Merhaba! Hepinize hofl geldiniz diyor, ve bu

Transkript

1 Yirminci Yüzy lda Matemati i Sarsan Temel Düflünceler Merhaba! Hepinize hofl geldiniz diyor, ve bu güzel bahar gününde matematik dinleme cesaretini gösterdi iniz için sizleri kutluyorum. Matematik-2001 etkinliklerinde matemati in güzelli ini ve gücünü anlatmaya çal flm flt m. Matematik-2004 etkinliklerinde, ayn sözleri yinelemek yerine, 20inci yüzy lda matemati in temellerini derinden sarsan düflünceleri konu etmek istiyorum. Umar m söyleyeceklerim matemati e olan güvenimizi sarsmayacak, yaln zca insan akl n n yaratt görkemli bir tiyatroyu seyretmemizi sa layacakt r 1. Matemati in sa lam yap s ndan asla kuflkulanmadan rahat yaflant - m z sürdürürken, 20inci yüzy l n bafllar nda o görkemli yap n n temellerine sular inmeye bafllad. Bunun öyküsünü k saca özetlemeye çal flaca m. K saca diyorum, çünkü geçen yüzy lda matematikteki her geliflim bafll bafl na bir ekoldür. Bu ekolleri üç ana gruba ay r rsak çok k s tlay c olmay z: 1. Usbilimsellik (logicism - Russell ekolü) 2. Sezgisellik (intuitionism - Brouwer ekolü) * Baflkent Üniversitesi ö retim üyesi. Yazar n 5-7 May s 2004 tarihleri aras nda Matematikçiler Derne i taraf ndan Ankara da düzenlenen Matematik Etkinlikleri nde verdi i bir konuflmadan derlenmifltir. 1 Konuflmama geçmeden önce, bir fleyi aç klamam gerekiyor. Bu konuflmay haz rlamaya haftalar önce bafllad m. Günlerce, kafamda kurgusunu yapt m. Sonra yazmaya koyuldum. Bir konuda yazarken, böyle yapmay al flkanl k edinmiflim. Kurguyu yaparken, aç l fla gelecek ve ço unlu u matematikçi olmayabilecek dinleyicileri s kmamak için, a r matematiksel düflünceleri hafifleterek, biraz da gülmece havas na sokarak anlatmay düflündüm. Harika bir ifl yapman n heyecan n yaflarken Matematik Dünyas n n 4 numaral 2004 K fl say s elime geçti. Ali Nesin bu ifli benim asla yapamayaca m güzellikte ve sab rla yapm fl. Elimde olsa, bu konuflmay ona yapt rarak cezaland rmak isterdim. Bu arada, Ali Nesin i ve dergi ekibini kutlarken, bir matematik dergisini bu denli ilginç k lan t ls m bilebilmeyi çok istedi imi belirtmeliyim. Timur Karaçay * / tkaracay@baskent.edu.tr Bertrand Russell L.E.J. Brouwer David Hilbert 57 Matematik Dünyas, 2004 Yaz 3. Biçimsellik (formalism - Hilbert ekolü) Bu ekoller aras nda çok sert tart flmalar oldu. Tart flmalardan büyük düflünceler do du. Ama ne bu tart flmalardan önce ne de sonra kimse Neden matematik? sorusunu sormad. Matemati in yads namaz gereklili i ve gücü asla kuflku uyand rmad. Matematik, do al olarak insano lunun yaflam na girmifltir. O dildir, sanatt r, bilimdir. Bugün içinde yaflad m z bilimi, tekni- i, teknolojiyi yaratm flt r. Uygarl m z n temelindedir. nsanl n refah ve mutlulu u için ortaya konan her çaba içinde matematik varolmufltur, varolmay sürdürecektir. Bilim, matemati i sa lam ve güvenilir bir araç olarak görmüfltür. O kadar ki, ço unlukla, bir bulgu ya da kural n bilimsel olarak nitelenmesi için, onun matematik diliyle söylenmifl olmas gerek ve yeterli say lm flt r. Matemati in ortaya ç kard kurallar n (teoremlerin) do rulu undan kimse kuflku duyamaz. Kendisine yak flt rd m z güzel nitelemelerin hepsini fazlas yla haketmifltir. Matematik, kuflkusuz, insan akl n n yaratt en yüce, en de erli yap tt r. Neden matematik bu kadar kesindir, neden kimse do rulu undan kuflku duymaz? Buna verilen yan tlar farkl d r. Ço umuzun benimsedi i yan t fludur: Matematik tümdengelimlidir (deductive dir.) Bir tümcenin do rulu undan bir baflka tümcenin do rulu unu ç karmak için ç kar m kurallar kullan r. Kulland m z usbilim (mant k, logic) do ru önermelerden yanl fl önermeler ç karmaz. ki bin y l önce do ru bir önermeden yola ç km flsak, iki bin y l sonra ulaflaca m z yeni önerme de do rudur. ki bin y l önce ortaya konmufl olsa bile, matematiksel ç kar mlar bugünküler kadar taptazedir. ki bin y l sonrakiler de öyle olacakt r. Bu görüfl, bütün matematik sistemini, kulland m z usbilime (mant a) ve en baflta varsayd -

2 Matematik Dünyas, 2004 Yaz Tümevar m - Tümdengelim Bugüne dek kimse 200 y ldan fazla yaflamam flt r. Bu gözlemden yola ç karak, herkesin 200 yafl ndan önce ölece i ç kar m yap labilir. Bu tür ç kar mlara tümevar msal denir, çünkü özelden genele (tüme) var rlar. Matematikte bu yöntem kabul edilemez. Tam tersine matematikte genelden özele inilir (tümdengelim). Her insan ölümlüdür, Sokrates bir insand r, dolay s yla Sokrates ölümlüdür önermesinde oldu u gibi. Tümevar m yöntemiyle, bugüne dek hiç ölmedi imden bundan sonra da hiç ölmeyece imi ç karabilirim! Say lar kuram naki tümevar mla kan t yöntemi bambaflka bir fleydir, yukar da sözedilenle bir ilgisi yoktur. m z belitlere (aksiyomlara) ba lar. Belitleri de ifltirdi imizde çok farkl sistemler elde etti imizi çoktan beri (Öklityen olmayan geometrilerin ortaya ç k fl yla) biliyoruz. Art k belitleri de ifltirmeyi çok yad rgam yoruz. Peki, kulland m z usbilim (mant k sistemi) de iflirse ne olur? flte bu yad rgan r. Hiç de ilse, matematikçilerin büyük ço unlu u, usbilimi de ifltirme düflüncesine karfl d r. Konuflmam n bir yerinde farkl usbilim konusuna biraz de inece ism. Ç kar m Kurallar Do rulu u bilinen ya da varsay lan önermelerden yeni önermeler ç karmak için en az bir kurala gereksinilir. Genel kabul gören matematikte modus ponens denilen tek bir ç kar m kural vard r: E er ϕ önermesi do ruysa ve ϕ önermesi do ru oldu unda ψ önermesi de do ru oluyorsa o zaman ψ önermesi de do rudur. Bu ç kar m kural biçimsel olarak, ϕ ϕ ψ ψ olarak gösterilir. Belitleri azaltarak ç kar m kurallar n art rabilir ya da ç kar m kurallar n azaltarak belitleri ço altabiliriz. Ama her zaman en az bir belit ve en az bir ç kar m kural gereklidir. Matemati in Temelleri Matemati in temelleri konusunda matematikçiler her zaman uzlaflamam fllard r. Bu nedenle, temel tan mlamak yerine, temele dayanarak tan mlanacak bafll ca kavramlar s ralamak daha uygun olur. Hemen akl m za gelenler: say lar, kümeler, kategoriler, fonksiyonlar, sonsuzluk, tümevar m, usbilimsel (mant ksal) araçlar, geometri, topoloji Aray fllar Burada matemati in tarihini verecek de ilim. Ama matemati in temellerini sarsan düflüncelere ulaflabilmek için, matematiksel usbilime geliflin k sa resmigeçitini söylemeden olmaz. Aristo (M.Ö ). ki de erli usbilimin kurucusudur. Organon (Alet) adl yap t insanl a miras kalan en büyük yap tlardan biridir. Aristoteles 14 usavurma kural (syllogism) verdi. Bu kurallar bugünkü biçimsel mant n temelidir Aristo (sağda) ve hocası Eflatun. Rafael in bir başyapıtından detay ve 2000 y l aflk n bir zaman dilimi içinde insano lunun düflünme ve do ruyu bulma eylemini etkisi alt nda tutmufltur. Kuflkusuz, matematik de bundan nasibini alm flt r. Blaise Pascal ( ). Herkesin gördü ü, bildi i apaç k bir gerçe i, Pascal, matematik diliyle ifade etti: Bir para at ld nda, ya yaz ya tura gelir. Yaz gelme olas l 1/2, tura gelme olas l da 1/2 dir. Bu iki olas l - n toplam 1/2 + 1/2 = 1 eder. Bu basit gerçek, olas l k kuram (probability theory) adl bilim dal n do urdu. Bu bilim dal n n, biçimsel usbilimle yak n iliflkisi o gün- Blaise Pascal lerde hiç sezilmiyordu; çünkü biçimsel usbilime matematiksel yöntemler henüz kar flmam flt. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). Matematikte usbilimselli in (logicism) ilk belirtileri 58

3 onunla ortaya ç km flt r. Usavurma sürecini konuflulan dilden ve anlamdan (semantikten) ba ms z k larak ona matematiksel ve biçimsel (sentetik) bir yap kazand rmaya çal flan ilk kifli olan Alman matematikçi ve filozof Leibniz in G. W. Leibniz yapt iflin önemi ölümünden iki yüzy l sonra anlafl labilmifltir. Dissertatio de Arte Combinatoria (1666) adl eserinde simgesel bir dil yaratmay düflündü. Evrensel tam notasyon sistemi dedi i bu dilde, her kavram en küçük bileflenlerine ayr flacak, kavramlar bu bileflenler cinsinden ifade edilecektir. Lingua characteristica universalis, calculus ratiocinator (ak l yürütmenin hesab ) adl projeleri kuramsal olarak bile gerçekleflemedi. Yaflarken yay mlanmam fl usbilimsel makalelerinin önemi, ölümünden çok sonra anlafl lacakt r. Immanuel Kant ( ) te mant n tamamen ifllenmifl, bitirilmifl, sona erdirilmifl bir dal oldu unu ifade etmifltir. Kant yan l yordu. Mant n görkemli dönüflü henüz bafllamam flt. I. Kant George Boole ( ). ngiliz matematikçi Boole, Alman matematikçi Leibniz in düflünü matematiksel bir yap yla gerçeklefltirdi. ki de erli Aristo mant n matematiksel temellere oturtan simgesel mant yaratt. Buna Boole mant, Boole cebiri, matematiksel mant k, simgesel mant k gibi G. Boole adlar verilir. Boole mant nda ak l yürütmede kullan lan simgeler, sözcüklere, nesnelere, duyulara, verilen anlamlara ba l de ildir. Soyut simgeler ve o simgeler aras nda matematiksel ifllemler kullan larak ak l yürütme süreci tamamlan r. Kulland cebirsel yap, mant n istedi i sa laml - sa lar. 59 Matematik Dünyas, 2004 Yaz Önermeler Mant /Yüklemsel Hesap Önermeler mant nda bir önermenin anlam önemli de ildir, önemli olan önermelerin do ruluklar ve yanl fll klar aç s ndan birbirleriyle olan iliflkileridir. Her say n n karesi s f rdan büyükeflittir önermesi yüklemsel hesab n kapsam ndad r. Günlük dille ifade edelim: x in rengi y dir tümcesinin x çimen ve y yeflil oldu- unda do ru olmas yüklemsel hesab n çal flma alan na girer. Yüklemsel Hesap (Predicate Calculus). Boole un nerdeyse her yönünü keflfetti i önermeler mant önermelerin kendisini de iflken olarak kullan r. Oysa bir önermenin kendisinde de de iflkenler olabilir, x ölümlüdür ya da her x için, x bir insansa x ölümlüdür önermelerinde oldu u gibi. Önermeleri de iflkenleriyle birlikte irdeleyen mant k dal na yüklemsel hesap denir. Yüklemsel hesap, Frege nin bulgular ndan esinlenilerek 1910 ve 1920 lerde önermeler mant n n üstüne kurularak bulunmufltur ve önermeler mant ndan daha güçlüdür. Basitten Karmafl a lerden sonra Bolzano, Abel, Cauchy ve Weierstrass gibi ünlülerin, kendi zamanlar nda matematikte beliren baz belirsizlikleri gideren önemli bulufllar oldu. 19uncu yüzy l n sonlar nda Hamilton karmafl k say lar temsil etmek için gerçel say çiftlerini kulland. Rasyonel say lardan hareketle irrasyonel say lar üretmek amac yla Weierstrass, Dedekind ve Cantor yöntemler gelifltirdiler. Grassmann ve Dedekind in çal flmalar na dayanarak Peano do al say - lardan hareketle rasyonel say lar elde eden yöntemini gelifltirdi. Görülüyor ki Frege zaman nda, matemati in karmafl k nesnelerinin göreceli olarak daha basit ve bir anlamda daha küçük nesnelerden yarat labilece i görüflü a rl k kazanm flt. Belirsizlik (Uncertainty). Matematiksel (simgesel) mant n sa lam ve cebirsel bir yap olarak ortaya konmas, klasik (sözel) mant ktan ancak 2000 y l sonra yap labilen çok büyük bir aflamad r. Ama Boole mant da klasik mant n ortaya koydu u iki-de erlili i korumaktad r. ki-de erli mant kta belirsizlik olamaz. ki de erli mant kta bir önerme ya do ru ya yanl flt r. Oysa, gerçek yaflamda önermeler hem do ru hem yanl fl ya da biraz do ru, biraz yanl fl olabilir. Daha ötesi, gözlemlere dayal önermelerin do rulu u belli bir olas l k katsay s na ba l d r. M.Ö. 400 lü y llardan beri, do ru ve yanl fl aras nda bir fleylerin daha olmas gerekti i seziliyordu. Çünkü iki de erli mant n çat flk lar (paradoks) yaratt da görülüyordu.

