14-18 Eylül 2015 Nesin Matematik Köyü

Transkript

1 Genç Matematikçiler Toplantısı Eylül 2015 Nesin Matematik Köyü Ayşegül Akyol Abdülkadir Aşan Onur Baysal Erbil Çetin Serdar Enginoğlu Deniz Erdemirci Erkuş İlmar Gahramanov Serap Gürer Mustafa Burç Kandemir Başak Karpuz Zeynep Kayar Şeyda Keleş Nebiye Korkmaz Fikri Köken Tarkan Öner Erhan Pişkin Özgür Deniz Polat Hamid Rahkooy Nil Şahin Neşet Özkan Tan Remziye Arzu Zabun

2 Basit Tekilli İndirgenemez Düzlemsel Altıncı Dereceden Eǧriler Ayşegül Akyol Doktora Kurumu : Bilkent Üniversitesi (2013) Çalıştığı Kurum : Abdullah Gül Üniversitesi Sadece basit tekilliği olan altıncı dereceden Compleks projektif düzlemsel eğrileri göz önünde bulundurduk ve bu tip eğrileri tekil noktaları koruyan deformasyona göre sınıflandırdık. (Özel olanlar zaten bilindiği için özel olmayan olarak adlandırdığımız eğrilere odaklandık). Bu tür eğriler tarafından gerçekleştirilebilen tekil kümelerini listeledik, maksimize (toplam Milnor sayısı 19 olanlar) kümelerle olan bağlantılarını araştırdık, ve bulduğumuz her bir kümenin modüli uzayının bağlantılı parçalarını tanımladık. Ayrıca elde edilen her bir tekil kümenin reel bir eğride hayat bulup bulamayacağını irdeledik. 1

3 Arşimedyan Olmayan Durumda Liouville Sayılarının Bazı Karakterizasyonları Abdulkadir Aşan Doktora Kurumu : Mersin Üniversitesi (2014) Çalıştığı Kurum : Heybeliada H.R. Gürpınar ÇPA Lisesi Bu tez çalışmasında, Arşimedyan olmayan durumda Liouville sayılarının bazı özellikleri incelenmiştir. Arşimedyan olmayan durum olarak, Q p p-adik sayılar cismi ve K bir cisim olmak üzere K < x > fonksiyonlar cismi gözönüne alınmıştır. Klasik Liouville sayıları hakkındaki bir Erdös Teoreminin, Arşimedyan olmayan durumda, hem Q p p-adik sayılar cismi ve hem de K < x > fonksiyonlar cisminde analogları elde edilmiştir. Ayrıca, Arşimedyan olmayan durumda Liouville dizisi kavramı tanımlanmış, Q p p-adik sayılar cismi ve K < x > fonksiyonlar cisminde bazı özellikleri verilmiştir. Son olarak, p-adik Gamma fonksiyonu ele alınmış ve bazı değerlerinin transandantlığı hakkında sonuçlar elde edilmiştir. 2

4 Zamana Bağlı Konveksiyon Difüzyon Denklemleri İcin Kararlı Sonlu Elemanlar Yöntemleri Onur Baysal Doktora Kurumu : İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü (2012) Çalıştığı Kurum : İzmir Üniversitesi Bu tezde hem durağan hemde durağan olmayan konveksiyon difüzyon denklemleri için zenginleştirilmiş sonlu elemanlar yöntemleri verildi. Durağan olmayan problemler için method of lines tekniği ele alınıp denklemin önce uzaysal kısmı ayrıklaştırılıp sona zamansal ayrıklaştırması ortaya çıkan adi differansiyel denklem sistemine uygulandı. Zamandaki ayrıklaştırma için genelleştirilmiş Euler sonlu fark şeması kullanılırken uzaysal ayrıklaştırma için streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG), residual free bubble (RFB) ve daha güncel olan multiscale (MS) ile RFB ve MS in özel bir kombinasyonu olan MIX motodları incelendi. Özellikle iki boyutlu problemlerde RFB ve MS algoritmaları için her bir eleman içinde orjinal durağan differansiyel denklem kadar karmaşık bir denlem çözme gerekliliği bu algoritmaları oldukça kullanışsız yapmaktadır. Fakat pseudo yaklaşım tekniği sayesinde eleman içinde sadece bir kaç nokta kullanarak bu denklemlerin etkili ve pratik yaklaşık çözümleri elde edilebildi. Daha sonra bu metodların ve genelleştirilmiş Euler şemasının uygun bir kombinasyon formülü verilerek durağan olmayan denklemler için bir adaptasyon sağlanmış oldu. Üçgensel ağ üzerinde parçalı sürekli doğrusal baz fonksiyonları için SUPG metodu incelendi. Bu sayede, etkili bir SUPG stabilizasyon parametresi RFB metodu kullanılarak elde edildi. SUPG için stabilite ve yakınsama analizleri ayrıca incelenip, Burman ın durağan olmayan salt konveksiyon denklemi için önerdiği analiz tekniği burada konveksiyon difüzyon denklemi için genelleştirildi. Ayrıca yeni bir operatör ayırma stratejisi linear olmayan reaksiyon terimi içeren taşınım denklemi için önerildi. Bunun sonucu olarak bir tanesi SUPG methodu kullanılarak yaklaşık olarak çözülebilen diğeri ise analitik olarak çözülebilen iki alt probleme ulaşıldi. Son olarak metodumuzun etkinliği sayısal deneylerle gösterildi. 3

