ÖN SİSMİK DEĞERLENDİRMEDE JAPON SİSMİK İNDİS YÖNTEMİNİN LİSE BİNALARINDA UYGULANMASI ÖZELLİKLERİ

Transkript

1 ÖN SİSMİK DEĞERLENDİRMEDE JAPON SİSMİK İNDİS YÖNTEMİNİN LİSE BİNALARINDA UYGULANMASI ÖZELLİKLERİ Azer A. KASIMZADE 1, Zeki KARACA 1, Barış SÖNMEZ 1 azer@omu.edu.tr, zekikrc@omu.edu.tr, barissonmez@hotmail.com Öz: Bu çalışmanın amacı, Japon Sismik İndis Yöntemi kullanılarak mevcut binaların deprem sırasındaki davranışının ön değerlendirilmesidir. Bu amaçla öncelikle çalışmada kullanılacak olan Japon Sismik İndis Yöntemi ile ilgili genel bilgiler ve bu yöntemin binalar üzerinde uygulanması sonucunda alınabilecek sonuçlar hakkında bilgiler verilmektedir. Daha sonra bu yöntemin kullanılmasında kolaylık sağlayacak bir program yapılmakta ve lise binalarında bu yöntem uygulanmaktadır. Uygulama ile hızlı değerlendirme sonucu sağlam gözüken az sayıda bina sonlu elemanlar metodu (SEM) ile incelenmekte ve çalışmanın bütününden bazı sonuçlar çıkarılmaktadır. Anahtar Kelimeler: Deprem, Mevcut Bina, Sismik Performans İndisi, Sismik Karar İndisi, Japon Sismik İndis Yöntemi, Sonlu Elemanlar Metodu Giriş Günümüzde herhangi bir deprem sonrasında oluşabilecek can ve mal kaybını en aza indirmek amacıyla, mevcut binaların yeni yönetmelik veya standartlara uygun olup olmadığının tespiti önem kazanmaktadır. Bu çalışmada kullanılan Japon Sismik İndis Yöntemi, çok katlı yapılar hariç mevcut betonarme binaların sismik performansının ön değerlendirilmesi amacıyla uygulanmaktadır. Bu yöntem kullanılarak bir yapı üzerinde bulunan sonuç sismik performansın derecesini ve seviyesini göstermemekte, yalnızca varsayılan bir deprem tehlikesine karşı bir yapının muhtemel sismik performansı nitel olarak belirlenmesine olanak sağlamaktadır. Kullanılan Yöntem Bu çalışmanın esası, Japon Sismik İndis Yöntemi uygulanarak mevcut binaların deprem sırasındaki davranışının ön değerlendirilmesidir. Kullanımı hızlı ve ucuz olan Japon Sismik İndis Yöntemi ni kullanarak mevcut binalar üzerinde herhangi bir ön inceleme gerektiğinde en azından incelenen binalar arasından olumlu ile olumsuzu birbirinden ayırmak amacı taşımaktadır. Bu yönetmelik (Okhubo, M., 1991) kat sayısı 6 dan az ve taşıyıcı sistemi perdeli veya perdesiz moment taşıyan iskelet sistemli yapılara uygulanabilmektedir. 30 yılın üzerinde yaşı olan ve şiddetli derecede bozulmaya sahip çok eski yapılar, yangın geçirmiş yapılar, son derece zayıf malzeme mukavemetine sahip yapılar ve alışılmamış taşıyıcı sisteme sahip yapılar bu yönetmeliğin kapsamı dışında kalmaktadır. Sismik Performans ve Sismik Karar İndislerinin Tanımlanması Yöntemde, bir yapının sismik performansı Sismik Performans İndisi I S ile temsil edilmekte, bulunan indis için ise yüksek bir değer, daha mükemmel bir sismik performansı ifade etmektedir. Yöntemde, bir yapı için sismik karar aşağıdaki bağıntılarla ifade edilmektedir. I S I SO (1) I (2) S I SO I S I SO : Sismik Performans İndisi : Yapının Sismik Karar İndisi (1) bağıntısını sağlayan bina öngörülen deprem yer hareketine karşı gerekenden daha fazla sismik performansa sahip olduğundan dolayı güvenli sayılmaktadır. Buradan binanın sadece depremle oluşan yıkıma karşı büyük olasılıkla güvenli olduğu sonucu çıkarılmaktadır. Bu sonuç binada hiç 1 Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, SAMSUN 464