4 Matematik Dünyas, 2004 Yaz Jan ukasiewicz ( ). Bu sorunu aflmak için çal flanlar aras nda Polonyal ukasiewicz i anmak gerekir. ukasiewicz geçen yüzy l n bafl nda çok-de erli mant kurdu. Önce do ru ve yanl fl aras na bir arade er (bilirsiz-de er) koyarak üç-de erli mant belitsel biçimde ortaya koydu. Bu sistem iki de erli mant kapsayan daha genel bir sistem oldu. Ama böylece bu iflin üç de erle k - s tlanamayaca, sonsuz de erli mant a geçiflin do all da ortaya ç k yordu. Bulan k (Fuzzy) Mant k. Do a olaylar n aç klamak için kulland m z matematiksel yöntemlerin ve modellerin yarar, gücü ve heybeti tart fl lamaz. Ancak matemati in deterministik niteli inin uygulamada gerçe e ço unlukla uymamas, yüzy llar boyunca bilim adamlar n ve düflünürleri u raflt rm flt r. Çim yeflildir tümcesinin bile do ruluk de- eri, yüksek olsa bile, tam Lotfi Zadeh yüzde yüz (yani 1) de ildir. Matematiksel temsiller, evrenin karmafl kl ve s - n rs zl karfl s nda yetersiz kalmaktad r. Bu nedenle, do a olaylar n aç klarken, ço unlukla, kesinli i de il belirsizli i kullan r z. Azerbeycan do umlu Lotfi Zadeh, 1965 y l nda ilk cesur ad m att ve bulan k kümeler ile bulan k mant tan mlad. Analiz. Antik-ça matematikçilerinin ussal bilgiye dönüfltüremedikleri önemli bir kavram vard r: Sonsuzluk. 17inci ve 18inci yüzy lda, fiziksel olaylar n aç klanabilmesi için (pek de ne oldu u anlafl lmadan ortaya at lan) sonsuz küçük kavram bu yönde önemli bir ad md r. Sonsuz kavram n n matematikselleflmesini sa layan etmenlerden biri olan limit kavram n n, dört iflleme eklenen beflinci bir ifllem olarak matemati e girifli, analiz ad yla an lan büyük ve önemli bir matematik dal n do urmufltur. Analizin do uflunu ve geliflimini sa layan zorlay c etmenlerin bafl nda fizik gelir. Klasik fizi in hemen her probleminin çözümü, analizin bilgi s n rlar n zorlam fl ve onu geliflmeye itmifltir. Bugün klasik fizikte do a olaylar n n aç klanmas, analizin kesin egemenli i alt ndad r. Benzer olguya ça dafl fizikte de rastlanmaktad r. Bu tümce yanl flt r! Bu tümce yanl flt r tümcesini irdeleyelim. Bu tümce yanl flt r tümcesi yanl flsa do rudur, do ruysa yanl flt r. Klasik mant kta do ru tümceye 1, yanl fl tümceye 0 de eri verilir. Dolay s yla, e er yukardaki tümcenin de erine p dersek flöyle bir sonuç ç kar: p = 1 ise p = 0 d r p = 0 ise p = 1 d r. Soldaki p ye eski p diyelim ve p e olarak gösterelim. Sa daki p ye yeni p diyelim ve p y olarak gösterelim. Demek ki, p e = 1 ise p y = 0 d r p e = 0 ise p y = 1 d r. Cebirsel olarak, bu, p y = 1 p e demektir. Oysa biz bir tek p istiyoruz, yeni p, eski p gibi ayr m istemiyoruz, demek ki p e = p = p y. Yukardaki p y = 1 p e denkleminden p = 1 p denklemini buluruz. Yani p = 1/2. Dolay s yla, bu tümce yanl flt r tümcesinin do ruluk de eri 1/2 olmal d r! ki de erli olan matematikte, yukardaki çeliflkiden dolay hiçbir önerme kendisinin yanl fll n ifade edemez. Kuantum Fizi i. Klasik fizi in çözümleyemedi- i baz do a olaylar n n aç klanabilmesi için yeni kuramlara gereksinim duyulmufltur. Bu yöndeki çabalar sonunda, aras nda kuantum fizi i kurulmufltur. Bu yeni kuram n temelleri de, ad na ça dafl analiz ya da fonksiyonel analiz denilen matematik dal n n ortaya ç kmas n sa lam flt r. Bu geliflim, do a olaylar n n matematiksel modellerle temsiline yeni ve önemli örnekler getirmifltir. Örne- in, fl n niteli ini, Schrödinger in dalga mekani i kuram Heisenberg in matris mekani i kuram farkl biçimlerde ama do ru olarak aç kl yorlard. Kuantum fizi inin bu sorununa Fonksiyonel Analiz mükemmel ve zarif bir çözüm getirmifltir: Schrödinger in kuram L 2 -fonksiyon uzay içine, Heisenberg in kuram ise l 2 -dizi uzay içine yerlefltirilmekte ve bu modeller içinde aç klanmaktad r. ki kuram n farkl görüntüsü buradan kaynaklanmaktad r. Ancak bu iki uzay, matematiksel aç dan yap lar biribirlerine denk olan iki uzayd r. Dolay - s yla iki kuram bir anlamda birbirine denktir. 60

5 Matematik Dünyas, 2004 Yaz Nerde Kalm flt k? Bu k sa resmigeçitten sonra as l konumuza dönebiliriz. Toplumlarda liderler, büyük kahramanlar zor zamanlarda (do ru zamanlarda) ortaya ç kar. Onlar çevre koflullar yarat r. Bilimde de böyledir. Çözüm zaman gelen büyük problemleri çözecek büyük bilginler daima (do ru zamanda) ortaya ç - kar. 20nci yüzy l n ilk yar s, matemati in temellerinin yeniden kurulmas çabalar yla doludur. Matematik böyle zor bir döneme girince, onu kurtarmak için kollar s vayanlar çok oldu. Harika ifller baflard lar. Bunlar n hepsini önem s ras yla verebilece imi sanm yorum. Ama 20nci yüzy l matematik tarihinin hiç unutamayaca adlardan baz lar flunlard r: Cantor, Zermelo, Skolem, Fraenkel, Montague, Russell, Whitehead, Bernays, von Neumann, Hilbert, Gödel, Turing, Zadeh. Kümeler Kuram ve Sonsuzluk. Geçen yüzy la girilirken Alman matematikçi Georg Cantor ( ) çeflitli sonsuzluklar bularak matematikte bir devrim yaratt. Her devrim, kurulu düzende bir karmafla yarat r. Matematikte de bu karmafla kaç n lmaz olarak yafland. Do an karmaflay aç klamak için flimdi hepimizin iyi bildi i N = {0, 1, 2, 3, } do al say lar kümesinden bafllayal m ve Cantor un yapt klar n gözden geçirelim: Cantor, 0, 1, 2, 3, say lar n n sonuna ω ile gösterdi i sonsuz bir say ekledi: 0, 1, 2, 3,, ω Burada durmas için bir nedeni yoktu; say eklemeyi sürdürdü: 1, 2, 3,, ω, ω+1, ω+2, ω+3,... Bu biçimde say ekleme iflini 2ω ya kadar götürdü: 1, 2, 3,, ω,..., 2ω Say ekleme ifline kendisini iyice kapt ran Cantor, eylemini inatla sürdürerek, s rayla, flu kümeleri elde etti: Sonunda ulaflt (sonlu ötesi) say lar, analizin bildi i sonsuz say kavram n ve baz lar n n hayal s n rlar n çok çok afl yordu. Matematikçiler önceleri buna pek ald r fl etmediler; önemini de anlamad lar. Ama giderek iflin vehametini anlad lar: Temel sars l yordu. Dünyan n en ak ll adamlar, olarak addedilen matematikçiler aras nda büyük bir tart flma bafllad. Kimileri Cantor un söylediklerinin gerçekle ilgisi olmad, kafa yormaya de meyecek kurgular, hatta fanteziler oldu u görüflündeydi. Kimileri ise bu gibi fleylerin matematikçilerin de il, teologlar n düflünece i saçmal klar oldu unu savundu. Cantor un ortaya att kümeler kuram, matematikte yepyeni bir ç r açt. Ç r demek yetmez, tam anlam yla bir devrim yaratt! Bundan sonra matemati in temelleri kümeler üzerine kurulmal yd!.. Usbilimsellik (logicism). Bertrand Russell, gençli ine matematikçi olarak bafllad, sonradan filozoflu a kadar düfltü (!) Bununla yetinmeyip son y llar nda hümanist ak mlara kap ld ve savafl karfl t eylemlere kar flt (!) Durup dururken yaflam n n son y llar n neredeyse zora sokacakt... Russell matemati in temellerinin sars ld n ilk gören kifli de ilse bile, bunu çok aç k biçimde ortaya koyan kiflidir. O nedenle, baz matematikçilerin onu sevmemesini anlay flla karfl lamak gerekir. Bence insanl k ad na söyledi i ve yapt güzel fleyleri matematikçi olarak yapt diye onunla ö ünmeliyiz. Çok popülarize edilmifl olarak bildi imiz çat flk lar n (paradokslar n) birço u Russell taraf ndan ortaya konulmufltur. Bunlar n birço u Matematik Dünyas nda ç km flt r; burada yinelemenin gere ini görmüyorum. Yaln zca bir örnek vermek için berber çat flk s n Ali Nesin in dilinden aktaraca m: Köyün birinde bir berber varm fl. Bu berber, o köyde kendini trafl etmeyen herkesi trafl edermifl, kendini trafl edenleriyse trafl etmezmifl. Soru flu: bu berber kendini trafl eder mi? Kendini trafl etmezse, kendini trafl etmeyen herkesi trafl etti- inden, kendini trafl etmeli. Kendini trafl ederse, kendini trafl edenleri trafl etmedi inden, kendini trafl etmemeli. Berberin kendini trafl edip etmemesinden bize ne! diyebiliriz. Ama bu çat flk lar n birer oyun, birer bilmece olmay p, matemati in temellerini derinden sarsan üstün düflünceler oldu una inananlar ç kt orta yere. 61