5 Zaman skalasında yeni periyodiklik kavramı ve p-laplasyen sınır değer problemlerinin çözümlerinin varlığı Erbil Çetin Doktora Kurumu : Ege Üniversitesi (2012) Çalıştığı Kurum : Ege Üniversitesi Tezin giriş kısmıda zaman skalası kavramı, ileriye ve geriye sıçrama operatörlerinin ve tanecik fonksiyonlarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu tanımlar yardımıyla ve türev ile ve integral tanımları ve teoremleri ifade edilmiştir. Ayrıca zaman skalası üzerinde e p (t, s) üstel fonksiyonun tanım ve özelliklerine yer vereceğiz. Adıvar tarafından geliştirilen zaman skalasında yeni periyodiklik kavramı tanıtılıp, tanım ve teoremler verilmiştir. Tezin esas kısmında ise δ ± kaydırma operatörü ve üstel fonksiyonu ile ilgili bir kaç özellik ispatlanmıştır. Ardından t 0 T negatif olmayan sabit bir sayı ve P (t 0, ) T olmak üzere δ ± kaydırma operatörüne göre P -periyodik bir T zaman skalasında tanımlı iki farklı dinamik denklem ele alınmıştır. İlk kısımda x (t) = p(t)x(t) + q(t), t [t 0, ) T lineer dinamik denklemininin x(t 0 ) = x 0 başlangıç koşulu altında δ ± kaydırma operatörüne göre periyodik çözümlerinin varlığı Brouwer sabit nokta teoremi kullanılarak ispatlanmıştır. İkinci kısımda ise δ (k, t) geriye kaydırma operatörlü x (t) = a(t)xσ(t) + b(t)x (δ (k, t))δ (k, t) + q(t, x(t), x(δ (k, t))), t T lineer olmayan dinamik denklemin δ ± kaydırma operatörüne göre periyodik çözümlerinin varlığı Schauder, Krasnosels kiĭ sabit nokta teoremi ispatlanmıştır. Son olarakta, b > a 0 ve a Tκ, b Tκ olmak üzere herhangi bir T zaman skalasında (φ p (x )) (t) + h(t)f(t, x(t)) = 0, t [a, b] T, αφ p (x(ρ(a))) Ψ(φ p (x (ξ))) = 0, γφ p (x(σ(b))) + δφ p (x (η)) = 0, dört nokta p-lsdp ele alınmış ve uygun sabit nokta teoremleri yardımıyla en az bir, iki ve üç pozitif çözümünün varlığı ispatlanmıştır. 4

6 Esnek Matrisler Serdar Enginoğlu Doktora Kurumu : Gaziosmanpaşa Üniversitesi (2012) Çalıştığı Kurum : Onsekiz Mart Üniversitesi Klasik bir kümeden evrensel kümenin kuvvet kümesine tanımlanan bir fonksiyonun grafiği olan esnek küme, bazı belirsizlikleri modelleme amacıyla Molodtsov tarafından 1999 yılında ortaya atıldı. Daha sonra, cebirden karar verme problemlerine kadar pek çok konuda bu kavram yoluyla yapılan çalışmaların sayısı hızla arttı. Bulanık esnek kümeler, bulanık parametreli esnek kümeler ve bulanık parametreli bulanık esnek kümeler gibi kavramlar esnek kümelerin daha genel ifadeleri olarak ortaya atıldı. Ne varki, bu kavramların herbiri kendi içinde tutarlı olmasına rağmen birbirleri arasında olması beklenen genel-özel ilişkilerinde bir takım sorunlar mevcuttu. Bu çalışmada, esnek kümelerin karakteristik kümeler kullanılarak inşa edilmesi yoluyla bu tür zorlukların üstesinden gelindi. Ardından, özelikle yüksek sayıda veri içeren karar verme problemlerinin uygun bir çözümünü bilgisayar kullanarak elde edebilmek için bu kavramın matris temsilleri inşa edildi. Son olarak, bu çalışmanın devamı niteliğinde olabilecek konular üzerinde bir tartışmaya yer verildi. 5

