ONE DIMENSIONAL CUTTING STOCK PROBLEM: AN APPLICATION ON A COMPANY

Transkript

1 TEK BOYUTLU KESME PROBLEM : B R LETME UYGULAMASI Fatma DEM RCAN Ege Üniversitesi Haluk SOYUER Ege Üniversitesi ÖZET Bu çal mada, Wascher vd. (2007) taraf ndan Tek Boyutlu Çoklu Stok Büyüklüklerinin Kesim Problemi (one-dimensional Multiple Stock Size Cutting Stock Problem) eklinde s n fland r lan problem ele al nm t r. Uygulama, paslanmaz çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin gerçek verileri kullan larak yap lm t r. letme farkl tip ve boylarda hammadde tedarik etmektedir. Çal mada, bu problemin çözümü için iki a amal bir çözüm yöntemi önerilmi tir. lk a amada, olu turulan sezgisel algoritma arac l ile her parça ve alternatif hammadde boyu için alternatif kesim ekilleri elde edilmi tir. kinci a amada, bu algoritma ile elde edilen kesim ekilleri olu turulan tam say l do rusal programlama modeline aktar lm t r. Bu model ile tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum kesim kayb ile kar lanmas için hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti i ve bu hammaddelerin hangi kesim ekilleri ile kaç kez kesilmesi gerekti i belirlenmi tir. Anahtar Kelimeler : Tek Boyutlu Kesme Problemi, Tamsay l Do rusal Programlama, Sezgisel Algoritma ONE DIMENSIONAL CUTTING STOCK PROBLEM: AN APPLICATION ON A COMPANY ABSTRACT In this paper, the problem that is classified as a one-dimensional Multiple Stock Size Cutting Stock Problem by Wascher et al. (2007) is addressed. The real life application of this problem is realized in a company operating in the stainless steel cold forming industry. The company supplies different types and sizes of stocks. This paper proposes a two-stage approach. In the first stage, alternative cutting patterns for each item and each stock size are generated through a heuristic procedure. These patterns are fed into the second stage and an integer linear programming model is solved in this stage.tthe sizes and types of stocks to be supplied and cutting patterns to be applied on the stock types and how many times they will be cut will be determined through this model to fulfill periodic demands of all items with minimum trim loss. Keywords : One Dimensional Cutting Stock Problem, Integer Linear Programming, A Heuristic Approach 835

2 F. Demircan, H. Soyuner 1. G R Günümüz yo un rekabet ko ullar alt nda ayakta kalmak isteyen i letmeler, maliyetlerini minimize etmek ve etkinliklerini artt rmak zorundad r. Ka t, cam, çelik, metal, tekstil, deri vb. birçok endüstride faaliyet gösteren i letme, maliyetlerini ve süreçlerinin etkinli ini önemli ölçüde etkileyen kesme problemleriyle kar kar ya kalmaktad r. Kesme problemleri endüstriden endüstriye hatta i letmeden i letmeye farkl l k gösteren bir problem tipidir. Bu problemlerin ço u, belirli büyüklükteki parçalardan, üretim maliyetlerini ve fire miktar n minimize etmek ya da kar maksimize etmek gibi amaç fonksiyonlar n optimize ederek, belirli büyüklük ve miktarlarda daha k sa parçalar n kesilmesini içerir (Yanasse ve Lamosa, 2006). Büyük boyutlu parçalardan daha k sa parçalar kesilirken genel olarak, Hinxman (1980) taraf ndan ana malzeme (hammadde) seçimi ve kesim kayb olarak adland r lan iki problem ortaya ç kmaktad r. Bu çal mada tek boyutlu bir kesme problemi ele al nacakt r. Tek boyutlu kesme problemleri NP zor olarak nitelendirilen kombinatoryal problemlerden biridir (Garey ve Johnson,1979). Kesme problemleri ile ilgili literatürde çok say da çal ma bulunmaktad r. Bu alanda yap lan çal malar ve geli tirilen çözüm yöntemleri, Gilmore ve Gomory (1961,1963) nin tek boyutlu kesme problemleri ile ilgili do rusal programlama yöntemini kulland