Kesir Dereceli Kontrol Sistemlerinin Analizi için Kolay Kullanımlı Program

Transkript

1 Kesir Dereceli Kontrol Sistemlerinin Analizi için Kolay Kullanımlı Program Bilal Şenol, Celaleddin Yeroğlu, Nusret Tan 2 Bilgisayar Mühendisliği İnönü Üniversitesi, Malatya bilalsenol@inonu.edu.tr cyeroglu@inonu.edu.tr 2 Elektrik Elektronik Mühendisliği İnönü Üniversitesi, Malatya ntan@inonu.edu.tr Özetçe Bu yayında, kesir dereceli kontrol sistemlerinin zaman ve frekans tepkilerinin analizinde kolaylık sağlamak için MATLAB ortamında arayüz ve program geliştirilmiştir. Bu program kullanılarak kesir dereceli sistemlerin zaman tabanında birim basamak tepkileri, frekans tabanında Bode, Nyquist ve Nichols grafikleri kolayca çizilebilmektedir.. Giriş Kesir dereceli sistemler, türevlerinin dereceleri herhangi bir reel sayı olan diferansiyel denklemlerle ifade edilen dinamik sistemlerdir []. Özellikle son yılda kesirli matematik kullanımının artması, kesir dereceli kontrol sistemleri de dahil olmak üzere birçok alanda yapılan çalışmalara öncülük etmiştir [2]. Kesirli işlemler, kontrol mühendisliğinde çok sayıda uygulama alanı bulmaktadır. Örneğin, Oustaloup tarafından geliştirilen CRONE (Fransızca Commande Robuste d Ordre Non Entier kelimelerinin kısaltması) içerisinde kesir dereceli türev kullanılmıştır [3]. Ayrıca Podlubny PID kontrolörü, genelleştirilmiş olarak PI D şeklinde sunmuştur [4]. Kesir dereceli kontrol sistemleri ile ilgili diğer bazı çalışmalar da [5, 6] da sunulmuştur. Kesirli işlemler, kontrol sistemleri ile ilgili problemlerin çözümü için farklı bir yöntem olarak ortaya çıkmıştır. Kontrol sistemlerinin analiz ve tasarımında kullanılan zaman ve frekans tabanı uygulamalarında, geçiş fonksiyonlarının zaman ve frekans tepkilerinin hesaplanması önemli bir yer tutmaktadır. Sistemlerin davranışları genellikle geçiş fonksiyonları ile incelenir [7]. Geçiş fonksiyonun Laplace dönüşümünde s yerine j yazılarak, bir sistemin frekans analizini yapmak mümkündür. Kesir dereceli bir kontrol sisteminin s tabanında geçiş fonksiyonu şu şekilde yazılabilir: Y( s) b s b s... b s Gs () X ( s) a s a s... a s m m m m n n n n () Burada, n n..., m m... olmak üzere genellikle reel sayılardır ve a, b ( k,,2,..., n) sabitlerdir [8]. Klasik kontrol için MATLAB ortamında geliştirilmiş oldukça kullanışlı grafik çizim araçları olduğu bilinmektedir. Bu araçların kullanımı ile sistemlerin frekans ve zaman tabanındaki davranışlarının analizi yapılabilir. Klasik kontrolde kullanılan bu araçlar, tam sayı dereceli sistemler için sonuç vermektedir. Bu sonuçların kesir dereceli sistemler için uyarlaması önemlidir [7]. Bu konuda yapılan bazı çalışmalar mevcuttur. Duarte Valerio, 25 yılında Toolbox ninteger for MATLAB v. 2.3 adlı, MATLAB da çalışan bir program yayınlamıştır [9]. C. Yeroğlu ve N. Tan ise 29 yılında kesir dereceli kontrol sistemlerinin analizi için yardımcı bir toolbox geliştirilmesi yönünde bazı çalışmalar yapmıştır [7]. Yaygın bir kullanıma sahip olan CRONE [3] ve halen internet üzerinde adresinden kullanılabilinen bir program mevcuttur []. Kesir dereceli sistemlerin dayanıklı kontrolü hakkında bir başka çalışma da [] de