İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları Problemlerde Hata Analizi

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - () Yaz/Summer Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları Problemlerde Hata Analizi Cemalettin IŞIK a Atatürk Üniversitesi Tuğrul KAR Atatürk Üniversitesi Öz Çalışmada, ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik kurdukları problemlerdeki hataların analizinin yapılması amaçlanmıştır. Araştırma, doğudaki bir üniversitenin İlköğretim Matematik Öğretmenliği son sınıfında öğrenim gören 6 öğretmen adayı ile 00-0 bahar yarıyılında yapılmıştır. Çalışmada veri toplama aracı olarak kesirlerde bölme işlemine yönelik hazırlanan ve dört maddeden oluşan Problem kurma Testi (PKT) kullanılmıştır. PKT ne verilen yanıtlarda görülen hataları teyit etmek ve bu hataların nedenlerini ayrıntılı bir şekilde ortaya koymak için 6 öğretmen adayı ile yarı yapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik kurdukları problemlerde yedi hata türü tespit edilmiştir. Bunun yanı sıra adayların kesirlerde bölmeye yönelik kurdukları problemlerde, bölmenin kavramsal boyutunu göz ardı ettikleri belirlenmiştir. Anahtar Kelimeler Kesirlerde Bölme, Problem Kurma, Öğretmen Adayları. Kesir kavramı ve kesirlerle işlemler, öğrenciler tarafından anlaşılması zor olan matematiksel konuların başında gelir (Dorgan, 99; Işıksal, 006; Ma, 999; Tirosh, 000; Yim, 00; Zembat, 00). Smith e (00) göre kesirler, matematiksel olarak zengin, bilişsel olarak kompleks ve öğretimi zor olan konulardan biridir. Bunun yanında Redmond (009) kesirlerin, cebir gibi ileri düzeydeki konuların öğrenilmesinde önemli yere sahip olduğunu belirtmektedir. Dolayısıyla öğrenenler tarafından, kesirlerin ve kesirlerle yapılan işlemlerin kavramsal anlamının oluşturulması, öğreticiler açısından ise kavramsal anlamayı sağlamaya yönelik etkinliklerin hazırlanması önem kazanmaktadır. Kesirlerin öğretiminde farklı yöntemler kullanılmakla birlikte, genel olarak öğrencilerin kesirlerle işlemlerde yararlanacağı yeterli altyapı oluşturulmadan, öğrencileri hesaplamalara başlatmak yaygındır (Işıksal, 006; Mack, 990; Mok, Cai ve Fung, 008; Rule ve Hallagan, 006; Utley ve Redmond, 008). Öğretmenlerin kesirler ve kesirlerle yapılan işlemlerin kavramsal düzeyde anlaşılmasını sağlayacak etkinliklere yeterince yer vermemeleri, öğrencilerin kesirlere yönelik sınırlı anlamalar oluşturmalarına neden olmaktadır (Borko ve ark., 99; Redmond, 009; Sharp ve Adams, 00). Yapılan araştırmalar, öğrencilerin yanı sıra öğretmen ve öğretmen adaylarının da kesir kavramı ve kesirlerde bölme işlemine yönelik birçok güçlüğe sahip olduklarını göstermektedir (Ball, 990; Borko ve ark., 99; Carraher, 996; Işıksal, 006; Ma, 999; Mok ve ark., 008; Post, Harel, Behr ve Lesh, 99; Redmond, 009; Sharp ve Adams, 00; Tirosh, 000; Toluk-Uçar, 009; Yim, 00; Zembat, 00). Öğretmenler, öğrencilerinin kesirlere yöa Dr. Cemalettin IŞIK Matematik Eğitimi alanında yardımcı doçenttir. Çalışma alanları arasında öğretmen eğitimi, problem kurma, problem çözme ve kavramsal öğrenme yer almaktadır. İletişim: Atatürk Üniversitesi, Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı, 0, Erzurum. Elektronik posta: cisik@atauni.edu.tr Tel: Fax:

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ nelik kavramsal anlamalarını geliştirmek için çabalarken, kendileri de kesirlerde bölmeye yönelik yorum yapmada ve anlam oluşturmada güçlükler yaşamaktadırlar (Utley ve Redmond, 008). Post ve arkadaşları matematik öğretmeni ile yaptığı çalışmada, öğretmenlerin kesirlerle yapılan işlemlere yönelik mantıklı pedagojik açıklamalar yapamadıklarını ve kesir kavramlarına yönelik yüzeysel bilgilere sahip olduklarını tespit etmiştir. Işıksal (006), öğretmen adaylarının kesirlerle ilişkili bölme problemlerini çözebilmelerine karşın, bu işlemlerin anlamlarını açıklamaya yönelik muhakeme becerilerinin düşük seviyede olduğunu belirtmiştir. Öğretmen adaylarının, iki kesri birbirine kolaylıkla bölebildiklerini, ancak bu işlemi yaparken ikinci kesrin ters çevrilip birinci kesir ile niçin çarpıldığını açıklamada güçlükler yaşadıklarını belirtmiştir. Benzer sonuçlar yapılan bir çok çalışmada da vurgulanmaktadır (Ball; Borko ve ark.; Ma; Tirosh; Yim; Zembat). Tirosh (000), kesirlerde bölme işlemini gerektiren problemler ve sembolik olarak verilen kesirlerde bölme işlemlerinin çözümlerinde yapılan hataları literatür ışığında, algoritma temelli hatalar (algorithmically based mistakes), sezgisel olarak yapılan hatalar (intuitively based mistakes) ve formal bilgiye dayalı hatalar (mistakes based on formal knowledge) şeklinde sınıflandırmıştır. Algoritma temelli hatalar kategorisi, bölenin ters çevrilmesi yerine bölünenin ters çevrildiği ya da her ikisinin ters çevrilmesi suretiyle çarpma işleminin yapıldığı durumları içermektedir. Tirosh a göre bu tür bir hata, algoritmaların ezberlenmesinden kaynaklanmaktadır. Başka bir ifadeyle algoritmanın temelinde yatan anlamlar öğrenciler tarafından oluşturulamaz ise, algoritmada yer alan bir dizi adımdan bazıları unutabilir ya da yanlışa neden olacak şekilde değiştirebilir. Sezgisel olarak yapılan hatalar kategorisi ise, doğal sayılara yönelik öğrenilen işlemlerin kesirlere genellenmeye çalışılması ve bölmenin sadece eşit paylaşım anlamının düşünülerek yorumlanmasını içermektedir. Tirosh, bölmenin sadece eşit paylaşım anlamına odaklanılmasının, (i) bölen, sadece doğal sayı olmalıdır, (ii) bölen, bölünenden küçük olmalıdır ve (iii) bölüm, bölünenden küçük olmalıdır şeklindeki sınırlamaları beraberinde getirdiğini belirtmiştir. Benzer şekilde diğer birçok araştırmacı da (Fishbein, Deri, Nello ve Marino, 98; Graeber, Tirosh ve Glover, 989) eşit paylaşım anlamının baskın olduğu bir modelin, kesir içeren sözel problemlerin çözülmesi sürecinde sınırlılıklara neden olduğunu belirtmektedirler (örn., bazı öğrencilerin bölünenin bölenden küçük olduğu durumlarda, bölmenin yapılamayacağını düşünmeleri gibi ). Son olarak formal bilgiye dayalı hatalar kategorisinde ise, kesirlerle yapılan işlemlerin özelliklerine yönelik sınırlı bilgiye sahip olunması yer almaktadır (örn., öğrencilerin bölme işleminin değişmeli olduğunu düşünerek işleminin sonucunun olduğunu belirtmeleri gibi ). Kesirler ve kesirlerde bölme işlemine yönelik görülen güçlüklerin giderilmesi amacıyla yapılan