çal malardan sonra h z kazanm t r (Chiong vd., 2010). Son dönemlerde yap lan çal malarda kesin çözüm veren modeller ile sezgisel yöntemlerin bir arada kullan m ön plana ç km t r. Aktin ve Özdemir (2009) tek boyutlu kesme problemleri için iki a amal bir yakla m sunmu tur. lk a amada olu turduklar sezgisel algoritma arac l yla kesim ekli alternatifleri olu turulup, ikinci a amada kesim plan kararlar vermi lerdir. ki a amada da tamsay l do rusal programlamay kullanm lard r. Wongprakornkul ve Charnsethikul (2010) tek boyutlu kesme problemi için kesikli talep durumunda stoklama maliyetlerini de göz önünde bulunduran iki algoritma önermi tir. Bunlardan ilki sütun olu turma tekni ine dayal bir matematiksel model, ikincisi yap c bir sezgisel algoritmad r. Reinertsen ve Vossen (2010), sipari lerin termin zamanlar ndan önce tamamlanmas k s t n n oldu u kesme problemlerinin çözümü için en iyileme modelleri geli tirmi lerdir. Bu modellerde, sipari lerin zaman nda kar lanmas na, hammadde firelerinin minimizasyonundan daha çok önem verilmi tir. Geli tirdikleri modellerin çözümünde sütun olu turma prosedürlerini ve en k sa yol algoritmas n kullanm lard r. Bu çal mada, stoklarda s n rl say da bulunan farkl uzunluktaki, çok say da hammaddenin, tek boyutlu olarak küçük parçalar halinde kesildi i, Wascher vd. (2007) taraf ndan Tek Boyutlu Çoklu Stok Büyüklüklerinin Kesim Problemi (one-dimensional Multiple Stock Size Cutting Stock Problem- MSSCSP {1}-boyutlu) eklinde s n fland r lan problem incelenecektir. MSSCSP {1}-boyutlu problem tipi ile ilgili literatürde az say da çal ma bulunmaktad r (Araujo vd.,2010). Belov ve G. Scheithauer (2002) ve Alves ve Carvalho (2008) bu problem için kesin çözüm algoritmalar kullan rken, Lu vd. (2008), Poldi ve Arenales (2009) ve Araujo vd. (2010) sezgisel algoritmalardan yararlanm t r. Bu çal mada paslanmaz çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin kesme problemi ele al nacakt r. Bu i letme 9 tipte hammadde tedarik etmektedir. Tüm hammadde tipleri için 3000, 4000 ve 6000 mm olmak üzere üç alternatif hammadde boyu bulunmaktad r. letme bir hammadde tipinden birden fazla ürün için kesim yap labilmekte; ancak bir ürün yaln zca bir tip hammaddeden kesilebilmektedir. Problem bir sonraki bölümde detayl olarak anlat lacakt r. Çal mada, bu problemin çözümü için iki a amal bir çözüm yöntemi önerilmi tir. lk a amada, olu turulan sezgisel algoritma arac l ile her parça ve alternatif hammadde boyu için göz önünde bulundurulan durumlar alt nda en az kesim kayb n veren kesim ekilleri elde edilecektir. kinci a amada, bu algoritma ile elde edilen kesim ekilleri, alternatif kesim ekilleri olarak, olu turulan tam say l do rusal programlama modeline aktar lacakt r. Bu model ile tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum kesim kayb ile kar lanmas için hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti i ve bu hammaddelerin hangi kesim ekilleri ile kaç kez kesilmesi gerekti i bulunacakt r. Bir sonraki bölümde, ele al nan problem ayr nt l bir ekilde aç klanacakt r. Sonraki bölümlerde sezgisel algoritma ve do rusal programlama modelinden bahsedilecek ve elde edilen sonuçlar sunulacakt r. 2. PROBLEM Bu çal mada çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin MSSCSP {1}- boyutlu problemi, i letmenin gerçek verileri kullan larak ele al nm t r. Bu i letme, çe itli uzunluklarda çubuk, profil ve boru tedarik etmektedir. Tablo.1 de hammadde tip ve boylar gösterilmi tir. 836

