 3900 VA 1 S (39 I)I P jq * x x x x 9
1 ( 78 j 34)( 4 j 58) 5850 j 5070 VA Bağımlı kaynak hem P x i hem de Q x i gönderiyor. Çünkü Px 0 ve Qx 0. Not: Pozitif güç değerleri; absorbing (alıyor). Negatif güç değerleri; delivering (veriyor). c) P P1P P3P 5850W absorbed P P 5850W delivered x Q Q1Q3 990VAR absorbed s Q Q Q Q 30 3900 5070 990VAR delivered s x 30
5.4 Maksimum Güç Transferi Devre Teorisi Ders Notu Bilgi, elektrik işareti olarak iletildiği durumda yüke mümkün olduğunca yüksek güçle gönderilmesi önemlidir. Z th a V th I Z Şekil 5.9: Maksimum güç transferini tanımlayan bir devre Maksimum ortalama gücün transfer edile için yük empedansının, thevenin eşdeğer empedansının kompleks eşleniğine eşit olması gerekir. Z Z (5.0) * th 31 b
burada Zth Rth jxth ve Z R jx dir Şekil 5.9 da yük akımının rms değeri; I Vth0 ( R R ) j( X X ) th th Böylece Z ye gönderilen ortalama güç; (5.1) P I R (5.) Denklem (5.1) kullanılarak, Denklem (5.) aşağıdaki gibi yeniden yazılır. P V R th th th ( R R ) ( X X ) burada Vth, R th ve X th sabittir. R ve (5.3) X ise bağımsız değişkendir. 3
Bu nedenle, P yi yani gücü maksimize edebilmek için bulmamız gerekir. Bu yüzden P nin R ve sonuçları sıfıra eşitlenir. R ve X değerlerini X ye göre kısmi türevleri alınarak dp Vth R ( X Xth) dx ( R R ) ( X X ) th th (5.4) th th th th dp V ( R R ) ( X X ) R ( R R ) dr ( Rth R ) ( Xth X) Sonuç olarak dp (5.5) 0 X Xth dx (5.6) 33
dp Devre Teorisi Ders Notu 0 R Rth ( X Xth) Rth dr (5.7) Yani maksimum güç için Z Z (5.8) * th burada Z R jx ve Zth R jx dır. Böylece maksimum ortalama güç aşağıdaki gibi elde edilir. I V V Z Z R th th * th th (5.30) P max Vth (5.31) 4R Burada anlatılan maksimum güç transferi R ve 34 Z * Zth içindir. Eğer X sınırlı aralıklarda bir değerde sınırlandırılırsa, Z yeni R nin
R ( X X ) ye yakınlaştırılması, X nin th th gerekir. Saf rezistif devrelerde maksimum güç, R R th X th ta olur. a yakınlaştırılması 35
Örnek 5.8: 5W j3w a 00 V 0W -j6w Z Şekil 5.10: Örnek 5.8 e ait devre a) Z ye maksimum güç transferi yapılabilmesi için Z yi belirleyiniz. b) Belirlenen Z ye transfer edilen maksimum gücü bulunuz. b 36
Cevap: a) Vth 16 0 ( j6) 19.53.13 4 j3 j6 11.5 j15.36v (iki defa kaynak dönüşümü yapıldıktan sonra) Z th ( j6)(4 j3) 5.76 j1.68 4 j3 j6 Maksimum güç transferinin yapılabilmesi için; Devreden akım ifadesi; Z Z 5.76 j1.68 * th Ieff 19. 1.1785 A olarak bulunur. (5.76) Böylece transfer edilen maksimum güç; P I (5.76) 8W eff 37
Örnek 5.9: 3000W j4000w 10V 0 rms R - jx C Şekil 5.11: Örnek 5.9 a ait devre a) Maksimum güç transferi için yük empedansı Z yi bulunuz. Bu durumda maksimum gücü hesaplayınız. b) R, 0 ile 4000 arasında değişebiliyor. değişebiliyor. Maksimum güç transferi için R ve 38 X ise 0 ile 000 arasında C X ne olmalıdır.
Cevap: a) R 3000, X C 4000 Z Z 3000 j4000 * th Vth 110 P 8.33mW. 4R 4 3000 Devre Teorisi Ders Notu b) X yi 4000 e en yakın değere kurarız, O da X 000 dur. R R ( X X ) (3000) ( 000 4000) th th R 3605,55 olarak bulunur. Bulunan bu değer, verilen sınırlar içinde olduğundan doğrudan kullanılabilir. Bu durumda Z 3605.55 j000 olur ve böylece maksimum güç; 39
I eff 100 1.448916.85 6605.55 j000 ma P I R x mw olarak bulunur. 3 ( eff ) (1.4489 10 ) (3605.55) 7.567 Dikkat: b de bulunan güç değeri, a da bulunandan küçük ama yakın bir değerdir. 40
Örnek 5.10: Bir önceki örnekteki devrede yük empedansının 36.87 ye sabitlenmiş bir faz açısı vardır. maksimum enerjiye göre değişiyor. a) Z yi dikdörtgen formda belirleyiniz. b) Z ye gönderilen ortalama gücü bulunuz. Cevap: a) Z Z 3000 j4000 5000 Z b) th 500036.874000 j3000 I eff 10 1.4148.13mA 7000 j1000 3 P(1.414x10 ) 4000 8mW Z nin genliği verilen (fazda) sınırlarda 41
Anlık güç; P Devre Teorisi Ders Notu Vi, (Pozitif işaret, akımın referans yönü voltajın pozitif değerinden negatif referans polaritesine doğru olduğunda kullanılır.) Ortalama veya gerçek güç, bir periyottaki ortalama güçtür. Bu güç elektrik formdan, elektrik olmayan forma dönüşen güçtür (veya tam tersi). Bu sebeple ortalama güce, reel (gerçek) güç denir. 1 P V I cos( ) m m v i V I cos( ) eff eff v i Reaktif güç, bir indüktörün manyetik alanı ile kapasitörün elektrik alanı arasında salınan elektrik gücüdür. Reaktif güç asla elektrik formadan elektrik olmayan forma dönüşmez. 4
1 Q V I sin( ) m m v i V I sin( ) eff eff v i Güç faktörü (pf) voltaj ve akım arasındaki faz açısının kosinüsüdür. pf cos( ) v i Akım gerilimden önde ise (leading) önde pf, geride ise (lagging) geride pf denir. Reaktif faktör (rf); rf sin( ) Kompleks güç; v S P jq i 43
1 VI V I I Z eff * * eff eff V eff * Z Görünen (Apparent) güç; S P Q Devre Teorisi Ders Notu Anlık ve reel gücün birimi Watt dır. Reaktif gücün birimi VAR (voltamp reaktif), kompleks ve görünen gücün birimi VA (volt amp) dir. 44
Kaynak Devre Teorisi Ders Notu J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall. 45