gösterilmiştir. Şimdiye kadar geliştirilen programlar etkin biçimde kullanılıyor olmasına rağmen hemen hepsinin ortak özelliği, kullanımlarının karmaşık olması ve kesir dereceli kontrol sistemleri hakkında teorik bilgi gerektirmesidir. Bu yayında geliştirilen programın, diğerlerinden farkı daha kolay kullanımlı olması ve bir kullanıcı arayüzü içermesidir. Geliştirilen arayüz ile istenilen grafikler kolayca elde edilebilmektedir. Bu yayında, Bölüm 2 de literatürde mevcut kesir derceli işlem yapan bazı programlardan söz edilmiştir. Bölüm 3 te geliştirilen yeni program ve kullanımı hakkında bilgi verilmiştir. Bölüm 4 te uygulama ve örnekler yer almaktadır. Bölüm 5 te ise sonuçlar kısaca açıklanmıştır. 2. Kesir Dereceli İşlem Yapan Mevcut Bazı Programlar Bilindiği gibi, kontrol alannda uygun analiz ortamı geliştirme araçları ve görüntüleme araçları ile MATLAB programı bir dünya standardı haline gelmiştir. Bir çok üniversitede, sanayinin ilgili dallarında ve araştırma geliştirme k k

2 laboratuarlarında kullanılan MATLAB, hem sembolik hem de nümerik hesaplamalar yapabilmekte ve bu nedenle bir çok program da MATLAB tabanlı yazılmaktadır [2]. Bu bölümde kesir dereceli sistemlerin analizi için çoğu MATLAB ortamında geliştirilmiş olan bazı programlardan kısaca söz edilecektir. 2.. CRONE Toolbox MATLAB ortamında kesir dereceli sistemlerin dayanıklı kontrolü için geliştirilmiş olan CRONE programı, mühendislere ve matematik alanında çalışan araştırmacılara, özellikle elektrik elektronik mühendisliğine ve otomatik kontrol ile ilgilenenlere sunulmuştur [2]. Bu program üç modülden oluşmuştur. Her modül kesirli türevin özel bazı uygulamaları ile ilgilenir. CRONE programı ana pencere görüntüsü Şekil de gösterilmiştir Matematik Araçları Modülü Bu modül, kesir dereceli veya kompleks dereceli türevlerin kullanımına olanak sağlayan bütün algoritmaları içerir. Bu modül de kendi içinde 6 üniteden oluşmaktadır Kesirli Model Tanımlama Modülü Sistem tanımlamanın hedefi, sistemin fiziksel davranışını en iyi şekilde gösteren matematik modelini, bir takım gözlemlerden sonra elde etmektir. Kesir dereceli sistemlerin analizinde, sistemlerin tam sayı dereceli karşılığını kullanmak çok uygun olmamaktadır. Bu nedenle kesir dereceli model elde edilmektedir [2]. Bu modül, sistemlerin kesir dereceli modeli için kullanılmaktadır Toolbox ninteger for MATLAB Duarte Valerio, ilk olarak 2 yılında portekizce bir toolbox geliştirmiş ve son şeklini 25 yılında Toolbox ninteger for MATLAB v. 2.3 adıyla yayınlamıştır. Bu program, MATLAB da kesir dereceli kontrol sistemlerinin analizi için gerekli bir algoritma seti ihtiyacından dolayı geliştirilmiştir. ninteger, hem zaman tabanında, hem de frekans tabanında kesir dereceli, tek giriş tek çıkış kontrolörler geliştirmeye yardımcı olmak için MATLAB ortamında yazılmış bir programdır. İnternet üzerinden ücretsiz indirilip kullanılmaya uygundur. Bu program, frekans ve ayrık zaman tabanlarında kesir dereceli kontrolörler oluşturmada kullanılabilir. Kesir dereceli türevler oluşturmak için 3 dan fazla formül ve yaklaşım kullanılmıştır. Tam sayılı olmayan PID gibi yapılar doğrudan mevcuttur. Bu programla ikinci ve