Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını Geliştirmeye Yönelik Bir Eylem Araştırması

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. DOI: /estp Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını Geliştirmeye Yönelik Bir Eylem Araştırması Ayten Pınar BAL a Çukurova Üniversitesi Ahmet DOĞANAY b Çukurova Üniversitesi Öz Matematiksel düşünmenin geliştirilmesi yaşamda karşılaşılan problemlerin çözümünde önemli bir rol oynamaktadır. Problemleri çözebilmek için onlarla ilgili değişkenleri belirleyip modelleme ve gerekli işlem adımlarını belirleyerek çözme, matematiksel düşünmenin özünü oluşturmaktadır. Matematiksel modelleme, gerçek yaşamdaki düşünceleri matematiksel bilgilerle ve becerilerle bağlantılar kurarak açıklama fırsatı sunar. Matematik eğitimiyle ilgili araştırmalar problemlerin çözümünde modelleme yapma konusunda sorunlar yaşandığını göstermektedir. Bu araştırma, sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme sürecini anlamalarını sağlamak amacıyla eylem araştırması modelinde desenlenmiştir. Araştırmanın çalışma grubunu öğretim yılında bir devlet üniversitenin sınıf öğretmenliği ana bilim dalına devam eden toplam 36 birinci sınıf öğrencisi oluşturmuştur. Çalışma grubunun belirlenmesinde amaçlı örneklem yöntemlerinden ölçüt örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Veri toplama araçları araştırmacılar tarafından hazırlanılan matematiksel modelleme, kavrama ve işlem testleri ile eylem planları çerçevesinde oluşturulan haftalık değerlendirme testlerinden (değişken testi I-II, model oluşturma testi ve model çözümleme) oluşmaktadır. Araştırmanın başlangıcında öğretmen adaylarının matematiksel problemlere ilişkin modellemeler oluşturamadıkları görülmüştür. Uygulanan eylem planı sonucunda öğretmen adaylarının problemleri kavrama başarılarının yükseldiği, işlem başarılarının arttığı ve verilen problemlere ilişkin modellemeler oluşturabildikleri gözlenmiştir. Anahtar Kelimeler Eylem Araştırması, Matematik, Matematiksel Modelleme, Problem Çözme, Sınıf Öğretmeni Adayları. Son yıllarda matematik eğitimi alanında en çok tartışılan konulardan biri matematiğin günlük yaşama aktarımını ele alan matematiksel modelleme kavramıdır (Blum ve Ferri, 2009). Genel anlamı ile model, karmaşık bir nesnenin veya sürecin basitleştirilmiş bir şekli iken modelleme, birçok aşamadan oluşan etkinlikleri kapsayan karmaşık bir süreçtir (Maull ve Berry, 2001). Sriraman (2005) da modellemenin bir problem durumundaki süreç olduğunu, modelin ise modelleme sürecinin sonunda elde edilen ürün olduğunu belirtmektedir. Bu bağlamda, model, belirli bir modelleme yeterliliği ile birlikte belirli bir süreç sonunda oluşturulur (Güneş, Gülçiçek ve Bağcı, 2004). Modellemenin amacı ise yorumlama, düzenleme, bir sonucu ulaşmak için çeşitli olasılıkları deneme ve daha derin olayların anlaşılmasını kolaylaştırmadır (Budinsk, 2010). Modelleme kavramı özellikle matematik eğitiminde matematik ile gerçeklik arasındaki ilişki bağlamında a Sorumlu Yazar: Dr. Ayten Pınar BAL İlköğretim alanında yardımcı doçenttir. İletişim: Çukurova Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Sınıf Öğretmenliği Ana Bilim Dalı, Adana. Elektronik posta: apinar@cu.edu.tr b Dr. Ahmet DOĞANAY Eğitim Programları ve Öğretim alanında doçenttir. İletişim: Çukurova Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Eğitim Bilimleri Bölümü, Eğitim Programları ve Öğretim Ana Bilim Dalı, Adana. Elektronik posta: adoganay@cu.edu.tr

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ kullanılmaktadır (Blum ve Niss, 1991). Modelleme süreci öğrencilerin gerçek yaşam problemlerini çözebilmek için çabaladıkları süreçlerdir (Lesh ve Doerr, 2003). Bu süreçler problemin tanımlanması, model oluşturulması, matematiksel model ile gerçek problem arasında ilişki kurulması, gerçek problem durumunun yordanması ve gerçek durumun doğrulanmasını içerir. Bu paralelde matematiksel modelleme, gerçek yaşamdaki bir problemin matematiksel bir model yardımıyla basitleştirilmiş bir şekilde sunulmasıdır (Voskoglou, 2006). Cheng e (2001) göre de matematiksel modelleme, gerçek yaşam problemlerinin matematiksel terimlerle gösterilmesi, matematik diline çevrilmesi sürecidir. Bu süreçte yer alan etkinlikler gerçek yaşamda yer alan problemleri daha kolay görebilmemizi, matematiksel bilgilerle ilişkilendirebilmemizi, sınıflandırabilmemizi, genelleyebilmemizi ve sonuç çıkarabilmemizi kolaylaştırır (Schwarz ve Kaiser, 2007; Sriraman, 2005). Berry ve Nyman a (1998) göre matematiksel modelleme sürecinde önce gerçek yaşam problemi matematiksel problem biçiminde ele alınır, sonra matematiksel problem bilinen teknikler kullanılarak çözülür ve elde edilen sonuç gerçek yaşam durumuna uyarlanarak yorumlanır. Ferreira ve Jacobini e (2009) göre matematiksel modelleme, öğrencilere, farklı alanlardaki fikirlerini kullanmak ve onlarla mantıksal bağlantı kurmak için mükemmel fırsatlar sunarken gerekli matematiksel bilgiyi ve becerilerini gerçek yaşamdaki problemlere uygulayabilme davranışı da kazandırır. Matematik öğretim programlarının en önemli amaçlarından biri matematiksel düşünme gücü gelişmiş öğrencilerin iyi birer problem çözücü olarak yetiştirilmesidir (MEB, 2011). Bu bağlamda, geleneksel işlem odaklı matematik öğretimi yerine matematiksel kavramların sınıf ortamında yapılandırıldığı ve kavramsal bir yaklaşımı esas alan matematiksel modelleme etkinlikleri büyük önem taşımaktadır (Doerr ve English, 2003; English, 2006). Ancak programlarda yer alan problemlerin çevreden kopuk, yapay ve amaca uygun olarak yapılandırılmamış olması modelleme süreçlerinde öğrencilerin gerçek yaşamla matematiksel durumlar arasında ilişki kurmalarında çeşitli sorunlara yol açmaktadır. Başka bir ifade ile öğretim programlarında matematiksel modelleme ile ilgili problemlerin iyi tanımlanmış olması, birçok alanla ilgili durumları içermesi (Cheng, 2001), zenginleştirilmiş bilgileri ve bilişsel süreçleri kapsaması (Eric, 2009) gerekmektedir. Matematiksel modelleme öğrencilerin matematiği farklı yollarla öğrenebilmesini (Zbiek ve Conner, 2006) ve günlük yaşamda kullanabilme becerilerini geliştirirken (Schwarz ve Kaiser, 2007) aynı zamanda onlara öğrendiklerini düşünebilme becerisi de kazandırır (Zbiek ve Conner, 2006). Öğretmenlerin modelleme etkinliklerini geliştirmelerinin üç amacı vardır: Bunlar öğrencilerde var olan düşünme yollarını ortaya çıkarma, akranlarının aynı konudaki görüşlerini ve düşünme yollarını paylaşma ve çoklu konularda düşünme yollarını tekrar kullanmadır. Modelleme süreci, hem öğretmenler hem de öğrenciler açısından zengin bir matematiksel içeriğin yorumlanmasında, algılanmasında ve düşünme becerilerinin gelişiminde önemli bir faktördür. Öğretmenlerin hepsinin modelleme etkinliklerinde aynı noktadan başlamaları, aynı yorumları yapmaları ya da