çalışmalarda, kesirler ve kesir işlemlerinin somut durumlarla ilişkilendirilmesinin önemi vurgulanmaktadır (Arcavi, 00; Bezuk ve Armstrong, 99; Hasemann, 98; Keijzer ve Terwel, 00; Li, 008; Rule ve Hallagan, 006; Steffe, 00). Kocaoğlu ve Yenilmez e (00) göre kesirler konusunun zor kavranılma nedenlerinden biri, öğrencilerin günlük yaşantısında kesirlerin fazlaca yerinin olmamasıdır. Kesirler ve kesirlerle yapılan işlemlerin gerçek yaşam durumları ile ilişkilendirilmesi, öğrencilerin muhakeme ve problem çözme becerilerinin gelişimine de katkıda bulunmaktadır (Cianca, 006). Kesirler ve kesirlerle yapılan işlemlerin gerçek yaşam durumları ile ilişkilendirilmesinde problem kurma önemli bir yere sahiptir. Abu-Elwan (00) problem kurmanın, matematik içeriği ile günlük yaşam durumları arasındaki ilişkiyi kurmaya katkı sağladığını ve bu durumun öğrencilerin matematiksel düşünmelerinin gelişiminde etkili bir yol olduğunu belirtmektedir. Yapılan araştırmalar göstermektedir ki, öğretmen ve öğretmen adayları kendilerinden kesirlerde bölme işlemini karşılayan problem kurmaları istendiğinde çoğunlukla çarpma problemleri yazmaktadırlar ya da doğru bir problem yazamamaktadırlar (Tirosh, 000; Utley ve Redmond, 008). Benzer şekilde Ball (990), işleminin sonucunu hesaplamada bütün öğretmen adaylarının başarılı olduğunu, buna karşın bu işleme uygun sözel problemleri seçebilmede aynı başarıyı gösteremediklerini belirtmiştir. Ayrıca araştırmacı görüşme yapılan öğretmenlerden verilen işleme yönelik problem 90

3 IŞIK, KAR / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları... kurmaları istendiğinde başarı oranının daha düşük olduğunu ifade etmiştir. Öğretmen adayları bunun nedeni olarak verilen işlemlerin gerçek yaşam durumları ile ilişkilendirilmesinin güçlüğünü göstermişlerdir. Ma (999), matematik öğretmenlerinin kesirlerde bölmeyi içeren problemleri doğru çözebildiklerini, buna karşın gerçek yaşam durumlarıyla ilişkili problem kurma becerilerinin düşük olduğunu belirtmiştir. Ayrıca çalışmasında öğretmenlerin çoğunluğunun ye bölme ile ye bölmeyi karıştırdıklarını ve ile bölme mi yoksa çarpma mı yapacakları konusunda tereddütler yaşadıklarını belirtmiştir. Benzer şekilde Toluk-Uçar (009), problem kurma öğretiminin sınıf öğretmeni adaylarının kesirleri anlamaları üzerindeki etkisini araştırdığı çalışmasında, kesirlerde bölme işleminin sembolik temsiline yönelik bir problem kurma maddesine yer vermiştir. Adayların, bölünen ve bölenin basit kesir olduğu ve bölenin bölünenden büyük olduğu =? İşlemine yönelik sözel problem kurma becerilerinin düşük olduğunu belirtmiştir. Ayrıca adayların, kesirlerde bölme işleminin gerçek yaşam durumları ile ilişkilendirilmesinin mümkün olmadığına yönelik görüş belirttiklerini de ifade etmiştir. Yapılan bu çalışmalardan öğretmen veya öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik gerçek yaşam durumları ile ilişkili problem kurma becerilerinin genel olarak düşük olduğu görülmektedir. Buna karşın sınırlı sayıdaki çalışmada kesirlerde bölmeye yönelik kurulan problemlerdeki hatalara kısmen de olsa yer verilmiştir. Toluk-Uçar (009) sınıf öğretmeni adaylarının # işlemi yerine çoğunlukla işlemini karşılayan sözel problemler kurduklarını tespit etmiştir. Ball (990) ise, öğretmen adaylarından verilen bir dizi sözel problem içerisinden, kesirlerde bölme işlemine uygun olanlarını belirlemelerini istemiştir. Öğretmen adaylarının %0 u, ve işlemlerinin her ikisi içinde aynı sözel problemleri işaretlemişlerdir. Verilen iki işlemden birinde bölen; doğal sayı, diğerinde ise kesir sayısıdır. Bu durum kurulan sözel problemlerin kavramsal olarak birbirinden farklı olmasını gerektirmesine rağmen bu işlemlere yönelik aynı sözel problemlerin seçilmesi, bölenin doğal sayı ve kesir sayısı olmasının problem içerisindeki anlamının oluşturulmasında güçlükler yaşandığını göstermektedir. Zembat (00) sınıf öğretmeni adaylarının sözel problem kurma becerilerini işlemi üzerinden belirlemiştir. Sınıf öğretmeni adaylarının, kesirleri belirli sayıda parçaya ayrılmış olan bir bütünün bir kısmı anlamıyla ele aldıklarını, verilen bölme işlemini çarpma işlemine dönüştürerek problemler yazdıklarını, problem cümlelerinde birimlerle ilgili güçlükler yaşadıklarını, kurdukları problemlerin gerçek yaşam durumları ile uygunluğunu göz ardı ettiklerini ve gruplamalı bölmeyi tutarsız şekilde problem cümlelerinde ifade ettiklerini belirlemiştir. Zembat çalışmasında sınıf öğretmeni adaylarından bileşik kesrin, basit kesre bölünmesine yönelik problem cümleleri yazmalarını istemiştir. Buna karşın bölünen ve bölenin farklı kesir sayıları olduğu veya bölünen ve bölenin sorulduğu durumlara yönelik kurulan problemlerde, öğretmen adaylarının ne tür güçlükler ile karşılaşabileceklerine yönelik analizlere yer vermemiştir. Işık (0) ise ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kesirlerde bölmeye yönelik kurdukları problemlerin kavramsal analizine odaklanmıştır. Işık, iki bileşik kesrin, iki basit kesrin ve bir doğal sayının bir basit kesre bölündüğü işlemlere yönelik kurulan problemlerde, adayların genel olarak bölme işleminin ölçme anlamını göz ardı ettiklerini ve bu durumun sonucu olarak kesirlerde bölme işleminin kavramsal yapısının problemlerde oluşturulamadığını belirtmiştir. Alan yazınında yapılan çalışmaların kesirlerde bölme işlemi ve bölme işlemini gerektiren sözel problemlerin çözümünde yaşanılan güçlüklerin analizi üzerine odaklandığı görülmektedir. Bunun yanı sıra problem kurma üzerine yapılan çalışmalarda ise, kesirlerde bölme işlemine yönelik problem kurma başarısının, bölme işlemini gerektiren problemleri çözme başarısına göre daha düşük olduğu vurgulanmaktadır. Ayrıca bu başarısızlığın nedeninin, kesirlerde bölme işleminin gerçek yaşam ile ilişkilendirilmesindeki güçlüklerden kaynaklandığı belirtilmektedir. Kesirlerde bölme işlemini gerçek yaşam ile ilişkilendiren problem kurma sürecinde ne tür güçlükler yaşanmaktadır? Bu soruya değinen sınırlı sayıdaki araştırmalar ise daha çok sınıf öğretmeni adayları ile işlemin sonucunun sorulduğu durumlar üzerinden yapılmıştır. Buna karşın bölünen veya bölenin bilinmediği durumlara yöne- 9