6 Matematik Dünyas, 2004 Yaz Principia Mathematica. Russell matemati in temelinde oluflan sars nt y görüp söylemekle yetinmedi. Whitehead le birlikte matematikte do an çeliflkiyi yokedecek yöntem arad. 1910, 1912 ve 1913 te yay mlanan üç ciltlik Principia Mathematica da bütün matemati in usbilimselli e (logicism e) indirgenebilece ini savundular. Tezlerini iki bölüme ay rabiliriz. Birincisi, bütün matematiksel do rular usbilimsel do rulara dönüfltürülebilir. Baflka bir deyiflle, matematiksel terimler usbilimsel terimlerin bir altkümesidir. kincisi, bütün matematiksel kan t yöntemleri usbilimsel kan t yöntemleriyle ifade edilebilir. Baflka bir deyiflle, matematiksel teoremler usbilimsel teoremlerin bir altkümesidir. Russell in sözleriyle özetlersek, bütün soyut matemati in usbilimsel kurallarla elde edilebilece ini göstermek usbilimcinin iflidir. Öyleyse, matematik usbilimdir, matematikçi de usbilimcidir. Principia Mathematica modern matematiksel usbilimin do mas na neden olmufltur. lk bas m paras zl k yüzünden geciken Principia Mathematica, Aristo nun Organon adl ünlü yap t ndan sonra usbilim alan nda yaz lm fl en önemli yap t olarak kabul edilir. Sezgisellik (Intuitionism). Matemati i sezgisel olarak kurmay amaçlayan bu ekol esas olarak Luitzen Egbertus Jan Brouwer n ( ) ortaya koydu u sistemdir. Cantor un kümeler kuram na dayal yap s n fliddetle yads rken, Russell in usbilimselli ine de karfl durur. Tart flma, ak l oyunlar n n sergilendi i görkemli bir tiyatroya dönüflür. Sergilenen oyuna seyirciler de kat l r Poincaré matemati in temellerini varsay mlara dayamak isterken, Kronecker teolojiye s n r. Biçimsellik (Formalism). Poincaré yle birlikte ça n en etkili matematikçisi David Hilbert ( ), ak l oyunlar n n son perdesini indirmek istedi. Kan t kuram (proof theory) dedi i biçimsel bir matematik dili gelifltirdi (1927). Ona göre sezgisel matematik yaparken konufltu umuz dil, duygular m z, özne (madde) geleneksel ç kar m yöntemlerimizi etkilemektedir. D fl etkenleri yoketmek için yapay bir matematik dili oluflturdu. Yedi ana grupta toplad 17 formülle matematik teoremlerini kan tlayabiliyordu. Ortaya att kuram n ilk sunumunu yaparken flöyle diyordu: Matematik önyarg - s zd r. Onu bulmak için Kronecker in yapt gibi Tanr ya, Poincaré nin yapt gibi yeteneklerimize hitabeden varsay mlara, Brouwer in yapt gibi temel sezgilere, Russell in yapt gibi belitlere gereksinim yoktur. Matematik, formüllerden oluflan kendi içinde kapal bir sistemdir. Hilbert büyük bir matematikçidir. 20nci yüzy l matemati ine damgas n vurmufltur de Paris te yap lan Uluslararas Matematik Kongresinde ortaya att problemler, aradan geçen 100 y lda bile tam çözülememifltir, ama bu problemler yüzy - l n matemati ine yön vermifltir. Herkes böyle bir dahinin ak l oyunlar için yazd son perdeyle temsilin bitti ine inanmaktad r. Ta ki Gödel denen biri ç k p oyuna hiç bitmeyecek bir perde daha ekleyene dek!.. Gödel Diye Biri! Bir matematik sisteminde üç nitelik arar z. Birincisi, taml k (completeness): Her önermenin ya kendisi ya da tersi kan tlanabiliyorsa, baflka bir deyiflle, sistemdeki her p önermesi için ya p do rudur ya da p yanl flt r önermelerinden biri kan tlanabiliyorsa sistem tamd r. kincisi, tutarl l k (çeliflkisizlik, consistency): Her p önermesi için ya p do rudur ya da p yanl flt r önermelerinden ancak biri teoremse sistem tutarl, her ikisi de teoremse sistem tutars zd r. Üçüncüsü s nanabilirlik: yani sistemde bir kan t verildi inde, bu kan t n geçerli olup olmad n sonlu zamanda s nayabilece imiz bir yöntem olmal d r de Kurt Gödel ( ) ortal toz dumana katana kadar Hilbert in formal sisteminin matematikteki krizi tamamen çözdü ü san l yordu. Gödel in tamamlanamazl k (incompleteness) teoremi ad n verdi i teorem, sadece do al say lar ve toplamayla çarpmay anlayacak kadarc k karmafl k bir sistemin yukardaki üç niteli e sahip oldu unun o sistem içinde kan tlanamayaca n söylüyordu. Bu sonuç, matemati in tutarl oldu unun matemati in içinde kan tlanamayaca n n kan t yd. Dolay s yla, kendi içinde kapal bir sistem oluflturdu u san lan Hilbert formalizminin çöküflü anlam na geliyordu. O zamana kadar kimse Hilbert in yan lm fl olabilece ini düflünmüyordu. Dahi matematikçi von Neumann bile Gödel in yapt n ö renince Yan l- 62

7 Matematik Dünyas, 2004 Yaz d m, gemiyi kaç rd m! (yani Gödel in teoreminin do ru olabilece i akl ma gelmedi ) diye hay flanm flt r. Kurt Gödel, Aristo dan sonra gelmifl en büyük usbilimci unvan n kazanm flt r. Alan Turing ( ). Leibniz in düflünü gerçeklefltirecek bir makinay tasarlad (1936). Turing makinas ad yla an lan bu hayal makina, her matematik problemini çözecek mekanik bir alet olarak düflünüldü. Turing, bugünkü bilgisayarlar n çal flma ilkelerine çok benzeyen bir yöntemle, bütün problemleri çözen mekanik bir makinan n (ya da algoritman n) var olamayaca- n kan tlad. Bu sonuç, farkl bir yaklafl mla Gödel i do rulamaktad r. Hatta, Greg Chaitin e göre, Gödel in yapt iflten daha büyüktür. Sonuç. Ak l Oyunlar Alan Turing sürüyor; henüz son perdesini kimse yazamad. Evrenin karmaflas o son perdenin yaz lmas na henüz izin vermiyor. Do a olaylar n aç klamak için ortaya koydu umuz kuramlar, evrenin yafl na oranla daha çok yeni, çok yetersiz. Kaosçular n deyimiyle, Çin de kanat ç rpan kelebe in Teksas ta kas rga yarat fl n aç klayan modelimiz yok. (Bu söz hiçbir politik ima tafl m yor.) Böyle oluflu gelecek için umudumuz olmal d r. Çünkü insan soyuna üstünlük sa layan fley evrenin gizlerini tümüyle biliyor olmas de il, o gizleri durmaks z n arama iradesine sahip olmas d r. Görkemli bir tiyatroda bitimsiz bir oyunu oynuyoruz. Kimbilir, insano lu belki bu oyuna erdemi de katabilir. [6] Kline, M. Mathematics, the Loss of Certainty, Oxford: Oxford University Press, [7] Nagel, E. ve Newman, J.R., Gödel s Proof, New York: New York University Press, [8] Quine, W.V., Ways of Paradox, New York: Random House, [9] Rand, A., Introduction to Objectivist Epistemology, New York: Penguin Group, [10] Ross, D., The Cognitive Basis of Arithmetic, Poughkeepsie, N.Y.: Institute for Objectivist Studies (ç kacak). [11] Russell, B., Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, [12] Russell, B., Introduction to Mathematical Philosophy, London: George Allen and Unwin, [13] Whitehead, A. N., Treatise on Universal Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, [14] Whitehead, A. N., On Mathematical Concepts of the Material World, London: Dulau, [15] Whitehead, A. N., ve Russell, B., Principia Mathematica, 3 cilt (1910, 1912, 1913), Cambridge: Cambridge University Press. kinci bas m, 1925 (cilt 1), 1927 (cilt 2 ve 3). K - salt lm fl bas m [16] Walley, P., Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities, Chapman and Hall, London, [17] Willaeys, D. ve Malvache, N., The use of Probability Functions for the Treatment of Fuzzy Information by Computer, Probability Functions and Systems 5 (1981) [18] Wilson, N. ve Moral, S. A., Logical View of Probability, Proc. of the 11th Europ. Conf. on Artificial Intelligence (ECAI 94) (Ed. A.G. Cohn), Amsterdam, The Netherlands, Aug. 8-12, Wiley, New York (1994) [19] Zadeh, L.A., Quantitative Fuzzy Semantics, Information Sciences 3 (1971) Kaynakça [1] Baum, R., Philosophy and Mathematics, San Francisco: Freeman, Cooper, [2] Benacerraf, P. ve Putnam, H., Philosophy of Mathematics, Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, [3] Boyer, Carl B., The History of The Calculus and its Conceptual Development, New York: Dover, [4] Courant, R. ve Robbins, H., What is Mathematics?, Oxford: Oxford University Press, [5] Frege, G., Grundgesetze der Arithmetik, cilt I (1893), cilt II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle. Ed. 63