2 yapısal hasar olmayacağı anlamına ise gelmemektedir. Bu durum standartta çok önemli bir noktayı oluşturmaktadır. Çünkü bu standartta yapısal hasarın kesin ölçülerine izin verilmekte ve bina sahiplerine yapısal güvenlik için yeterli bilgi açıklanabilmektedir. Bina sahipleri dahil toplumun, genellikle güvenlik deyince hiç zarar olmaması gerektiğini düşündüğü ise bilinen bir gerçektir. (2) bağıntısını sağlayan binalar öngörülen deprem yer hareketine karşılık sismik performans için kararsız ( şüpheli ) olarak kabul edilmektedir. Sismik Performans ve Sismik Karar İndislerinin Hesabı Yapılarda Sismik Performans İndisi (I S ) her katta ve her iki doğrultuda (3) bağıntısı yardımıyla hesaplan- maktadır. IS = EO SD T (Birimsiz) (3) Bağıntıda ; E 0 S D T : Temel yapısal performans indisi (Birimsiz) : Yapı taşıyıcı sistem tasarım ve boyutlama indisi (Birimsiz) : Yapının zamana bağlı bozulma indisi (Birimsiz) Yapılarda Sismik Karar İndisi (I SO ) (4) bağıntısı yardımıyla hesaplanmaktadır. ISO = ES Z G U (Birimsiz) (4) Bağıntıda ; E S Z G U : Yapı için temel sismik karar indisi (Birimsiz) : Sismik bölge faktör indisi (Birimsiz) : Zemin yapı etkileşim faktör indisi (Birimsiz) : Yapı kullanımıyla ilgili faktör indisi (Birimsiz) dir. Temel Yapısal Performans İndisi E 0 ın Hesabı E 0 indisi yapının bir tür potansiyel enerjisini simgeler ve çoğunlukla bir yapının nihai mukavemet indisi C ve süneklilik indisi F kullanılarak hesaplanmaktadır. Eğer yapı daha büyük mukavemet ve sünekliliğe sahipse, bina daha büyük enerji değerine sahip olmaktadır. E 0 indisini hesaplamak için bir yapının düşey elemanları Tablo 1. e göre üç farklı sınıfa ayrılmaktadır. E 0 indisinin hesabında kullanılan bağıntı, yapıyı oluşturan düşey elemanlar arasında kısa kolon olup olmamasına göre farklılık göstermektedir. Şekil 1. e göre h O D 2.0 eşitliğini sağlayan kolonlar yönteme göre kısa kolon olarak tanımlanmaktadır. Tablo 1. Ön İncelemede Kullanılan Elemanların Sınıflandırılması ELEMANLAR TANIMLAMA Kolon h O D Oranı 2 den Büyük Olan Kolonlar Kısa Kolon h O D Oranı 2 ye Eşit veya Küçük Olan Kolonlar Perde Duvar Sınır Elemanları Olan veya Olmayan Perde Duvarlar 465

3 h 0 Şekil 1. h 0 ve D D Kısa Kolonu Olmayan Yapılarda E 0 İndisinin Hesabı Tablo 1. e göre tanımlanan kısa kolonu olmayan bir yapının E 0 indisi (5) bağıntısı yardımıyla hesaplanmak- tadır. O ( n + 1) ( ) ( C ) W a1cc FW n + i E = + (5) Bağıntıda; n i C W C C a 1 F W : Bodrum katı hariç bir binanın kat sayısı : Göz önüne alınan kat : Perde duvarların mukavemetidir ve (7) bağıntısıyla hesaplanmaktadır. (Birimsiz) : Kolonların mukavemetidir ve (8) bağıntısıyla hesaplanmaktadır. (Birimsiz) : Yer değiştirme faktörü (Birimsiz) : Perde duvarların süneklilik indisidir (Birimsiz) a 1 genellikle 0.7 olarak alınır. Eğer C W = 0 ise a 1 = 1.0 alınmaktadır. F W genellikle 1.0 alınır. Kısa Kolonlu Yapılarda E 0 İndisinin Hesabı Tablo 1. e göre tanımlanan kısa kolonu olan bir yapının E 0 indisi (6) bağıntısı yardımıyla hesaplanmaktadır. O ( n + 1) ( ) ( C ) SC + a 2CW a 3CC FSC n + i E = + (6) Bağıntıda; C SC a 2, a 3 F SC : Kısa kolonun mukavemetidir ve (9) bağıntısıyla hesaplanmaktadır. (Birimsiz) : Yer değiştirme faktörleri, genellikle 0.7 ve 0.8 değerlerini almaktadır. (Birimsiz) : Kısa kolonun süneklilik indisidir ve genellikle 0.8 olarak alınmaktadır. (Birimsiz) Nihai Mukavemet İndisi C nin Hesabı f c C W = ( 30 A W A W A W3 ) (7) 200 W fc C C = ( 10 AC1 + 7 AC2 ) (8) 200 W 466