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ lik problem kurmada karşılaşılabilecek hataların kapsamlı analizlerinin yapılmadığı görülmektedir. Bu araştırmada sadece kesirlerde bölme işlemine yönelik kurulan problemlerdeki hata analizlerine odaklanılması nedeniyle, alan yazınında yapılan çalışmalardan farklıdır. Ayrıca kesirlerde bölme işlemine yönelik kazanımlar, ilköğretim -. Sınıflar matematik Dersi Öğretim Programı nda (MEB, 009a) değil, İlköğretim 6-8. Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı nda (MEB, 009b) yer almaktadır. Araştırmanın ilköğretim matematik öğretmeni adayları ile yapılması, katılımcılar yönüyle de alan yazınındaki diğer çalışmalardan farklılık arz etmektedir. İlköğretim 6-8. Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı nda bölme küçültür şeklindeki doğal sayılardan kalma alışkanlıkların, öğrencilerin kesirlerde bölme işleminin anlamını oluşturmalarına engel olabileceğini, bu durumun önüne geçebilmek için ise uygun problemlerin ve modellerin kullanılması gerektiği belirtilmektedir (MEB, 009b, s. 9). Bunun yanında programda kesirlerle işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer ve kurar ve rasyonel sayılarla ilgili problemleri çözer ve kurar kazanımları ile kesirlerle yapılan işlemlere yönelik problem kurmanın önemine değinilmektedir. Ayrıca programda; problem çözüldükten sonra verilerden biri veya bir kaçı değiştiğinde neler olacağı ve çözülmüş problemlerin varyasyonları şeklinde problemlerin oluşturulması üzerinde durulması gerektiği belirtilmektedir (MEB, 009b, s. ). Yine programda, matematiksel kavramların günlük hayatta ve diğer öğrenme alanlarında kullanılmasına, öğrencilerin iletişim, yaratıcılık, problem çözme ve eleştirel düşünme becerilerinin geliştirilmesinin önemine de değinilmektedir. Araştırmacılara göre, problem kurma öğrencilerin belirtilen bu becerilerinin geliştirilmesinde önemli katkılar sunmaktadır (Akay, 006; Crespo ve Sinclair, 008; Cunningham, 00; Knott, 00; Mestre, 00; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 000; Silver ve Cai, 996; Stickles, 006; Toluk-Uçar, 009; Yuan ve Sriraman 0). Programdaki yaklaşım ve yapılan araştırma sonuçları, öğretmenlerin kesirlerde bölme işlemine yönelik problem kurma etkinliklerine yer vermelerinin önemini açık bir şekilde ortaya koymaktadır. Lowrie ye (00) göre öğrenciler anlamlı içeriklerle karşı karşıya bırakılırlarsa daha iyi problemler kurabilmektedir ve bunun için öğrencilere fırsatlar verilmelidir. Öğrencilere bu fırsatların tanınması noktasında öğretmenler kilit öneme sahiptir. Yine alan yazınında, öğretmen adaylarının problem kurma becerilerinin, hizmet içi dönemde öğrencilerinin matematiksel performanslarını ve matematiği anlama başarılarını etkileyeceğine yönelik sonuçlar da yer almaktadır (Abu-Elwan, 999; Crespo ve Sinclair, 008; Stickles, 006; Stoyanova, 00). Bu açıdan bakıldığında, öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik kurdukları problemlerdeki olası hataların belirlenmesinin önemli olduğu düşünülmektedir. Eğer öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik varsa hatalarının belirlenmesi, kesirlerde bölme ile ilgili problem kurma becerilerinin geliştirilmesine yönelik yapılabilecek öğretime de ışık tutacaktır. Bu bağlamda çalışmada, ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik kurdukları problemlerdeki hataların analizinin yapılması amaçlanmıştır. Yöntem Araştırmanın Deseni Çalışma bir durum çalışmasıdır. Durum çalışması, farklı veri toplama araçları yardımıyla sınırları belirli bir sistemin (örn., bir etkinlik, olay, süreç yada bireyler) derinlemesine keşfedilmesidir (Creswell, 00; McMillan ve Schumacher, 00). Creswell, durum çalışmasını araştırmacının zaman içerisinde sınırlandırılmış bir veya birkaç durumu çoklu kaynakları içeren veri toplama araçları ile derinlemesine incelediği bir araştırma yaklaşımı olarak tanımlamaktadır. Bu çalışmada öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik kurdukları problemlerdeki hataların analizinin yapılması amaçlandığından durum çalışması deseni tercih edilmiştir. Çalışma Grubu Araştırma, doğudaki bir üniversitenin İlköğretim Matematik Öğretmenliği son sınıfında öğrenim gören 6 öğretmen adayı (8 bayan, 6 erkek) ile 00-0 bahar yarıyılında yapılmıştır. Araştırma 9

5 IŞIK, KAR / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları... öncesinde son sınıfta öğrenim görmekte olan iki şubedeki toplam 9 adaya çalışma hakkında bilgi verilmiştir. Bu bilgilendirme sonunda 6 aday çalışmaya gönüllü olarak katılmayı kabul etmiştir. Çalışmada 6 öğretmen adayı ile de yarı yapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Mülakat yapılan adaylar, Problem Kurma Testi (PKT) nin her bir maddesinde görülen en yüksek hata çeşitlerine göre seçilmiştir. Mülakat yapılan adaylara, öğretmen adayını simgeleyen ÖA, ÖA,,ÖA6 ve mülakatı yapan araştırmacıya da A şeklinde kodlar verilmiştir. Adaylara ilköğretim lisans programı çerçevesinde Özel Öğretim Yöntemleri I ve II derslerinin içeriğinde yer alan problem ve problem çözme nedir?, problemlerin sınıflandırılması, kesirler ve öğretimi, ilgili öğretim programı, ders öğretmen ve öğrenci çalışma kitaplarının incelenmesi şeklindeki konuların öğretimi yapılmıştır. Bunun yanında adaylar, okullarda öğretim faaliyetlerine katılarak sınıf içi öğretim faaliyetlerini gözlemleme ve uygulama fırsatı da bulmuşlardır. Verilerin Toplanması ve Analizi Çalışmada veri toplama aracı olarak kesirlerde bölme işlemine yönelik hazırlanan ve dört maddeden oluşan PKT kullanılmıştır. PKT nde kesirlerde bölme işlemine yönelik; bölünenin bilinmediği, bölenin bilinmediği ve bölümün bilinmediği birer maddeye yer verilmiştir. PKT nde yer alan bu üç problem kurma maddesinde bölünen kesir sayısı, bölen kesir sayısından büyüktür. Buna karşın PKT ndeki son maddede ise bölünen kesir sayısı, bölen kesir sayısından küçüktür. Bu son maddeyle bölünenin, bölenden küçük olduğu kesirlerde bölme işlemine yönelik kurulacak problemlerde, yapılabilecek olası hatalarında belirlenmesi amaçlanmıştır. Kesirlerde bölme işlemine yönelik farklı birçok sembolik işlem bulunmaktadır (bölünenin bölenden büyük veya küçük olduğu iki basit kesrin bölümü, bir doğal sayının basit veya bileşik kesre bölümü, bir bileşik veya basit kesrin doğal sayıya bölümü vb ). Çalışmanın amacı ve kapsamı dikkate alınarak bölen ve bölünenin basit kesir olduğu durumlar üzerinden hata analizlerinin yapılmasına karar verilmiştir. Bölen ve bölünenin basit kesir sayısı olması yanında, doğal