7 Modüler Değişmez Teorisinde Genelleştirilmiş Değişmezler ve Hilbert İdeali Deniz Erdemirci Erkuş Doktora Kurumu : İzmir Ekonomi Üniversitesi (2015) Hilbert ideali, pozitif dereceli değişmezler ile üretilen polinom halkasının bir idealidir. Hilbert idealinin derecesi en fazla grubun mertebesi olan değişmezler ile üretilebileceği iddia edilmiştir, ve bu varsayım Hilbert ideali sanısı olarak bilinmektedir. Bu tezde başlıca iki problemden bahsedilecektir. Birinci problemde devirli bir grubun kısıtlanmış bir boyutta verilen modüler, parçalanamaz temsilleri için Hilbert ideali sanısını iki farklı yaklaşım kullanarak kanıtlayacağız. Bu tezdeki diğer bir çalışma genelleştirilmiş değişmezler üzerinedir. Cismin karakteristiği grubun mertebesini böldüğü durumla tanımlanan modüler değişmez teorisine yeni bir bakış olarak genelleştirilmiş değişmezler kavramını herhangi bir sonlu grup için olacak şekilde vereceğiz. Daha sonra, devirli grubun küçük boyutlu parçalanamaz temsilleri için genelleştirilmiş değişmezlerin yapısal özelliklerini açık bir şekilde göstereceğiz. Ayrıca Hilbert ideali sanısının bir analojisini devirli grubun genelleştirilmiş değişmezleri için kanıtlayacağız. Ana sonuçlardan biri olarak bir sonlu grubun genelleştirilmiş değişmez modülü için yapısal teoremini vereceğiz. Son olarak, genelleştirilmiş değişmezlerin hangi koşulda alışılmış değişmezlere karşılık geldiğini göstereceğiz. 6

8 Beta integraller: dik polinomlardan elliptik hipergeometrik fonksiyonlara, sicim teorisinden integrallenen sistemlere İlmar Gahramanov Doktora Kurumu : Berlin Humboldt Üniversitesi (Ekim 2015) Bu konuşmada Euler beta integrali, Askey-Wilson q-beta integrali ve elliptik beta integralini ele alacağız. Son zamanlarda bu integraller matematiğin düğüm teorisi, 3 ve 4 boyutlu manifoldlar, sayılar teorisinde aynı zamanda modern matematiksel fiziğin sicim teorisi, supersimmetri ve integrallenen sistemlerinde sıkça karşımıza çıkıyor. Dolayısıyla konuşmamızda bu integrallerin yukarıda bahsettiğimiz alanlardaki örneklerini de ele alacağız. 7

9 Difeolojik Uzaylar Üzerinde Cebirsel Topoloji Serap Gürer Doktora Kurumu : Université Sciences et Technologies de Lille Fransa (2014) Çalıştığı Kurum : Galatasaray Üniversitesi Diferansiyel topoloji ve cebirsel topoloji alanında gerçekleştirilmiş bu tezde difeolojik uzayların cebirsel değişmezlerini ve difeolojik uzayları ile tekil uzaylar arasıdaki bağlantıyı araştırmak amaçlanmıştır. Bu kapsamda, uzayları sınıflandırma problemlerinin çözümünde kullanılan güçlü araçlardan olan genelleştirilmiş (ko)homoloji kuramlarını difeolojik uzaylar üzerinde geliştirmek üzere tasarlanmıştır. Diferansiyel geometri geçen yüzyılın sonlarına doğru teorik fizik tarafından kullanılan klasik kuramların dışına çıkan yeni uzayların geometricilerin ilgi merkezi haline gelmesiyle zorlanmaya başlamıştır. Irrasyonel torus, orbifoldlar, sonsuz boyutlu düzgünün fonksiyonlar kümesi diferansiyel geometri çerçevesinden çıkan bu tekil uzaylara örnek teşkil eder. Diferansiyel geometrinin sınırlarını genişletip bu tekil uzaylarla da diferansiyel geometrinin tekniklerinden uzaklaşmadan çalışabilmek adına matematikçiler birkaç çözüm yolu sunmuşlardır. Bunlardan bir tanesi Difeolojidir. Difeolojinin aksiyomlari Jean-Marie Souriau tarafından 1980 yılında kuantum mekaniğini formalize etmek amacıyla tanımlanmıştır. Bugün fizikçiler tarafından fiziksel uzay zamanı modellemek için kullanılan difeoloji, matematikiler için ise diferansiyel geometriden uzaklaşmadan tekil uzayları ve de fonksiyonel uzayları içine alan, yeni bir alandır. Difeolojik uzay bir kümeden X ve Öklit uzaylarının altkümelerinden X kümesi üzerine tanımlı aşağıdaki özellikleri sağlayan foksiyonlar topluluğundan oluşur. Bu topluluğu D olarak adlandıracağız ve özellikleri şöyledir: Bütün sabit fonksiyonlar D nin elemanıdır. Eğer φ : U X fonksiyonu D nin elemanı ve θ : U U öklit uzayları arasında düzgün bir fonksiyon ise bu iki fonsiyonun bileşkesi D nin bir elemanıdır. Eğer φ : U X heryerde yerel olarak düzgün ise φ fonksiyonu D in bir elemanıdır. Tezin ağırlıkla hatırlatmalar içeren ilk bölümünde, difeolojik uzaylar hakkında gerekli tanımlar ve de bu uzayların özellikleri verilmiştir. Ayrıca cebirsel topolojide önemli bir uzay olan CW-komplekslerle bağlantılı olan CW-difeoloji isimli yeni bir kavram tanımlanmıştır. Ikinci kısımda, genelleştirilmiş homoloji ve kohomoloji teorilerinin tanımlarını difeolojik uzayların kategorisi üzerinde aksiyomatik olarak verilmiştir. Bunun dışında tekil homoloji, hücresel homoloji, De Rham kohomolojisini difeolojik uzaylar üzerinde geliştirilmiştir. En son bölümünde tekil uzayların bir örneği olan kontrollü sahte çokkatlıları (Thom-Mather spaces) difeoloji çerçevesinde incelenmiştir. Bölüm ve modelleme difeolojileri kullanılarak kontrollü sahte çokkatlılar kategorisi difeolojik uzaylar kategorisi içine yerleştirilmiş ve herbir kategoride tanımlı diferansiyel formların ve de Rham teoremi birbirlerine denk geldiği gösterilmiştir. Üçüncü bölümde, noktasal difeolojik uzayların teğet uzayını hesaplamak için iki ayri yöntem verilmiştir. Tekil uzaylar sınıfında yer alan kontrollü sahte çokkatlıların farklı difeolojilerle donatarak teğet uzayları hesaplanmıştır. 8