üçüncü nesil CRONE kontrolörler de hesaplanabilir. Modelleri tanımlamak ve frekans diyagramlarını çizdirmek için fonksiyonlar vardır. Bir görsel arayüz ile interaktif olarak parametreler seçilebilir ve performansın nasıl olacağı görülebilir. Ayrıca program, bir simulink kütüphanesi içerir. Şekil 2 de ninteger programının simulink kütüphanesinden bir pencere gösterilmiştir. Daha fazla bilgi için aşağıdaki internet adresinden ilgili belge indirilebilir: CRONE CSD (Control System Design) Modülü Tek giriş tek çıkışlı CRONE CSD (Kontrol Sistemi Tasarımı), birim geri beslemeli sistemlerin dayanıklı kontrolü için lineer bir frekans tabanı yaklaşımıdır. Üç adet CRONE CSD yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntemlerde kesir dereceli türevleme kullanılarak kontrolör veya açık çevrim geçiş fonksiyonu tanımlanmıştır. Daha fazla bilgi için aşağıdaki internet adresinden ilgili belge indirilebilir: AppendixA/CACSD2.pdf Şekil 2: ninteger programından örnek bir görüntü. Şekil : CRONE ana pencere görüntüsü. İç içe entegre edilmiş birçok pencereden oluşan CRONE programının görsel açıdan karışık olması ve kullanımı için matematiksel denklemlerin iyi bilinmesinin gerekmesi birer dezavantaj olarak ortaya çıkmaktadır. Toolbox ninteger for MATLAB v. 2.3 programının simulink kütüphanesi basit yapılmış ama MATLAB konsol ortamında çalışan kısmı, çok sayıda *.m dosyası içermekte ve kullanımı konusunda zorluklar karşımıza çıkmaktadır. Bu programı kullanmak için kesir dereceli kontrol sistemlerinin teorisinin iyi bilinmesine ve programa ait kullanma klavuzunun dikkatle incelenmesine ihtiyaç vardır PID Control Laboratory 3. PID Control Laboratory 3., doğrudan internet üzerinden kullanılabileceği gibi, bilgisayarınıza indirip kullanabileceğiniz bir Java uygulama programıdır. adresinden erişilebilen PID Control

3 Laboratory, önceki programların aksine bir MATLAB tabanlı program değildir. Java Runtime Environment (JRE) kurulu bütün bilgisayarlarda çalışmaktadır. Görsel bakımdan başarılı olan bu programda, geçiş fonksiyonu girişi 4 farklı şekilde yapılabilmektedir. Kontrolör girişi de PID, PI, PD ve FPID olarak 4 şekilde yapılabilmektedir. Site üzerinde ayrıca PID kontrolör tasarımı için hazırlanmış PID Controller Designer 2.5 ve PID Controller Designer 2. adlı iki Java uygulaması da mevcuttur. PID Control Laboratory 3. programında elde edilebilecek çizimlerden bazıları aşağıda gösterilmiştir: Sistemin frekans cevabı Nyquist grafiği Faz ve kazanç payları Hassaslık ve tamamlayıcı hassaslık fonkisyonları M daireleri Şekil 3 te PID Control Laboratory 3. ana pencere görüntüsü verilmiştir. Program hakkında ayrıntılı bilgi aşağıdaki dokümandan elde edilebilir: ENG.pdf Şekil 3: PID Control Laboratory 3. ana pencere görüntüsü. 