4 fc C SC = ( 200 W 15 ASC ) (9) Bağıntılarda; C W : Tablo 1. de tanımlandığı gibi perde duvarlar için mukavemet indisi (Birimsiz) C C : Tablo 1. de tanımlandığı gibi kolonlar için mukavemet indisi (Birimsiz) C SC : Tablo 1. de tanımlandığı gibi kısa kolonlar için mukavemet indisi (Birimsiz) A W1 : Perde duvarın her iki tarafında sınır kolonlarıyla perde duvarların enine kesit alanları toplamı (m 2 ) A W2 : Perde duvarın diğer tarafında bir sınır kolonuyla perde duvarların enine kesit alanları toplamı (m 2 ) A W3 : Kolonsuz, perde duvarların enine kesit alanları toplamı (m 2 ) A C1 : h 0 /D oranı 6 dan küçük olan kolonların enine kesit alanları toplamı (m 2 ) A C2 : h 0 /D oranı 6 ya eşit ve büyük olan kolonların enine kesit alanları toplamı (m 2 ) A SC : Tablo 1. de tanımlandığı gibi kısa kolonların enine kesit alanları toplamı (m 2 ) f C : Beton basınç dayanımı (kn/m 2 ) W : Göz önüne alınan kat üzerindeki bina ağırlığı. Birim döşeme alanı için 12 kn/m² alınır. Süneklilik İndisi F nin HesabıTablo 2. de gösterilen değerler Tablo 1. e karşılık gelen her düşey eleman için süneklilik indisi F yi belirtir. F ön incelemede düşey elemanın türüne göre 0.8 ile 1.0 değerlerini almaktadır. Tablo 2. Ön İncelemede Süneklilik İndisi F nin Sınıflandırılması ELEMANLAR F İNDİSİ DEĞERLERİ Kolon 1,0 Kısa Kolon 0,8 Perde Duvar 1,0 Yapı Taşıyıcı Sisteminin Özelliğini Belirten S D İndisinin HesabıS D değeri (10) bağıntısı kullanılarak hesaplanmaktadır. Tablo 3. de G i ve R i faktörleri verilmektedir. G i her inceleme maddesi hakkındaki değerleri, Ri bir binanın sismik performansına her maddenin etki derecesini Tablo 3. e göre ifade etmektedir. S = q *q *...* q (Birimsiz) (10) q q D 1a 1b ( 1 ( 1 G ) ) 1i İ R İ 1f = i = a, b, c, d, f ( 1.2 ( 1 G ) ) = i = e 1i İ R İ a a 1 a 2 a 3 b c d e f : Planın düzgünlüğü : Yaklaşık olarak simetrik plan ve çıkıntılı alan A, toplam döşeme alanının %10 undan az : L, T, veya U şeklinde plan veya A %30 dan az : a 2 den daha karışık plan : Bir yapının planında uzun kenarın kısa kenara oranı : Binanın plandaki genişliklerinden en küçük olanının ana genişliğe oranı : Genleşme derzinin açıklığının zeminden seviyeye kadar olan yüksekliğe oranı : Bodrum katındaki döşeme alanının 1. kattaki döşeme alanına oranı : Üst katların kat yüksekliğinin dikkat edilen kat yüksekliğine oranı, eğer en üst kattaysa değer olarak tersi alınır. Tablo 3. S D İndisinin Değerlendirilmesi için G i ve R i Faktörleri MADDELER G İ DEĞERİ R İ DEĞERİ R İ a. Düzgünlük a 1 a 2 a b. Uzunluk/Genişlik b<5 5<b<8 8<b

