Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y

Transkript

1 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz. Önce toplamadan bafllayal m. Dizilerimiz hep kesirli say dizileri olacak Toplama lk teoremimiz, limit alma iflleminin dizileri toplama ifllemine da ld n söyleyecek: lim n (x n +y n ) = lim n x n + lim n y n. Teorem 9.1. Y kümesi toplama alt nda kapal d r, yani iki yak nsak dizinin toplam da yak nsakt r. Dahas, e er (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b say lar na yak ns yorsa, (x n y n ) n dizisi a + b say s na yak nsar, yani, lim n (x n y n ) = lim n x n lim n y n olur. Kan t: Önce kan t n felsefesinden sözedelim, bu önemli. Yani tam matematiksel kan t yapmadan kan t n anafikrini anlatmaya çal flal m. Kan t n uzunlu una aldanmas n okur, kan t k sac kt r. Ama uzun uzun anlat yoruz...

2 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Varsay ma göre (x n ) n dizisini a ya diledi imiz kadar yaklaflt rabiliyoruz. Gene varsay ma göre, (y n ) n dizisini b ye diledi imiz kadar yaklaflt rabiliyoruz. Dolay s yla (x n +y n ) n dizisini a+b ye diledi imiz kadar yaklaflt rabilmemiz gerekir... a b a+b x n y n x n +y n Bir daha deneyelim: Varsay ma göre, yeterince büyük n ler için, x n terimi a ya çok yak n olabiliyor. Gene varsay ma göre, yeterince büyük n ler için, y n terimi b ye çok yak n olabiliyor. Dolay s yla, yeterince büyük n ler için, x n + y n terimi a + b ye çok yak n olabilmeli... Yukarda söylenenlerin okuru ayd nlatt n umarak matematiksel kan ta geçelim. Kan t m z her zamanki gibi bafllayacak: > 0, herhangi bir kesirli say olsun... (x n + y n ) n dizisinin a + b say s na yak nsad n göstermek istedi imize göre, öyle bir N say s bulmal y z ki, her n > N için, (x n + y n ) (a + b) < olsun. E er n yi yeterince büyük seçersek, x n a ve y n b say lar n istedi imiz kadar küçültebilece imizi biliyoruz. Dolay - s yla, kan tlamak istedi imiz yukardaki eflitsizli e bir biçimde x n a ve y n b say lar n sokuflturmal y z, bu say lar devreye girmeli ki varsay mlar kullanabilelim. Tekrar: (x n + y n ) (a + b) < eflitsizli inin sa lanmas için n nin ne kadar büyük seçilmesi gerekti ini bulaca z. Her zaman oldu u gibi sol taraftaki ifadeyle oynayaca z. O ifadeden birazc k daha büyük bir ifade bulaca z. Buldu umuz bu büyük ifadeyi 1) Varsay mlar m z kullanaca m z biçimde, 2) n yi yeterince büyük seçerek diledi imiz kadar küçültece imizden emin olaca m z biçimde seçece- iz. Bafllayal m:

3 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 281 (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) x n a + y n b. fiimdi, (x n + y n ) (a + b) ifadesi yerine, x n a + y n b ifadesini dan küçük yapmaya çal flabiliriz. E er, x n a ve y n b ifadelerinin her biri /2 den küçük olursa, toplamlar dan küçük olur. Zaten bunu yapmas n biliyoruz, çünkü (x n ) n dizisinin limiti a, (x n ) n dizisinin limiti b... (x n ) n dizisinin limiti a oldu undan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için, x n a < /2 olur. Benzer nedenden, öyle bir N 2 do al say s vard r ki, her n > N 2 için, y n b < /2 olur. Biz her iki eflitsizli in birden do ru olmas n istedi imizden, n yi hem N 1 den hem de N 2 den büyük almal y z. Dolay - s yla, e er N = max{n 1, N 2 } ise, n > N oldu unda, n, hem N 1 den hem de N 2 den büyük olur ve yukardaki iki eflitsizli in ikisi birden do ru olur. fiimdi Teorem 1 in birkaç sat rl k kan - t yazabiliriz: Teorem 1 in Kan t : > 0, herhangi bir kesirli say olsun. (x n ) n dizisinin limiti a oldu undan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için, x n a < /2 olur. Benzer nedenden, öyle bir N 2 vard r ki, her n > N 2 için, y n b < /2 olur. fiimdi N = max{n 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, hem n > N 1 hem de n > N 2 oldu undan, (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) x n a + y n b /2 + /2 = olur. Kan t tamamlanm flt r.