10 Fuzzy Esnek Kümeler Üzerindeki Topolojik Kavramlar Mustafa Burç Kandemir Doktora Kurumu : Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi (2014) Çalıştığı Kurum : Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi Bu çalışmada, fuzzy esnek kümelerin küme-teorisel özelliklerini verip, topolojik yapıları kurulmuştur. Öncelikle fuzzy esnek topoloji kavramı tanıtılmış, fuzzy esnek açık küme, fuzzy esnek kapalı küme, bir fuzzy esnek kümenin içi, kapanışı, fuzzy esnek alt uzay, fuzzy esnek baz, fuzzy esnek alt baz gibi topolojik kavramlar tanıtılmıştır. Daha sonra, fuzzy esnek süreklilik, Hausdorff fuzzy esnek topolojik uzay ve kompakt fuzzy esnek topolojik uzay kavramları verilmiştir. 9

11 Zaman Skalasında Dinamik Denklemlerin Çözümlerinin Asimptotik Davranışı Başak Karpuz Doktora Kurumu : Afyon Kocatepe Üniversitesi (2012) Çalıştığı Kurum : Dokuz Eylül Üniversitesi Bu tezde, üstten sınırsız zaman skalaları üzerinde tanımlı dinamik denklemlerin çözümlerinin asimptotik davranışları çalışılmıştır. Tez, beş bölümden oluşmaktadır. Tezin ilk bölümü giriş için ayrılmıştır. İkinci bölümde zaman skalası kavramı üzerine gerekli bilgiler verilmiştir. Üçüncü ve dördüncü bölümlerde sırasıyla [ ] x(t) + A(t)x(α(t)) + B(t)x(β(t)) C(t)x(γ(t)) = ϕ(t), t [t 0, ) T ve [ x(t) + A(t)x(α(t)) ] 2 + B(t)x(β(t)) C(t)x(γ(t)) = ϕ(t), t [t0, ) T biçimindeki denklemlerin hem sınırlı hem de sınırsız çözümleri incelenmiştir. Son bölümde ise ilk olarak [ x(t) + A(t)x(α(t)) ] n + B(t)x(β(t)) C(t)x(γ(t)) = ϕ(t), t [t0, ) T biçimindeki denklemlerin sınırlı çözümleri incelenmiştir, daha sonra da [ x(t) + A(t)x(α(t)) ] n + B(t)x(β(t)) = ϕ(t), t [t0, ) T biçimindeki denklemlerin sınırsız çözümleri dikkate alınmıştır. 10