3 XI. Üretim Ara t rmalar Sempozyumu, Haziran 2011 Tablo 1. Hammadde Tip ve Boylar Hammadde Tipi 10 x 1,20 mm boru 10 x 20 x 1,20 mm profil Alternatif Hammadde Boylar 12 x 1,20 mm boru 3000 mm 14 x 1,20 mm boru 4000 mm 22 x 1,20 mm boru 6000 mm 34 x 1,00 mm boru ÇAP 12 mm çubuk ÇAP 7 mm çubuk ÇAP 8 mm çubuk Tedarik edilen bu hammaddeler, 50 den fazla üründe kullan lmaktad r. Ürünler sistemin gereksinimlerine göre indirgendi inde toplamda 46 ürün elde edilmektedir. Ürünlerin talepleri y ll k olarak al nmaktad r. letme, belirli uzunluklarda tedarik etti i hammaddeleri pres ve testerelerde kesmektedir. letme, bir boy çubuk veya borudan birden fazla ürün için kesim yapabilmektedir, ancak bir ürün sadece bir tip hammaddeden kesilebilmektedir. Kesim sürecindeki önemli maliyet unsurlar ndan biri, hammaddelerden birden fazla ürün için kesim yap ld nda ortaya ç kmaktad r. Ürünler için kesim yap l rken, ürünlerin özelliklerine ba l olarak farkl kal plar kullan lmaktad r. Bir boy hammaddeden birden çok ürün için kesim yap lmak istendi inde, ürün tipine ba l olarak kal p de i imi ve çe itli ayarlar yap lmas gerekmektedir. Bu, i letme için ciddi bir maliyet unsurudur. Bunun yan s ra bir boy hammaddeden ikiden fazla ürün kesildi inde bu kalan parçalar n stoklanmas ve hangi ürün kesilece ini belirtecek ekilde stoklamak da sistemde sorunlara yol açacakt r. Bu nedenle i letme, bir boy hammaddeden mümkün oldu u kadar tek tip ürün için parça kesimi yapmaktad r. Bu kesim sonras hammaddeden kalan parça ba ka bir ya da birkaç ürün için kullan labilecek boyda ise kullan lmakta, kullan lamayacak boyda ise hurdaya ayr lmaktad r. Bu da i letme için ciddi bir maliyet unsurudur. Bu çal mada i letmenin hammadde kesim sürecinde en ciddi maliyet pay n olu turan bu iki unsur göz önünde bulundurularak, bu sürecin minimum maliyetle gerçekle mesini sa layacak, i letmenin amac na uygun kesim planlar n n çok k sa sürede olu turulmas hedeflenmektedir. Bu amaçla, kesim s ras ndaki parça tiplerindeki geçi lerde ya anan s k nt lar ve ortaya ç kan maliyetleri en aza indirgemek amac ile öncelikle bir boy hammaddeden en fazla iki tip parça kesimine izin veren bir sezgisel algoritma olu turulmu tur. Bu sezgisel algoritma ile elde edilen kesim ekilleri, ikinci a amadaki do rusal programlama modeline aktar lm t r. Geli tirilen sezgisel algoritma bir sonraki bölümde ayr nt l olarak aç klanmaktad r. 3. SEZG SEL ALGOR TMA Kombinatoryal problemlerden biri olan kesme problemlerinde, problemin boyutu artt kça makul sürelerde en iyi çözümlerin elde edilmesi oldukça zorla maktad r. Bu çal mada ele al nan problemde, 9 tip ve 3 farkl boyda hammaddeden 46 farkl ürün için parça kesimi yap lmaktad r. Problemin boyutu dü ünüldü ünde, tüm alternatif kesim ekillerinin belirlenmesi ve en dü ük fire miktar ve ayar süresini veren optimum kesim planlar n n olu turulmas n n makul sürelerde gerçekle tirilemeyece i görülmektedir. Bu nedenle, tüm olurlu kesim ekillerini bulmak yerine, i letmenin amaçlar na uygun alternatif kesim ekillerini elde etmek istenmi tir. Bu amaçla olu turulan sezgisel algoritman n i leyi yap s ve ad mlar a a da aç klanm t r: Parametreler: i parça indisi; i=1,,..,,i m parça seti elemanlar indisi j kesim ekli indisi; j=1,,j k hammadde indisi; k=1,..,k 837

4 F. Demircan, H. Soyuner L k k hammaddesinin boyu l i i parças n n boyu nmax i k hammaddesinden i parças n n kesilebilece i maksimum say (L k -nmax i *l i < l i ) kalan ki1 k hammaddesinden i parças n n nmax i kere kesimi sonucu kalan miktar kalan ki2 k hammaddesinden i parças n n nmax i -1 kere kesimi sonucu kalan miktar kalan kim1 k hammaddesinden i parças n n nmax i kere kesimi sonras m parças n n nmax m defa kesimi sonucu kalan miktar kalan kim2 k hammaddesinden i parças n n nmax i -1 kere kesimi sonras m parças n n nmax m defa kesimi sonucu kalan miktar Algoritma: I. k hammaddesinin ilk alternatif