4 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Ayn kan t yöntemini toplama yerine ç karma ifllemine de uygulayabiliriz Ç karma Teorem 9.2. Y kümesi ç karma alt nda kapal d r, yani iki yak nsak dizinin fark da yak nsakt r. Dahas, e er (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b say lar na yak ns yorsa, (x n y n ) n dizisi a b say s na yak nsar, yani, lim n (x n y n ) = lim n x n lim n y n olur. Kan t: > 0, herhangi bir kesirli say olsun. (x n ) n dizisinin limiti a oldu undan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için, x n a < /2 dir. Benzer nedenden, öyle bir N 2 vard r ki, her n > N 2 için, y n b < /2 dir. fiimdi N = max{n 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, hem n > N 1 hem de n > N 2 oldu undan, (x n y n ) (a b) = (x n a) + (b y n ) x n a + b y n = x n a + y n b /2 + /2 = olur. Kan t tamamlanm flt r. Ayn önerme, ama bu sefer de iflik bir kan tlama yöntemiyle çarpma için de geçerli Çarpma Teorem 9.3.Y kümesi çarpma alt nda kapal d r, yani iki yak nsak dizinin çarp m da yak nsakt r. Dahas, e er (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b say lar na yak ns yorsa, (x n y n ) n dizisi ab say s na yak nsar, yani, lim n x n y n = (lim n x n )(lim n y n ) olur.

5 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 283 Kan t: (x n y n ) n dizisinin ab say s na yak nsad n göstermek istedi imize göre, herhangi bir > 0 kesirli say seçildi inde, öyle bir N say s bulmal y z ki, her n > N için, x n y n ab < olsun. Bir baflka deyiflle, x n y n ab < eflitsizli inin geçerli olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulmaya çal flmal y z. E er n yi yeterince büyük seçersek, x n a ve y n b say lar n istedi imiz kadar küçültebilece imizi biliyoruz. Dolay s yla, kan tlamak istedi imiz yukardaki eflitsizli e bir biçimde x n a ve y n b say lar n sokuflturmal y z, bu say lar devreye girmeli ki varsay mlar kullanabilelim. Her zamanki gibi sol taraftaki x n y n ab ifadesiyle oynamal y z. Bu ifadeyi hafifçe büyüterek, iflin içine x n a ve y n b ifadelerini sokmal y z. Bunu yapmak için matematikte s k s k kullan lan ufak bir hile vard r. flte o hile: x n y n ab = x n y n x n b + x n b ab x n y n x n b + x n b ab = x n y n b + x n a b. fiimdi en sa daki x n y n b + x n a b toplam n dan küçük yapmal y z. Ama bu mümkün müdür? Her iki x n y n b ve x n a b terimini de /2 den küçük yapabilirsek, o zaman bunlar n toplamlar da /2 + /2 = dan küçük olur ve kan t m z baflar yla tamamlam fl oluruz. Önce görece kolay olan x n a b terimini (n yi yeterince büyük yaparak) /2 den küçük yapal m. Bunun için, x n a terimini /2 b den küçük yapmak yeterli. Ama dikkat, e er b = 0 ise, b ye bölemeyiz... Hiç önemli de il! Bu sorunun çözümü gayet basit: x n a b < x n a (1 + b ) oldu undan, x n a terimini 2( 1 b)