5 c. Genişlik Düzgünlüğü c> >c> >c 0.5 d. Genleşme derzi d>1/100 1/100>d>1/200 1/200>d 0.5 e. Bodrum/Birinci Kat Alan e> <e< >e 1.0 f. Kat yüksekliği f> >f> >f 0.5 Zamana Bağlı Bozulmayı Belirten T İndisinin Hesabı Bir yapıda T nin hesabı arazi kontrolleri sonucunda Tablo 4. e göre yapılmaktadır. Hesap sonunda bulunan en küçük T değeri tüm yapı için hesaplarda kullanılmaktadır. Tablo 4. T İndisi İçin Kontrol Maddeleri MADDELER DİKKAT EDİLEN DERECE T DEĞERİ 1-Yapı bir eğime veya düzensiz yerleşmeye sahip 0.7 Deformasyon 2-Yapı ıslah edilmiş zemine oturmuş Kirişlerde veya kolonlarda görünür çatlaklar Hiçbiri Yağmur sızması ve nervürlü çubukların korozyonunun gözlenmesi 0.8 Duvarlarda ve Kolon- Larda Çatlaklar Yangın geçirmiş Yapı kullanımı Yapı yaşı Bitirme 2-Kolonlarda görünür eğimli çatlaklar Duvarlarda bir çok görünür çatlak Yağmur sızması var ancak çubukların korozyonu yok Hiçbiri Geçirmiş onarılmamış Geçirmiş onarılmış Hiçbiri Kimyasal bileşik Hiçbiri yıldan fazla yıldan fazla yıldan az Dış duvarların şiddetli bozulması İçerde şiddetli bozulma Hiçbiri 1.0 Sismik Bölge Faktör İndisi Z nin Belirlenmesi Z indisi 0.7 den az 1.0 den büyük olamaz. Zeminin türüne göre Z 1 için 0.7, Z 2 için 0.8, Z 3 için 0.9, Z 4 için 1.0 alınabilir. Zemin Yapı Etkileşim Faktörü İndisi G nin Hesabı Tablo 5. Topoğrafik Etkiler İçin G İndisi GENEL DİK KAYA KISMEN TEPE ENGEBELİ YÜZEY TABAKASI

6 Tablo 5. Japon Hükümeti İmar Bakanlığı tarafından hazırlanan Sismik Denetleme ve Güçlendirme Kılavuzun dan alınmıştır. Tabloda 1.1 yerine 1.25 alınması, Shizuoka tarafından Sismik Eleme Standardında tavsiye edilmiştir. Yokohoma şehrinin sismik eleme üzerine standardı, G değerinin aşağıdaki gibi alınmasını tavsiye etmektedir. G = G (11) 1 G 2 G 3 G 1 G 2 G 3 : Zemin türüyle ilgili faktördür ve 1.0 alınabilir. : Topoğrafik etkilere bağlı faktördür ve (14) bağıntısıyla hesaplanmaktadır. : Zemin yapı etkileşimiyle ilgili faktördür ve 1.0 alınabilir. G 2 = ( 1 L / LO ) A + L / LO [ L < L o için ] G 2 = 1.0 [ L > L o için ] (12) L L o H A : Uçurumun kenarından binanın merkezine olan yatay mesafe : 2H olarak alınabilen uçurumun etkilediği alanın mesafesi : Uçurumun düşey yüksekliği : (15) bağıntısıyla hesaplanmaktadır. ( φ / 45 1)( H / V ) 1 A = 7 S + [ H > 3 ve φ < 45 için ] A = 1.0 [ H < 3 ve φ < 45 için ] (13) φ V s : Uçurumun eğim açısı : Kesme dalgalarının hızı H φ Yapı L Şekil 2. Bağıntılarda Kullanılan Bazı Simgeler Yapı Kullanımıyla İlgili Faktör İndisi U nun BelirlenmesiEğer yapı, deprem tehlikesine karşı; idare merkezi, tahliye merkezi ya da tehlikeli maddeleri depolama merkezi ise, Japon Hükümeti İmar Bakanlığı Yapı Araştırma Kurumu değer olarak 1.25 alınmasını önermektedir. Yöntemin Uygulanması Çalışmada Kullanılan Yöntemler kısmında verilen kuramsal bilgilere dayalı olarak uygulamaların kolaylaştırılması için uygun yazılım yapılmıştır. Japon Sismik İndis Yöntemi içerisinde belirtilen Sismik Performans ve Sismik Karar indislerini hesaplayan ve mevcut bina üzerinde Sismik Performans ve Sismik Karar indislerinin aldığı değere göre karar verebilen programın analiz sonucu örneği Şekil 3. de gösterilmektedir. 469