8 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Yirminci Yüzy lda Matemati i Sarsan Temel Düflünceler Timur Karaçay * / tkaracay@baskent.edu.tr Ad na Kaos Kuram denilebilecek bir kuram bilimsel anlamda olufltu mu? Bu soruya olumlu yan t vermek için zaman henüz erken olabilir. Ancak böyle bir kuram n do uflu için yeterince neden ve olgu oldu u ve bu amaçla çaba sarfedildi i gözard edilemez. Bu konuflmada, bir matematikçi gözüyle determinizmin ve kaosun ne oldu u aç klanacakt r. Hareket. nsanl tarih boyunca çok u raflt - ran do a olaylar vard r. Hareket ve zaman bunlar n bafl nda gelir. Felsefenin, fizi in, matemati in ve sanat n temel u rafl alanlar olmufllard r. Mekani in amac, evrendeki nesnelerin hareketini aç klamak, yani belli bir anda bulunacaklar konumu öngörebilmektir. Hareket eden nesneler, galaksi ve günefl sistemleri gibi devasa, saat sarkaçlar ve futbol topu gibi insan boyutunda ya da elektron gibi atomik boyutlarda olabilir. Yak n çevremizdeki hareketleri Newton mekani iyle, atomalt parçac klar n hareketlerini kuantum mekani iyle, galaksilerin hareketini de görecelik kuram yla aç klamaya çal fl yoruz. Tüm bu hareketleri aç klayan tek bir mekanik kuram her sayg n fizikçinin hayalidir. 17 inci yüzy ldan sonra geliflen modern bilim, hareketi aç klama yönünde epeyce yol alm flt r, ama gene de hareketin her yönünü aç klamaktan çok uzaktay z. Biraz geriye bakarak bu yolda al - nan mesafeyi görmek, bundan sonra al nacak yol için umut ve cesaret verecektir. Henüz emekleme ça nda olan kaos kuram bu yolda ça m zda at lm fl önemli bir ad md r. Aristo. MÖ 300 y llar nda Aristo (MÖ ), birçok alanda yapt gibi, hareket için de * Baflkent Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Yaz, Eylül 2004 te Assos ta gerçeklefltirilen Mant k, Matematik ve Felsefe II.Ulusal Sempozyumu nda yap lan konuflmadan uyarlanm flt r. 1 Yermerkezli evren, ngilizcesiyle geocentric universe. 2 Günmerkezli evren, ngilizcesiyle heliocentric universe. gözlemlerine dayal yasalar koymufltur. Konumuzla ilgili olan ikisi flunlard r: 1. Cisimler a rl klar yla do ru orant l bir ivmeyle yere düflerler. 2. Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli bir kuvvet etki etmelidir. Aristo nun bu mekanik yasalar - ki yanl flt rlar - fizik bilmeyen herkesin sezgiyle ulaflabilece i sonuçlard r. Ortalama bir insan n hareketi baflka türlü alg lamas zordur. Aristo nun yasalar, günlük yaflama ve alg lamalar m za o kadar uygundur ki, 1800 y l boyunca insanl k bu yasalardan kuflku duymam flt r. Ama bilim adamlar n n bir ifli de kuflkulanmak ve sorgulamakt r: E er bir cismin hareketi için ona sürekli kuvvet uygulamak gerekiyorsa, gök cisimlerini kim itiyor veya çekiyor? Dal ndan düflen elmay yere iten veya çeken fley nedir? Ptolemy. MS 150 lerde Claudius Ptolemy nin (MS ) gök cisimlerinin hareketi için koydu u yasalar Katolik Kilisesi nin resmi görüflüyle uyum sa lay nca yerküremiz evrenin merkezi olma mertebesine eriflmifltir 1. Kopernik. Günün birinde Nikola Kopernik (Nicolaus Copernicus, ) adl bir Polonyal ç plak gözle yapt uzun gözlemlerden sonra gerçekle yüzyüze gelmemizi sa lad : Yerküremiz tafl makta oldu u o yüce payeyi günefle kapt rd : Art k, evrenin merkezi dünya de il, güneflti 2! 62

9 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Kepler. Evren kuram n Johann Kepler ( ) geometrik bir modele oturttu: 1. Bir gezegenin yörüngesi, bir oda nda güneflin yer ald bir elipstir. 2. Günefli gezegene birlefltiren do ru eflit zaman aral klar nda eflit alanlar süpürür. 3. Gezegenin periyodunun karesi günefle olan ortalama uzakl n n küpüyle orant l d r. (Dünya için T 2 = R 3.) Kepler in, bugün bile geçerli ini koruyan bu mükemmel geometrik modeli, günefl sistemi içindeki gezegenlerin hareketlerini kusursuz aç kl yordu ama evrendeki bütün hareketleri ve en önemlisi hareketlerin nedenini aç klamaya yetmiyordu. Galile. Galileo Galilei ( ) bir yandan teleskopla gök cisimlerini gözleyip Kopernik in günmerkezli kuram n do rularken, öte yandan yerçekimiyle ilgili deneyleri Aristo nun 2000 y ll k imparatorlu unu derinden sars yordu: Bütün cisimler ayn ivmeyle yere düflerler. Bu yasa a r cisimlerin de hafif cisimlerle ayn ivmeyle yere düfltü ünü söylüyor ve Aristo nun yukarda an lan ilk yasas n çürütüyor. Tarih, büyük imparatorluklar n derinden sars l nca y k lmalar - n n kaç n lmaz oldu unu göstermifltir. Newton. Galile nin sarst Aristo imparatorlu una Isaac Newton ( ) son darbeyi indirecektir. Newton Hareket Yasalar denen afla daki yasalar, Aristo imparatorlu unu y kmakla kalmad, 200 y l boyunca fizi- in temeli oldu ve ça m z n teknolojisine yol açt : 1. Hareketli bir cisim d flar dan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün do rusal hareketini ilelebet sürdürür. 2. Kütlesi m olan bir cisme uygulanan F kuvvetiyle a ivmesi aras nda F = ma ba nt s vard r. 3. Her etkiye karfl ona eflit bir tepki vard r. Newton, Kepler in mükemmel geometrik modelinin ve Galile nin yerçekimiyle ilgili flafl rt c gözleminin gerisinde yatan gizemi aramaya bafllad. Gezegenler neden Kepler in modeliyle hareket ederler? A r ve hafif cisimler neden ayn ivmeyle yere düflerler? Bu sorular n yan tlar n veren matematiksel bir formül olmal yd. Sonunda arad n buldu. Newton un hareket yasalar, biraz sonra ele alaca m z determinizm kavram n n temelidir. Newton dan sonra 20 inci yüzy l bafl na dek hareketle ilgili her fleyin Newton un hareket yasalar ndan ç kt na inan lacakt r. Nerden Nereye? (Matematikten Fizi e!) Kepler, gezegenlerin hareketlerini aç klayan geometrik modeli yaratmak için Perge li Apollonius un (MÖ ) 1800 y l önce yazd Konikler adl yap t na dayan yordu. Herhalde, Apollonius, koniklerin gizlerini tutkuyla araflt - r p ortaya dökerken, on sekiz yüzy l sonra büyük bir uygarl a ç r açaca n akl na bile getirmiyordu: Apollonius olmasa Kepler, Kepler olmasa Newton, Newton olmasa Einstein olmazd! Diferansiyel Denklemler - Dinamik Sistemler Fiziksel bir olguyu, örne in bir nesnenin hareketini anlamak için, olguyu kâ da hapsetmek, yani matematiksel bir modelini kurmak gerekir. Bu da genellikle matematiksel denklemlerle mümkündür. Fiziksel olguyu matematiksel olarak anlamakla, bulunan denklem sistemini çözmek eflde erdir, en az ndan bu yolda at lm fl çok önemli bir ad md r. Bulunan denklemler genellikle diferansiyel denklem denen bir türdendir. (Bkz. sayfa 64.) Baz diferansiyel denklemleri çözmek kolayd r, bunlara do rusal ya da lineer diferansiyel denklemler denir (bkz. bir sonraki sayfadaki gri karenin sonu.) Diferansiyel denklemlerin çözümleri ad na analitik denilen (bkz. bir sonraki sayfadaki gri kutu), oldukça ele avuca gelen, bir anlamda eli yüzü düzgün ya da evcil diyebilece imiz ve polinomlara oldukça benzeyen fonksiyonlard r. Bu diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunabildi inden, temsil ettikleri fiziksel olgunun matematiksel çözümlemesi de yap labilir, en az ndan böyle bir kuramsal temel vard r. Do rusal olmayan diferansiyel denklemlerin çözümleri ne yaz k ki bilinen fonksiyonlar cinsinden yaz lamaz genelde. Bu zor denklemler teorik olarak çözülemedi inden yaklafl k çözümler için bilgisayarlar kullan l r. 63

10 Matematik Dünyas, 2005 Bahar H z Bir do ru üzerinde yol alan bir parçac k t-inci saniyede x(t) = t 2 metrede olsun. Örne in, parçac k, 0 nc saniyede x(0) = 0 2 = 0 metrede, 3 üncü saniyede x(3) = 3 2 = 9 metrededir. H z gittikçe artan bu parçac n tam 3 üncü saniyedeki h z n hesaplayal m. Önce parçac n 3 ve 4 üncü saniyeler aras ndaki ortalama h z n hesaplayal m. Parçac k, 3 üncü saniyede x(3) = 3 2 = 9 metredeyken, 4 üncü saniyede x(4) = 4 2 = 16 metreye varm fl, demek ki 1 saniyede 16 9 = 7 metre katetmifl. Dolay s yla parçac n 3 ve 4 üncü saniyeler aras ndaki ortalama h z 7 metre/saniye dir. fiimdi parçac n 3 ve 3,1 inci saniyeler aras ndaki ortalama h z n hesaplayal m. Parçac k, 3 üncü saniyede x(3) = 3 2 = 9 metredeyken, 3,1 inci saniyede x(3,1) = 3,1 2 = 9,61 metreye varm fl, demek ki 0,1 saniyede 9,61 9 = 0,61 metre ketetmifl. Dolay s yla parçac n 3 üncü ve 3,1 inci saniye aras ndaki ortalama h z 0,61/0,1 = 6,1 metre/saniye dir. fiimdi de, herhangi bir h için, parçac n 3 ve 3 + h inci saniyeler aras ndaki ortalama h z n hesaplayal m. Yukarda h = 1 ve 0,1 için 7 ve 6,1 bulduk. Parçac k, 3 üncü saniyede 3 2 = 9 metredeyken, 3 + h inci saniyede (3 + h) 2 = 9 + 6h + h 2 metreye varm fl, demek ki h saniyelik bir sürede (9 + 6h + h 2 ) 9 = 6h + h 2 metre katetmifl. Dolay s yla parçac n 3 üncü ve 3+h inci saniye aras ndaki ortalama h z (6h + h 2 )/h = 6 + h metre/saniye dir. Parçac n 3 üncü ve 3 + h inci saniyeler aras ndaki ortalama h z n n 6 + h oldu unu bulduk. Parçac n tam 3 üncü saniyedeki h z n bulmak için h = 0 almak gerekir: Parçac n tam 3 üncü saniyedeki h z = 6 metre/saniye dir. Yukardaki hesaplar 3 yerine herhangi bir t zaman için yapal m. Parçac n t ile t + h aras ndaki ortalama h z, xt ( + h) xt ( ) ( t + h) t ( t + 2th+ h ) t = = h h h 2 2th + h = = 2t + h h dir. h = 0 al rsak, parçac n t an ndaki h z n n 2t oldu unu buluruz. Genel formül flöyle: xt ( + h) xt () h z = xt ( ) = lim h 0. h Diferansiyel Denklemler Hareket eden bir noktan n t an ndaki konumunu x = x(t) ile gösterelim. Noktan n her an bir de h z vard r. Noktan n t an ndaki h z n x = x (t) ile gösterelim. Örne in e er x (t) = 0 ise, nesne o t an nda hareket etmiyordur, (ama hemen sonra ya da hemen önce hareket halinde olabilir, örne in havaya bir tafl att m zda, en tepeye vard nda tafl n h z 0 d r, düflmeye bafllad nda h z negatiftir.) vme ise h z n h z d r. Havaya at lan bir tafl gittikçe yavafllad ndan ivmesi bafllang çta negatiftir; tafl düflmeye bafllad nda ivmesi pozitif olur. Noktan n t an ndaki ivmesini x = x (t) ile gösterelim. vmenin de h z hesaplanabilir ve x ile gösterilir. Bunu böylece sonsuza kadar sürdürüp t zaman na göre de iflen x, x, x,..., x (n),... fonksiyonlar n elde edebiliriz. Hareket eden bir parçac n t an ndaki x(t) konumunu belirlemek için, genellikle, önce, x, x, x, x,... fonksiyonlar aras nda bir ba lant kurulur. Örne in, konum h za eflit olabilir, o zaman ba lant x = x dir (daha do rusu x(t) = x (t) dir.) Ya da xx = 2tx gibi bir ba lant olabilir. Bu tür ba lant lara diferansiyel denklem denir. Diferansiyel denklem bulunduktan sonra, bu diferansiyel denklemi sa layan x = x(t) fonksiyonlar n n bulunmas gerekir. De iflkeni t olan p 0,..., p n, q fonksiyonlar için, x (n) + p n x (n 1) p 1 x + p 0 x = q biçiminde yaz lan diferansiyel denklemlere do rusal diferansiyel denklemler denir. Do rusal diferansiyel denklemleri çözmek di erlerine göre daha kolayd r. Sarkac n Hareketi Kütlesi m, ipinin uzunlu u L olan bir sarkaç belli bir θ 0 aç s yla gerilip belli bir h zla itilirse, sarkac n t an ndaki aç s θ = θ(t), Lθ + g sin(θ) = 0 P diferansiyel denklemini sa lar. (Buradaki g yerçekiminin θ(t) L ivmesidir.) Bu denklem lineer de ildir ve çözümü, bilinen di er fonksiyonlar cinsinden mg sin θ yaz lamaz, bilgisayar yard - mg cos θ m yla say sal ve yaklafl k olarak çözülebilir ancak. Ama mg e er θ 0 ve ilk h z küçükse, o zaman θ da küçük olur ve sin(θ) θoldu undan, küçük hatalar umursamayarak denklemi Lθ + gθ = 0 lineer denklemine dönüfltürüp çözebiliriz. 64