6 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama den küçük yapmak yeterli! Bunu yapabilir miyiz? Evet! Bu say 0 dan büyük kesirli bir say oldu undan, öyle bir N 1 say s vard r ki, her n > N 1 için, xn a 2( 1 b) eflitsizli i do rudur. fiimdi x n y n b terimini de /2 den küçük yapmaya çal flmal y z. y n b terimini istedi imiz kadar küçültebilece imizi biliyoruz. Ama bu yetmez... Çünkü bu terimin yan na yap flm fl bir de x n terimi var. E er x n çok artarsa, o zaman bu terimi, küçüldü ünü bildi imiz y n b terimiyle çarpt m zda, çarp - m n çok küçülece inden emin olamay z. Örne in, y n b terimi 1/n gibi küçülebilir ama x n terimi n gibi artabilir. O zaman da çarp mlar olan x n y n b terimi n büyükken 1 civar nda dolan r durur ve hiçbir zaman /2 kadar küçülemez. ( un küçük bir say oldu unu unutmay n.) Neyse ki böyle bir sorunla karfl laflmay z, çünkü birazdan kan tlayaca m z üzere, (x n ) n dizisi yak nsak oldu undan s n rl d r (Teorem 4) ve dizinin her x n terimi belli bir B > 0 kesirli say s ndan küçüktür. Demek ki (e er Teorem 4 ü do ru kabul edersek), x n y n b < B y n b eflitsizli i geçerlidir. fiimdi en sa daki B y n b ifadesini /2 dan küçük yapmak yeterlidir. B y n b ifadesini /2 den küçük yapmak için ise de, y n b ifadesini 2B den küçük yapmak yeterlidir. Bunu baflarabiliriz dostum! Ne de olsa bu say pozitif bir kesirli say d r ve y n b say s yeterince büyük n ler için bu say n n alt na iner: Öyle bir N 2 say s vard r ki, her n > N 2 için, y n b 2B

7 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 285 eflitsizli i do rudur. Demek ki, x y b B y b B n n n 2B 2 eflitsizli i geçerlidir. fiimdi N = max{n 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, hem n > N 1 hem de n > N 2 oldu undan, x y ab x y x b x b ab n n n n n n x y x b x b ab n n n n x y b x a b n n n B y b x a b n B y b x a 1 b n B b B b Afla da tamamlayaca m z ufak bir eksiklik d fl nda kan t - m z bitmifltir. Teorem 9.4. Yak nsak bir dizi s n rl d r. Yani Y B. Kan t: Kan t n anafikri çok basit: E er bir dizi a ya yak ns - yorsa, bu dizinin terimleri a dan pek uzakta olamazlar... fiimdi teoremi matematiksel olarak kan tlayal m. Bir a say s na yak nsayan bir (x n ) n dizisi ele alal m. Yak nsaman n tan m nda u 1 e eflit alal m. 1, 0 dan büyük bir kesirli say oldu undan buna hakk m z var. O zaman dizinin terimleri belli bir N göstergecinden sonra (a1, a + 1) aral na düfler, yani her n > N için, x n (a1, a + 1) olur. Geriye sonlu say da x 0, x 1,..., x N terimi kal r. Bunlar da s n rl bir aral a s arlar elbette n n

8 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama x N+1 x N+3 x N+2 x N x 0 ( x 1 ) a1 a a+1 Daha biçimsel olal m ve A = min{x 0, x 1,..., x N, a} 1, B = max{x 0, x 1,..., x N, a} + 1 tan mlar n yapal m. O zaman her x n terimi (A, B) aral na düfler. Demek ki dizi s n rl d r. Böylece Teorem 3 ün de kan t tamamland. lk üç teorem, s(1) Y olgusuyla birlikte (s(1), sabit 1 dizisidir ve Y nin çarpma iflleminin etkisiz eleman d r), yak nsak diziler kümesi Y nin bir halka oldu unu söylüyor, hatta bu üç teorem Y nin, tüm diziler halkas D nin bir althalkas oldu unu söylüyor. Teorem 4 de, ayr ca, Y nin s n rl diziler halkas B nin bir althalkas oldu unu söylüyor. Althalkal k iflaretiyle gösterilir. Demek ki, Y B D iliflkilerini (eflitsizliklerini de il!) kan tlad k Mutlak De er Önsav 9.5. E er x = (x n ) n yak nsak bir diziyse, ( x n ) n dizisi de yak nsakt r ve lim n x n = lim n x n olur. Kan t: lim n x n = a olsun. lim n x n = a eflitli ini kan tlayaca z. Her zaman oldu u gibi bir > 0 kesirli say s seçelim. Her n > N için, x n a < eflitsizli inin geçerli oldu u bir N do al say s (göstergeci) bulaca z. Bunun için afla daki gri kutuda kan tlanan ünlü eflitsizli i kullanaca z:

9 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 287 x n a x n a. Demek ki x n a < eflitsizli ini elde etmek için, x n a < eflitsizli ini elde etmek yeterli. Nitekim, lim n x n = a oldu undan, öyle bir N do al say s vard r ki, her n > N için, x n a < eflitsizli i geçerlidir. Demek ki, n > N için, x n a x n a <. Önsav kan tlanm flt r. Eflitsizli i a, b olsun. Üçgen eflitsizli inden, a = (a b) + b a b + b elde ederiz. Demek ki, a b a b. Ayn nedenden, a ile b nin rollerini de ifltirirsek, a b = b a b a buluruz. Demek ki a b, hem a b say s ndan, hem de bunun eksisi olan b a say s ndan büyükeflit, yani a b say s n n mutlak de erinden büyükeflit: a b a b. Al flt rmalar fiu önermeyi kan tlay n: (x n ) n dizisi yak nsaksa ve a ise (ax n ) n dizisi de yak nsakt r ve lim n ax n = a lim n x n olur E er ( x n ) n dizisi 0 a yak ns yorsa (x n ) n dizisinin de 0 a yak nsad n kan tlay n (x n ) n dizisi yak nsaksa ve kise (x n k )n dizisinin de yak nsak oldu unu ve lim n x n k = (limn x n ) k eflitli ini kan tlay n.

10 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 9.5. Yak nsak Diziler ve S ralama Yak nsak dizilerle bölme aras ndaki iliflkiyi irdelemeden önce yak nsak dizilerle s ralama aras ndaki iliflkiyi irdeleyelim. Önsav 9.6. (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b ye yak nsas nlar. E er belli bir göstergeçten sonra hep x n y n eflitsizli i sa lan yorsa, o zaman a b olur. Kan t: E er z n = x n y n tan m n yaparsak, Teorem 2 ye göre, (z n ) n dizisi c ye yak nsas n. E er belli bir göstergeçten sonra hep z n 0 eflitsizli i sa lan yorsa, o zaman c 0 olur önermesini kan tlaman n yeterli oldu unu görürüz. Tam tersine, c nin negatif oldu unu varsayal m. Demek ki c = c. c Varsay ma göre öyle bir N 0 vard r ki n > N 0 için, z n 0 olur. Ayr ca, (z n ) n dizisi c ye yak nsad ndan, öyle bir N 1 vard r ki n > N 1 için, z n c c /2 olur. Bunu görmek için, yak nsaman n tan m nda = c /2 > 0 almak yeterli. Demek ki, c /2 z n c c /2. Dolay s yla z n c + c /2. fiimdi n, hem N 0 dan hem de N 1 den büyük bir göstergeç olsun. O zaman, z n c + c /2 = c + c /2 = c /2 < 0, çeliflki. Al flt rma. (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b ye yak nsas nlar. E er sonsuz say da n göstergeci için x n y n eflitsizli i sa lan yorsa, o zaman a b oldu unu kan tlay n. z n ( ) c /2 c /2 0

11 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama S f ra Yak nsayan Diziler Bölmeye geçmeden önce bir de 0 a yak nsayan dizilere bakal m. Bu dizilerin kümesine Y 0 diyelim. Y 0 kümesi de toplama, ç - karma ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r ama çarpman n etkisiz eleman olan s(1) dizisini içermedi inden (bizim bu terime verdi imiz anlamda) halka de ildir. Bu dezavantaj na karfl n Y 0 kümesinin bir üstünlü ü vard r: Önsav a yak nsayan bir diziyle s n rl bir dizinin çarp m 0 a yak nsar. Yani BY 0 Y 0. (Asl nda eflitlik geçerli tabii.) Kan t: (x n ) n, 0 a yak nsayan, (y n ) n de s n rl bir dizi olsun. (x n y n ) n dizisinin de 0 a yak nsad n kan tlayaca z. Kan t m - za, art k al fl k oldu umuz sözlerle bafllayal m: > 0, herhangi bir kesirli say olsun. Öyle bir N bulmal y z ki, her n > N için, x n y n < olsun, yani x n y n < olsun. (x n ) n dizisi 0 a yak nsad ndan, yeterince büyük n göstergeçleri için x n say s n n çok küçülece ini biliyoruz. Ama araya bir de y n girmifl. E er y n çok büyürse, x n y n say s n küçültmekte zorlanabiliriz. Neyse ki y n ler çok büyüyemezler, çünkü varsay ma göre (y n ) n dizisi s n rl. Bu olguyu kullanmal y z kan t m zda. B, y n lerin bir üsts n r olsun: Her n için, y n < B. B nin 0 olamayaca na dikkatinizi çekerim. fiimdi, her n için, x n y n B x n. Dolay s yla, B x n yi dan küçük yapmak yeterli, o zaman x n y n otomatik olarak dan küçük olur; bunun için de x n yi /B say s ndan küçük yapmak yeterli ve bunu da baflarabiliriz: (x n ) n dizisi 0 a yak nsayan bir dizi oldu undan, öyle bir N vard r ki,