boyundan ba layarak tüm alternatif boylar için a a daki ad mlar uygula ( lk olarak 3000, daha sonra 4000 ve son olarak 6000 mm) II. III. IV. k hammaddesinden kesilebilen parça setini, parça numaras na göre küçükten büyü e s rala ( k için) parça setinin ilk eleman ndan son eleman na kadar s ras ile a a daki ad mlar uygula kalan ki1 ve kalan ki2 de erlerini hesapla V. parça listesindeki di er parçalar için (m i) s ras ile VI. VII. VIII. IX. kalan ki1 > l m ise - kalan kim1 de erini hesapla kalan ki2 > l m ise - kalan kim2 de erini hesapla kalan ki1 < l m ise kalan ki1 de erini kaydet kalan ki2 < l m ise kalan ki2 de erini kaydet Yukar da aç klanan algoritma C# dilinde kodlanm t r. Bu algoritma ile her parça ve o parçan n kesiminin yap laca hammaddenin 3 boyu için, kesime o parça ile ba lanan en az birer tane kesim ekli elde edilmi tir. Her kesim eklinde en fazla iki tip parça yer almaktad r. Bu, kesim s ras ndaki parça tiplerindeki geçi lerde ya anan s k nt lar azaltacakt r. Algoritma 1 saniyenin alt nda bir sürede çözüm vermektedir. 9 hammaddenin 3000 mm lik boyu için 47, 4000 mm için 49 ve 6000 mm için 48 kesim ekli elde edilmi tir. A a da, algoritman n çözümü sonucu elde edilen kesim ekillerinden örnekler verilmi tir hammadde 3000 mm 1. parça kesim say s : 28, 5. parça kesim say s :1, fire miktar : 3.8 mm hammadde 4000 mm 15. parça kesim say s : 21, 16. parça:1, fire miktar : 2.4 mm hammadde 6000 mm 43. parça kesim say s :11, 35. parça kesim say s : 1, fire miktar : 18 mm ekil 1. Örnek Kesim ekilleri 838

5 XI. Üretim Ara t rmalar Sempozyumu, Haziran 2011 ekil 1 de, sezgisel algoritman n çözümü ile elde edilen kesim ekillerinden üç tanesi verilmi tir. K rm z ile boyanm bölüm, hammadde fire miktar n göstermektedir. Verilen ilk örnekte 8. hammaddenin 3000 mm lik boyundan 1. parça 28 kez, 5. parça 1 kez kesilmi tir. Hammaddenin sonunda kalan 3.8 mm lik bölüm fire miktar d r. Bu algoritma ile elde edilen kesim ekilleri, tüm olurlu kesim ekilleri içinde en az fireyi veren optimum kesim ekilleri de ildir. Burada amaç, kesim i lemi s ras ndaki parça tipi de i imlerinden ve hammadde fire miktarlar ndan do an maliyetleri ayn anda en aza indirgemeye çal an, amaca uygun kesim ekillerine k sa sürede ula abilmektir. Bu a amada elde edilen alternatif kesim ekilleri, bir sonraki bölümde aç klanacak olan tam say l do rusal programlama modeline girdi olarak sunulmu tur. 4. MATEMAT KSEL MODEL Sezgisel algoritma ile kesim plan na al nabilecek alternatif kesim ekillerinin olu turulmas ndan sonra, tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum fire miktar ile kar lanmas için bu alternatiflerden hangilerinin kaç kez kullan laca n n ve hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti inin belirlenmesi gerekmektedir. Bu amaç ile a a da belirtilen tam say l do rusal programlama modeli olu turulmu tur. Matematiksel modelde, sezgisel algoritmada kullan lan parça ve hammadde indisleri kullan lm t r. Bunlar d nda kullan lan parametre ve karar de i kenleri a a da belirtilmi tir. Parametreler talep i i. parçan n talebi ks ji j. kesim eklinde i parças n n kesim say s fire kj k. hammaddenin j kesim ekli ile kesilmesi sonucu ortaya ç kan fire miktar M kj k. hammadde j. kesim ekliyle kesilebiliyorsa 1, di er türlü 0 Ck k hammaddesinden mevcut olan miktar Karar De i keni X j Min Z= s.t. j. kesim eklinin kesim plan ndaki kullan m say s K, J k 1, j 1 fire kj. X j (1) ks ji. X j. M kj talep i i için (2) ks ji. X j. M kj 1.1. talep i i için (3) J j 1 X j * M kj C k k için (4) X j 0 ve tam say j için (5) Amaç fonksiyonu (1) tüm hammadde tip ve boylar için, toplam fire miktar n minimize etmeyi amaçlamaktad r. Modeldeki ilk k s