12 İmpals Etkisi Altındaki Lineer ve Lineer Olmayan Sistemler İçin Lyapunov Tipi Eşitsizlikler ve Uygulamaları Zeynep Kayar Doktora Kurumu : Orta Doğu Teknik Üniversitesi (2014) Çalıştığı Kurum : Yüzüncü Yıl Üniversitesi Bu tezde impalsif lineer/lineer olmayan diferansiyel denklem sistemleri için Lyapunov tipi eşitsizlikler ve uygulamaları çalışılmıştır. İmpals etkisi altındaki sistemler uygulamalı matematik, bilim ve teknolojinin çoğu dalının temel problemlerinden oldukları için, son otuz yılda bu sistemlerin teorisinin incelenmesi hızlı bir şekilde gelişmiştir. Lyapunov tipi eşitsizlikler ise sadece adi ve impalsif denklem sistemlerinin çözümlerinin salınım, konjuge olmama (diskonjuge), kararlılık, asimptotik davranış gibi niteliksel yapılarının daha iyi anlaşılmasını değil aynı zamanda da sınır ve özdeğer problemlerinin daha derin analiz edilmesini sağladıkları için son yıllarda popüler araştırma alanı haline gelmişlerdir. Bu tezin temel katkıları, sırasıyla, impalsif perturbasyonlu lineer 2n 2n Hamiltonian sistemler için Lyapunov tipi eşitsizlikler elde etmek ve bu sistemlere karşılık gelen homojen olmayan sınır değer problemlerinin çözümlerinin varlık teklik kriterlerini ispatlamaktır. İmpalsif perturbasyonun değiştirilmesi ya da impals üzerinde farklı koşulların kabul edilmesi muhtelif eşitsizliklere sebep olduğu için impals etkisinin varlığı farklı Lyapunov tipi eşitsizlikler vermektedir. Bu ise impalsif diferansiyel denklem sistemlerinin zorluğuna rağmen uygulamalarda adi diferansiyel denklem sistemlerinden daha zengin ve daha verimli olduğunu ve neden bu sistemlerle ilgilendiğimizi göstermektedir. Üstelik elde edilen bu eşitsizlikler impals olmayan durumda bile yenidirler ve bu yüzden literatürde var olan eski eşitsizlikleri geliştirmiş ve genelleştirmişlerdir. Ayrıca, Lyapunov tipi eşitsizlikler ve sınır değer problemleri arasındaki impals olmayan durumda bile fark edilmeyen bağlantı ilk kez ortaya çıkarılmış ve homojen olmayan sınır değer problemleri için önceki bölümde elde edilen Lyapunov tipi eşitsizlikler kullanılarak iki tane varlık teklik kriteri ispat edilmiştir. Bu yöntemle daha önce elde edilen sonuçların uygulamalardaki zorluğu aşılmış ve ve daha kolay uygulanabilen yeni sonuçlar verilmiştir. Ayrıca homojen olmayan sınır değer probleminin tek çözümü Green s fonksiyonu (çifti) cinsinden ifade edilmiş ve Green s fonksiyonunun (çiftinin) özellikleri listelenmiştir. Buna ek olarak, Lyapunov tipi eşitsizliklerin uygulaması olan kararlılık teorisi de incelenmiştır. Birinci çifti adi diferansiyel denklem sistemleri için elde edilen sonuçların impals içeren duruma iki farklı şekilde genelleştirilmesi ve ikinci çifti yeni ve birinciye alternatif olan iki çift kararlılık kriteri elde edilmiştir. Daha sonra sırasıyla, lineer olmayan ve yarı lineer (quasilineer) impalsif sistemler için bazısı impals olmayan durumların genelleştirilmesi iken diğerleri yeni olan çeşitli Lyapunov tipi eşitsizlikler oluşturulmuştur. Lyapunov tipi eşitsizliklerin uygulaması olarak, ele alınan sistemlerin konjuge olmama aralıkları incelenmiş, salınımlı çözümlerin asimptotik davranışı çalışılmış ve ilgili özdeğer probleminin özdeğerleri (enerji seviyeleri) için bir alt sınır bulunmuştur. 11

13 Fourier- Bessel Harmonik Analizinde Bazı Uzaylar ve İntegral Operatörler Üzerine Şeyda Keleş Doktora Kurumu : Akdeniz Üniversitesi (2014) Bu tez çalışmasının iki amacı vardır. İlk amaç, fonksiyon uzayları teorisine katkıda bulunmaktır. Bunun için tez çalışmasının ilk bölümünde, Fourier- Bessel harmonik analizinde tanımlı bazı fonksiyon uzayları ve özellikleri incelendikten sonra fonksiyon uzayları teorisine katkı sağlayacağı düşünülen B- Campanato uzayı tanımlanmış ve bu uzayın özellikleri incelenmiştir. İkinci amaç ise Fourier- Bessel harmonik analizinin problemlerinin çözümlenmesinde teknik araç olarak kullanılacağı düşünülen vektör değerli B- singular integral operatörünü tanımlamak ve sınırlılığını incelemektir. Bunun için tez çalışmasının ikinci bölümünde ilk olarak B- singular integral operatörünün sınırlılık durumu çalışılmış ardından vektör değerli B- singular integral operatörü tanımlanarak sınırlılığı incelenmiştir. Bu bölümün uygulaması olarak da B- karesel fonksiyon tanımı verilmiş ve vektör değerli B- singular integral operatörünün sınırlılığı vasıtasıyla B- karesel fonksiyonun sınırlılık durumu incelenmiştir. 12