sayı veya bileşik kesir olabileceği işlemlerin çalışmaya dâhil edilmesinin, araştırma konusunu genişletmesine karşın çalışmaya derinlik katma noktasında sınırlılığa neden olabileceği düşünülmüştür. Sınırlılık olarak görülebilecek bu durum, farklı bir araştırmanın konusu olabileceği düşünülerek, bu çalışmanın kapsamı dışında bırakılmıştır. Araştırmacıların gözlemleri ve deneyimleri, adayların farklı kesir sayılarını içeren aynı yapıya sahip bölme işlemlerine yönelik (Örn., = Y ve 8 9 = Y işlemlerinde, bölünenin bölenden büyük olması gibi) benzer problemler kurduklarını göstermiştir. Bu gözlemlerde adayların çoğunlukla kurdukları problemlerde sadece kesir sayılarını değiştirdikleri görülmüştür. Bu düşünceden hareketle her bir duruma yönelik bir maddeye yer verilmesine karar verilmiştir. Bunun yanında katılımcıların sayısı geniş tutularak görülen hataların doyuma ulaşması sağlanmıştır. PKT nde yer alan her bir madde ve özellikleri Tablo de verilmiştir. Tablo. PKT nde Yer Alan Bölme İşlemleri ve Özellikleri Maddeler Özellikleri 6 Bölünenin bilinmediği kesirlerde bölme Y = işlemi 8 Y = Bölenin bilinmediği kesirlerde bölme işlemi 8 = Y = Y Bölümün bilinmediği kesirlerde bölme işlemi Bölünen kesir sayısının bölen kesir sayısından küçük olduğu ve bölümün bilinmediği kesirlerde bölme işlemi Yapılan alan yazın taraması sonucunda birçok araştırmacının farklı sınıf seviyelerinde gerek problem kurma becerilerini belirlemede gerekse öğrencilerin kesirler ve kesirlerde bölme işlemine yönelik kavramsal anlamalarını geliştirmek için benzer sorulardan yararlandığı tespit edilmiştir. PKT nde yer alan maddelere yönelik üç öğretmenin görüşlerine de başvurulmuştur. Öğretmenler derslerde bu tür işlemleri içeren problem çözümleri yaptırdıklarını ve çözümde kullanılan kesir sayılarını değiştirerek öğrencilerden benzer problemler kurmalarını istediklerini belirtmişlerdir. Bunun yanında İlköğretim Matematik Dersi 6-8. Sınıflar Öğretim Programı ndaki (MEB, 009b) kazanımlar, ders kitabı ve öğrenci çalışma kitaplarındaki problemler ve modeller de dikkate alınarak dört maddenin PKT nde yer almasına karar verilmiştir. 9

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Bir ders saati içerinde öğretmen adaylarından PKT nde yer alan her bir maddeye yönelik bir problem kurması istenmiştir. Daha sonra PKT ndeki her bir maddeye adayların vermiş oldukları yanıtlar ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Yanıtlarda görülen hataları teyit etmek ve bu hataların nedenlerini belirlemek için 6 öğretmen adayı ile yarı yapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Görüşmeler 0- dakikalık zaman dilimlerinde gerçekleştirilmiş ve öğrencilerin izniyle kaydedilmiştir. Kayıtlar daha sonra transkript edilmiş ve analiz aşamasında bu verilerden de faydalanılmıştır. Öğretmen adaylarının PKT ne vermiş oldukları yanıtların analizinden kesirlerde bölme işlemine yönelik, alan yazınında yapılan benzer çalışmaların ışığında yedi hata kategorisi tespit edilmiştir. Belirlenen bu kategoriler şunlardır: birim kargaşası [Hata (H)], kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme(h), oran-orantı yoluyla problem kurma(h), parça-bütün ilişkisini kuramama(h), bölen kesrin paydasına bölme(h), bölme yerine çarpma işlemini kullanma(h6) ve bölen kesir sayısının ters çevrilerek çarpılması yoluyla problem kurma(h). Bu hata kategorilerinden H, H, H6 ve H, kapsamlı bir şekilde olmasa da, farklı araştırma sonuçlarında da görülmüştür. Zembat (00) sınıf öğretmeni adaylarının kurmuş oldukları problemlerde kesir sayılarına birim olarak yükledikleri anlamların açık olmadığını belirtmiştir. Bu çalışmada belirtilen H hata çeşidi, Zembat tarafından belirtilen durumu içermesinin yanında problem cümlesinde yer alan birimlerin birbirleri ile tutarsız olması durumunu da kapsamaktadır. Bunun yanı sıra H kategorisine yönelik (Ball, 990; Ma, 999; Toluk- Uçar, 009), H6 kategorisine yönelik (Ma; Toluk- Uçar) ve H kategorisine yönelik (Ma; Toluk-Uçar; Zembat) çalışmalar da alan yazınında yer almaktadır. Öğretmen adaylarının kurdukları problemlerde, belirtilen bu hata çeşitlerinden birden fazlası aynı anda bulunabilmektedir. Hata kategorilerine yönelik açıklamalar, bulgular kısmında ayrıntılı bir şekilde sunulmuştur. PKT nde yer alan maddelere yönelik verilen yanıtlar iki farklı araştırmacı tarafından analiz edilmiştir. Bu analizler sonucunda her bir araştırmacı tarafından hatalar ayrı ayrı belirlenmiştir. Daha sonra yapılan analizler karşılaştırılmış ve belirlenen hata çeşitlerinin sınıflandırılması üzerinde uyum sağlanmıştır. Örneğin bu süreçte adayların PKT nin dördüncü maddesine yönelik kurdukları Bir kalfa bir günde duvarın 8 ini, bir usta da bir günde aynı duvarın sini boyamaktadır. Buna göre kalfanın boyadığı kısmın ustanın boyadığı kısma oranı nedir? ve Bir havuzun 8 ini saatte doldurabilen bir musluk bir saatte havuzun ne kadarını doldurur? şeklindeki problemler, bir araştırmacı tarafından oran, diğer araştırmacı tarafından ise orantı yoluyla problem kurma hata çeşidi olarak kodlanmıştır. Her iki problem çeşidinin çıkış noktasının oran olması ve problem yapılarının benzerliği nedeniyle bu kategoriler birleştirilerek oran-orantı yoluyla problem kurma hata çeşidi altında toplanması üzerinde fikir birliğine varılmıştır. Öğretmen adayları ile hatalar üzerine yapılan yarı-yapılandırılmış mülakatlardan elde edilen veriler, bulgular bölümünde betimsel analiz yöntemi kullanılarak sunulmuştur. PKT nde yer alan her bir maddeye yönelik adayların yapmış oldukları bu hata çeşitleri bulgular kısmında, betimsel istatistik tekniklerinden yararlanılarak yüzde ve frekans değerleri ile birlikte tablolar halinde verilmiştir. Bulgular PKT ne Verilen Yanıtlarda Görülen Hata Çeşitlerine Ait Bulgular Öğretmen adaylarının PKT nde yer alan bölme işlemlerine yönelik kurdukları problemlerde yedi hata türü tespit edilmiştir. Bu hata türlerine ait açıklamalar şu şekildedir; Birim kargaşası(h): Bu hata türü, kurulan problemlerde kesir sayılarına uygun birim yazılamadığı veya kesir sayıları için yazılan birimlerin birbiri ile tutarlı olmadığı durumları içermektedir. İki aday 6 tarafından sırasıyla Y = ve 8 Y = işlemlerine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümleleri şu şekildedir; Bir ağacın boyunu lük parçaya böldüğümüzde 6 bu parçalar birim oluyorsa ağaç kaç birimdir? Aysun doğum gününde arkadaşları için bir pastanın 8 ini ayırmıştır. Aysun pastayı kaç arkadaşına paylaştırırsa her birine düşer? 9