örüntüleri kurmaları beklenmez (Doerr ve English, 2003). Buraya kadarki açıklamalardan da anlaşıldığı gibi matematiksel modelleme etkinlikleri öğrencilerin matematiksel düşünme becerilerinin gelişiminde oldukça önemli olup (English, 2006; English ve Watters, 2004; Zawojewski ve Lesh, 2003) bu becerilerin gelişimi öğretmenlere bağlıdır (Doerr ve English, 2003). Bu nedenle bu becerilerin öğrencilere kazandırılması sürecinde öğretmenlere önemli görevler düşmektedir (Ferri ve Blum, 2009; Niss, Blum ve Galbraith, 2007). Ancak, literatür incelendiğinde modelleme konusunda öğretmen adaylarının matematiksel modelleme süreçlerinde önemli problemler yaşadıkları görülmektedir (Blomhoj ve Kjeldsen, 2006; Caldeira, 2009; Csikos, Szitanyi ve Kelemen, 2011; Çiltaş ve Işık, 2013; Doyle, 2006; Dowlath, 2008; English ve Watters, 2004; Eraslan, 2011; Kertil, 2008; Keskin, 2008; Mousoulides ve English, 2008; Mousoulides, Sriraman, Pittalis ve Christou, 2007; Sriraman, 2005; Tekin-Dede ve Bukova-Güzel, 2013). Örneğin; Keskin (2008), araştırmasında matematik öğretmeni adaylarının modelleme konusunda bilgilerini, becerilerini ve görüşlerini durum analizi yöntemi ile incelemiştir. Araştırmanın sonucunda matematik öğretmeni adaylarının ön matematiksel modelleme testinde oldukça zorlandıkları ancak bir dönem boyunca teorik modelleme konusunda verilen bilgiden ve örneklerden sonra son matematiksel modelleme testinde daha başarılı oldukları sonucuna ulaşılmıştır. Yine, Eraslan (2011) da ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının model oluşturma etkinliklerini ve bunların matematik öğrenimine etkilerini incelediği araştırmasında, öğretmen adaylarının modelleme sürecinde belirsizlikler yaşadıkları sonucuna ulaşılmıştır. Benzer şekilde Kertil (2008) de matematik öğretmeni adaylarının problem çözme becerilerini matematiksel modelleme süreçlerine nasıl yansıttıklarını incelediği çalışmasının sonucunda, öğretmen adaylarının problem çözme sü- 1364

3 BAL, DOĞANAY / Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını... reçlerinde modelleme becerilerinin yeteri kadar iyi olmadığı ve modelleme etkinliklerine çok yabancı oldukları sonucuna ulaşılmıştır. Öte yandan, Dowlath (2008) da araştırmasında öğretmen adaylarının gerçek sözel problemleri çözmede kullandıkları farklı stratejileri ve modelleri araştırmıştır. Dowlath, araştırmanın sonucunda öğretmen adaylarının matematiksel modelleme konusundaki bilgilerinin yeterli olmadığını ve gerçek sözel problemlerin çözümünde öğretmen adaylarının standart bir stratejiyi kullandıklarını ortaya çıkarmıştır. Genel olarak literatürde matematiksel modelleme konusunda yapılan araştırmalar ya deneysel çalışmalar (Csikos ve ark., 2011; Dowlath, 2008; English, 2006; Mousoulides, Chrysostomou, Pittalis ve Christou, 2009; Mousoulides, Christou ve Sriraman, 2008) ya da durum araştırması (Bukova-Güzel ve Uğurel, 2010; Eraslan, 2011; Ferri ve Blum, 2009; Keskin, 2008; Taşova ve Delice, 2012) olarak göze çarpmaktadır. Bu çalışmada ise araştırmanın örneklemini oluşturan öğretmen adayları için yeni bir konu olan modelleme kavramı hakkında var olan durumları irdelemek, süreçte karşılaşılan zorluklar belirlemek ve bu yönde eğitim vermek amacıyla araştırmacılar tarafından eylem araştırması modeli tercih edilmiştir. Bu genel amaç doğrultusunda aşağıdaki sorulara yanıt aranmıştır. problemlerin belirlenmesi ve çözüm önerilerinin getirilmesini kapsadığını belirtmiştir. Creswell e (2008) göre eylem araştırmaları, öğretmenleri ya da eğitimcileri araştırmanın içine katarak uygulama sürecindeki sorunlara sistematik biçimde çözüm yolu ararlar. Ayrıca, araştırma sürecinde katılımcı ve araştırmacılar sorunun çözümü için ortak çalıştıkları için işbirliklidir (Cohen ve Manion, 1994, s. 186). Eylem araştırması problem çözmeye yönelik ve devamlılık gösteren bir süreçtir (Ekiz, 2003; Neumann, 2006; Punch, 2005). Eylem araştırmaları genellikle planlama (planning), işlem (acting), gözlem (observing) ve değerlendirme-yansıtma (reflecting) aşamalarını kapsayan bir döngüden oluşur (McNiff ve Whitehead, 2002; Richards ve Lockhart, 1997). Matematiksel modelleme konusunda yapılan bu çalışmada eylem araştırması döngüsel olarak Şekil 1 de yer almaktadır. 1) Sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme sürecinde kavram ve işlem odaklı başarıları nasıldır? 2) Sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme kavrayışlarını geliştirmek için neler yapılabilir? 3) Sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme kavrayışlarını geliştirmek için uygulanan etkinlikler modelleme kavrayışını ne derece geliştirmiştir? Yöntem Araştırma Modeli Bu araştırma sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme sürecini kavramalarını geliştirmeye yönelik bir eylem araştırmasıdır. Eylem araştırması, sınıfta yaşanan problemlerin çözümlenmesi için bilimsel yöntemlerin uygulaması sürecini içerir (Gay, 1987; Neumann, 2006). Eylem araştırmaları uygulama odaklı olup temelinde, var olan sorunlara çözüm önerileri getirme amacı vardır (Creswell, 2008; Gay, 1987). Bu kapsamda Lim (2007) de eylem araştırmalarının genellikle sınıf ya da okul içinde öğrenme ve öğretme odaklı Şekil 1 Eylem Araştırmasının Döngüsü Şekil 1 de görüldüğü gibi bu döngüde ilk aşama, çözülmesi gereken sorunun tanımlanması ve bu sorunun çözülmesi için yapılması gerekenlerin planlanmasıdır (Eylemi planlama). İkinci aşamada planlanan eylem uygulanır (Uygulama). Üçüncü aşamada uygulama süreci ve sonucu hakkında veriler toplanır ve analiz edilir. Değişimin nasıl, neden ve ne kadar gerçekleştiği yapılan analizler sonucu gözlemlenir (Gözlem). Son aşamada ise gözlem sonuçları ışığında eylemin etki ve başarısı, eksik yönleri ve sorunun eylem sonrasındaki durumu kapsamlı bir biçimde değerlendirilir (Yansıtma-Değerlendirme). Elde edilen veriler ışığında eylem gözden geçirilerek yeniden planlanır. Gözden geçirilen eylem yeniden uygulanır. Bu döngü araştırma kapsamında sırasıyla aşağıdaki biçimde uygulanmıştır. 1365