14 İntegral Denklemlerin Uyarlanabilir İnceltme Kullanılarak Nümerik Çözüm Ve Uygulamaları Nebiye Korkmaz Doktora Kurumu : Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi (2013) Çalıştığı Kurum : Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi Bu çalışmada ikinci tip Fredholm integral denklemlerinin yaklaşık çözümlerini elde etmek için Galerkin yöntemine ve bu yöntem ile elde edilen yaklaşık çözüme uygulanan Sloan iterasyon yöntemine uyarlanabilir inceltme uygulanmıştır. Yaklaşımlar için baz fonksiyonları olarak şapka fonksiyonları olarak adlandırılan doğrusal fonksiyonlar ile dereceleri en az 2 ye eşit olan integre edilmiş Legendre polinomları kullanılmıştır bölümde bir kaba ağdan bir ince ağ elde etmek için izlenecek yol verilmiştir. Bölüm 3.2 ve 3.3 te oluşan bu yeni ince ağ üzerinde Galerkin yöntemi ile yaklaşık çözüm elde edilmiş ve bu yaklaşık çözüme Sloan iterasyonu uygulanmıştır. Bölüm 3.4 ve 3.5 te kaba ağ ile ince ağ arasında oluşabilecek dört farklı ağ üzerine yaklaşık çözümlerin L 2 -izdüşümleri hesaplanmış ve bu izdüşümlerin kullanıldığı (3.4.1) ile verilen optimizasyon problemi ile en uygun inceltme seçimi yapılmıştır. Elde edilen hata değerlerine bağlı olarak bu işlemler tekrarlanabilir veya ard arda yapılan inceltmeler sonucunda elde edilen ağlara ve hatalara bağlı olarak oluşturulan farklı ağlar üzerinde yaklaşık çözümler incelenebilir. 13

15 Bazı Özel n. Mertebeden Matrislerin Keyfi Tamsayı Kuvvetlerinin Hesaplanması ve Uygulamaları Fikri Köken Doktora Kurumu : Selçuk Üniversitesi (2012) Çalıştığı Kurum : Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ereğli Bu çalışmanın amacı, bazı diferansiyel ve fark denklemlerinin veya gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde ortaya çıkan bir matrisin herhangi bir tam sayı kuvvetinin hesaplanmasını matris çarpımı ile yapmak yerine, daha kolay ve hızlı bir yolla hesaplamaya çalışmaktır. Bu çalışmada, özel bazı n inci mertebeden matrislerin herhangi bir q uncu pozitif tamsayı kuvvetini veren genel ifadeler, matrisin elemanlarına, öz değerlerine ve Chebyshev polinomlarına bağlı olarak elde edilecektir. Örneğin, a, b C olmak üzere C n = circ n (0, a, 0,..., 0, b) şeklinde tanımlanan sirkülant matrisin ve a, b C olmak üzere S n = scirc n (0, a, 0,..., 0, b) şeklinde tanımlanan skew sirkülant matris ele alınmıştır. Ayrıca, verilen genel ifadede matrisin elemanları, mertebesi ve kuvveti değiştirilerek farklı uygulama alanlarına aktarabileceği ifade edilmiştir. Ayrıca elde edilen bu sonuçlarla ilgili nümerik örnekler ve Maple programında algoritmalar verilmiştir. 14

16 Steenrod Kuvvet Operasyonlarının Polinom Cebiri Üzerindeki Hareketi ve Hit Polinom Problemine Bir Uygulaması Üzerine Tarkan Öner Doktora Kurumu : Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi (2012) Çalıştığı Kurum : Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi Bu çalışmada, Steenrod kuvvet operasyonlarının polinom cebirinin özel tipteki monomialleri üzerindeki hareketi için bazı sonuçlar verilmiş ve bu sonuçlar bu monomialleri içeren polinomlar için genelleştirilmiştir. Ayrıca elde edilen sonuçların hit polinomlara uygulaması verilmiştir. Daha sonra P-matrisler olarak adlandırdığımız özel tipte matrisler tanımlayıp, bu matrislerin Steenrod kuvvet operasyonlarının iki üretecin çarpımı üzerindeki hareketinin hesaplanmasında kullanılabileceği gösterilmiştir. Son olarak bu matrislerin elde edilmesi için bir algoritma verilmiştir. 15