3. Kolay Kullanımlı Program Geliştirilmesi Bu yayında kesir dereceli kontrol sistemleri için kolay kullanımlı bir program geliştirilmiştir. Yayında geliştirilen program döngüleri için [7] ve [3] den yararlanılmıştır. Bu yayında geliştirilen arayüz programının, literatürde mevcut olan diğer programlardan en önemli farkı, kullanımının kolay olması ve anlaşılabilir bir arayüz penceresi içermesidir. Kullanım kolaylığını artıran diğer bir faktör de bütün giriş alanlarının tek pencere üzerinde açık şekilde görülüyor olmasıdır. Bu programın kullanıcı arayüzü Şekil 4-7 de verilmektedir. Bu program kullanılarak hem tamsayı dereceli hem de kesir dereceli kontrol sistemlerinin birim basamak tepkileri ile Bode, Nyquist ve Nichols grafikleri kolayca çizilebilmektedir. Programdaki çizim pencereleri gerekli butonlara tıklandıktan sonra, ana pencereden bağımsız olarak ayrı ayrı ekrana gelmektedir. Bu da farklı sistemlerin analizini yaparken karşılaştırma yapılmasını kolaylaştırmaktadır. Ana ekran üzerinde bulunan açıklama kutucukları her adımdan sonra ne yapılması gerektiği hakkında kısa bilgiler vermekte ve yanlış bir seçim yapıldığında ekrana hata mesajı çıkmaktadır. 3.. Programın Kullanımı Program, uluslararası bir niteliğe sahip olma amacı açısından İngilizce olarak hazırlanmıştır. Programı başlattığımızda karşımıza Şekil 4-7 de gösterilen pencereler bir bütün halinde gelmektedir. Çalışmak istediğimiz kontrol sisteminin tipine göre seçim yapılabilmektedir. Şekil 4 te görülen ekrandan klasik kontrol sistemi için Classical Control System seçeneğini, kesir dereceli kontrol sistemi için Fractional Order Control System seçeneğini işaretleyip Proceed butonuna tıklıyoruz. Tıklamanın hemen ardından gerekli açıklama kutucuklarında kısa yönlendirmeler ekrana gelecektir. Daha sonra yapmamız gereken, kontrol edilmesi istenen sistemin geçiş fonksiyonunu girmektir. Bunun için önce Şekil 5 te görülen Plant Entry Panel adlı kutudaki açılır menüden sistemin tipi seçilmelidir. Tamsayı dereceli kontrol için Integer TF, kesir dereceli kontrol için ise Fractional Method TF seçilir. Bu seçimi yaptıktan sonra da açılır menünün sağındaki Proceed butonuna tıklıyoruz. Tıklamanın hemen ardından, doldurulması gereken alanlarda yönlendirme amacıyla köşeli parantez simgeleri [ ] oluşmaktadır. Klasik kontrol sistemi için geçiş fonksiyonu girişinde normal MATLAB kuralları geçerlidir. Yani üstteki alana payın katsayıları, alttaki alana ise paydanın katsayıları klasik MATLAB uygulamalarında olduğu gibi girilir. Daha sonraki adımda kontrolörün girilmesi gereklidir. Şekil 6 da verilen Controller Entry Panel adlı kutudaki açılır menüden kontrolör tipi seçilmelidir. Tamsayı dereceli işlemler için, Integer TF veya PID seçilebilir. Kesir dereceli işlemler için ise Fractional Method TF veya Fractional PID seçilebilir. Burada önemli olan, eğer tam sayı dereceli sistemlerle işlem yapılmak isteniyorsa iki geçiş fonksiyonu da tamsayı yöntemiyle girilmeli, kesir dereceli sistemlerle işlem yapılmak isteniyorsa iki geçiş fonksiyonu da kesir dereceli yöntemiyle girilmelidir. Kesir derceli yöntemi demek, geçiş fonksiyonunun kesir dereceli olacağı anlamına gelmez. Tam sayı dereceli bir geçiş fonksiyonu da kesir dereceli yöntemle girilebilir. Bununla ilgili uygulama örneklerde gösterilmektedir. Açılır menüden seçimi yaptıktan sonra yine menünün sağındaki Proceed butonunua tıklıyoruz ve seçilen duruma göre doldurulması gereken alanlar gösterilmiş oluyor. Kontrolör geçiş fonksiyonunu da girdikten sonra Şekil 7 deki panelden çizilmesi istenen grafik seçilebilir.