7 Şekil 3. Yapının Sismik Performans ve Sismik Karar İndislerinin Hesabına ilişkin Sonuçlar Örneği Yönetmelik kapsamına giren binaların yönetmelikte belirtilen hususlar çerçevesinde yerinde ve proje üzerinde incelenmesi sonucunda elde edilen parametreler, Şekil 3. de gösterilen programın verileri ilgili hücrelere yazıldığı takdirde C W, C C, C SC, E O ve S D katsayıları ve buna takiben I S ve I SO indisleri kısaca hesaplanmakta ve sonuca gidilmektedir. Programda her bir katsayının anlamı ve hangi durumda hangi değeri alabileceği ile ilgili bilgiler açıklama notları şeklinde programda verilmektedir. Herhangi bir katsayının bulunduğu hücrenin üzerine fare imleci ile gelindiğinde açıklama otomatik olarak görülmektedir. Bu çalışmanın yapılması sırasında ilk olarak Milli Eğitim Müdürlüğüne gidilerek binalarda incelemelerde bulunmak için gerekli resmi izinler alınmıştır. Gerekli izinler alındıktan sonra Samsun il sınırları içerisinde mevcut bulunan lise binaları tespit edilmiş ve bu binalardan yeterli sayıda projesi bulunan 8 tanesi alınarak projeler incelenmiştir. Çalışmada eldeki mevcut projelerin kesit ve görünüş olarak binalara uygunluğu tespit edilmekte ve binanın projeye uygunluğu tespit edildikten sonra Sismik Performans indisinin hesabı sırasında kullanılan parametrelerden T indisi ve S D indisinin hesaplanması sırasında kullanılan maddelerden olan d maddesi için bina yerinde incelenmekte ve alacağı değerler belirlenmektedir. Daha sonra Sismik Performans indisinin hesabı sırasında kullanılan denklemdeki diğer parametreler olan A W1, A W2, A W3, A C1, A C2, A SC ve S D indisinin hesaplanması sırasında kullanılan maddelerden geriye kalan a, b, c, e, f maddelerinin alacağı değerler incelenen binanın ilgili projeleri kullanılarak tespit edilmektedir. Sismik Performans ve Sismik Karar indislerinin hesaplanması sırasında kullanılan denklemlerde bulunan parametrelerin hepsi belirlendikten sonra bu parametreler, Şekil 3. de görülmekte olan akış çizelgesinde yerlerine konularak Sismik Performans ve Sismik Karar indisleri hızlı bir şekilde hesap edilmektedir. Bu işlem binanın her katında X ve Y yönünde tekrarlanarak bina için bir sismik karar verilmektedir. Bu işlemler sonucunda Olumlu-Güvenli kararı verilen bir binamız üzerinde incelemeler daha derinleştirilmek amacıyla Sonlu Elemanlar Metodu (Etabs, İde Yapı ve diğer yazılımlar) ile incelenmiştir ve karakteristik modellenme görüntüleri Şekil 4-9. da uygun olarak gösterilmektedir. Şekil 4. 3 Boyutlu Görünüm 470

8 Şekil 5. Karşıdan Görünüş Şekil 6. Kat Planı Şekil 7. Binanın Sol Kısmının Görünümü 471

9 Şekil 8. Binanın Orta Kısmının Görünümü Şekil 9. Binanın Sağ Kısmının Görünümü Sonuçlar Bu çalışma kapsamında Samsun il merkezinde bulunan lise binaları Japon Sismik İndis Yöntemi ne göre deprem davranışları açısından performans testine tabi tutulmakta ve çalışma sonucunda yöntem ile ilgili temel bulgular aşağıda özetlenmektedir. Yöntem yapıların deprem performans davranışlarının saptanmasında fazla detaya gereksinim duyulmadan hızlı karar vermeye olanak sağlamaktadır. Yöntemin mevcut binalar üzerinde uygulanması sırasında fazla detaya gereksinim duyulmadığından yöntem uygulanış açısından hem zaman hem de maddi yönden fazla bir kayba neden olmamaktadır. 472