t (2), tüm parçalar n talep miktarlar n n kar lanmas n garanti eder. Burada her parçan n talebi, parçan n kesilebilece i hammaddenin tüm boylar için, sezgisel yöntem ile elde edilen kesim ekillerinden seçilenlerin X adet kullan lmas ile kar lanmaktad r. (3) numaral k s t ise her parçan n y ll k olarak kesilecek miktar n n parçan n y ll k talebini, talebinin %10 undan daha fazla a mamas için yaz lm olan k s tt r. letme, mü terileri ile yapm oldu u anla malara göre her ürün için y ll k talep miktar n n %10 alt ya da üstündeki talep de i imlerini kar layabilmelidir. Bu nedenle matematiksel modelde böyle bir k s ta yer verilmi tir. Bir sonraki k s t (4), her hammadde tipi için kesim plan na al nacak olan miktar n, stokta bulunan hammadde miktar n a amayaca n ifade etmektedir. Bu çal mada ele al nan problemde tüm hammadde tip ve boylar için stoklarda s n rl fakat tüm ürünler için gerekli olan parçalar kesmeye yetecek düzeyde stok bulunmaktad r. (5) numaral k s t ise her kesim eklinin kesim plan na kaç kez al nd n gösteren X karar de i keninin 0 ya da pozitif bir tamsay olmas gerekti ini ifade etmektedir. 839

6 F. Demircan, H. Soyuner Tablo 2. Parça Tiplerinin Y ll k Kesim Miktar - Hammadde Tipi ve Boyu çin Y ll k Gerekli Miktarlar Parça Tipi Kesilecek Parça Miktar Talep Fark Hammadd e Tipi 3000 mm 4000 mm 6000 mm Bu matematiksel modelin çözümüyle i letme, tüm parçalar n y ll k taleplerini en az toplam kesim kayb yla kar lamak için 9 tip hammaddenin üç farkl boyundan kaçar adet kullanmas gerekti ini bulacakt r. Model Lingo 9 program ile 9 saniyede global optimum sonuç vermi tir. Modelin sonuçlar na göre her hammadde tipi ve boyu için y ll k gerekli miktarlar, her parça tipinin y ll k kesim miktar ve y ll k talep ile kesim miktar aras ndaki farklar Tablo 2 de verilmi tir. 840

7 XI. Üretim Ara t rmalar Sempozyumu, Haziran 2011 Matematiksel modelin sonuçlar na göre, i letme tüm ürünlerin y ll k talebini kar lamak için toplam olarak adet hammadde tedarik etmelidir. Bu hammaddelerin tanesinden sadece tek tip parça kesilmelidir. Geriye kalan adet hammaddeden ise iki tip parça kesimi yap lmal d r. Mevcut durumda i letme, kesim i lemini bütünsel bir süreç olarak ele almamaktad r. Bir hammadde boyundan kesim yaparken mümkün oldu unca tek tip parça kesmekte, kesim sonras kalan parça kullan labilir uzunlukta ise bu parçadan bir ya da birkaç ürün için kesim yapmaktad r. Kesilecek tüm hammaddeler için bu i lemi ayr ayr gerçekle tirmektedir. Bu çal mada önerilen iki a amal yöntem ile i letme, tüm kesim sürecini, ayar sürelerini de göz önünde bulundurarak en az fire ile gerçekle tirmi olacakt r. Önerilen yöntem tüm süreci göz önünde bulundurdu u ve bir hammaddeden en fazla iki tip parça kesimine izin verdi i için i letme ayar sürelerinde ciddi azalma ya ayacakt r. Ayn zamanda önerilen yöntem ile i letme, mü terileri ile yapm oldu u anla malarda belirtilmi olan maksimum talep de i ikli i oran n göz önünde bulundurarak kesim yapm olacakt r. Bu yöntemin alternatif algoritmalardan çözüm süresi d ndaki fark olarak, i letmenin kesim sürecini uzun dönemli olarak ele almas ve talep de i kenli i üst limitini göz önünde bulundurmas söylenebilir. 