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ İlk olarak araştırmaya katılan öğretmen adaylarının matematiksel modelleme konusunda yeterliliklerini belirlemek üzere on beş sorudan oluşan matematik ön kavrama testi ve aynı paralelde düzenlenen ön işlem testi uygulanmıştır. Yapılan analiz sonucunda öğretmen adaylarının modelleme oluşturma sürecinde beklenen başarıyı gösteremedikleri sonucuna ulaşılmıştır. Bunun üzerine öğretmen adaylarının modelleme testinde yaptıkları hataların neler olduğu belirlenmiştir. Yapılan hatalar sırasıyla değişkenlerin belirlenmesi, modelin oluşturulması ve modelin çözümlenmesi olarak üç kategoridedir. Bu kategoriler öğrencilere uygulanan Matematiksel Modellemeleri Kavrama Testi sonuçlarının ayrıntılı analizlerine göre belirlenmiştir. Buna göre her bir kategoride hataların nasıl ve neden yapıldığı belirlenerek buna uygun eğitim verilmesine ve sorunların giderilmesine yönelik eylem planları hazırlanmıştır. Her bir eylem planı yaklaşık iki ders saati (yaklaşık 80 dakika) sürmüştür. Uygulanan eylem planlarından bir hafta sonra eylem planı ile ilgili test uygulanmıştır. Her hafta uygulanan testlerin değerlendirilmesi aşamasında sadece o hafta işlenilen eylem planı değil bunun yanında önceden işlenilen eylem planları da değerlendirilmiştir. Testlerden alınan sonuçlara göre ya aynı konu üzerine bir eylem planı oluşturulmuş ya da bir sonraki konuya geçilmiştir. Buna ilişkin hazırlanan eylem araştırma süreci Tablo 1 de sunulmuştur. Tablo 1 incelendiğinde, araştırmanın birinci eylem planının değişkenlerle ilgili olduğu görülür. Değişkenler konusunda yapılan hataların genelde değişkenin belirlenememesinden ya da yanlış anlaşılmasından kaynaklandığı görülmektedir. Bu sorunun giderilmesi amacıyla değişken kavramının ne olduğu, nerelerde kullanıldığı, nasıl belirlenmesi gerektiği bu kavram ile çok karıştırılan sabitin ve parametrenin ne olduğu ve değişkenle aralarındaki farklılıklar konusunda öğretmen adaylarına bilgiler verilerek uygun örneklerle eylem planı yürütülmüştür. Verilen eğitimin ardından bir hafta sonra bu konuda on sorudan oluşan değişken 1 testi uygulanmıştır. Ancak öğretmen adaylarının değişken 1 testinden aldıkları puanlarının yeterli olmaması üzerine aynı konuda ikinci eylem planı düzenlenmiştir. Bu planda tekrar değişken kavramıyla ilgili daha detaylı bilgiler verilerek örneklerle konu anlatılmıştır. Verilen eğitiminin ardından değişken testi 2 uygulanarak öğretmen adaylarının başarıları incelenmiştir. Elde edilen sonuçların yeterli görülmesi üzerine üçüncü eylem planına geçilmiştir. Üçüncü eylem planına göre modelin nasıl oluşturulduğu, nelere dikkat edilmesi gerektiği konusunda hem teorik hem de uygulamalı bilgiler verilmiştir. Modelleme konusunda verilen eğitimin ardından bir hafta sonra uygulanan modelleme testinde öğretmen adayları istenen başarıya ulaşmışlardır. Dördüncü ve son eylem planında ise modelin çözüm aşamasına yönelik olarak öğretmen adaylarına bilgiler ve örnekler verilmiştir. Verilen eğitimin ardından çözümleme testi uygulanarak öğretmen adaylarının başarıları incelenmiş ve sonuç yeterli bulunmuştur. Araştırma da son aşama olarak, öğretmen adaylarının matematiksel modelleme konusunda gelişimlerini belirlemek üzere öğretmen adaylarına on beş sorudan oluşan matematik son kavrama ve son işlem testi uygulanmıştır. Çalışma Grubu Bu araştırmanın çalışma grubunu öğretim yılında bir devlet üniversitesinin sınıf öğretmenliği ana bilim dalına devam eden birinci sınıf öğrencileri oluşturmuştur. Çalışma grubuna ilişkin bilgiler Tablo 2 de yer almaktadır. Tablo 2 Çalışma Grubuna Ait Kişisel Bilgiler Değişkenler f % Cinsiyet Kız 17 47,3 Erkek 19 52,7 Genel Lise 24 66,7 Mezun Olunan Lise Türü Anadolu Lisesi 10 27,8 Öğretmen Lisesi 2 5,5 AA 13 36,1 Temel Matematik I Başarı Düzeyi BA 8 22,2 BB 4 11,1 CB 3 8,4 CC 8 22,2 Tablo 1 Araştırma Süreci Mevcut Durum Boyut Uygulama Değerlendirme Ön kavrama testine göre değişken 1.Eylem planı: Değişkenler kavramıyla ilgili eksiklikler belirlendi Uygulama Değerlendirme (Değişken 1 Testi) Değişken 1 testine göre eksikler belirlendi 2.Eylem planı: Değişkenler Uygulama Değerlendirme (Değişken 2 Testi) Ön kavrama testine göre model oluşturma ilgili eksiklikler belirlendi 3.Eylem planı: Model Oluşturma Uygulama Değerlendirme (Model Oluşturma Testi) Ön kavrama testine göre modelin çözümlenmesi ile ilgili eksiklikler belirlendi 4.Eylem planı: Modelin Çözümlenmesi Uygulama Değerlendirme (Çözümleme Testi) 1366

5 BAL, DOĞANAY / Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını... Tablo 2 incelendiğinde araştırmaya katılan öğrencilerin %47 sinin kız, %53 ünün ise erkek olduğu görülmektedir. Yine, mezun olunan lise türüne göre öğretmen adaylarının %67 si genel lise, %28 i Anadolu lisesi, %6 sı ise öğretmen lisesi mezundur. Ayrıca temel matematik I dersine ilişkin öğretmen adaylarının başarı düzeyleri incelendiğinde adayların %36 sının AA, %22 sinin BA ve CC, %11 inin BB ve %8 inin CB notunu aldıkları görülmektedir. Çalışma grubunun belirlenmesinde amaçlı örneklem yöntemlerinden ölçüt örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Bu yönteme göre belirli bir amaca yönelik olarak ya da odaklanılan konuyla ilgili olarak örneklem önceden düşünülüp belirlenir (Punch, 2005). Bu araştırmada da matematiksel modelleme konusunda daha önce her hangi bir eğitim almayan, temel matematik I dersini başarıyla tamamlayan ve matematik dersine karşı ilgili bir grup belirlenmiştir. Matematiksel modelleme sürecinde birçok matematiksel kavramlar; grafikler, fonksiyonlar, yüzde hesapları, oran-orantı, olasılık, denklemler, ölçümler ve geometri kullanılmaktadır. Bu nedenle öğrencinin matematiksel modelleme sürecinde başarılı olabilmesi için bu kavramları bilmesi gerekmektedir (Zambujo 1989 dan akt., Keskin, 2008). Temel matematik I ve II derslerinin içeriğinin bu konuları (sayılar, oran, orantı, bağıntı, fonksiyon, denklem, eşitsizlik ve geometri) kapsamasından dolayı birinci sınıf öğrencileriyle bu araştırma yürütülmüştür. Veri Toplama Araçları Araştırmada kullanılan veri toplama araçları, uygulamanın başında ve sonunda hazırlanan matematiksel modelleme kavram ve işlem testleri ile eylem planları çerçevesinde oluşturulan haftalık değerlendirme testlerinden (değişken testi I-II, model oluşturma testi ve model çözümleme) oluşmaktadır. Matematiksel Modellemeleri Kavrama Testi: Matematiksel modelleme kavram testleri oluşturulurken gerçek yaşam durumlarını içeren problemler kullanılmıştır. Bu problemler sayılar, oran, orantı, bağıntı, fonksiyon, grafik, denklem, eşitsizlik konuları kapsamında literatürden yararlanılarak (Cramer, 2003; Doruk, 2010; Johnson ve Lesh, 2003; Keskin, 2008; Lesh ve Doerr, 2003; Sağırlı, 2010; Zawojewski, Lesh ve English, 2003) oluşturulmuştur. Oluşturulan testler, matematik eğitimi konusunda iki öğretim üyesinin görüşüne sunularak testlerin dersin içeriğine uygunluğu, öğrencilerin seviyelerine uygunluğu ve soruların anlaşılırlığı incelenmiştir. Testte yer alan on birinci soru aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. S.11. Bir cep telefonu firması iki farklı tarife uygulamaktadır. İlkinde 10 TL hat açma ücreti almakta ve konuşmanın dakikasına 50 Kr almaktadır. İkinci seçenekte ise 5 TL hat açma ve konuşmanın dakikasına da 75 Kr almaktadır. Hangi hattı alırsınız, çözümünüzü denklem ve grafikle çözebilirsiniz. Son şekli verilen testler, cevaplanabilme süresi ile anlaşılırlığının saptanması amacıyla çalışma grubu dışında üç öğrenciye uygulanmıştır. Son şekli verilen matematiksel modelleme kavram testleri on beşer problemden oluşmaktadır. Matematiksel Modellemeleri İşlem Testi: Matematiksel