7 IŞIK, KAR / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları... Yazılan birinci problem cümlesinde lük parçaya 6 böldüğümüzde ve bu parçalar birim oluyorsa şeklindeki ifadeler, yaşanan birim kargaşasını örneklemektedir. lük parçaya bölmek ile kastedilen ağacın boyunun dörtte biri kadarlık parçalara bölmek ise eşit parça ortaya çıkacaktır. Dolayısıyla problemin geri kalanı anlamsız olacaktır. Bunun yanında 6 birim ifadesi ile anlatılmak istenenin parçalarının uzunluğu mu yoksa parça sayısı mı olduğu açık değildir. Bu yönüyle adayın kurduğu problem cümlesinde kesir sayılarını uygun birimlerle ifade edemediği görülmektedir. İkinci problem cümlesinde ise bir pastanın 8 sinin paylaştırıl- masını konu edinen bir problem yazılmıştır. Yazılan probleme göre, pastanın 8 sinin paylaştırılması sonucu her bir kişiye düştüğü ifade edilmiştir. Buna karşın düşer ifadesine uygun birim yazılamadığından anlatılmak istenen yine açık değildir. tamsayılı kesrine dilim şeklindeki birim anlamı yüklense dahi, pastanın 8 sinin toplam kaç dilim olduğu bilinmediğinden bir çözüme ulaşılamayacaktır. Bunun yanı sıra bu işlemin sonucu kesir sayısı çıkmasına rağmen, aday problemde bu kesri kaç arkadaşına paylaştırırsa ifadesi ile karşılamaya çalışmıştır. Kişi sayısının basit kesirler ile temsil edilemeyeceği dikkate alındığında, kurulan problemde kesir sayılarına doğal sayı anlamı yüklenerek hata yapıldığı da görülmektedir. Bu hata türü H kategorisinde ayrıntılı olarak ele alınacaktır. Kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme(h): Bu hata türü, kesir sayılarına doğal sayı anlamı yüklenerek kurulan problem durumlarını içermektedir. Bir aday tarafından 8 Y = işlemine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümlesi şu şekildedir; 8 metrelik bir kurdele kaç kişiye eşit olarak paylaştırılırsa kişi başına metre kurdele düşer? Öğretmen adayı yazmış olduğu problem cümlesinde 8 metrelik bir kurdelenin paylaştırıldığını ve her bir kişiye metre kurdele düştüğünü belirtmektedir. Verilen işlemde Y yerine kesir sayısı gelmektedir. Problemde ise bu kesir sayısına kişi sayısı anlamı yüklemiştir. Dolayısıyla adayın yazdığı problem cümlesinde bölenin bir kesir sayısı olduğunu göz ardı ederek, kişi sayısını bölen kesir sayısı ile temsil ettiği görülmektedir. Ayrıca bu problem cümlesinde, parça-bütün ilişkisine yönelik hatanın varlığından da söz etmek mümkündür. Çünkü paylaştırılması istenen kurdelenin toplam uzunluğu 8 metre olarak verilmiştir. Buna karşın paylaştırma sonunda kişi başına metre kurdele düşmesi, parça-bütün ilişkisi açısından anlamlı değildir. Bu tür hatalar H kategorisinde daha ayrıntılı olarak sunulacaktır. Oran-Orantı yoluyla problem kurma(h): Bu hata türü, farklı birimlerin kıyaslanması yoluyla ve birimlerin aynı olması durumunda da iki kesir sayısının karşılaştırılması suretiyle kurulan problemleri içermektedir. Bir aday tarafından = Y işlemine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümlesi şu şekildedir; Bir yere kaldırım taşı döşenecektir. Bu alanın ü saatte döşendiğine göre saatte bu alanın ne kadarı kaldırım taşı ile döşenir? Problemin çözümü biçimsel olarak verilen işleme uygun olsa da, kavramsal olarak iki kesir sayısının bölümünü karşılamamaktadır. Çünkü verilen bölme işleminde bölünen kesir sayısı problem cümlesinde kaldırım taşı döşenen alanı, bölen kesir sayısı ise zamanı temsil etmektedir. Dolayısıyla zamanda meydana gelen değişim ile kaldırım taşı döşenen alanda meydana gelen değişimin oranlama yoluyla ilişkilendirilmesi söz konusudur. Başka bir ifadeyle kesirlerde bölme işlemine uygun olan bölünen içerisinde bölen kadar parçaların aranması anlamı söz konusu değildir. Parça-bütün ilişkisini kuramama(h): Bu hata türü, kurulan problemlerde bölme işlemi sonunda, bölünen kesir sayısının belirtmiş olduğu çokluktan daha fazlasını gerektiren durumları içermektedir. Bir aday tarafından = Y işlemine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümlesi şu şekildedir; Seda bir pastanın ünü ayırmıştır. Ayırdığı bu pastanın sini Ayşe ye vermiştir. Ayşe pastanın ne kadarını almıştır? Yazılan problem cümlesinde Seda nın bir pastanın ünü ayırdığı ve bu kısmın da sini Ayşe ye verdiği belirtilmektedir. Kurulan problem cümlesinin çözümü # işlemini gerektirmektedir. Bu işlemin sonucu olan 8 kesir sayısı ise var olan pasta miktarından 9

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ daha büyük bir miktarı ifade etmektedir. Dolayısıyla aday kurduğu problemde bu durumu göz ardı ederek parçayla bütün arasındaki ilişkiyi oluşturamamıştır. Bunun yanı sıra problemde işlemi yerine bölen kesir sayısının ters çevrilerek bölünen kesir sayısı ile çarpılması söz konusudur. Bu tür bir hata H kategorisinde açıklanacaktır. H hata kategorisinde 8 Y = işlemine yönelik bir aday tarafından yazılan 8 metrelik bir kur- dele kaç kişiye eşit olarak paylaştırılırsa kişi başına metre kurdele düşer? şeklindeki problemde de parça-bütün ilişkisi göz ardı edilmiştir. Bu problem cümlesinde 8 metrelik bir kurdele paylaştırılmış ve paylaştırma sonunda her bir kişiye metre kurdele düşmüştür. Buna karşın başlangıçta verilen kurdelenin uzunluğu 8 metredir. Dolayısıyla bütünden daha büyük parçalar oluştuğundan parçabütün ilişkisi oluşturulamamıştır. Bölen kesrin paydasına bölme(h): Bu hata türü, bölen kesir sayısı yerine bu kesrin paydasında yer alan doğal sayıya bölmeye yönelik yazılan problemleri içermektedir. İki aday tarafından sırasıyla 8 = Y ve Y = 6 işlemlerine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümleleri şu şekildedir; Bir sepet elmanın 8 ini arkadaşıma eşit olarak paylaştırdım. Bir arkadaşıma sepetteki elmanın ne kadarını vermiş olurum? Bir havuzdaki su eşit su kabına konuyor. Her su kabında 6 litre su varsa, havuzda toplam kaç litre su vardır? Yazılan birinci problem cümlesinde e bölme işlemi, iki arkadaşıma eşit olarak paylaştırdım ifadesi ile karşılanmaya çalışılmıştır. Ancak bu ifade ile yerine bu kesrin paydası olan ile bölme yapılacağı açıktır. Benzer şekilde yazılan ikinci problem cümlesinde aday, ile bölme işlemini bir havuzdaki su, eşit su kabına konuyor ifadesi ile karşılamaya çalışmıştır. Dolayısıyla adayın kesri yerine bu kesrin