11 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Analitik Fonksiyonlar ƒ(x) = ax 2 + bx + c gibi bir polinom taraf ndan verilen fonksiyonlar oldukça kolay anlafl - l rlar. Ama her fonksiyon polinom taraf ndan verilmez elbet. ƒ : R R, belli bir a R noktas nda n kez türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Kolayca kan tlanabilece i üzere, ƒ(a) = p n (a) ƒ (a) = p n (a)... ƒ (n) (a) = p n (n) (a) eflitliklerini sa layan bir ve bir tek n-inci dereceden p n (x) polinomu vard r: p n (x) = Σ i=0 n ƒ (i) (a)(x a) i /i! Bu polinomlar n n büyüdükçe ƒ ye daha çok benzediklerini, hatta sonsuzda hem yak nsak hem de ƒ ye eflit olduklar n, yani, ƒ(x) = Σ i=0 ƒ (i) (a)(x a) i /i! eflitli ini ummak gerekir. Ne yaz k ki bu eflitlik her zaman do ru de ildir: 1) Seri yak nsak olmayabilir, 2) Seri yak nsak oldu unda da ƒ(x) e yak nsamayabilir. Ama e er bir ε > 0 ve her x (a ε, a+ε) için, ƒ(x) = Σ i=0 ƒ (i) (a)(x a) i /i! ise, ƒ ye a da analitik denir. Analitik fonksiyonlar polinomsal olmasalar da polinomsal fonksiyonlara oldukça benzediklerinden el üstünde tutulurlar. exp, sin, cos gibi fonksiyonlar her noktada analitiktirler. Basit hareketleri matematiksellefltiren diferansiyel denklemler ya da denklem sistemleri genellikle do rusald r. Fiziksel sistem karmafl klaflt kça, diferansiyel denklemlerdeki de iflken say s artar, sistem çok de iflkenli olur. Ayr ca denklemdeki terimlerin dereceleri büyür ve sistem do rusal olmaktan ç kar. Genellikle, bu tip denklemlerin analitik bir çözüm uzay yoktur. Bu, kaos diye adland r lan olgular al fl lm fl matematik diliyle aç klayamay fl m z n as l nedenidir. Dinamik Sistem. Diyelim bir ortamda kufllar (avc lar) ve solucanlar (avlar) var. Belli bir t an ndaki solucan say s na s(t), kufl say s na k(t) diyelim. Elbette solucan ve kufl say s aras nda bir iliflki olmal, örne in kufl say s artt kça solucan say - s azalmal. fiöyle bir model tasarlayal m (Lotka- Volterra modeli): s (t) = as(t) bs(t)k(t) k (t) = cs(t)k(t) ek(t). Burada, a, b, c ve d, ava, avc ya, co rafyaya vs göre de iflen pozitif sabit say lard r; s ve k ise solucan ve kufl say s n n t an ndaki art fl (ya da azal fl) h z d r. Birinci denklem flunu der: E er ortamda kufl yoksa, yani k = 0 ise, solucan say s s = as h z yla artar (yani kufl yoksa belli bir a sabiti için s(t) = ae rt olur.) Ama her kufl da solucanlar n belli bir b yüzdesini avlamaktad r, dolay s yla kufl say s solucan say s n azaltmaktad r. (Demek ki b sabiti 0 la 1 aras nda bir say d r.) kinci denkleme göre, avlanacak solucan yoksa kufl say s k = ek h z yla de iflir, yani azal r. csk terimi avlanan solucan say s n n kufllar n ço almas na neden oldu unu gösterir. flte bu, (sürekli) bir dinamik sistemdir. E er bu sistemi çözmek çok zorsa, zaman sürekli de ifltirmek yerine örne in saniye bafl de ifltirterek flöyle bir sisteme varabiliriz: s n+1 s n = as n + bs n k n k n+1 k n = cs n k n + ek n. Buradaki s n = s(n) ve k n = k(n), n-inci andaki (ya da saniyedeki) solucan ve kufl say s d r. E er s f - r nc saniyedeki solucan ve kufl say s n, yani s 0 = s(0) ve k 0 = k(0) say lar n biliyorsak, hesapla 1000 inci saniyedeki solucan ve kufl say s n en az ndan kuramsal olarak bulabiliriz. Zaman n birim birim ilerledi i böyle bir sisteme de ayr k dinamik sistem denir. E er s(0) ve k(0) biliniyorsa, sürekli ya da ayr k olsun, analitik çözümü olan her dinamik sistemin tek bir çözümü vard r. s(0) ve k(0) de ifltikçe, do al olarak genel çözüm de de iflir. Bu de erlere dinamik sistemin bafllang ç koflullar denir. Örne in bir bilardo topunun stakayla vurulufl yönü, gücü ve topun neresine vuruldu u bafllang ç koflullar d r. Verilen bafllang ç koflullar yla top her zaman ayn yörüngeyi izler. Bafllang ç Koflullar lerde, bir do a yasas n aç klaman n tek yolunun onu belirleyecek ölçümlerin yap lmas yla mümkün olabilece i görüflü ç kt. Bunun anlam aç kt : Evrenin yasalar sözel ifadeler yerine simge ve say larla aç klanmal yd. Bu görüfl 17 inci yüzy lda geliflmeye bafllayan modern bilimin temeli olmufltur ve maddeyi ve do a olaylar n aç klamak için bilim matemati i as l araç olarak kullanm flt r. Örne in, Newton yasalar sö- 65

12 Matematik Dünyas, 2005 Bahar zel olarak ifade edilseler bile, bir fiziksel sistemin durumunu aç klamak için hareket eden parçac n belli bir andaki (diyelim 0 nc saniyedeki) konumunun, h z n n, yönünün ve ona etkiyen kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Bu bilgiler de elbette say sald r ve sistemin bafllang ç koflullar d r. Bir dinamik sistemin bir andaki konumunu, h z n, yönünü ve ona etkiyen kuvvetleri bildi imizi varsayarak onun daha sonraki ya da daha Bir bilardo oyuncusu, asl nda vuraca topa istedi i yörüngeyi çizdirtecek bafllang ç koflullar n ar yordur. önceki bir zamandaki durumunu da bilmek istiyoruz. Fiziksel durumu matematiksellefltiren diferansiyel denklem ya da sistem do rusalsa çözümün analitik oldu unu söylemifltik. Ama her bafllang ç koflulu için bir baflka analitik çözüm bulunur. Determinizm. Felsefi aç dan, klasik mekani in yani Newton mekani inin özü determinizmdir. Determinizm, bir fiziksel sistemin flimdiki durumu, önceki durumunun sonucudur der. Dolay s yla her olay ve hareketi önceden belirlemek mümkündür. Bu görüflü, antik ça n maddeci düflünürlerine kadar geriye götürebiliriz. Hiç de ilse, 1500 y llar nda ortaya ç kan nedensellik (neden-sonuç) düflüncesinin a rl k kazanmas ndan sonra Isaac Newton un ortaya koydu u hareketin üç temel yasas modern bilimi bütünüyle determinizme dayal k lm flt r. Bu yasalar, determinizmi yaln z ileriye de il, geriye do ru da çal flan sa lam bir araç olarak görür. Gerçekten, Newton un hareket yasalar na göre, flu andaki fiziksel durum önceki fiziksel durumdan ç kt gibi, bundan sonra olacak fiziksel durum da flu andaki fiziksel durumun sonucu olacakt r. Klasik fizikçi aç s ndan, Halley kuyruklu y ld - z n n 2061 de yeniden dünyay ziyaret edece ini kesinlikle öngörebilmek ya da gelecek günefl tutulmas n n ne zaman olaca n ve dünyan n neresinden en iyi görünece ini flimdiden flaflmaz biçimde hesaplayabilmek, determinizmin yads namaz zaferleridir. Modern bilimin dayana olan ve yüzy llard r etkisini sürdüren bu görüfl, bugünün bilimini, teknolojisini ve uygarl n yaratm flt r. Determinizmin matematiksel dili çok aç kt r. Bafllang ç koflullar bilince, ona uyan biricik analitik çözümü bulabiliriz. Bu çözüme ƒ diyelim. Herhangi bir t an nda sistemin durumunu biliyorsak, ƒ fonksiyonunu biliyoruz demektir. Art k her a için ƒ(t+a) ve ƒ(t a) de erlerini hesaplamak, yani sistemin a zaman sonra ve a zaman önceki durumlar - n saptamak mümkündür. Demek ki determinizmin uygulanabilmesi için, sistemin analitik çözümüne ve iyi belirlenmifl bafllang ç koflullar na gereksinim vard r. Çok kolaym fl gibi görünen bu ifl, gerçekte pek çok sistem için imkâns zd r. Bu imkâns zl k kaos diye an lan fenomenleri yarat r. Tanr Zar Atar m? Newton fizi i doruktayken, 20 inci yüzy l içinde Newton fizi inin eksi ini tamamlamak için yap lan çal flmalarda iki yeni kuram ortaya ç kt : kuantum ve görecelik kuramlar. Görecelik kuram, bu yaz n n kapsam d fl ndad r. Kaosun olas l a dayal yan yla yak n iliflkisi nedeniyle kuantum mekani ine birkaç sat r ay rmakta yarar vard r. Heisenberg Belirsizlik lkesi ne göre hareket halindeki bir parçac n belli bir andaki momentumuyla (yani kütlesiyle h z n n çarp m yla) bulundu u konumu, deney koflullar mükemmel bile olsa, kesin olarak belirlenemez, mutlaka bir hata olmal d r, çünkü ölçüm yapmak için sistem mutlaka rahats z edilmelidir. Bu iki hatan n çarp m quantum sabiti ad verilen ve h olarak simgelenen bir sabitten daha az olamaz (h = h/2π = 6, /2π J s). Bu belirsizlik insani boyutlarda önemsiz olsa da atomik boyutlarda görmezden gelinemeyecek bir hatad r. E er momentum p, konum x ise ve hatalar da p ve x ise, p x > h olmal d r. Dolay s yla konumu tam olarak tespit etmek için (yani x in 0 olmas için), p sonsuz olmal d r! Belirsizli in hakim oldu u bu quantum dünyas nda bir parçac n uzaydaki konumu yüzdeyüz kesinlikle belirlenemez, parçac n konumu sadece %99 gibi belli bir olas l kla belirlenebilir. 66