Modelleme İşlem Testi ise kavram testindeki problemlerin modellerinin oluşturulmuş şekillerini kapsamaktadır. İşlem testinin amacı kavrama testiyle paralel olarak hazırlanmış ve öğretmen adaylarından sadece çözümleme yaparak problemlerin olası sonuçlarına ulaşmaları beklenmektedir. Bu sorulara örnek olarak 11. soru şöyledir; A= (t) ve B= (t) olarak tanımlanıyor. Buna göre t=10; t=20; t=30 için A ve B nin değerlerini hesaplayınız? Matematiksel Modelleme Kavrama Testi nin çözümlenmesinde ilgili literatürden yararlanılarak bir analitik derecelendirme ölçeği oluşturulmuştur (Ärlebäck, 2009; Berry ve Nyman, 1998; Kertil, 2008; Keskin 2008, Panaoura, Demetriou ve Gagatsis, 2009; Sağırlı, 2010; Voskoglou, 2006). Bu kapsamda oluşturulan ölçek Tablo 3 te yer almaktadır. Tablo 3 Matematiksel Modelleme Testinin Analitik Dereceli Puanlama Anahtarı 1 Değişkenleri seçme (değişken, sabit ve Puanlama parametreleri seçme) Uygun değişkenleri seçememiş ise 0 Değişkenleri eksik belirlemiş ise 1 Değişkenlerin tamamını belirlemiş ise 2 2 Matematiksel modeli kurma (formülleştirme) Modeli hiç oluşturamamış ise 0 Modeli eksik oluşturmuş ise 1 Modeli tam oluşturmuş ise (Bu bir grafik, bir formül ya da bir denklem 2 olabilir) 3 Matematiksel modelin çözümü Çözüm bulamamış ya da doğru olmayan bir modeli çözmüş ise 0 Çözüm esnasında işlem hatası yapmış ya da problemin bir kısmının 1 doğru çözümüne ulaşmış ise Doğru çözümü bulmuş ise

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 3 te görüldüğü gibi modelleme değişkenleri seçme, modeli oluşturma ve matematiksel modelin çözümü olmak üzere üç kategoriden oluşmaktadır. Her bir kategorinin puanlaması 0-2 arasında yapılmaktadır. Verilerin Analizi Eylem araştırmalarında analiz, veri toplama süreci ile birlikte yürütülür ve toplanacak ek verilerin türüne ve niteliğine ışık tutar. Bu kapsamda, araştırma verileri 7 Mart Mayıs 2012 tarihleri arasında yaklaşık iki aylık bir sürede toplanmıştır. Uygulayıcı olan araştırmacı, her dersin ardından sınıf içinde uygulanan çalışma yapraklarının (testleri) analizini diğer araştırmacı ile incelemiş ve verilen dönütler doğrultusunda gelecekteki eylem planlarını hazırlamıştır. Matematiksel Modellemeleri Kavrama Testi nde başarı %60 ve altında kaldığı durumlarda öğrenme yeterince gerçekleşmediği nedeniyle eylem planı revize edilerek tekrar uygulanmıştır. Matematiksel Modellemeleri Kavrama Testi nde başarı düzeyi %80 ve üzerinde olduğunda bir sonraki eylem planına geçilmiştir. İstatistiksel çözümlemeler SPSS 17.0 for Windows paket programı kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Çözümlemelerde araştırmaya katılan öğrencilerin ön test ve son test sonucunda aldıkları puanların aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları da hesaplanmıştır. Eylem araştırmasının geçerlik ve güvenirliği, nicel araştırmalardan farklı bir biçimde gerçekleştirilmektedir. Nicel araştırmalarda yapılması gereken iç geçerlik, dış geçerlik, güvenirlik ve nesnellik eylem araştırmalarına doğrudan uygulanamaz (Anagün ve Yaşar, 2009). Eylem araştırmaları yerel sorunlar üzerine odaklandığından elde edilen sonuçların genellenebilme kaygısı yoktur (Neumann, 2006). Buna ek olarak eylem araştırmaları, özel bir çevrede/durumda belirlenen özel bir sorun üzerine odaklandığından yöntemin uygulanması sürecini daha serbest olarak yorumlar. Bu bağlamda, araştırmanın geçerlik çalışmaları sırasında, araştırmacılar birbirleriyle ve iki matematik eğitimcisiyle sürekli iletişimi benimsemişlerdir. Öğrencilerin anlama düzeylerini kontrol etmek amacıyla sürekli veriler toplanmış ve bu verilerin analizi sonucunda eğer öğrenme yeterli görülmemişse eylem planları iki matematik eğitimcisiyle de tartışılarak revize edilmiş ve tekrar uygulanmıştır. Ön, süreç içi ve son Matematiksel Modellemeleri Kavrama Testleri nin analizinde ikinci bir kodlamacı da kullanılmıştır. Kodlamacılar arası güvenirlik Ön Kavrama Testi nde.91, değişken 1 testinde.93, değişken 2 testinde.93, Model Oluşturma Testi nde.91, Modeli Çözümleme Testi nde.99 ve Son Kavrama Testi nde.89 olarak bulunmuştur. Bulgular Araştırmadan elde edilen bulgular, araştırmanın amaçları doğrultusunda aşağıda yer almaktadır. Buna göre öğrencilerin matematiksel modellemeye ilişkin uygulanan ön testten elde ettikleri bulgular Tablo 4 te yer almaktadır. Tablo 4 Matematiksel Modellemeye İlişkin Kavrama ve İşlem Ön Test Bulguları Ön kavrama testi (Soru Sayısı: 15) Ön işlem testi (Soru Sayısı: 15) X S X S D D D M M M Ç Ç Ç D0: Değişken boş bırakılmış; D1: Değişken yanlış tanımlanmış D2: Değişken doğru tanımlanmış; M0: Model oluşturma boş bırakılmış; M1: Model oluşturma yanlış oluşturulmuş; M2: Model oluşturma doğru oluşturulmuş; Ç0: Çözüm boş bırakılmış; Ç1: Çözüm yanlış yapılmış; Ç2: Çözüm doğru yapılmış Tablo 4 incelendiğinde Matematiksel Modelleme Ön Kavrama Testi nin değişken, model oluşturma ve çözümleme olmak üzere üç kategoride değerlendirildiği görülmektedir. Her bir kategori kendi arasında boş bırakılma, yanlış yapılma ve doğru yapılma şeklinde incelenmiştir. Buna göre ön kavrama testindeki değişken kategorisinin boş bırakılma ortalaması 7,74, yanlış yapılma ortalaması 1,41 iken doğru yapılma ortalaması ise 5,44 tür. Model oluşturma kategorisinde ise ön kavrama testindeki soruların boş bırakılma ortalaması 8,33, yanlış yapılma ortalaması 3,41 iken doğru yapılma ortalaması 2,85 tir. Modelin çözümlenmesi aşamasında ise boş bırakılma ortalaması 5,18, yanlış yapılma ortalaması 5,44 iken doğru yapılma ortalaması 3,94 tür. Ön işlem testinde ise yer alan soruların ortalama 2,64 ünün yanlış yapıldığı ancak 11,27 sinin doğru yapıldığı Tablo 4 te görülmektedir. Öte yandan, öğretmen adaylarına uygulanan ön kavrama ve ön işlem testi sonuçları incelendiğinde aynı soruların kavrama testi kapsamında doğru yapılma ortalaması 3,94 iken modellerinin hazır olarak verilmesi durumunda ön işlem testindeki doğru yapılma ortalaması 11,27 dir. Bu sonuçlardan yola çıkarak, değişkenlerin belirlenmesi ve matematiksel modelin oluşturulmasında yaşanan sorunların giderilmesine yönelik olarak eylem planları hazırlanmıştır. Birinci eylem planı değiş- 1368