paydasındaki ile bölmeyi gerektiren problem kurduğu görülmektedir. Bunun yanında yazılan her iki problemde H hata türü de görülmektedir. Öğretmen adayları kurdukları problemlerde böleni doğal sayı gibi düşünmüşlerdir. Bu durumda bölüm daima, bölünenden küçük olacaktır. Buna karşın problem kurulması istenen işlemlerde, bölen basit kesir sayısı olduğundan bölüm, bölünenden daha büyük olabilecektir. Dolayısıyla adayların kurulan problemlerde parça-bütün ilişkisini de göz ardı ettikleri görülmektedir. Bölme yerine çarpma işlemini kullanma(h6): Bu hata türü, kurulan problemlerde bölünen kesir sayısının, bölen kesir sayısı ile çarpılması durumlarını içermektedir. İki aday tarafından sırasıyla = Y ve 8 = Y işlemlerine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümleleri şu şekildedir; Ali marketten karışık çerez almıştır. Çerezin ağırlığının ü fındıktır. Fındıkların ağırlığının i kabuktur. Buna göre aldığı çerezin ne kadarı kabuktur? Bir tarlanın 8 i sürülüyor. Daha sonra sürülen kısmın sine de buğday ekiliyor. Buğday ekilen kısım tarlanın ne kadarıdır? Kurulan birinci problem cümlesinde alınan çerezin ağırlığının ünün fındık olduğu, fındığın ağırlığının sinin ise kabuk olduğu belirtiliyor. Bu durumda # işleminin sonucu, kabukların ağırlığının çerezlerin ağırlığının ne kadarı olacağını temsil edecektir. Benzer şekilde diğer problem cümlesinde buğday ekilen kısım, tarlanın 8 # i kadarı olacaktır. Dolayısıyla yazılan problemlerin çözümü, kesir sayılarının bölümü yerine çarpımını gerektirmektedir. Bölen kesir sayısının ters çevrilerek çarpılması yoluyla problem kurma(h): Bu hata türü, kurulan problemlerde bölen kesrin ters çevrilerek, bölünen kesir sayısı ile çarpılması durumlarını içermektedir. İki aday tarafından 8 = Y işlemine yönelik kurulan ve bu hata türünü örnekleyen problem cümleleri şu şekildedir; Ali aldığı bir kazağın ücretini 8 taksit ile ödeyecektir. İlk ay taksit miktarının iki katını ödemiştir. Ali ilk ay kazağın ücretinin kaçta kaçını ödemiş olur? 8 litre hacmindeki bardak, iki kez kullanılarak bir kaba su boşaltılıyor. Kapta ne kadar su olur? Yazılan birinci problem cümlesinde her bir taksit miktarı, kazağın fiyatının 8 idir. Aday ilk ay taksit miktarının iki katının ödendiğini belirtmiştir. Bu durumda 8 # işleminin sonucu ile ilk ayda kazağın ücretinin ne kadarının ödeneceği bulunur. Dolayısıyla aday, kesir sayısını ters çevirerek 8 kesir 96

9 IŞIK, KAR / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları... sayısı ile çarpımını gerektiren problem cümlesi oluşturmuştur. Benzer şekilde ikinci problemde de bölen durumundaki kesir sayısını ters çevirip doğal sayısı gibi düşünerek, tekrarlı toplama anlamını yansıtan problem cümlesi oluşturmuştur. Yazılan her iki problemde de bölen kesir sayısını ters çevirmek suretiyle verilen bölme işlemini çarpma işlemine dönüştürerek problem kurdukları görülmektedir. Kurulan Problemlerdeki Hata Çeşitlerinin Dağılımı Bölünenin sorulduğu PKT nin birinci maddesine iki aday problem kuramamıştır. 6 öğretmen adayı tarafından verilen yanıtlarda görülen hata çeşitlerine ait yüzde ve frekans değerleri Tablo de sunulmuştur. Tablo deki verilere göre, öğretmen adayları verilen işleme yönelik kurdukları problemlerde toplam 9 hata yapmışlardır. Bu işleme yönelik kurulan problemlerde en az hata H6 kategorisinde yapılmıştır. Buna karşın H, H, H ve H kategorilerinde yapılan hata oranları dikkat çekicidir. Bu hata türleri içerisinde ilk sırada yer alan H kategorisinde adaylar, kurdukları problemlerde, kesir sayıları için uygun birimler oluşturamamışlardır. Bu durumu örnekleyen ÖA9 tarafından yazılan problem cümlesi ve yapılan mülakat şu şekildedir; KPSS öğrencisi olan Pınar öğrenme psikolojisi kitabını lük eşit parçalara bölüyor. Pınar ın günlük 6 çalışma miktarı birim olduğuna göre, kitap ne kadar birimdir? Kurmuş olduğun problemdeki Pınar ın günlük çalışma miktarı 6 A : birim olduğuna göre ifadesi ile anlatmak istediğini açıklar mısın? 6 Çalışma miktarı, yani birim derken mesela her ÖA9 : bölümü için eşit olarak çalıştığını yani belirli bir saat çalıştığını. Her gün mutlaka düzenli olarak çalışıyor. A : lük eşit parçalara bölüyor ifadesi ile anlatmak istediğini açıklar mısın? Sayfa sayısını anlatmak istedim. Mesela kitabı belli ÖA9 : sayfa sayısına ayırmak. Yani örneğin 00 sayfalık bir kitabı 0 şer sayfalık kısımlara ayırmak gibi. Peki problem cümlesinin devamında yazdığın kitap A : ne kadar birimdir? ifadesi ile anlatmak istediğini açıklar mısın? ÖA9 : Toplamda kaç sayfa olduğunu sormak istedim. Öğretmen adayı ile yapılan mülakat incelendiğinde, adayın yazmış olduğu problem cümlesinde kesir sayılarının birimlerinin anlaşılır olmadığı görülmektedir. Problem cümlesinde adayın, kesrine doğal sayısı anlamı yüklemeye çalıştığını söylemek 6 mümkündür. Aday, birim ile de kitabın belirli bir kısmının bitirilme zamanını ifade etmiştir. Bu ifadelerden problemin akışı, kitabın ne kadar zamanda bitirileceğinin sorulmasını çağrıştırmaktadır. Buna karşın aday, kitap ne kadar birimdir? soru köküyle, kitabın toplam sayfa sayısını sormaktadır. Mülakat yapılan öğretmen adayının kurduğu problem cümlesinde H yanında H hata türünü de yaptığı görülmektedir. H hata türüne yönelik verilen örnek yanıtlar ve kurulan diğer problemlerde de benzer şekilde H hatasını yapan adayların, çoğunlukla H hatasını da yaptıkları görülmüştür. Verilen işlemde özellikle kesir sayısına uygun birim oluşturulamamasının, in doğal sayı gibi düşünülmesine neden olduğu söylenebilir. Bunun yanında Tablo de H ve H hata kategorilerinin yüzdelik değerlerinin birbirine yakın olması bu düşünceyi desteklemektedir. Bölenin sorulduğu PKT nin ikinci maddesine iki öğretmen adayı problem kuramamıştır. 6 öğretmen adayı tarafından verilen yanıtlarda görülen hata çeşitlerine ait yüzde ve frekans değerleri Tablo te sunulmuştur. Tablo teki verilere göre öğretmen adayları verilen işleme yönelik kurdukları problemlerde toplam hata yapmışlardır. Bu işleme yönelik kurulan problemlerde en az hata H6 kategorisinde yapılmıştır. Buna karşın öne çıkan hata kategorileri H, H ve H tür. Bu hatalar içerisinde H türü hata ilk sırada yer almaktadır. Bu hata türünü örnekleyen ÖA8 Tablo. PKT nin Birinci Maddesine Kurulan Problemlerdeki Hata Çeşitlerine Ait Dağılım Problem Kurma Maddesi H H H H H H6 Toplam 6 Y = 8(,8) 6(0,) 0(,6) (6,) (6,) 9(,) 9(00) Not. Tablodaki veriler frekans(yüzde) şeklinde sunulmuştur. 9