12 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama e er n > N ise, x n < /B dir. Dolay s yla, her n > N için, x n y n = x n y n < B x n < B/B =. stedi imiz kan tlanm flt r. Bir R halkas n n, ç karma alt nda kapal, bofl olmayan ve RIIve IRI içindeliklerini sa layan I altkümelerine R nin ideali ad verilir ve bu durum I R olarak gösterilir. Demek ki Y 0 B Bölme fiimdi Y nin tersinir elemanlar n bulal m. Yani öyle yak nsak dizileri bulal m ki, gene yak nsak bir diziyle çarp nca, sonuç sabit 1 dizisi s(1) olabilsin. Demek ki belli bir (y n ) n yak nsak dizisi için, (x n ) n (y n ) n = s(1) eflitli ini sa layan (x n ) n yak nsak dizilerini ar yoruz. Böyle bir (y n ) n dizisi varsa x n y n = 1 olmal, yani her n için x n 0 ve y n = 1/x n olmal. Sonuç: Her terimi 0 dan de iflik olan hangi (x n ) n yak nsak dizileri için, (1/x n ) n dizisinin yak nsak oldu unu bulmal y z. Teorem 9.8. E er (x n ) n yak nsak dizisinin her terimi 0 dan de iflikse ve dizi 0 a yak nsam yorsa, o zaman (1/x n ) n dizisi de yak nsakt r ve 1 1 limn xn limn xn dir. Ayr ca e er (x n ) n dizisi 0 a yak ns yorsa (1/x n ) n dizisi raksakt r. Daha simgesel bir ifadeyle Y * = {x Y : her n için x n 0 ve x Y 0 } = (Y \ Y 0 ) D* olur. Kan t: E er x = (x n ) n Y * ise, her n için x n 0 olmas gerekti i bariz. y = (y n ) n Y *, x in tersi olsun. E er a ve b s ras yla x ve y dizilerinin limitiyse, o zaman Teorem 3 e göre,

13 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama = lim s(1) = lim x n y n = lim x n lim y n = ab, dolay s yla b 0. fiimdi xy \ Y 0, her n için x n 0 koflulunu sa las n. x in tersinir oldu unu, yani (1/x n ) n dizisinin yak nsak oldu unu gösterelim. E er a 0 say s (x n ) n dizisinin limitiyse, 1/a say s n n (1/x n ) n dizisinin limiti oldu unu gösterece iz. > 0, herhangi bir kesirli say olsun. Öyle bir N bulmak istiyoruz ki, her n > N için, 1/x n 1/a < olsun. 1/x n 1/a ifadesiyle oynayarak, bu ifadenin dan küçük olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulaca z. Oynamaya bafllayal m: 1 1 a x xn a a xn Sa daki ifadenin pay n diledi im kadar küçük yapabilirim, çünkü (x n ) n dizisi a ya yak ns yor, burada bir sorun yok. Paydadaki a sabit bir say, bu da sorun yaratmaz. Ama x n sorun yaratabilir, çünkü e er x n çok küçülürse, o zaman ifade çok büyüyebilir ve ifadenin dan küçük oldu unu kan tlayamay z. Teoremin do ru olmas için x n ler belli bir pozitif say dan küçük olmamal. Bu do rudur ve (x n ) n dizisinin limitinin 0 olmamas ndan kaynaklan r ama gene de bir kan ta ihtiyac vard r. Bir sonraki önsavda bunu kan tlayaca z. Bir sonraki önsava göre, öyle bir > 0 var ki, her n için, x n > d r. fiimdi yukardaki hesab bir ad m daha devam ettirebiliriz: 1 1 a x xn a a xn fiimdi en sa daki ifadenin dan küçük olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulal m. Bu ifadenin dan kü- n n. a xn a.