7 BAL, DOĞANAY / Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını... Tablo 5 Değişken Konusunda Elde Edilen Betimsel Bulgular Ön kavrama testi (Soru Sayısı: 15) Değişken Testi 1 (Soru Sayısı: 10) Değişken Testi 2 (Soru Sayısı: 10) Model oluşturma testi (Soru Sayısı: 9) Çözümleme testi (Soru Sayısı: 10) Son kavrama testi (Soru Sayısı: 15) X S X S X S X S X S X S D D D D D D D0: Değişken boş bırakılmış; D1: Değişken yanlış tanımlanmış; D11: Parametreden kaynaklı hata; D12: Değişkenden kaynaklı hata; D13: Sabitten kaynaklı hata; D2: Değişken doğru tanımlanmış ken konusundadır. Yapılan eylem planının ardından uygulanan değişken testi 1 sonuçlarının yeterli olmaması üzerine aynı konuda ikinci eylem planı hazırlanmıştır. İkinci eylem planından sonra değişken testi 2 uygulanmıştır. Ayrıca üçüncü, dördüncü eylem planlarının ardından uygulanan testler ve son kavrama testinin değerlendirilmesi sürecinde değişken konusunda elde edilen puanlar Tablo 5 te yer almaktadır. Tablo 5 incelendiğinde değişken kategorisinde ön kavrama test sorularının ortalama 7,74 ü boş, 1,14 ü yanlış ve 5,44 ü de doğru olarak yanıtlanmıştır. Aynı kapsamda, yanlış yanıtlanan sorular incelendiğinde yapılan hataların 0,26 sı parametreden, 1,15 i ise değişkenden kaynaklanmıştır. Uygulanan birinci eylem planı sonucunda verilen değişken testi 1 kategorisindeki 10 sorudan ortalama 4,15 i yanlış yanıtlanırken 6,64 ü ise doğru cevaplandırılmıştır. Bu bulgu doğrultusunda değişken konusunun tam kavranılmadığı düşünüldüğünden uygulanan ikinci eylem planı sonucunda yapılan değerlendirmede (Değişken Testi 2) öğrencilerin 10 sorudan ortalama 1,28 ine yanlış yanıt verirken 8,32 sine ise değişkenle ilgili doğru yanıtlar verdikleri bulgusuna ulaşılmıştır. Ön kavrama testi kapsamında Ö 15 kodlu öğretmen adayının değişkenler konusuyla ilgili çözüm yöntemi Şekil 2 de yer almaktadır. Şekil 2 de incelendiğinde Ö 15 kodlu öğretmen adayının dokuzuncu sorunun değişkeniyle ilgili yaptığı çözümün çok net olmadığı görülmektedir. Yine, Şekil 2 ye göre Ö 15 kodlu öğretmen adayı değişkeni net olarak belirleyemediğinden dolayı verilen sayılar arasında bir ilişki bulmaya çalışmaktadır. Diğer taraftan son kavrama testinde yer alan dokuzuncu sorunun değişkenini belirlemeye yönelik Ö 9 kodlu öğretmen adayının çözüm yöntemi Şekil 3 te yer almaktadır. Şekil 3 te Ö 9 kodlu öğretmen adayı, dokuzuncu sorunun değişkenini belirleme aşamasında öncelikli olarak üç firmanın başlangıç fiyatları ile her kilometre başına ne kadar ödenmesi gerektiğini belirtmiştir. Buna göre A firmasının 1.50 TL ve her kilometre başına 50 kuruş; B firmasının 1.00 TL ve her kilometre başına 75 kuruş ve C firmasının ise kilometre başına 100 kuruş üzerinden açılış tarifelerini belirledikleri görülmektedir. Yine, model oluşturma konusunda uygulanan üçüncü eylem planından sonra bir Model Oluşturma Testi hazırlanmıştır. Bu testin değerlendirilmesi aşamasında öğretmen adaylarının değişkenleri ne düzeyde tespit edebildikleri incelenmiştir. Tablo 5 incelendiğinde Model Oluşturma Testi kapsamın- Şekil 2 Ö 15 Kodlu Adayın Dokuzuncu Sorunun Değişkeniyle İlgili Çözümü 1369

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Şekil 3 Ö 9 Kodlu Adayın Dokuzuncu Sorunun Değişkeniyle İlgili Çözümü daki dokuz sorudan ortalama 8,18 inin doğru yapıldığı görülmektedir. Dördüncü eylem planında ise çözümleme konusuna yer verilmiştir. Uygulanan dördüncü ve son eylem planının ardından öğretmen adaylarının Çözümleme Testi kapsamındaki değişkenlerle ilgili 10 sorudan ortalama 9,38 inin doğru yanıt verdiği açıkça görülmektedir. Son olarak, eylem planlarının tamamlanmasından sonra uygulanan Son Kavrama Testi nde yer alan on beş sorudan 13,19 unun doğru yanıtlandığı Tablo 5 te görülmektedir. Araştırmaya katılan öğretmen adaylarının model oluşturmalarıyla ilgili ön kavrama, model oluşturma, çözümleme ve son kavrama testlerinin sonucunda elde ettikleri puanlar Tablo 6 da yer almaktadır. Tablo 4 incelendiğinde ön kavrama testindeki soruların ortalama 8,33 ünün boş, 3,41 inin yanlış ve 2,85 inin ise doğru yanıtlandığı görülmektedir. Buna göre yanlış yanıtlanan sorular incelendiğinde yapılan hataların 0,76 sının kavram ya da konu eksikliğinden, 2,64 ünün ise model oluşturulmasından kaynaklandığı görülmektedir. Model oluşturma kategorisinde uygulanan üçüncü eylem planı sonunda yanıtlanan testteki dokuz sorunun ortalama 0,74 ünün boş bırakıldığı ve 8,26 sının doğru olarak cevaplandığı bulgusuna ulaşılmıştır. Ön kavrama testinde yer alan sekizinci soruyla ilgili model oluşturmaya yönelik Ö 28 kodlu öğretmen adayının çözüm yöntemi Şekil 4 te yer almaktadır. Şekil 4 te incelendiğinde Ö 28 kodlu öğretmen adayının sekizinci soruda her hangi bir model oluşturamadığı ve bu sorunun çözümüne yönelik farklı nedenlerden dolayı ikinci önerinin daha iyi olacağını belirlediği görülmektedir. Diğer taraftan son kavrama testindeki sekizinci soru kapsamında Ö 17 kodlu öğretmen adayının model oluşturmaya yönelik çözüm yöntemi Şekil 5 te yer almaktadır. Şekil 5 te Ö 17 kodlu öğretmen adayı ilk duruma göre satıcının bilgisayar başına 100 TL kazanacağından dolayı maaşını 100x olarak hesaplamış; ikinci durumda ise satıcının maaşının x olacağını ortaya koymuştur. Daha sonra çözümleme konusunda dördüncü ve son eylem planına göre uygulanan testin sonucunda ise modelleme kategorisindeki 10 sorunun ortalama 8,94 ünün doğru yapıldığı sonucuna ulaşılmıştır. Son kavrama testinde ise modelleme konusunda 15 sorunun ortalama 11,03 ünün doğru yanıtlandığı Tablo 6 dan görülmektedir. Tablo 6 Model Oluşturma Konusunda Elde Edilen Betimsel Bulgular Ön kavrama testi (Soru Sayısı: 15) Model oluşturma testi (Soru Sayısı: 9) Çözümleme testi (Soru Sayısı: 10) Son kavrama testi (Soru Sayısı: 15) X S X S X S X S M M M M M M0: Model oluşturma boş bırakılmış; M1: Model yanlış oluşturulmuş; M11: kavram eksikliği var, konuyu bilmiyor; M12; Modelin oluşturulmasında hata var; M2: Model doğru oluşturulmuş 1370

9 BAL, DOĞANAY / Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını... Şekil 4 Ö 28 Kodlu Adayın Sekizinci Soruda Model Oluşturma İle İlgili Çözümü Şekil 5 Ö 17 Kodlu Adayın Sekizinci Soruda Model Oluşturma İle İlgili Çözümü Araştırmaya katılan öğretmen adaylarının çözümleme konusuyla ilgili ön kavrama, ön işlem, çözümleme, son kavrama ve son işlem testlerinin sonucunda elde ettikleri puanlar Tablo 7 de yer almaktadır. Tablo 7 incelendiğinde ilk olarak ön kavrama testindeki 15 sorudan ortalama 5,18 inin boş, 5,44 ünün yanlış ve 3,94 ünün ise doğru olarak yanıtlandığı görülmektedir. Buna göre yanlış yanıtlanan sorular (X = 5.44) incelendiğinde yapılan hataların ortalama 1,29 unun tek veri kullanılmasından, 0,32 sinin işlem hatasından, 0,50 sinin mantık hatasından ve 3,32 sinin ise modelin yanlışlığından kaynaklanan hatalar olduğu görülmektedir. Ön işlem testinde ise sorulan on beş sorudan ortalama 1 inin boş bırakıldığı, 2,64 ünün yanlış yapıldığı ve 11,27 sinin ise doğru yapıldığı bulgusuna ulaşılmıştır. Çözümleme konusunda uygulanan dördüncü eylem planı sonunda uygulanan testte yer alan 10 sorudan ortalama 1,12 si yanlış yanıtlanırken 8,59 u ise doğru cevaplandırılmıştır. Son kavrama testi sonucunda ise 15 sorudan ortalama 3,9 unun boş bırakılırken 10,81 inin doğru yanıtlandığı Tablo 7 de de açıkça görülmektedir. Ayrıca, son işlem testinde yer alan on beş sorudan 13,51 inin de doğru olarak yanıtlan- Tablo 7 Çözümleme Konusunda Elde Edilen Betimsel Bulgular Ön kavrama testi (Soru Sayısı: 15) Ön işlem testi (Soru Sayısı: 15) Çözümleme testi (Soru Sayısı: 10) Son kavrama testi (Soru Sayısı: 15) Son işlem testi (Soru Sayısı: 15) X S X S X S X S X S Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç0: Çözüm boş bırakılmış; Ç1: Çözümde yanlış yapılmış; Ç11: tek veri kullanıldı; Ç12 İşlem hatası yapıldı; Ç13 Mantık hatası yapıldı; Ç14: modelden kaynaklanan hata; Ç2: Çözüm doğru yapılmış 1371