13 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Atomun yap s n aç klamak için atomalt parçac klar n n hareketleri belirlenmeli. Bu parçac klara determinizm ilkesini uygulayabilmek için bafllang ç koflullar n n bilinmesi gerekiyor. Ama Heisenberg ilkesine göre (bkz. bir önceki sayfadaki gri alan) parçac klar n ayn anda tam olarak konum ve h zlar n ölçebilme olana yok; h z bilindi inde konum bilinmiyor, konum bilindi indeyse h z bilinmiyor. Buna çare olarak olas l k kuram kullan ld. Parçac klar n h zlar ya da konumlar belli olas l klarla belirlendi. Fizikte olas l n kullan l fl determinizmden radikal bir sap flt r. Dönemin en renkli kiflilerinden Albert Einstein bu görüfle karfl durup Tanr n n zar att na inanamam! diyecektir. Ama, olay n çok inand r c yan vard r. Yap lan tahmin bir parçac k için de il, milyonlarcas içindir. Bir para at p tura gelece ini tahmin ederseniz, ya tutturur ya da yan l rs n z. Ama tane para at p tanesinin tura Albert Einstein gelece ini söylerseniz gene büyük olas l kla yan l rs n z ama gerçek tura say s n n da çok uza na düflmezsiniz. Bütün bunlardan önce, hemen 20 inci yüzy l bafllarken Newton mekani ine duyulan güveni sarsan görüfllerin ortaya ç - k fl n an msamal y z de Frans z matematikçisi Jacques Henri Poincaré Jacques Hadamard Hadamard bafllang ç koflulunda bir hata yap ld nda sistemin uzun dönemde öngörülemez olaca n belirtti. Ünlü Frans z Matematikçisi ve düflünürü Henri Poincaré 1900 de günefl sisteminin dengesinin sa lam olup olmad n n kan tlanamayaca n gösterdi de Science et Méthode adl ünlü yap t nda konuyu ayr nt lar yla ifllemifltir. Ölçümlemede Belirsizlik. Bafllang ç koflullar n nas l belirleyece iz? Bunun tek yolu gözlem ve ölçümlemedir. Ama gözlemler, deneyler, ölçümler gerçek say sal de erleri veremez; onlar ancak belli bir yaklafl kl kla, yani belli bir hatayla bulabiliriz. Her ölçümlemede kaç n lmaz olan alet ve insan hatalar n bir yana koysak bile, kuramsal olarak hiçbir alet her zaman gerçek de erleri veremez. Ölçümlemede Belirsizlik dedi imiz bu olgu, bir fiziksel sistemin bafllang ç koflullar n n kesin olarak belirlenemeyece i anlam na gelir. Bu olgunun determinizm ilkesinde yaratt olumsuzlu u saptayan ilk kifli Henri Poincaré dir ( ). fiimdi bunun ilginç öyküsüne geçebiliriz. Kaotik Davran fl Analitik çözümü olan bir sistemde bafllang ç koflullar ndaki ufak bir de ifliklik, afla daki flekilde de görüldü ü gibi çözümlerde de ufak de iflikliklere neden 4 3 olur. Oysa analitik 2 çözümü olmayan bir 1 sistemde ufak bir de- 0 ifliklik öngörülemez de iflikliklere neden olabilir. Örne in atmosfer olaylar kaotiktir ve bu yüzden meteoroloji ancak birkaç gün sonras n tahmin edebilir. t = 1 Birbirine çok yak n bafllang ç koflullar t = 0 t = 10 t = 10 Kaotik davran fl n Cisim Problemi Birbirinden tamam yla de iflik ve ba ms z sonuçlar. Çözümlerden birini bilmek di eri hakk nda bir fikir vermiyor. A rl klar olan noktasal n cisim belli bir h zla ve belli bir yörüngeyle bir ortama girdiklerinde, cisimler a rl klar ndan dolay birbirlerini çekerler ve yörüngeleri birbirinden etkilenir. Bu n cismin çizece i yörüngeyi bulmak n cisim problemi olarak an l r. Cisimlerden biri ya da birkaç sabit varsay labilir ya da bir ya da birkaç n n a rl di erlerine göre çok küçük al nabilir. 3 cisim problemine örnek olarak günefl-jüpiterdünya ya da günefl-dünya-satelit al nabilir. ki cisim problemi Newton taraf ndan çözülmüfltür ve çözümü analitiktir. Ama ikiden fazla cisim için problemin genel çözümü kaotiktir. 67

14 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Kelebek Etkisi. Newton yasalar iki gök cisminin hareketine mükemmel uyum sa lar, ama ikiden çok (örne in üç) cisim oldu unda analitik çözüm elde edilmez. Üç Cisim Problemi diye an - lan bu problem yirminci yüzy la girerken astronomide popüler bir konu oldu. Norveç Kral II. Oscar, günefl sisteminin dengesinin sa lam ya da hassas olup olmad n kan tlayana ödül verece ini duyurdu. Henri Poincaré 1900 de, günefl sisteminin hareketini belirleyen denklem sisteminin çözümünün bafllang ç koflullar na ba ml oldu unu, ancak bafllang ç koflullar n n asla do ru olarak saptanamayaca n, dolay s yla günefl sisteminin sa lam ya da hassas Sa lam denge Hassas denge olup olmad n n belirlenemeyece ini gösterdi. Bu öngörülemez durum için kaos terimini kullanan ilk kifli de odur. Böylece, Poincaré, istenen problemi çözmeden ödülün sahibi oldu. (Makale matbaadayken matematiksel bir hata farkedilir, Poincaré hatay zorlanarak da olsa düzeltir ama bu arada ald ödülün daha fazlas n hatay düzeltmek için harcam flt r!) Ama bir problemin çözülemeyece ini kan tlamak, problemi çözmek kadar de erlidir. fiimdi Poincaré nin büyük bulgusunun matematiksel aç dan basit aç klamas n yapabiliriz. Dinamik sistemin analitik çözümü varsa, belli bir bafllang ç de eri yak n ndaki de erler için fonksiyon (yörünge) de erleri de birbirine yak nd r (süreklilik). Determinizm as l gücünü buradan al r. Bu sistemlerde bafllang ç koflullar kesinlikle belirlenemese bile, gerçek bafllang ç de erlerine yak n de- erlerin al nmas sonuçta önemli farklar yaratmaz. Çözüm analitik olmad nda, birbirine çok yak n noktalardaki te etler birbirinden çok uzakta olabilirler. Ya da birbirine çok yak n bafllang ç koflullar nda sonuçlar birbirinden çok uzak olabilirler. Bu k sa aç klamadan sonra, konuyla ilgilenen fizikçilerin kaos terimine yükledikleri anlam ortaya koyabiliriz: Bafllang ç koflullar na hassas ba ml l k. Fizikçilerin bunu ifade eden güzel bir deyimleri var: Çin de bir kelebek kanat ç rparsa Teksas ta kas rga olabilir. Bu sözde hiçbir politik ima olmad n söylemeye gerek yoktur. Sadece, söylenmek istenen, bafllang ç koflullar ndaki çok küçük de iflimin sistemin davran fl nda çok büyük fark yaratabildi idir. Werner Karl Heisenberg 1901 de Almanya da do mufltur. Birinci Dünya Savafl yüzünden lise ö renimi yar da b rak p Bavarya da hasata yard m etmek zorunda kal r. Savafltan sonra Münih e gider ve Hitler in Bavarya daki komünist iktidar y kmaya çal flan Demokratik Sosyalist güçlerinde yer al r. Ayr ca fliiriyle, müzi iyle, düflüncesiyle yeni bir Alman yaflam kurmaya çal - flan Yeni zciler gençlik hareketine kat l r de say lar kuram nda matematik doktoras almak için Münih Üniversitesi ne girer ama sonradan teorik fizi e geçer ve Bohr, Pauli, Born ve Fermi gibi yüzy l n en büyük fizikçileriyle tan fl r te, uygulamal fizikteki baflar s zl yüzünden orta dereceyle doktoras n al r ama ayn y l ünlü Göttingen Üniversitesi nde profesör olur. Say lar yerine matrisler kullanan bir atom kuram gelifltirir. Bir y l sonra Schrödinger in buldu u dalga mekani i Heisenberg in matris kuram n gölgelemifl olsa da Schrödinger her iki kuram n eflde er olduklar n kan tlar da Kopenhag Kuramsal Fizik Enstitüsü ne Bohr un yan na gider ve yaflam n n en verimli zaman n geçirir de elektronun özelliklerini anlamak için yollanan gamma fl nlar n n elektronun davran fl n de ifltirdi ini gözlemler ve Einstein n kuflkuyla karfl lad Belirsizlik lkesini öne sürer. Ayn y l Almanya ya döner de genç yafl nda Nobel Ödülü nü al r. Ancak 1933 Nazi iktidar ve kinci Dünya Savafl Alman üniversitelerini allak bullak eder. Yahudi akademisyenler ülkeyi terketmektedirler. Naziler Yahudi fizi i olarak nitelendirdikleri teorik fizi i üniversitelerden temizlemek isterler. Heisenberg do rudan suçlan r ama Birinci Dünya Savafl nda y k lan Almanya y eski günlerine kavuflturmak istedi inden ülkeyi terketmez. SS flefi Himmler e baflvurmas yla itibar iade edilir. Atom bombas projesinin bafl na getirilir. Savafl bitti inde Heisenberg ngiltere de bir süre hapsedilir. Serbest b rak ld nda, daha sonra arkadafl Max Planck n ad n verdi i Kaiser Wilhelm Enstitüsü nün bafl na getirtilir te emekli olur ve 1976 da ölür. Almanya n n bomba yap - m ndaki baflar s zl isteksizli inden mi yoksa bilimsel yetersizlikten mi kaynakland bugün dahi tart flma konusudur. 68

15 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Hoflgeldin Kaos! Aya insan indiren, Mars a uydu gönderen ve bu hareketlerin her saniyesini önceden öngören determinizmin büyük gücünü yan m zda hissetmek hepimize huzur veriyor. Ama, bir bilardo topunun illa diktörtgen olmayan bir masada nereye çarpaca n hesaplayamamak, üç gün sonras n n hava durumunu do ru tahmin edememek ya da bir dünya savafl n n sonuçlar n öngörememek gibi olgular, kayg verici de ilse bile, determinizmin verdi i huzura gölge düflürecek kadar hayalk r c d r. Konuflma diline indirirsek, davran fl öngörülemeyen dinamik sistemlerini ya da onlar n davran fllar n kaos olarak niteliyoruz. Fizikçilerin kaos terimine yükledikleri bu anlamla sokaktaki adam n, hele hele politikac lar n kaos terimine yükledikleri anlam çok farkl d r. Fizikçilerin söylediklerini matematik diliyle ifade edersek kaosu daha iyi tan mlam fl oluruz. Sonuç olarak, do rusal (lineer) olmayan dinamik sistemlerin ço u için öngörü yapmaya engel olan üç neden vard r: 1. Sistemin analitik çözümü yoktur. 2. Hiçbir bafllang ç koflulunu tam olarak belirleyemeyiz (Ölçümlemede Belirsizlik lkesi). 3. Bafllang ç koflullar nda meydana gelen çok küçük de iflim(ler) sonuçta çok büyük farklara neden olabilir (Bafllang ç koflullar na hassas ba ml - l k Kelebek etkisi). Asl nda üçüncü nedeni birinci nedene indirgeyebiliriz, çünkü sistemin çözümü analitikse kelebek etkisi ortadan kalkar, yani birbirine yak n bafllang ç koflullar için birbirine yak n fonksiyon de- erleri ç kar. Garip Çekerler. Poincaré nin 1900 de buldu u kaos kavram, meteorolojist Edward Lorenz in 1963 te meteorolojik de iflimlerin bafllang ç koflullar na hassas ba ml l diye ifade edilen gözlemlerine kadar pek ilgi çekmedi. Çünkü fizikçiler yirminci yüzy l n ilk yar s nda kendilerine daha ilginç gelen kuantum fizi iyle ilgileniyorlard ve Poincaré nin bu önemli buluflunu ihmal ettiler. Lorenz, Poincaré nin 63 y l önceki bulgusunu ondan ba ms z olarak yeniden buldu. Ele ald dinamik sistem için (meteoroloji) bafllang ç koflullar nda oluflacak küçük de iflimlerin sonuca çok büyük etkiler yapt n gözlemledi ve bu gözlemini matematiksellefltirdi. Kelebek benzetmesi onundur. Böylece, uzun süreli hava tahminlerinin olanaks zl n ortaya koydu. Lorenz havan n s de iflimini belirlemek için, birinci basamaktan üç diferansiyel denklemden oluflan dx/dt = ax + ay dy/dt = bx y zx dz/dt = cz + xy sisteminin say sal çözümünü ar yordu. Sistem do rusal de il ve ak flkanlar dinami inde kullan lan sistemlerin basitlefltirilmifl bir özel durumu. Zaman gösteren t de iflkeni t dt kadar de iflti inde, Lorenz, analiz derslerine yeni bafllayan ö rencilerin bile itiraz edebilecekleri flu yaklafl k ifllemleri yapt : X = x + x x + dx = x axdt + aydt Y = y + y y + dy = y + bxdt + aydt ydt zxdt Z = z + z z + dz = z czdt + xydt (Bafllang ç de erleri: dt = 0,02, a = 5, b = 15, c = 1.) t de ifltikçe (X, Y, Z) noktas n n üç boyutlu uzayda çizdi i yörüngeyi bilgisayarla çizmeye bafllad (bkz. afla daki flekil.) Ortaya ç kan grafik kendisini hiç kesmiyor ve iki nokta civar nda dönüyordu. Bu noktalara Lorenz Çekerleri 3 denir. Lorentz Çekerleri Yandaki flekilde birbirine çok yak n al nan iki nokta flekildeki yollar takip ederek bir süre birbirine oldukça yak n seyrederler ama k sa bir süre sonra yollar birbirinden tamam yla ba- ms z olur, birinin yolu di erinin alaca yolu Tekrarlar 4. Lorenz kaosu yeniden keflfedince, kaos örnekleri arayanlar ço ald. Farkl sistemler ve farkl bafllang ç koflullar için garip çekerler i canland ran bilgisayar programlar yaz ld. Bu sistemlerin ço u, matematik diliyle söylersek, tekrarlama yöntemleriyle elde edilir. Bunlar aras nda gündemde uzun süre kalan baz örnekleri s ralayaca z. Julia ve Mandelbrot Kümeleri. Gaston Maurice Julia ( ) kinci Dünya Savafl nda yü- 3 ngilizcesi attractors ya da strange attractors. 4 ngilizcesi iterations. 69