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ tarafından yazılan problem cümlesi ve yapılan mülakat şu şekildedir; Bir pastanın 8 ini eşit parçalara ayrınca, her bir parça dilim olduğuna göre pasta kaç parçaya ayrılmıştır? A : Problemi nasıl kurduğun hakkında bilgi verir misin? Şimdi burada 8 kesrini elimizde var olan pasta şeklinde düşündüm. Eşitliğin sağ tarafındaki kesrini ise eşit parçalardan her birinin büyüklüğü ÖA8 : olarak düşündüm. Dolayısıyla soru işareti de parça sayısı olmuş oldu. Bunu düşündüğüm için böyle bir problem kurdum. Peki pastanın A : 8 ini eşit parçalara ayırınca her bir parçanın dilim olması hakkında ne düşünüyorsun? Güzel bir soru. Yani aslında dolayısıyla sanki dilimler pastanın kendisinden daha büyük oluyor. Şimdi ÖA8 : mantığımıza uymuyor ama işleme döktüğümüz zaman da böyle bir sonuç çıkıyor. Mantıksal olarak burada bir sıkıntı var. İşleme döktüğün zaman soru işareti yerine gelmesi gereken sayı ile soru kökündeki kaç parçaya ayrılmıştır? ifadesi arasındaki ilişki hakkında ne düşü- A : nüyorsun? Kaç parçaya ayrılmıştır? şeklinde sormasaydım o zaman burada bölme işlemi yapmanın pek bir anlamı ÖA8 : kalmazdı. Yapılan mülakatta adayın bölene bir doğal sayı anlamı yükleyerek bölmenin eşit paylaşım anlamını oluşturmaya çalıştığını söylemek mümkündür. Adayın bölmenin eşit paylaşım anlamına odaklanması nedeniyle kaç parçaya ayrılmıştır? şeklinde bir soru kökü ile problemi bitirmiştir. Aksi takdirde bölme işlemini yapmanın bir anlamının olmayacağını belirtmiştir. Mülakat yapılan öğretmen adayı, kurduğu problem cümlesinde H yanında H hata türünü de yapmıştır. H hata türüne yönelik yapılan açıklamalarda verilen örnek yanıtlar ve kurulan diğer problemlerde de benzer şekilde H hatasını yapan adayların, çoğunlukla H hatasını da yaptıkları görülmüştür. Verilen işlemde ölçmeden ziyade eşit paylaşım anlamının ön plana çıkarılarak bölen kesir sayısına doğal sayı anlamı yüklenmesinin, parça bütün ilişkisinin kurulamamasını beraberinde getirdiği söylenebilir. Bölümün sorulduğu PKT nin üçüncü maddesine sadece bir aday tarafından problem kurulamamıştır. 6 öğretmen adayının kurdukları problemlerde görülen hata çeşitlerine ait yüzde ve frekans değerleri Tablo te sunulmuştur. Tablo teki verilere göre, öğretmen adayları kurdukları problemlerde toplam 69 hata yapmışlardır. Kurulan problemlerde en az hata H kategorisinde yapılmıştır. Buna karşın öne çıkan hata kategorileri H, H ve H6 dır. Bu hatalar içerisinde H6 ilk sırada yer almaktadır. Bu hata türünü içeren problemlerde adaylar, bölme işlemini karşılayacak ifadeler yerine çarpma işlemini gerektiren ifadeler kullanmışlardır. ÖA6 tarafından yazılan problem cümlesi ve yapılan mülakat şu şekildedir; Ayşen in annesi bir pasta yapıyor ve bu pastanın ünü Ayşen e veriyor. Annesi Ayşen den pastasının sini de kardeşine ayırmasını istiyor. Buna göre Ayşen in kardeşine düşen pasta ne kadardır? A : ÖA6 : A : Problemi nasıl kurduğun hakkında bilgi verir misin? Şimdi burada hani kesirlerde bölme işlemi soruldu. Bende bütünden parçayı aldım sonra da parçadan tekrar bir parça daha aldım. Hani oradan bölmeyi oluşturmaya çalıştım. Problemdeki ifadelerin ile verilen işlemin uyumluluğu hakkında ne düşünüyorsun? Tablo. PKT nin İkinci Maddesine Kurulan Problemlerdeki Hata Çeşitlerine Ait Dağılım Problem Kurma Maddesi H H H H H6 Toplam 8 Y = (6) (9,) (8,) (,) 0(,) (00) Not. Tablodaki veriler frekans(yüzde) şeklinde sunulmuştur. Tablo. PKT nin Üçüncü Maddesine Kurulan Problemlerdeki Hata Çeşitlerine Ait Dağılım Problem Kurma Maddesi H H H H H H6 H Toplam = Y (,) (,8) (,8) (0,) (,9) (,6) (,) 69(00) Not. Tablodaki veriler frekans(yüzde) şeklinde sunulmuştur. 98

11 IŞIK, KAR / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kesirlerde Bölmeye Yönelik Kurdukları... ÖA6 : Burada iki kesir ve arada bölme işareti var ( = Y işlemi kastedilmektedir). Ayşen in annesinin verdiği miktarı, verilen işlemdeki e karşılık düşündüm. Benzer şekilde Ayşen in de kendi pastasından kardeşine verdiği miktarı da işlemdeki e karşılık olarak düşündüm. Annesi Ayşen den pastasının ini de kardeşine A : ayırmasını istiyor ifadesi ile verilen işlemin uyumluluğu hakkında ne düşünüyorsun? İşlemde bölme var aslında karşılamıyor. Bölme ÖA6 : diye düşündüm ama çarpma oluyor galiba. Evet, çarpma oluyor. Yapılan mülakatta adayın bütünden parçayı aldım sonra da parçadan tekrar bir parça daha aldım ifadeleri ile verilen bölme işlemini karşılamaya çalıştığı görülmektedir. Başka bir ifadeyle adayın pastanın Ayşen e düşen lük kısmını parçaya bölmek suretiyle kardeşine verilecek lik kısmını oluşturmaya çalıştığı söylenebilir. Buna karşın bütünden belirli bir parçanın alınması ve bu parçanın tekrar belli bir miktarının alınması, bölme işlemi yerine çarpma işlemini gerektirmektedir. Dolayısıyla adayın yazdığı problem cümlesinde kesirlerde bölme işleminin kavramsal anlamını yansıtamadığı görülmektedir. Bölünenin, bölenden küçük olduğu PKT nin dördüncü maddesine adayların tamamı problem kurmuştur. Kurulan problemlerde görülen hata çeşitlerine ait yüzde ve frekans değerleri Tablo te sunulmuştur. Tablo teki verilere göre öğretmen adayları verilen işleme yönelik kurdukları problemlerde toplam 88 hata yapmışlardır. Kurulan problemlerde en az hata H kategorisinde yapılmıştır. Tablo teki verilere göre, öne çıkan hata türleri ise H, H ve H şeklindedir. Bu hatalar içerisinde H ilk sırada yer almaktadır. Bu hata türünü içeren problemlerde, kesirlerde bölme işlemi yerine parçanın parçaya oranı ve doğru orantı kullanılarak verilen işlemin biçimsel olarak karşılanmaya çalışıldığı görülmüştür. Bu durumları örnekleyen iki aday tarafından yazılan problem cümleleri ve yapılan mülakatlar sırasıyla şu şekildedir; Tuğba bir pastanın 8 ini yemiştir. Şeyma aynı pastanın yarısını yemiştir. Buna göre Tuğba nın yediği pastanın Şeyma nın yediği pastaya oranı nedir? [ÖA] A : ÖA : A : ÖA : Problemi nasıl kurduğun hakkında bilgi verir misin? Bu işleme yönelik problem kurarken oranı kullanmaya çalıştım. Burada 8 i, ye bölme söz konusu. Burada daha küçük bir parçayı daha büyük bir parçaya bölüyoruz. Bende burada Tuğba nın yediği pasta miktarıyla Şeyma nın yediği pasta miktarını oranlayarak verilen işlemi karşılayacağını düşündüm. Gerçek hayata yakın