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Şekil 6 Ö 11 Kodlu Adayın Onuncu Soruyu Çözümlemesi dığı bulgusuna ulaşılmıştır. Ön Kavrama Testi nde yer alan onuncu soruyla ilgili olarak Ö 11 kodlu öğretmen adayının çözüm yöntemi Şekil 6 da yer almaktadır. Şekil 6 incelendiğinde Ö 11 kodlu öğretmen adayının soruyu çözerken her dakikada belli bir ücret ödenmesi gerektiğini fark etmediğinden dolayı çözüme ulaşamadığı görülmektedir. Diğer taraftan son kavrama testinde Ö 15 kodlu öğretmen adayının onuncu sorunun çözümünde uyguladığı aşamalar Şekil 7 de yer almaktadır. Şekil 7 incelendiğinde Ö 15 kodlu öğretmen adayının onuncu sorunun çözümünde birinci dereceden bir denklem çizdiği görülmektedir. Buna göre öğretmen adayının ödenmesi gereken faturaya yönelik olarak 15 TL den başlayarak her dakikada 1 TL artacak şekilde bir grafik çizdiği anlaşılmaktadır. Ön kavrama testi toplam puanları ile son kavrama testi toplam puanları arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığını test etmek için eşli gruplar t-testi yapılmıştır. t-testi sonucunda ön kavrama testi toplam puanları (X = 3,94) ile son kavrama testi toplam puanları (X = 10,81) arasında anlamlı bir farklılık olduğu görülmüştür (t 30 = -9, 786, p <.001). Eylem planları tamamlandıktan sonra öğretmen adaylarına uygulanan matematiksel modelleme konusundaki son kavrama ve işlem testlerine ilişkin puanlar Tablo 8 de yer almaktadır. Tablo 8 incelendiğinde matematiksel modelleme son kavrama testi ön kavrama testinde olduğu gibi değişken, model oluşturma ve çözümleme olmak üzere üç kategoride değerlendirildiği görülmektedir. Buna göre son kavrama testindeki değişken kategorisinin 15 sorunun doğru yapılma ortalaması 13,19 dur. Model oluşturma kategorisinde ise soruların doğru yapılma ortalaması 11,03 tür. Modelin çözümlenmesi aşamasında ise soruların doğru yapılma ortalaması 10,81 dir. Son işlem testinde ise yer alan soruların ortalama 13,51 nin doğru yapıldığı açıkça görülmektedir. Şekil 7 Ö 15 Kodlu Adayın Onuncu Soruyu Çözümlemesi 1372

11 BAL, DOĞANAY / Sınıf Öğretmenliği Adaylarının Matematiksel Modelleme Sürecini Anlamalarını... Tablo 8 Matematiksel Modellemeye İlişkin Kavrama ve İşlem Son Test Bulguları Son kavrama testi (Soru Sayısı: 15) Son işlem testi (Soru Sayısı: 15) X S X S D D D M M M Ç Ç Ç D0: Değişken boş bırakılmış; D1: Değişken yanlış tanımlanmış D2: Değişken doğru tanımlanmış; M0: Model oluşturma boş bırakılmış; M1: Model oluşturma yanlış oluşturulmuş; M2: Model oluşturma doğru oluşturulmuş; Ç0: Çözüm boş bırakılmış; Ç1: Çözüm yanlış yapılmış; Ç2: Çözüm doğru yapılmış Tartışma ve Sonuç Bu çalışma sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme sürecinde kavram ve işlem odaklı başarılarının belirlenmesi ve bu süreçte uygulanan etkinliklerin modelleme kavrayışını ne derece geliştirdiğini ortaya çıkartmak amacıyla yapılmıştır. Ön kavrama testi bulgularına göre testte yer alan 15 soruya doğru yanıt verme ortalaması 3,94 iken ön işlem testinde sorulan 15 soruya doğru yanıt verme ortalamasının 11,27 olduğu bulunmuştur. Buna göre öğrencilerin matematik modelleme konusundaki başarılarının matematiksel işlem başarılarına oranla daha düşük olduğu söylenebilir. Yapılan birçok araştırmada da (Çiltaş, 2011; English ve Watters, 2004; Sicignano, 2011; Taşova ve Delice, 2012; Uçar, 2011) öğrencilerin kavram bilgilerinin yeterli olmadığına işaret edilmektedir. Uçar (2011) yaptığı araştırmada, öğretmen adaylarının bazı konularda matematiksel kavramları anlamalarının yetersiz olduğunu ve matematiksel bilgilerinin yanlış olduğunu ortaya koymuştur. Çiltaş (2011) çalışmasında, dizi ve seriler konusunda matematiksel modelleme yöntemi ile öğrenim gören ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme becerilerini incelemiştir. Çalışmasının sonucunda, öğretmen adaylarının dizi ve seriler konusundaki kavramlarda öğrenme güçlüklerinin olduğu ve bu kavramlara yönelik modellemeler oluşturamadıkları sonucuna ulaşılmıştır. Literatür incelendiğinde, öğrencilerin işlem becerilerine yönelik başarılarının kavramları anlama başarılarına oranla, bu araştırma bulgularına da paralel olarak, daha yüksek olduğu görülmektedir (Çiltaş, 2011; Delice ve Sevimli, 2010; English ve Watters, 2004; Ghazali ve Zakaria, 2011; Sicignano, 2011; Taşova ve Delice, 2012; Tekin, 2008; Zakaria ve Zaini, 2009). Örneğin, Ghazali ve Zakaria (2011), öğrencilerin cebir konusundaki kavramsal bilgileri ile işlemsel bilgilerini inceledikleri araştırmalarında öğrencilerin işlemsel testten aldıkları puanların çok yüksek olduğu ancak kavramsal testten de düşük puan aldıkları sonucunu ortaya çıkarmışlardır. Benzer şekilde Tekin (2008), öğrencilerin kavramsal ve işlemsel bilgi yapılarını ortaya çıkarmayı amaçladığı çalışmasında işlemsel bilgi gerektiren soruların çoğunun doğru yanıtlandığı ancak kavramsal bilgi içeren soruların ise çoğunlukla yanlış yanıtlandığı sonucuna ulaşmıştır. Sicignano (2011) da araştırmasında öğretmenlerin kavramsal bilgi ya da kavramsal bilgi ile işlemsel bilginin birlikte sunulduğu bir öğretim ortamına sahip olmalarına rağmen, kavramsal bir öğretim biçimini kullanamadıkları sonucuna ulaşmıştır. Ayrıca Scignano, öğretmenlerin hem kavramsal bilgi hem de işlemsel bilgiyi birlikte uyguladıkları bir öğretim istemelerine rağmen bu konudaki alan bilgilerinin yeterli olmadığını da saptamıştır. Yine, Delice ve Sevimli (2010) araştırmalarında, öğrencilerin hesaplama işlemlerini kolaylıkla yapabildiklerini ancak işlem sürecinde belirleyici rolü olan kavramsal bilgilerde zorlandıklarını ortaya koymuşlardır. Öğrencilerin matematiksel işlem başarılarının kavramsal anlama başarılarına göre daha yüksek olmasının olası bazı nedenleri olabilir. Bu durumun matematik derslerinin işlem odaklı yapılarak, öğrencilerin matematiksel düşünmelerini ortaya koymaya yönelik çalışmaların yeteri kadar yapılmamasından kaynaklandığı söylenebilir. Diğer bir neden olarak da, araştırmaya katılan öğretmen adaylarının eğitim sürecinde işlemsel bilgilerinin ön planda olması ya da onların lisans öğrenimlerinde matematiksel yeterliliklerini geliştirebilecek nitelikte kavramsal öğretime yer verilmemesi gösterilebilir. Bu noktada en önemli görev öğretmen yetiştiren eğitim fakültelerine düşmektedir. Buna göre lisans eğitimi süresince öğretmenlerin bilmeleri gereken kavramların neler olduğu, öğretim sürecinde tüm öğrencilerin anlayabilmeleri için uygun yöntemlerin neler olduğu, hangi materyalleri kullanabileceği konusunda eğitim programları tekrar gözden geçirilmelidir. Öte yandan, araştırmada öğrencilerin matematiksel modelleme aşamaları değişken belirleme, model oluşturma ve oluşturulan modelin çözümlenmesi olarak üç aşamada değerlendirilmiştir. Buna göre on beş sorudan oluşan ön testte öğrencilerin değişken belirleme aşamasında soruların 5,44 ünü, model oluşturma aşamasında 2,85 ini ve çözümleme 1373