17 Doğrusal Olmayan Evolüsyon Denklemlerin Çözümlerinin Azalması ve Patlaması Erhan Pişkin Doktora Kurumu : Dicle Üniversitesi (2013) Çalıştığı Kurum : Dicle Üniversitesi Bu tezin ilk bölümünde çözümlerin azalması (decay) ve patlaması (blow up) ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmalar tarihi gelişimiyle ele alınmıştır. İkinci bölümde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, teorem ve eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü bölümde tezde kullanılan çözümlerin azalması ve patlaması ile ilgili lemmalar ispatları ile birlikte verilmiştir. Dördüncü bölümde doğrusal olmayan damping ve kaynak terim içeren { utt + u t p 1 u t = div ( ρ ( u 2) u ) + f 1 (u, v), v tt + v t q 1 v t = div ( ρ ( v 2) v ) + f 2 (u, v) dalga denklem sisteminin çözümlerinin lokal varlığı, global varlığı, enerji azalması ve patlaması çalışılmıştır. Beşinci bölümde yüksek mertebeden zayıf damping terimli { utt + ( ) m u + u t = f 1 (u, v), v tt + ( ) m v + v t = f 2 (u, v) denklem sisteminin çözümlerinin enerji azalması ve patlaması çalışılmıştır. Altıncı bölümde ise güçlü damping, doğrusal olmayan damping ve kaynak terim içeren doğrusal olmayan yüksek mertebeden { utt + ( ) m u u t + u t p 1 u t = f 1 (u, v), v tt + ( ) m v v t + v t q 1 v t = f 2 (u, v) denklem sisteminin çözümlerinin global varlığı, enerji azalması ve patlaması çalışılmıştır. Burada son üç bölümde çözümlerin enerji azalması ve patlaması farklı metotlar kullanılarak gösterilmiştir. 16

18 Asalların Sonlu Cisim Genişlemelerinde Çarpanlarına Ayrılışı Özgür Deniz Polat Doktora Kurumu : Sabancı Üniversitesi (2014) Bu tezde şu sorunun cevabını araştırdık. K cisminin Galois olmayan F genişlemesinde K ın bir asalı, F de nasıl çarpanlarına ayrılır? İlk bölümde F/K genişlemesinin Galois kapanışı olan M cismi ve bu cismin K üzerinden Galois grubunun K daki herhangi bir P asalının F cismindeki asal çarpanları üzerindeki aksiyonunu inceledik. Böylelikle G in belirli altgruplarına göre belirlenmiş çift koset uzayıyla (P ve F tarafından belirlenen) P in F deki asal çarpanlarından oluşan küme arasındaki birebir bir fonksiyon bulduk. Bu fonksiyonun görüntüsü altında P in her bir asal çarpanı için ramifikasyon ve kalan dereceleri açıkça belirledik. Daha sonra G in sonlu Lie grup olduğu ve F inde G in parabolik bir altgrubuna karşılık geldiği durumu inceledik. Bu koşullar altında K in F üzerinde ramifikasyonun olmadığı P asalları için kalan derecesinin belli bir sayı olduğu asal çarpanlarının sayısının bir polinom şeklinde verildiğini belirledik. Bu polinom G in üzerinde tanımlı olduğu cismin karakteristiğinin bir gücü olarka verilir ve G in Weyl grubu üzerindeki uzunluk fonksiyonunun bu grunun belli altgrupları üzerindeki görüntüsü tarafından belirlenir. 17

19 Dual Space of Polynomials and Its Applications Hamid Rahkooy Doktora Kurumu : Research Institute for Symbolic Computations Hagenberg, Austria (2015) Considering a polynomial ring as a vector space, its dual space is an efficient tool in computational algebraic geometry and commutative algebra. For solving some problems, it can be more informative than Gröbner bases, the invention of Buchberger and the cornerstone of computer algebra. Dual space computation has applications in many fields, e.g., in tensor decomposition and studying singularities. It involves numerical computations as well as symbolic computations and can be used to study pure algebraic geometry objects. Therefore, it has an interdisciplinary nature. We study dual space, related algorithms, and its applications. Algorithms for computing dual space were initiated by Prony in eighteenth century and by Macaulay in early twentieth century. Stetter and Mourrain gave new algorithms within last two decades, among others. Macaulay s algorithm is still in use, however it is not efficient due to large matrix constructions and repetition of computation. Mourrain s integration method serves as the most advanced algorithm, which constructs much smaller matrices. These algorithms are incremental. They compute a basis for the dual space degree by degree, via computing the kernel of a certain matrix at each step. My PhD work builds on Mourrain s work, making his algorithm more efficient by reducing the size of the matrix and consequently the size of the computations. A similar improvement can be applied to Macaulay s algorithm as well. As a major application of dual space computation, we show the problem of computing the (various notions) of rank of a polynomial in algebraic geometry. Rank of a polynomial has been studied by several people, among them Ottaviani, Ranestad, Schreyer and Voisin. Pure algebraic version of this problem is the tensor decomposition problem which has been considered by Landsberg. We also mention applications of dual space in computing resultants and branches of curves. 18