10 Yöntemin uygulanmasında bazı kabul ve kısıtlamalar vardır. Yöntemdeki kabuller kat sayısı 6 dan az ve taşıyıcı sistemi perde duvarlı veya perde duvarı olmadan moment taşıyan iskelet sistemli yapılara uygulanabilmesi, kısıtlamalar ise 30 yılın üzerinde yaşı olan ve şiddetli derecede bozulmaya sahip çok eski yapılara, yangın geçirmiş yapılara, son derece zayıf malzeme mukavemetine sahip yapılara ve alışılmamış taşıyıcı sisteme sahip yapılara uygulanamamasıdır. Yöntemin uygulanması sonucunda alınacak bir olumlu karar, binada herhangi bir hasar olmayacağını değil, binanın olası bir deprem sırasında toptan göçmeye karşı güvenli olacağı anlamına gelmektedir. Dolayısıyla bir bina üzerinde bulunan sonuç, sismik performansın derecesini ve seviyesini göstermemekte, yalnızca bu yöntem ile varsayılan bir deprem tehlikesine karşı yapının olası sismik performansı nitel olarak belirlenmektedir. Bu yöntemle mevcut binaların deprem sırasındaki davranışının ön değerlendirilmesi yapılmakta ve birden fazla binanın incelenmesi sonucunda incelenen binalar arasından olumlu olanların çıkarılarak, yapılacak çalışmanın olumsuz binalar üzerine yoğunlaştırılmasına ve daha verimli olmasına olanak sağlanmaktadır. Bulunan Sismik Performans ve Sismik Karar İndisleri kullanılarak, incelenecek bina grupları en olumsuzdan olumluya doğru sıralanabilmekte ve böylece yapılacak bir çalışma öncesinde akış programı için fikir edinilmektedir. Çalışma sonucunda yöntemin binalar üzerinde uygulanması sonucunda alınan sonuçlar aşağıda özetlenmektedir. Yapılan bu çalışmanın sonucunda Samsun ili Merkez ilçe sınırları içerisinde bulunan lise binalarının tümünün yerinde ve projeleri üzerinde incelenmesi sonucunda binaların 1998 Türk Deprem yönetmeliğinde de belirtilen düzensizliklere rastlanmamıştır. Japon Sismik İndis Yöntemi ne göre incelenen 8 okul binasının 7 tanesinden Güvensiz-Şüpheli, kalan bir binada ise Olumlu-Güvenli sonucu elde edilmiştir. Olumlu sonuç alınan bina sonlu elemanlar metodu ile modellenmiş ve yapılan analizlerle incelemeler daha derinleştirilmiştir [Kasımzade, A., 2004]. Yapının modellenmesi sırasında incelenen binalar okul binası olduğundan dolayı Yapı Önem Katsayısı I=1.4, döşeme yükleri 500 kg/m 2 ve yapının taşıyıcı sistemi Deprem yüklerinin çerçeveler ile boşluksuz ve/veya bağ kirişli (boşluklu) perdeler tarafından birlikte taşındığı binalar sınıfına girdiğinden dolayı Taşıyıcı Sistem Davranış Katsayısı R=7 olarak alınmıştır. Binanın modellenmesi sonrası yapılan analiz ve boyutlandırılması işlemlerinin sonrasında alınan raporlarda herhangi bir olumsuz duruma rastlanmamıştır. Buradan hareketle de Japon Sismik İndis Yöntemi nin, daha önce belirtilen pozitif yönleri ışığında, ön sismik değerlendirmede başarıyla kullanılabileceği sonucuna varılmaktadır. KAYNAKLAR 1. Okhubo, M., Current Japanese System On Seismic Capacity and Retrofit Techniques for Existing Reinforced Concrete Buildings and Post-Earthquake Damage İnspection and Restoration Techniques, Department of Applied Mechanics and Engineering Sciences University of California, San Diego, pp Kasımzade, A. A., Yapı Dinamiği, 2. Baskı, Birsen Yayınevi. 3. Kasımzade, A. A., Sonlu Elemanlar Metodu, 2. Baskı, Birsen Yayınevi. 473