12 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ aşamasında ise 3,94 ünü doğru yaptıkları sonucuna ulaşılmıştır. Modelleme hakkında bilgi verilmeden yapılan bu testte öğrencilerin çoğunluğunun matematiksel modelleme oluşturamadıkları sonucuna ulaşılmıştır. Bu sonuç matematiksel modelleme konusunda yapılan diğer araştırma sonuçlarıyla da (Bukova-Güzel ve Uğurel, 2010; Çiltaş, 2011; Dowlath, 2008; Eraslan, 2011; Ikeda ve Stephens, 2010; Kertil, 2008; Keskin, 2008; Sağırlı, 2010) benzerlik göstermektedir. Örneğin, Eraslan (2011) çalışmasında, model oluşturma etkinliklerini ve bunların matematik öğrenimine olan etkileri hakkında ilköğretim matematik öğretmen adaylarının görüşlerini incelemiştir. Araştırmada matematiksel modelleme sürecindeki etkinliklerin öğretmen adaylarının daha önce bildikleri problemlerden farklı kavramları içermesinden dolayı öğretmen adaylarının çözüm süreçlerinde belirsizlikler yaşadıkları sonucuna ulaşmıştır. Araştırmada son olarak öğrencilerin matematiksel modelleme konusundaki bilgilerini geliştirmek için uygulanan etkinliklerin modelleme kavrayışını olumlu yönde geliştirdiği bulgusuna ulaşılmıştır. Literatürde bu konuyla ilgili yapılan araştırmalarda da (Ärlebäck, 2009; Bukuva-Güzel, 2011; Çiltaş, 2011; Doruk ve Umay, 2011; English, 2006; English ve Watters, 2004; Eraslan, 2011; Ikeda ve Stephens, 2010; Keskin, 2008; Lingefjard, 2002; Mousoulides ve ark., 2008; Sağırlı, 2010; Schwarz ve Kaiser, 2007; Zbiek ve Conner, 2006) benzer sonuçlara ulaşıldığı görülmektedir. Bu kapsamda Bukuva-Güzel (2011), araştırmasında matematik modelleme dersi alan öğrencilerin dönem sonunda grup hâlinde hazırladıkları modelleme problemleri ve çözüm aşamalarını incelemiştir. Bukuva-Güzel, araştırmanın sonucunda öğrencilerin oluşturdukları problemlerin günlük yaşamla ilgili olduğu, ilgi çekici ve matematiksel bilginin kullanılarak yapılabileceği ve modelleme sürecinin anlaşılabilir hâle getirildiği ve basitleştirilebildiği sonucuna ulaşmıştır. Ikeda ve Stephens (2010) da uygulanan deneysel öğretim programı sonucunda öğrencilerin modelleme konusundaki bilgilerinin olumlu yönde gelişim gösterdiği sonucuna ulaşmışlardır. İlgili literatür incelendiğinde bu bulgularla benzerlik göstermeyen araştırmalara da (Frejd, 2012; Dowlath, 2008; Sağırlı, 2010) rastlanılmıştır. Örneğin Dowlath, (2008), Güney Afrika daki öğretmen adaylarının gerçek yaşam problemlerinin çözümünde kullandıkları farklı stratejileri ve matematiksel modelleme süreçlerini incelemiştir. Yapılan deneysel çalışmanın sonucunda öğretmen adaylarının gerçek yaşam problemlerini çözebilme becerilerinin yeterli olmadığı ve matematiksel modelleme yapamadıkları sonucuna ulaşılmıştır. Frejd (2012), çalışmasında on sekiz öğretmenin modelleme etkinliklerinin sınıfta uygulanabilme süreçleri konusundaki görüşlerini incelemiştir. Araştırmanın sonucunda öğretmenlerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle derslerini ilişkilendiremedikleri sonucuna ulaşmıştır. Frejd, bu durumun öğretmenlerin matematiksel modellemeyle ilgili deneyimlerinin olmamasından, bu konuda yeterli bilgilerinin olamamasından veya hiçbir düşüncelerinin olmamasından ya da lisans eğitimleri sürecinde bu tür bir eğitimin verilmemesinden kaynaklanabileceğini vurgulamaktadır. Yukarıdaki bulgulardan yola çıkarak özetle, araştırmaya katılan sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme sürecinde uygulanan etkinlikler yardımıyla matematiksel kavrama ve modelleme başarılarının arttığı ve bu süreçte verilen eğitimin etkili olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Bu bağlamda özellikle sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme sürecine yönelik deneyim kazanmalarının matematiksel kavramları anlama ve modellemeler yapabilme konusunda önemli olduğu açıkça görülmektedir. Buna göre öğretmen adaylarının yetiştirilmesinde temel matematik ya da matematik öğretimi derslerinde matematiksel modelleme kavramından yararlanılması ya da öğretim programlarında matematiksel modellemeye yönelik bir ders düzenlenmesi yoluna gidilebilir. Ayrıca, görevde olan sınıf öğretmenleri için de farklı uygulamalar ve projeler ile modellemeye yönelik bilgi ve becerilerin kazandırılmasını sağlayacak hizmet içi eğitimler verilebilir. Bunların ötesinde, eğitimin ilk yıllarından başlayarak matematik eğitiminde matematiksel düşünmeye işlem becerisinden daha fazla ağırlık verilmesinin gereği ortadadır. 1374

13 Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) Educational Consultancy and Research Center DOI: /estp Improving Primary School Prospective Teachers Understanding of the Mathematics Modeling Process Ayten Pınar BAL a Çukurova University Ahmet DOĞANAY b Çukurova University Abstract The development of mathematical thinking plays an important role on the solution of problems faced in daily life. Determining the relevant variables and necessary procedural steps in order to solve problems constitutes the essence of mathematical thinking. Mathematical modeling provides an opportunity for explaining thoughts in real life by making connections with knowledge and skills. Research concerning mathematics education indicates that there are several problems faced when trying to apply modeling to problem solving. This research has been done using the action research model in order to help primary school prospective teachers understand the process of mathematics modeling. Participants in the study consisted of 36 freshmen in total who were continuing their education in the department of primary school teaching of a state university during the academic year. For selecting participants, the criteria sampling method, a purposeful sampling method, was used. The tools for data collection were comprehension and operational tests which related to mathematical modeling as well as weekly evaluation tests created within the framework of the action plans prepared by the researchers (variables test I-II, model formation test and model analysis). At the beginning of the research, it was observed that teacher candidates were not able to create modeling activities related to mathematics problems. As a result of the action plans, it was observed that as the success of a teacher candidate s ability to perceive a problem increased, their operational success also increased and they were able to create modeling activities for the given