14 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama çük olmas için, ax n, a dan küçük olmal ve a > 0 oldu undan bunu yapabiliriz: N, her n > N için, a x n < a eflitsizli ini sa layan bir say olsun. fiimdi N den büyük her n için, 1 1 a x xn a a xn n a x a a. a Bir sonraki önsav da kan tlarsak kan t m z tamamen tamamlanm fl olacak. Önsav 9.9. i. E er (x n ) n yak nsak dizisi 0 a yak nsam yorsa, öyle bir N do al say s ve > 0 vard r ki, her n > N için, x n > olur. ii. E er (x n ) n yak nsak dizisi 0 a yak nsam yorsa ve her terimi 0 dan de iflikse, öyle bir > 0 vard r ki, her n için, x n > olur. Kan t: Önsav 5 e göre, (x n ) n yerine ( x n ) n dizisini al p x n 0 eflitsizli ini varsayabiliriz. (x n ) n dizisi a ya yak nsas n. Önsav 6 ya ve varsay ma göre a > 0 olmal. E er = a/2 al rsak, her n > N için, x n a < a/2 eflitsizli ini, yani a/2 < x n a < a/2 eflitsizliklerini sa layan bir N nin oldu unu görürüz. Demek ki, n > N için, a a/2 < x n eflitsizli i sa lan r. fiimdi = a/2 al rsak, birinci k sm kan tlam fl oluruz. kinci k sma geçelim. Yukardaki yerine, = min{ x 0 /2, x 1 /2,..., x N /2,a/2} alal m. Varsay mdan dolay > 0 ve a n n, N nin ve n n tan mlar ndan dolay, her n için, x n >. n

15 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama S ralama Teorem 9.10 [Sandviç Teoremi]. (x n ) n, (y n ) n ve (z n ) n üç dizi olsun. x n y n z n eflitsizliklerinin belli bir M göstergecinden sonra do ruysa ve (x n ) n ve (z n ) n dizileri ayn elemana yak ns - yorsa, (y n ) n dizisi de bu elemana yak nsar. Kan t: (x n ) n ve (z n ) n dizileri a ya yak nsas nlar. (y n ) n dizisinin de a ya yak nsad n kan tlayaca z, yani > 0, herhangi bir pozitif say ysa, y n a < eflitsizli inin her n > N için do ru oldu u bir N say s bulaca- z. > 0 verilmifl olsun. y n a < eflitsizli inin do ru olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulaca z. Bunun için y n a ifadesiyle oynayaca z. Hesaplarda rahat etmek için n > M alal m. Bu k s tlama yetmeyecek ama bu sayede, hiç olmazsa, y n a = a x n + x n y n a x n + x n y n = a x n + (y n x n ) a x n + (z n x n ) a x n + z n a + a x n = 2 a x n + z n a eflitsizli ini elde ederiz. Demek ki en sondaki ifadeyi dan küçük yapmak yeterli. (x n ) n dizisi a ya yak nsad ndan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için x n a = a x n < /3 olur. Ayn nedenden, öyle bir N 2 vard r ki, her n > N 2 için a z n < /3 olur. fiimdi N = max{m, N 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, y n a = 2 a x n + z n a < 2/3 + /3 = elde ederiz.

16 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama kinci Kan t: Bir > 0 verilmifl olsun. a, (x n ) n ve (z n ) n dizilerinin limiti olsun. O zaman büyük n ler için, hem a < x n a a a+ E er n yeterince büyükse, hem x n y n z n olur hem de bu üç say bu aral kta olurlar. hem de z n < a + olur. Demek ki belki biraz daha büyük n ler için a < x n y n z n < a + olur. Bu büyük n ler için a < y n < a +, yani y n a < olur. Teorem kan tlanm flt r.