5. SONUÇ VE DE ERLEND RME Bu çal mada çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin MSSCSP {1}- boyutlu problemi, i letmenin gerçek verileri kullan larak ele al nm t r. letme 9 tipte ve 3 farkl boyda hammadde tedarik etmekte ve bu hammaddelerden 46 tipte parça kesilmektedir. Kombinatoryal problemlerden biri olan kesme problemlerinde, bu boyuttaki bir problem için makul bir sürede optimal çözüm elde etmek oldukça zordur. Bu nedenle, i letmenin kesim sürecindeki en önemli iki maliyet unsuru olan toplam fire miktar ve kesim s ras nda parça de i imleri s ras ndaki ayar sürelerini göz önünde bulunduran bir sezgisel algoritma geli tirilmi tir. Bu algoritma ile 1 saniyenin alt nda bir sürede her parça ve hammadde boyu için alternatif kesim ekilleri olu turulmu tur. Olu turulan bu kesim ekilleri, tam say l do rusal programlama modeline aktar lm t r. Bu modelde, tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum kesim kayb ile kar lanmas için hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti i ve bu hammaddelerin hangi kesim ekilleri ile kaç kez kesilmesi gerekti i belirlenmi tir. Modelde ayn zamanda, i letmenin her parça için y ll k parça kesiminin, talebin %10 undan daha fazla yap lmamas sa lanm t r. Çal mada önerilen iki a amal yöntem, çok k sa sürede i letmenin problemine çözüm bulabilmekte, kesim s ras ndaki parça de i imlerindeki ayar sürelerini de göz önünde bulundurarak toplam fire miktar n minimize etmektedir. KAYNAKÇA Aktin, T. ve Ozdemir, R.G. (2009), An integrated approach to the one-dimensional cutting stock problem in coronary stent manufacturing, European Journal of Operational Research, 196: Alves, C., Carvalho, J. M. V. (2008), A stabilized branch-and-price-and-cut algorithm for the multiple length cutting stock problem, Computers and Operations Research, 35: Araujo, S.A., Constatntino, A.A. ve Poldi, K.C.(2011), An evolutionary algorithm for the onedimensional cutting stock problem, International Transactions in Operational Research, 18 (1): Belov, G. ve Scheithauer, G. (2002), A cutting plane algorithm for the one-dimensional cutting stock problem with multiple stock lengths, European Journal of Operational Research, 141: Chiong, R. (2007), A Comparison between Genetic Algorithms and Evolutionary Programming based on Cutting Stock Problem, Engineering Letters, 14:1. Garey, M.R. ve Johnson, D.S. (1979), Computers and intractability:a guide to the Theory of NP- Completeness, W.H. Freeman and Company, San Francisco, CA, USA. Gilmore, P.C. ve Gomory, R.E. (1961), A linear programming approach to the cutting stock problem, Operations Research, 9: Gilmore, P.C., Gomory, R.E. (1963), A linear programming approach to the cutting stock problem part II, Operations Research, 11:

8 F. Demircan, H. Soyuner Hinxman, A. (1980), The trim-loss and assortment problems: A survey, European Journal of Operational Research, 5: 818. Jahromi, M.H.M.A, Tavakkoli-Moghaddam R., Givaki E. ve Rezapour-Ziba A. (2011), A Simulated Annealing Approach for a Standard One-Dimensional Cutting Stock Problem, International Journal of Academic Research, 3(1): Lu, Q., Wang, Z. ve Chen M. (2008), An Ant Colony Optimization Algorith for the One-Dimensional Cutting Stock Problem with Multiple Stock Lengths, Proceeding ICNC '08 Proceedings of the 2008 Fourth International Conference on Natural Computation, Vol: 07. Poldi, K. C., Arenales, M. N. (2009), Heuristics for the one dimensional cutting stock problem with limited multiple stock lengths,computers and Operations Research, 36: Reinertsen, H. ve Vossen, T.W.M. (2010),The one-dimensional cutting stock problem with due dates, European Journal of Operational Research, 201: Wascher, G., Haubner, H. ve Schumann, H. (2007), An improved typology of cutting and packing problems, European Journal of Operational Research, 183: Wongprakornkul, S. ve Charnsethikul, P. (2010), Solving One-Dimensional Cutting Stock Problem with Discrete Demands and Capacitated Planning Objective,Journal of Mathematics and Statistics, 6(2): Yanasse, H. H. ve Lamosa, M.J.P. (2006), An integrated cutting stock and sequencing problem, European Journal of Operational Research, 183(3):