4 Bu panelde Step Response, Bode, Nyquist, Nichols seçeneklerinden işaretlediklerimiz çizilecektir. Ayrıca bu panel kullanılarak sisteme zaman gecikmesi eklenebilir. Şekil 4: Program sistem tipi seçim paneli. Bütün girişleri ve seçimleri yaptıktan sonra Plot butonuna tıklıyoruz ve girdiğimiz sistem için seçtiğimiz grafikler ekrana ayrı ayrı çizilmiş olarak geliyor. Çizilen grafik Matlab Figure olarak *.fig formatında ekrana gelecektir. Bu da grafiğin üzerinde işlem yapabilmeyi ve grafiği başka yerde kullanmak üzere kopyalamayı mümkün kılmaktadır. 4. Örnek Uygulamalar Podlubny PID kontrolörü, genelleştirilmiş olarak PI D şeklinde sunmuştur. Burada, integralleyicinin kesir derecesi ve, türevleyicinin kesir derecesidir [4]. ve olduğu durumda standart PID kontrolör elde edilir. Bu genellemeye göre kesir dereceli PID kontrolör aşağıdaki formda gösterilebilir: ki C() s k p kds (2) s Şekil 5: Program sistem giriş paneli. Bu yayındaki kesir dereceli PID kontrolör örneklerinde de bu gösterim kullanılmıştır Örnek Bu örnekte hem kontrol edilmek istenen sistemin geçiş fonksiyonu, hem de kontrolör, eşitlik (2) formatında kesir dereceli olarak sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir [7]. G () s s 3s 2s (3).63.2 C( s) 3.6 4s.4 s (4) Şekil 6: Program kontrolör giriş paneli. Şekil 7 deki panelden frekans tabanında çizilen grafiklerin hangi frekans aralığında çizileceği girilir. Bu örnek için 2 2 verilen frekans tabanı grafikleri rad/sn aralığında çizilmiştir. Step Response seçeneğinin sağındaki alana girilen sayı ise birim basamak tepkisinin kaç saniye boyunca çizileceğini gösterir. Girilen sisteme ait birim basamak tepkisi, Bode, Nyquist ve Nichols grafikleri Şekil 8- de sırasıyla gösterilmiştir: Şekil 7: Program çizim seçenekleri paneli Şekil 8: Örnek deki sistemin birim basamak tepkisi.

5 Open-Loop Gain (db) Imaginary Axis Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram C s.2299 s.5 2( ) s (6) Bu örnek için Şekil 5 de verilen panele G () s sisteminin 2 parametreleri aşağıdaki gibi girilir Frequency (rad/sec) Şekil 9: Örnek deki sistemin Bode grafiği. Şekil 6 daki panele ise kontrolör parametreleri aşağıdaki gibi girilir: Nyquist Diagram db6 db -2 db -4 db -6 db db 2 db 4 db 2 db - db -2 db Şekil 7 deki panelden sn zaman gecikmesi aşağıdaki gibi girilip step response seçeneği işaretlenir Real Axis Tüm girişler yapıldıktan sonra Şekil 7 deki plot butonuna tıklanarak istenen çizim elde edilir. Bu örnek için çizilen birim basamak tepkisi Şekil 2 de verilmiştir..2 Şekil : Örnek deki sistemin Nyquist grafiği. Nichols Chart db 6 db.25 db.5 db db Örnek Open-Loop Phase (deg) Şekil : Örnek deki sistemin Nichols grafiği. Bu örnekte sırasıyla aşağıda verildiği gibi saniye zaman gecikmeli klasik tamsayı dereceli sistem ve eşitlik (2) formunda kesir dereceli PID kontrolör kullanılmıştır [4]..55 G2() s e 62s s (5) Şekil 2: Örnek 2 deki sistemin birim basamak tepkisi Örnek 3 Bu örnekte Lag-Lead kontrolör ile kontrol edilmek istenen kesir dereceli bir sistem ele alınmıştır. Sistem ve kontrolör sırasıyla şöyle verilmektedir [5]. 7 G3 () s s.2s.5s.3 (7)