problem kurmada oranlamak işimizi kolaylaştırıyor. Yazmış olduğun problem cümlesinin verilen işleme uygunluğu hakkında ne düşünüyorsun? Uygundur. Kesirlerde bölme işlemini karşılıyor çünkü iki çokluğun karşılaştırılması var burada. Ayrıca problemin çözümünü yaparsak da bölme işlemi gerekiyor. Bir havuzun 8 ini saatte doldurabilen bir musluk bir saatte havuzun ne kadarını doldurur? [ÖA] A : Problemi nasıl kurduğun hakkında bilgi verir misin? Şimdi iki kesir sayısının bölümüne yönelik problem kurmamız isteniyor. Bende düşündüm ki bu ikisini ÖA : (verilen işlemdeki kesir sayıları kastedilmektedir) nasıl birbirine bölebiliriz. Aklıma orantı geldi. O yüzden orantı problemi yazdım. Yazmış olduğun problem cümlesinin kesirlerde bölme işlemine uygunluğu hakkında ne A : düşünüyorsun? ÖA : Soruda zaten kesirlerde bölme işlemine yönelik problem kurulması isteniyor. Bende kurdum. Yoksa yanlış mı çıkıyor, hayır. Çözümünü yaptığımızda işte bir saatte dolduracağı kısım 8 oluyor. Bence tamam. Bu ve yapılan diğer mülakatlarda öğretmen adayları, küçük bir kesrin büyük kesre bölümünü zor bir durum olarak görmüşlerdir. Bunun yanı sıra bazı adaylar, oranlama yoluyla problem kurmanın verilen işlemi gerçek hayat durumlarıyla ilişkilendirmede kolaylık sağladığını da belirtmişlerdir. Kurulan bu tür problemler biçimsel olarak verilen bölme işlemini karşılasa da, kavramsal olarak kesirlerde bölme işleminin yapısına uygun değildir. Kurulan birinci problemde aynı pastanın 8 ve inin iki kişi tarafından yenildiği belirtilmektedir. Proble- Tablo. PKT nin Dördüncü Maddesine Kurulan Problemlerdeki Hata Çeşitlerine Ait Dağılım Problem Kurma Maddesi H H H H H H6 H Toplam 8 = Y (,6) (9,) (6,) (,6) (,) 6(6,8) (,) 88(00) Not. Tablodaki veriler frekans(yüzde) şeklinde sunulmuştur. 99

12 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ min soru kökünde ise yenilen pasta miktarlarının oranı sorulmuştur. Burada oranlanan çokluklar aynı bütüne ait olsalar dahi iki çokluğun kıyaslanması söz konusudur. Benzer şekilde yazılan ikinci problem cümlesinde de oranların eşitliği üzerinden çoklukların kıyaslanması ön plana çıkmıştır. Verilen bölme işleminde bölen doğal sayı olmadığından eşit paylaşım anlamı yerine ölçme anlamı problem kurgusu için daha uygun bir yaklaşım olacaktır. Ancak verilen işlemde bölünen kesir sayısının bölenden küçük olmasının, adayların ölçme anlamını ihtiva eden problemleri oluşturmalarını güçleştirdiği düşünülebilir. Bu güçlüğünde oran-orantı yoluyla problem kurulmasının daha fazla tercih edilmesine neden olduğu söylenebilir. Tartışma Öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik kurdukları problemlerde, birim kargaşası, kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme, oranorantı yoluyla problem kurma, parça-bütün ilişkisini kuramama, bölen kesrin paydasına bölme, bölme yerine çarpma işlemini kullanma ve bölen kesir sayısının ters çevrilerek çarpılması yoluyla problem kurma şeklinde yedi hata türü tespit edilmiştir. Bu hatalardan birim kargaşası, kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme, oran-orantı yoluyla problem kurma, parça-bütün ilişkisini kuramama ve bölme yerine çarpma işlemini kullanma, PKT nin bütün maddelerinde, bölen kesrin paydasına bölme türü hata PKT nin bir, üç ve dördüncü maddelerinde, bölen kesir sayısının ters çevrilerek çarpılması yoluyla problem kurma şeklindeki hata türü ise PKT nin üç ve dördüncü maddelerinde görülmüştür. PKT nde yer alan maddeye 6 öğretmen adayı tarafından verilen yanıtlarda toplam hata yapılmıştır. Bu hataların PKT nde yer alan maddelere olan dağılımı dikkate alındığında, en fazla hata (88 hata) 8 = Y işlemine, en az hata (69 hata) ise = Y işlemine yönelik kurulan problemlerde görülmüştür. Çalışmada ortaya çıkan yedi hata türlerinin sayısı dikkate alındığında, öğretmen adaylarının kesirlerde bölme işlemine yönelik problem kurma becerilerinin düşük olduğu söylenebilir. Bu sonuç, diğer araştırmalardan (Ball, 990; Tirosh, 000; Toluk-Uçar, 009; Utley ve Redmond, 008; Zembat, 00) elde edilen öğretmen adaylarının kesirlerde bölmeye yönelik problem kurma becerilerinin düşük olduğu sonucu ile benzerlik göstermektedir. 6 Bölünenin bilinmediği Y = işlemine yönelik kurulan problemlerde, birim kargaşası ve kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme hata kategorileri ön plana çıkmıştır. Öğretmen adaylarının kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme hatasına düşmelerinde, bölmenin eşit paylaşım anlamına odaklanmaları yer almaktadır. Tirosh (000) bölmenin sadece eşit paylaşım anlamına odaklanılmasının sınırlılıklara neden olduğunu belirtmektedir. Bu çalışmada da adayların bölmenin eşit paylaşım anlamına odaklanarak, lük (parça, kısım...vb.) şeklindeki ifadelere sıklıkla yer vermeleri, kesrine yüklenmeye çalışılan birim anlamının açık ve anlaşılır olmaması şeklindeki sınırlılığın ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bunun yanı sıra, bölmenin ölçme anlamından ziyade eşit paylaşım anlamına odaklanılarak lük (parça, kısım...vb.) şeklindeki ifadelere problemlerde yer verilmesi, işlemdeki diğer kesir sayılarına yüklenen birimler arasındaki uyumsuzlukları da beraberinde getirmiştir. Bu sonuç, Zembat (00) tarafından sınıf öğretmeni adayları ile yapılan çalışmada, kesirlerde bölmeye yönelik kurulan problemlerde birim kargaşası yaşandığı sonucu ile benzerlik göstermektedir. Bölenin bilinmediği 8 Y = işlemine yönelik kurulan problemlerde, kesir sayılarına doğal sayı anlamı yükleme ve parça-bütün ilişkisini kuramama şeklindeki hata kategorileri öne çıkmıştır. Adaylar PKT nin birinci maddesinde olduğu gibi bu maddeye yönelik problem kurmada da bölmenin eşit paylaşım anlamını ön plana çıkarmışlardır. Bölmenin eşit paylaşım anlamında bölünen, bölen kadar eş parçalara (gruplara) ayrılır ve parçaların (grupların) büyüklüğü sorgulanır. Bölmenin eşit paylaşım anlamı bölünen kesir, bölen bir doğal sayı olduğu zaman, bölmenin ölçme (ardışık çıkarma) anlamı ise bölünen ve bölenin kesir olduğu durumlarda daha uygundur (Olkun ve Toluk, 00; Van de Walle, 00). Verilen bölme işleminde bölümün, bölünenden daha büyük olması, bölenin doğal sayı olamayacağına işaret etmektedir. Bu durumu göz ardı edip, böleni bir doğal sayı gibi düşünerek eşit paylaşım odaklı kurulan problemlerde, parça-bütün ilişkisinin sağlanamaması kaçınılmaz olmuştur. 00