16 Matematik Dünyas, 2005 Bahar zünden yaraland. Uzun süre hastanede kald. Bu sürede babas n n kendisine verdi i polinomlarla ilgili bir kitab okumaya bafllad. Rasyonel bir ƒ fonksiyonu için ƒ n (X) = ƒ(ƒ(...(ƒ(x))...)) de erlerini inceledi. Yörüngesi, yani {ƒ n (x) : n N} kümesi sonlu olan x noktalar ndan oluflan kümeleri araflt rd ve bunlar n ilginç özelliklerini buldu. Ancak, bulufllar bir süre sonra unutuldu te Benoit Mandelbrot un (d. 1924) ifli yeniden ele al p karmafl k düzlemde bilgisayarla çizimler yapmas yla konu yeniden gündeme geldi. Julia ve Mandelbrot kümeleri aras ndaki fark, karmafl k düzlemde yayg n bir örnek olan z a z 2 + c dönüflümü üzerinde aç klayal m. Dizisel yörüngeleri kolay göstermek için bu dönüflümü z(n+1) = z(n)z(n)+ c biçiminde yazal m. Sabit bir c say s için {z(n) : n N} yörüngesini sonlu yapan z(0) noktalar n n karmafl k düzlemde oluflturdu u J(c) kümesine Julian dolgusu 5, bu kümenin kenar na da Julian kümesi denir da G. Julia ve P. Fatou ikilisi, her dolgu kümesinin ya tekparça 6 (yekpare) bir küme ya da bir Cantor kümesi oldu unu ispatlad. Tekparça her Julia dolgusu bir Mandelbrot kümesi dir. z a z 2 + c dönüflümününde z(0) = 0 al - n rsa c noktas n n yörüngesi bulunur: z(1) = z(0)z(0) + c = c. Bu flekilde yörüngesi sonlu olan c noktalar n n oluflturdu u küme, z z 2 + c dönüflümüne karfl - l k gelen Mandelbrot kümesidir. Bu küme ba lant l bir Julian dolgusudur. Kenar uzunlu u sonsuzdur ancak alan bilinmemektedir. z z 2 + c dönüflümüne karfl l k gelen Mandelbrot kümesi. 5 ngilizcesi Julian-filled set. 6 ngilizcesi connected. 70 Do al fraktaller: Bir a aç ve bir e relti otu. Ev yap m fraktal Matematiksel Fraktal: Yukardaki flekildeki gibi, her ad mda siyah renkli eflkenar üçgenlerden her biri dört eflkenar üçgene ayr l r ve her ad mda ortadaki at l rsa, sonsuz ad m sonra kalan flekle Sierpinski üçgeni ad verilir. Kaosla Birlikte Matemati e Giren Yeni Kavramlar. Tekrarlamayla yarat lan ve kaotik say lan baz olgular matemati e yeni ufuklar açt m? Buna flimdiden olumlu bir yan t vermek zordur. Ama kendi kendini tekrarlayan geometrik flekillerden ç - kan fraktal geometri ve fraktal boyut matemati e yeni giren kavramlard r. L-sistem harflerin k sa bir dizimiyle temsil edilen basit bir nesneden bafllayarak çok karmafl k nesneler yaratabilen bir tekrarlama yöntemidir. Geçen yüzy l n bafllar nda ortaya ç kan bu yöntem önceleri ilgi görmedi li y llarda Noam Chomsky L- sistemi do al dillerin sözdizimine (sentaksa) uygulad de biyolog Aristid Lindenmayer taraf ndan bitkilerin büyümesini temsil etmek üzere kullan ld. L-sistem bilgisayar deste iyle baflar l sonuçlar verip vermeyece ini düflünmeye de er.

17 Matematik Dünyas, 2005 Bahar Ev yap m bir baflka fraktal Bu kavramlar n matematikte yeni ufuklar aç p açamayaca n zamanla görece iz. Matematik Aç s ndan As l Sorun Nedir? Julia kümeleri, Mandelbrot kümeleri, Sierpinski üçgeni, Cantor tozu, e relti otu, brokoli gibi örnekleri ister kaotik sistem sayal m ister saymayal m, as l sorunumuz baflkad r. Tekrarlamalarla istedi imiz kadar kaotik sistemler yaratabiliriz. Hatta kendi kendisini tekrar etmesi gerekmeyen s n rs z say da ard fl k ifllemler yaparak sistemi tamamen içinden ç k lmaz duruma getirebiliriz. Bunu flöyle bir örnekle aç klayabiliriz. Elimizde bir y = ƒ(x) fonksiyonu var olsun. Bunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini almay da içeren sonlu say da cebirsel ifllemden oluflan bir operatöre, iterasyonun bir ad m gözüyle bakal m. Bu ad mlar ard fl k olarak uygulayarak çok karmafl k bir diferansiyel denklem üretmek kolayd r. fllemlerden sonra üretti imiz denklem flöyle olsun: F(x, y, y, y ) = 0 fiimdi, yapt m z ifllemleri unuttu umuzu varsayal m ve bafllad m z fonksiyonu yeniden bulmak isteyelim. Daha iyisi, yapt m z ifllemlerden habersiz olan birisinden bu diferansiyel denklemi çözüp yeniden y = ƒ(x) fonksiyonunu bulmas n isteyelim. E er denklemimiz çözüm yöntemi bilinen bir s n - fa girmiyorsa, hiç kimse aranan fonksiyonu bulamayacakt r. Söz gelimi, Sierpinski üçgeni sonunda düzlemde bir toz halini alacakt r. Olay n geçmiflini hiç bilmeyen birisi, bu tozun bir üçgenden Sierpinski iterasyon kural ile elde edildi ini ispatlayabilir mi? Bilimkurgusal bir dil kullanarak konuflal m. Bugün belli tekrarlamalarla kaotik grafikler çizen bilgisayarlar m z, günün birinde baflkas n n çizdi i kaotik grafiklere bakarak tekrarlama kural n ve kural n bafllang c n ç karmaya bafllarsa matematikçileri çok mutlu edeceklerdir. Dinamik sistemlerde istenen fley, dinamik kural dedi imiz diferansiyel denklemin (ya da denklem sisteminin) çözümünü bulmakt r. Buna matematikte tersinme (inverse) problemi diyoruz. Cebir, analiz ve diferansiyel denklem kuramlar m z ço unlukla tersinme problemleriyle u rafl r. Çünkü, determinizmin istedi i fleyleri veren odur. Öte yandan, bütün problemleri çözen bir tersinme kural yoktur. Bu nedenle problemler kendi içlerinde birbirine benzer s n flara ayr l p, her s n f için ayr ayr çözüm yöntemleri gelifltirilir. Örne in, bütün diferansiyel denklemleri çözen bir tek yöntem yoktur. Bunun yerine, her diferansiyel denklem s n f için ayr ayr çözüm yöntemleri aran r. Kaotik sistemler için de benzer fleyin olmas gerekir. Böl ve yönet ilkesi yaln z politikada de il, bilimsel bilgi üretiminde de geçerli i olan bir alt n kurald r. Sonuç. Matematikçiler, Çin de kanat ç rpan kelebe in nas l olup da Teksas ta kas rga yarataca- n aç klayan matematiksel modelden çok, Teksas ta olan kas rgay Çin de hangi kelebe in hangi kanat ç rp fl yla yaratt n bilmek isterler. Günün birinde kaos bir bilim olacaksa, matematikçiler o kelebe i bulmak zorundad r. Kaynakça 1. Anishchenko, Vadim S., Dynamical Chaos, World Scientific, Aristid Lindenmayer, Mathematical models for cellular interaction in development, J. Theoret. Biology, 18: , Baker, Gregory L. ve Gollub, Jerry B., Chaotic Dynamics: An Introduction. Cambridge, England: Cambridge University Press, Barry Cipra, What s Happening in the Mathematical Sciences, Cilt 1-5, AMS Bookstore. 5. Crownover, Richard M., Introduction to Fractals and Chaos, Jones and Bartlett, David Ruelle, Rastlant ve Kaos, TÜB TAK Popüler Bilim Kitaplar, Ankara, Davis, Brian, Exploring Chaos: Theory and Experiment. Perseus Books, Gary Mar ve Patrick Grim, Semantics of Paradox: Chaotic Liars, Fractals, and Strange Attractors, Philosophy and Computing. 9. Hilborn, Robert C., Chaos and Nonlinear Dynamics, New York: Oxford University Press, Ian Stewart, Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos, Basil Blackwell, James Gleick, Kaos, TÜB TAK Popüler Bilim Kitaplar, Ankara,