6 Phase (deg) Magnitude (db) ( 5.45 s)(.97 s) C3() s ( 7.68 s)(.66 s) Kontrolörde parantez içi çarpımları yaptıktan sonra aşağıdaki geçiş fonksiyonunu elde ederiz. Programa kontrolör verileri geçiş fonksiyonunun aşağıdaki hali ile girilmelidir s 6.547s 3() 2 C s s s Bu örnekte de G () 3 s sistemi örnek 2 dekine benzer şekilde aynı panelden girilir. Yalnız buradaki derecelerin tamsayı olmadığına dikkat edilmelidir. C () 3 s ile verilen kontrolör Şekil 6 daki panel kullanılarak şöyle girilir. Verilen sistemin Bode grafiğini elde etmek için Şekil 7 deki panelden Bode Plot seçeneği işaretlenir ve plot butonuna tıklanarak istenen çizim elde edilir. Bu örnek için çizilen Bode eğrisi Şekil 3 de verilmiştir Bode Diagram -2-2 Frequency (rad/sec) Şekil 3: Örnek 3 deki sistemin Bode grafiği. 5. Sonuçlar Kesir dereceli kontrol sistemleri için MATLAB ortamında geliştirilen bu program ile, zaman tabanında birim basamak tepkisi ve freakans tabanında da Bode, Nyquist ve Nichols grafikleri kolayca çizilebilmektedir. Kontrol edilmek istenen sistemin geçiş fonksiyonu tamsayı dereceli veya kesir dereceli olarak, kontrolör ise tamsayı dereceli veya kesir derceli olarak geçiş fonksiyonu şeklinde, PID ya da PI D formunda girilebilmektedir. Programın fonksiyonları tek pencere üzerinde toplanmıştır ve yayında da anlatıldığı gibi, program mümkün olduğu kadar basit ve anlaşılır tutulmuştur. Programın ilerleyen sürümlerinde faz payı ve kazanç payının hesabı, Bode ve Nyquist zarflarının elde edilmesi gibi ek (8) (9) özellikler eklenebilir ve program kesir dereceli aralık kontrol sistemleri için genellenebilir. 6. Kaynakça [] S. Manabe, Early development of fractional order control, Proceedings of DETC 3, ASME 23 Design Engineering Technical Conference, Chicago, 23. [2] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, California, 999. [3] A. Oustaloup, La Commande CRONE: Commande Robuste d Ordre Non Entier, Hermes, Paris, 99. [4] I. Podlubny, Fractional-order systems and PI D controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44(), pp , 999. [5] C.A. Monje, B.M. Vinagre, V. Feliu ve Y.Q. Chen, Tuning and autotuning of fractional order controllers for industry applications, Control Engineering Practice, Cilt:, s:798 82, 28. [6] R.S. Barbosa, J.A. Tenereiro Machado, ve I.M. Ferreira, Tuning of PID Controllers Based on Bode s Ideal Transfer Function, Nonlinear Dynamics Cilt:38, s:35 32, 24. [7] C. Yeroglu ve N. Tan, Development of a Toolbox for Frequency Response Analysis of Fractional Order Control Systems, 9th European Conference on Circuit Theory and Design, Antalya, 29. [8] D. Xue, Y. Q. Chen, A comperative Introduction of Four Fractional Order Controllers, Proc the 4th World Congress, Intelligent Control and Auto. 2 Cilt:4, s: , 22. [9] D. Valerio, Ninteger v. 2.3 Fractional control toolbox for MatLab, [] Č. Martin, S. Miloš, PID controller design on Internet: Department of Cybernetics, University of West Bohemia in Pilsen, 26. [] M. Schlegel, M. Čech2, Fractal System Identification For Robust Control The Moment Approach, Department of Cybernetics, University of West Bohemia in Pilsen Univerzitn, Pilsen, 24. [2] A. Oustaloup, P. Melchior, P. Lanusse, O. Cois ve F. Dancla, The CRONE Toolbox for MATLAB, Lab. d'automatique et de Productique, Bordeaux I Univ., Talence, 2. [3] D. Xue, Y.Q. Chen ve D. Atherton, Linear Feedback Control: Analysis and Design with MATLAB, SIAM Press, pp: , 27. [4] C.A. Monje, B.M. Vinagre, Y.Q. Chen ve V. Feliu, Proposals for fractional PI D tuning, Fractional Differentiation and Applications, France, 24. [5] C. Yeroglu ve N. Tan, Robust parametric classical controller design for fractional order plant, Fractional Differentiation and Applications, Spain, 2.