20 Arf Halkaları Nil Şahin Doktora Kurumu : Orta Doğu Teknik Üniversitesi (2012) Çalıştığı Kurum : Bilkent Üniversitesi Bir eğri koluna karşılık gelen lokal halkanın Arf Kapanışı, o eğri kolu ile ilgili birçok bilgi taşıyan, önemli bir çalışma objesidir. Arf Halkaları ve yarı grupları birçok matematikçi tarafından çalışılmasına rağmen, Arf kapanışını inşa eden, hızlı bir algoritma bulunmamaktadır. Bu tezin asıl amacı, Arf kapanışını hesaplamak için kolay uygulanabilir bir algoritma vermektir. Algoritmanın hızı, lokal halkanın yarıgrubunu hesaplamadan çalışmasının bir sonucudur. Bunların yanında, Arf kapanışının yarıgrubunun kondaktörüne, düzlem eğri kollarının teorisini kullanarak, Arf kapanışını hesaplamadan bir sınır veriyoruz. Düzlem eğri kollarının teorisini açıklayıp, bizim tarafımızdan yazılan ve düzlem eğri kollarının invaryantlarını hesaplayan SINGULAR kütüphanesini tanıtıyoruz. 19

21 Riesz Uzay Değerli Ölçüler ve İntegral Neşet Özkan Tan Doktora Kurumu : Ege Üniversitesi (2013) Çalıştığı Kurum : Uşak Üniversitesi Bu doktora tezinde E Dedekind tam Riesz uzay olmak üzere, E değerli fonksiyonların, E değerli ölçülerle integrallenebilirliği araştırıldı. E değerli ölçülerin sıralı vektör uzayı, bu uzaya ait ölçülerin tanımlı oldukları kümeler cebirinin eleman sayısıyla karekterize edildi. Klasik ölçü teorisindeki s-sınırlılık kavramının Riesz uzay değerli ölçüler için anlamı araştırıldı. Gerçel değerli işaret ölçüleri için tanımlanan hazily yakınsaklık kavramı sıra sürekli kesin pozitif fonksiyonel yardımıyla, Riesz uzay değerli ölçüler için genişletildi. f : X E fonksiyonu için sıra yakınsaklığın, tanımladığımız hazily yakınsaklığı gerektirdiği gösterildi. E-değerli basit fonksiyon tanımı ve integrali verildi. E değerli basit fonksiyonlar ve hazily yakınsaklık yardımıyla E değerli fonksiyonun integrallenbilirliği incelendi. Ayrıca Arşimedyen bir uzayın Maeda-Ogasawara uzayı ile Dedekind tamlanışının merkez sıra ideainin Kakutani-Krein uzaylarının Riesz izomorfik olduğu gösterilip, akabinde C (S) uzayları için Banach-Stone tipi bir sonuç elde edildi. 20

22 Reel del Pezzo uzayları üzerindeki ayrık doğruların konfigürasyonları Remziye Arzu Zabun Doktora Kurumu : Orta Doğu Teknik Üniversitesi (2014) Çalıştığı Kurum : Gaziantep Üniversitesi Projektif uzaydan n 8 tane nokta alalım, öyle ki, bu noktaların kümesi dejenere olmamış bir konfigürasyon oluştursun. O zaman, bu noktaların patlatılması ile derecesi d = 9 n olan bir del Pezzo uzayı X elde edilir. Patlatılan her nokta bu uzay üzerinde bir doğruya karşılık gelir. Dolayısıyla, bu uzay üzerinde, ikişer ikişer birbirleri ile kesişmeyen n tane doğru içeren bir konfigürasyon elde edilir. X uzayının doğal olmayan bölenin lineer sistemi, X ten P 9 n ye bir fonksiyon tanımlar. X üzerindeki bu özel n tane doğrunun bu fonksiyon altındaki görüntüsü d boyutlu projektif uzayda n tane doğrudur. Bu fonksiyonu reel zeminde ele alacağız, diğer bir deyişle, bu fonksiyon altında, reel projektif uzayda, n noktadan oluşan konfigürasyonların, d boyutlu reel projektif uzayda ki belirli n doğrudan oluşan konfigürasyonlara nasıl bağlı olduğunu inceleyeceğiz. Bu bağlantı n = 6 ve n = 7 durumlarında aşikar değildir. Eğer n = 6 ise, dejenere olmamış 6 noktadan oluşan konfigürasyonların 4 tane deformasyon sınıfının var olduğunu gösterildi. Yukarıda belirtilen bağlantı incelenerek, 3 boyutlu reel projektif uzayda 6 doğrudan oluşan konfigürasyonların 4 farklı deformasyon sınıfı tasvir edildi. Eğer n = 7 ise, dejenere olmamış 7 noktadan oluşan konfigürasyonların 14 tane deformasyon sınıfının var olduğunu gösterildi ve böyle 7 noktadan oluşan konfigürasyonlar ile 2 boyutlu reel projektif uzayda iki noktada dördüncü dereceden eğriye teğet olan, 7 doğrudan oluşan konfigürasyonlar tasvir edildi (bu konfigürasyonlar literatürde Aronhold kümeleri olarak adlandırılır). 21