problems. Keywords Action Research, Math, Mathematical Modeling, Primary School Prospective Teachers, Problem Solving. In recent years, one of the most debated subjects in the field of mathematics education is the concept of mathematical modeling that covers the transfer of mathematics into daily life (Blum & Ferri, 2009). In general, a model is a simplified form of a complex object or process, and modeling is a complex process that includes activities created in many stages (Maull & Berry, 2001). Sriraman (2005) also indicates that modeling is a process that is used when there is a problem, and a model is the product obtained at the end of the modeling process (Güneş, Gülçiçek, & Bağcı, 2004). The purpose of modeling is to interpret, configure and try different possibilities for achieving a result, as well as to facilitate the understanding of deeper events (Budinsk, 2010). The concept of modeling is useful in mathematics education, particularly within the context of the a Ayten Pınar BAL, Ph.D., is an assistant professor of Elementary School Teaching. Correspondence: Çukurova University, Faculty of Education, Department of Elementary School Teaching, Sub-department of Primary School Teaching, Adana, Turkey. apinar@cu.edu.tr b Ahmet DOĞANAY, Ph.D., is an associate professor of Curriculum and Instruction. Contact: Çukurova University, Faculty of Education, Department of Educational Sciences, Sub-department of Curriculum and Instruction, Adana, Turkey. adoganay@cu.edu.tr

14 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE relationship between mathematics and reality (Blum & Niss, 1991). Modeling is a process in which students try to solve real-life problems (Lesh & Doerr, 2003). These processes include the identification of a problem, creating a model, establishing a relationship between a mathematical model and the real problem, predicting the situation of the real problem and confirming it. In parallel to this, mathematical modeling is the simplified presentation of real-life problems by means of a mathematical model (Voskoglou, 2006). According to Cheng (2001), mathematical modeling is the demonstration of real-life problems using mathematical terms, and the process of transforming these problems into the language of math. Activities included in this process make it easy for us to see real-life problems clearly, to associate these problems with mathematical information, to classify and generalize these problems and to make a deduction (Schwarz & Kaiser, 2007; Sriraman, 2005). According to Berry and Nyman (1998), in the mathematical modeling process, a real-life problem is first discussed in the form of a mathematical problem, then the mathematical problem is solved using known techniques, and the obtained result is then would be interpreted after being adapted to the real life situation. According to Ferreira and Jacobini (2009), mathematical modeling provides excellent opportunities for students to use their ideas in different areas and to establish logical connection; a developing the necessary mathematical information and skills for implementation with real life problems. One of the most significant goals of mathematics education programs is to teach students developed mathematical thinking, to be good problem-solvers (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2011). In this context, mathematical modeling activities in which concepts are structured in a classroom environment instead of a conventional, operation-oriented environment are dependent upon a conceptual approach (Doerr & English, 2003; English, 2006). However, these problems are structured artificially and not connected to the environment of the problem. Because they are not fit for a true purpose, this can cause various problems for the modeling process of the students when trying to establish a relationship between real life and mathematical situations. In other words, problems related to mathematical modeling in educational programs must be well-defined and must include situations which can relate to many fields (Cheng, 2001) as well as include enriched information and help develop cognitive processes (Eric, 2009). Mathematical modeling enables students to learn mathematics through different methods (Zbiek & Conner, 2006), to develop their skills for using mathematics in daily life, and at the same time, to bring them the skill to reflect upon what they ve learned (Zbiek & Conner, 2006). Teachers have three main purposes when developing modeling activities: to reveal the thought processes of the students, to share thoughts and ways of thinking with their peers regarding the subject, and to learn how to apply these ways of thinking over multiple subjects. The modeling process is an important factor in the interpretation and perception of rich mathematical content both in terms of teachers and students, and also in the development of their thinking skills. All teachers cannot be expected to start from the same point, make the same interpretations or set up the same patterns in modeling activities (Doerr & English, 2003). As can be understood from the previous paragraph, the activities of mathematical modeling are of vital importance for the development the mathematical perception skills of students (English, 2006; English & Watters, 2004; Zawojewski & Lesh, 2003), and the development of these skills depends on teachers (Doerr & English, 2003). Therefore, there are many responsibilities that teachers have in the process of bringing these skills to the students (Ferri & Blum, 2009; Niss, Blume, & Galbraith, 2007). However, when literature is analyzed, it can be seen that prospective teachers do face some serious difficulties in the mathematical modeling process (Blomhoj & Kjeldsen, 2006; Caldeira, 2009; Csikos, Szitanyi, & Kelemen, 2011; Çiltaş & Işık, 2013; Dowlath, 2008; Doyle, 2006; English & Watters, 2004; Eraslan, 2011; Kertil, 2008; Keskin, 2008; Mousoulides & English, 2008; Mousoulides, Sriraman, Pittalis, & Christou, 2007; Sriraman, 2005; Tekin-Dede & Bukova-Güzel, 2013). For instance, in Keskin s research (2008), he investigated the knowledge, skills and views of mathematics teacher candidates on the subject of modeling by using the analysis method. At the end of the research it was observed that mathematics teacher candidates encountered some difficulty with the test for pre-mathematical modeling. However, they also were more successful with their final mathematical modeling test after being given information and shown examples on theoretical modeling during the semester. Also, in Eraslan s research (2011) where he analyzed the model formation activities of primary school teaching candidates and the effect of these activities on mathematics education, he reached the conclusion 1376