18 Matematik Dünyas, 2005 Güz Bekir S. Gür* / bekir@cc.usu.edu Leibniz in Matematik(sel) Düflüncesi Kurt Gödel in hayat n n sonlar na do ru yo- un bir flekilde Leibniz üstüne çal flt bilinir. Gödel in Leibniz saplant s o dereceye varm flt ki, Gödel e göre birileri Leibniz in yaz - lar n n bir k sm n imha etmifllerdi. Karl Menger in Leibniz in yaz lar n imha etmek isteyenlerin kim olabilece i sorusuna cevaben Gödel flöyle diyecektir: Elbette ki insanlar n daha zeki olmas n istemeyenler! [5, s. 223] Leibniz okumak yerine, kendi çal flmalar n ilerletmesini tavsiye edenlere, Gödel ald r fl etmeyecekti. Sonunda, tahmin edilmesi gereken gerçekleflmifl ve Leibniz in izinden giderek Gödel de Tanr n n ontolojik ispat n vermifltir. Bu yaz da, Leibniz in çal flmalar n n özellikle matematik felsefesiyle ilgili olan k sm hakk nda okura bir fikir vermek için, characteristica universalis ve ikili say sistemi gibi çal flmalar na ve yorumlar na de inece iz. Ayr ca, Leibniz in ispat ve analitik kavramlar n nas l anlad n konu edinece- iz. Son olarak, teoloji ve metafizik/felsefe çerçevesinde Leibniz in matemati e biçti i role e ilece iz. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) 1646 da Leipzig flehrinde (flimdiki Almanya) do ar. 14 yafl ndan 21 yafl na kadar hukuk ve felsefe e itimi görür de Paris e gidene kadar Galileo, Descartes, Pascal ve Hobbes gibi isimlerle kendini hissettiren yeni felsefe den habersizdir den 1676 ya kadar ikamet etti i Paris te Characteristica Universalis. Leibniz, siyasi veya felsefi tart flma ve araflt rmalar n matematiksel bir yöntem izlemedi inin bilincindeydi. Leibniz e göre, matematikçilerin de hata yapma ihtimali vard r ama bu hatalar keflfetmeye yarayacak araçlar da vard r; bu araçlardan yoksun felsefeciler ise daha fazla hata yapabilirler. Felsefede Aristocular veya Platoncular oldu u halde, matematikte Öklitçiler veya Arflimetçiler yoktur [1]. Leibniz e göre, do ruluktan ziyade hislerin egemen oldu u fikir kavgalar n n son bulmas için düflüncenin matematiksellefltirilmesi gerekmektedir: Düflüncenin önemli bir k sm n biçimsellefltirmek için, matematikte karfl m za ç kan türden simgeler ve kurallar gereklidir. Leibniz in Evrensel Bir Karakteristi e * Utah State University, doktora ö rencisi. buldu u entelektüel ortamdan etkilenir. Matematik, bilim ve felsefesinin temel tafllar n bu y llarda atar n n Aral k ay nda Hanover a (flimdiki Almanya) döner. Bu y ldan sonra, çeflitli yerlerde k sa süreli görevler alm fl ve seyahatlerde bulunmufl olsa da, hayat n n geri kalan n n büyük bölümünü burada geçirir. Maden mühendisli i, diplomat, kütüphaneci, mahkeme tarihçisi ve dan flmanl k gibi ifller yapm flt r. Paris te bafllad felsefi ve matematiksel çal flmalar n Hanover da gelifltirmeye devam etmifltir. Hacimli kitaplar yerine, fikirlerini ve bulufllar n, ço unlukla, mektuplar nda ve k sa makalelerinde da n k olarak aç klam flt r. Monadoloji adl meflhur eseri, sadece sayfa uzunlu undad r. 91

19 Matematik Dünyas, 2005 Güz Önsöz bafll kl yaz s nda aç klad gibi, characteristica universalis sayesinde düflüncemizin alfabesi ortaya ç kacak, temel kavramlar n analizi yap - lacakt r ve bunlara dayanarak bütün her fley hesapsal olarak kesin bir flekilde yarg lanacakt r [4, s. 5-10]. Böylece iki farkl görüflü savunan filozoflar n çat flmalar na gerek kalmayacakt r; yanyana oturup calculemus yani buyrun hesaplayal m diyerek düflüncelerinin do rulu unu hesaplayabileceklerdir! Leibniz in characteristica universalis düflüncesi bir tür hesapsal formüllefltirmedir. Bu düflünce, temel veya indirgenmez düflüncelerle asal say lar efllefltirmeye dayan yordu. Yani her temel düflünceyi nitelendiren bir say olacakt : karakteristik say. Leibniz in Karakteristik Say lara Örnekler bafll kl yaz s nda verdi i bir örne i aktaral m [4, s ]. nsan, düflünen canl d r önermesindeki düflünen ve canl temel kavramlar na s ras yla (13, 5) ve (8, 7) say çiftlerini verelim, o zaman insan kavram n nitelendiren yani onun karakteristi i olan say (13 8, 5 7) yani (104, 35) olacakt r. Bu fikre göre, sonsuz say da birbirine asal say oldu undan, bütün temel veya indirgenemez kavramlara karfl l k gelen bir say veya bir say çifti veya bir say üçlüsü atanabilir; böylece, di er bileflik kavramlar asal say - lar n çarp m olarak elde edilebilir ve bütün bir dil haritalanabilir. Leibniz in tasarlad madalya kili Say Sistemi. kili say sistemi Leibniz den önce de biliniyordu, fakat Leibniz bunu ilk defa sistematik ve olgun bir flekilde kayda geçirmifltir. Leibniz bir mektubunda her fleyin yokluktan yarat lmas konusu ile ikili say sistemi konusunu birlikte ele alm flt r. Bu, daha sonra de inece imiz üzere, Leibniz te, teolojiyle matemati in (hatta fizi in de) iç içe girdi inin bir örne idir [1]. Leibniz, yarat l fl ve ikili sistem üstüne metal bir madalya tasarlam flt r. Madalya flu ifadeleri tafl yacakt r: Imago creationis (Yarat l fl n sureti), Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum (Her fleyi yoktan türetmek için birlik yeterlidir) ve Unum est necessarium (Bir, zorunludur). Leibniz, Pisagorcu ö retiyi izleyerek, her fleyin asl n n veya özünün say oldu unu iddia etmifltir. Bilindi i üzere, ikili say sisteminde bütün say lar 0 ve 1 kullan larak ifade edilebilir. 0 yokluk, 1 i ise Tanr olarak yorumlayan Leibniz, böylece, ikili say sisteminin yarat l fl simgeledi ini, dolay s yla bu sistemde her fleyin ifade edilebilece ini iddia etmifltir. Leibniz için, her fley 0 ile 1 in kar fl m d r. Burada, Leibniz in Yeni-Eflatuncu ve say sal gizemci ö retileri izledi i ifade edilmelidir; buna göre, her fley Bir den yani Tanr dan sudûr etmifltir (taflm flt r). Leibniz için, ikili say sistemi, Tanr n n yarat - fl ndaki güzellik ve mükemmelli i gözler önüne serer. Yani, ikili sistemde herhangi bir say tekil ola- Analiz Bilim ve matematik tarihinde en önemli ilerlemelerden biri, kuflkusuz, analizin ortaya ç k fl - d r. Genelde matematikçiler Leibniz i analiz dolay s yla tan rlar. Analiz, e rilerin e imleriyle alan ve hacim ölçümleri gibi o zamana kadar birbirinden ba ms z olduklar san lan iki konunun birbirleriyle çok yak n bir iliflkide oldu undan yola ç kan bir matematik dal d r. Böylece, diferansiyel analizle integral analizin birbirinin tersi olduklar ortaya konmufltur. Analiz, Leibniz ve Newton taraf ndan birbirinden ba ms z olarak keflfedilmifltir. Kimin daha önce buldu u konusu tarihte çetin kavgalara neden olmufltur. Newton un daha önce buldu u ve Leibniz in kimseden kopya çekmeden Newton dan ba ms z olarak buldu u bugün nerdeyse su götürmez bir gerçek olarak kabul edilir. 92

20 Matematik Dünyas, 2005 Güz rak gözümüze güzel görünmeyebilir ama altalta yaz ld nda genel sistem içindeki düzenden dolay güzelli i görünür. Benzer flekilde, dünyada tekil olarak hoflumuza gitmeyen fleyler olabilir, ama do ru perspektifi yakalad m zda her fleyin mükemmel oldu unu görürüz. Leibniz in say gizemcili inin sonu gelmez; Tanr tek say lar sever vs. gibi birçok söz sarfeder. Bu konuyu uzatmak istemedi imizden son bir örnekle yetinece iz: Leibniz, Tanr n n dünyay alt günde yaratmas meselesi üzerine birçok say sal benzetme yapt ktan sonra, yedinci günün ikili sistemde 111 gibi s f rs z ( mükemmel ) bir say oldu unu söyler. Ayr ca 111 in üçlemeye (teslis) iflaret etti ini ifade eder [1]. Modern spat Kavram. Bilim filozofu Ian Hacking in gösterdi i gibi, Descartes ça dafl anlamda ispat n ne demek oldu unu bilmiyordu. Leibniz ise modern ispata çok daha yak n bir düflünceye sahipti [3, s. 200]. Descartes n matematiksel do rulu u ispattan ba ms z ele alm flt r. Descartes için, do ru bir fley ispatlanmasa bile o bizatihi kendili inden do rudur. Dolay s yla, bir fleyin do ruluk de eri ile ona verilen ispat birbiriyle ilgili fleyler de illerdir. Burada ayr ca Descartes in ispat n de il, yeni matematiksel sonuçlar veren pratik yöntemler peflinde oldu unu hat rlatal m. Leibniz in fark etti i modern ispat kavram n ça r flt ran fley fludur: Bir ispat içeri inden de il, biçiminden dolay geçerlidir. Buna göre, ispat, belli özdeflliklerden bafllayarak kimi cümlelerin belli mant k kurallar na göre sonlu say daki bir diziliflidir. Descartes yeniden hat rlatacak olursak, Descartes yeni bir fley elde ederken sezgiye büyük önem atfediyordu, oysa Leibnizci bir ispat alg s nda as l olan, eldeki cümlenin mekaniksel bir ispat n bulmakt r. Leibniz in sundu u ispat fikri devrindeki düflüncelerden muhtemelen etkilenmiflti ve onlardan izler tafl yordu. Hacking in dedi i gibi [3, s. 202], her devirde kendinden önceki düflünceleri derinden sarsan bir kifli bulup ç karmak adettendir, kendi devri için Leibniz böyle bir kifli rolünü oynamaktad r. Asl nda, ispat fikrinin Leibniz zaman nda ortaya ç k fl n n Leibniz in kendisi taraf ndan sunulan makul bir aç klamas vard r: Geometri kesinli in ölçüsü olarak al nd nda, modern ispat kavram na varmak zordur; çünkü, geometrik ispatlar temelde içeriklerine dayan rlar. Bu tür ispatlar n geçerlili i, üzerinde çal fl lan geometrik nesnenin bilinen özelliklerine uyup uymad klar yla belirlenir. Descartes n geometriyi cebirsellefltirmesiyle birlikte, ispatlar n biçimsel bir Yaflayan Güç Leibniz, kütleyle h z n karesinin çarp m n n (mv 2 ya da bunlar n toplam n n) gücün gerçek ölçüsü oldu una inan rd. Bugün kinetik enerji olarak bilinen bu say ya Leibniz vis viva yani yaflayan güç ad n vermiflti. Descartes ise gücü en iyi momentum un yani kütle çarp h z n ölçtü üne inan rd. Bu yüzden Frans z Kartezyenleriyle do al olarak Leibniz in bafl n çekti i Alman fizikçileri aras nda büyük anlaflmazl k ç km flt. Newton dan etkilenen ngiliz fizikçileri de momentum dan yanayd lar. Leibniz vis viva n n hiç artamayaca na inan rd, yoksa sürekli hareket eden bir fley olurdu ki bu da saçmayd... Vis viva n n azalmas da mümkün de ildi, çünkü bu da Leibniz e göre Tanr n n yarat s n n sonsuza dek var olmas gerekti iyle çeliflirdi. Dolay s yla vis viva Leibniz in inan fl na göre bir sabitti. Newtonculara göre ise momentum bir sabitti. Bugün, bu iki kuram n birbirini tamamlad n biliyoruz. Hepsinde de il ama birçok mekanik sistemde kinetik enerji de iflmez. Baz deneylerle çeliflmesine karfl n Leibniz bu kuram ndan hiç vazgeçmedi ve bu yüzden ça dafllar yla çat flt. Leibniz için dini ve felsefi inançlar bilimsel bir kan - t n parças olabilirlerdi. Modern fizi in (örne in termodinami in birinci yasas n n) bir sistemin toplam enerjisinin de iflmezli i düflüncesinin kökenleri Leibniz a dayan r. 93