Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y"

Transkript

1 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz. Önce toplamadan bafllayal m. Dizilerimiz hep kesirli say dizileri olacak Toplama lk teoremimiz, limit alma iflleminin dizileri toplama ifllemine da ld n söyleyecek: lim n (x n +y n ) = lim n x n + lim n y n. Teorem 9.1. Y kümesi toplama alt nda kapal d r, yani iki yak nsak dizinin toplam da yak nsakt r. Dahas, e er (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b say lar na yak ns yorsa, (x n y n ) n dizisi a + b say s na yak nsar, yani, lim n (x n y n ) = lim n x n lim n y n olur. Kan t: Önce kan t n felsefesinden sözedelim, bu önemli. Yani tam matematiksel kan t yapmadan kan t n anafikrini anlatmaya çal flal m. Kan t n uzunlu una aldanmas n okur, kan t k sac kt r. Ama uzun uzun anlat yoruz...

2 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Varsay ma göre (x n ) n dizisini a ya diledi imiz kadar yaklaflt rabiliyoruz. Gene varsay ma göre, (y n ) n dizisini b ye diledi imiz kadar yaklaflt rabiliyoruz. Dolay s yla (x n +y n ) n dizisini a+b ye diledi imiz kadar yaklaflt rabilmemiz gerekir... a b a+b x n y n x n +y n Bir daha deneyelim: Varsay ma göre, yeterince büyük n ler için, x n terimi a ya çok yak n olabiliyor. Gene varsay ma göre, yeterince büyük n ler için, y n terimi b ye çok yak n olabiliyor. Dolay s yla, yeterince büyük n ler için, x n + y n terimi a + b ye çok yak n olabilmeli... Yukarda söylenenlerin okuru ayd nlatt n umarak matematiksel kan ta geçelim. Kan t m z her zamanki gibi bafllayacak: > 0, herhangi bir kesirli say olsun... (x n + y n ) n dizisinin a + b say s na yak nsad n göstermek istedi imize göre, öyle bir N say s bulmal y z ki, her n > N için, (x n + y n ) (a + b) < olsun. E er n yi yeterince büyük seçersek, x n a ve y n b say lar n istedi imiz kadar küçültebilece imizi biliyoruz. Dolay - s yla, kan tlamak istedi imiz yukardaki eflitsizli e bir biçimde x n a ve y n b say lar n sokuflturmal y z, bu say lar devreye girmeli ki varsay mlar kullanabilelim. Tekrar: (x n + y n ) (a + b) < eflitsizli inin sa lanmas için n nin ne kadar büyük seçilmesi gerekti ini bulaca z. Her zaman oldu u gibi sol taraftaki ifadeyle oynayaca z. O ifadeden birazc k daha büyük bir ifade bulaca z. Buldu umuz bu büyük ifadeyi 1) Varsay mlar m z kullanaca m z biçimde, 2) n yi yeterince büyük seçerek diledi imiz kadar küçültece imizden emin olaca m z biçimde seçece- iz. Bafllayal m:

3 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 281 (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) x n a + y n b. fiimdi, (x n + y n ) (a + b) ifadesi yerine, x n a + y n b ifadesini dan küçük yapmaya çal flabiliriz. E er, x n a ve y n b ifadelerinin her biri /2 den küçük olursa, toplamlar dan küçük olur. Zaten bunu yapmas n biliyoruz, çünkü (x n ) n dizisinin limiti a, (x n ) n dizisinin limiti b... (x n ) n dizisinin limiti a oldu undan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için, x n a < /2 olur. Benzer nedenden, öyle bir N 2 do al say s vard r ki, her n > N 2 için, y n b < /2 olur. Biz her iki eflitsizli in birden do ru olmas n istedi imizden, n yi hem N 1 den hem de N 2 den büyük almal y z. Dolay - s yla, e er N = max{n 1, N 2 } ise, n > N oldu unda, n, hem N 1 den hem de N 2 den büyük olur ve yukardaki iki eflitsizli in ikisi birden do ru olur. fiimdi Teorem 1 in birkaç sat rl k kan - t yazabiliriz: Teorem 1 in Kan t : > 0, herhangi bir kesirli say olsun. (x n ) n dizisinin limiti a oldu undan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için, x n a < /2 olur. Benzer nedenden, öyle bir N 2 vard r ki, her n > N 2 için, y n b < /2 olur. fiimdi N = max{n 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, hem n > N 1 hem de n > N 2 oldu undan, (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) x n a + y n b /2 + /2 = olur. Kan t tamamlanm flt r.

4 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Ayn kan t yöntemini toplama yerine ç karma ifllemine de uygulayabiliriz Ç karma Teorem 9.2. Y kümesi ç karma alt nda kapal d r, yani iki yak nsak dizinin fark da yak nsakt r. Dahas, e er (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b say lar na yak ns yorsa, (x n y n ) n dizisi a b say s na yak nsar, yani, lim n (x n y n ) = lim n x n lim n y n olur. Kan t: > 0, herhangi bir kesirli say olsun. (x n ) n dizisinin limiti a oldu undan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için, x n a < /2 dir. Benzer nedenden, öyle bir N 2 vard r ki, her n > N 2 için, y n b < /2 dir. fiimdi N = max{n 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, hem n > N 1 hem de n > N 2 oldu undan, (x n y n ) (a b) = (x n a) + (b y n ) x n a + b y n = x n a + y n b /2 + /2 = olur. Kan t tamamlanm flt r. Ayn önerme, ama bu sefer de iflik bir kan tlama yöntemiyle çarpma için de geçerli Çarpma Teorem 9.3.Y kümesi çarpma alt nda kapal d r, yani iki yak nsak dizinin çarp m da yak nsakt r. Dahas, e er (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b say lar na yak ns yorsa, (x n y n ) n dizisi ab say s na yak nsar, yani, lim n x n y n = (lim n x n )(lim n y n ) olur.

5 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 283 Kan t: (x n y n ) n dizisinin ab say s na yak nsad n göstermek istedi imize göre, herhangi bir > 0 kesirli say seçildi inde, öyle bir N say s bulmal y z ki, her n > N için, x n y n ab < olsun. Bir baflka deyiflle, x n y n ab < eflitsizli inin geçerli olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulmaya çal flmal y z. E er n yi yeterince büyük seçersek, x n a ve y n b say lar n istedi imiz kadar küçültebilece imizi biliyoruz. Dolay s yla, kan tlamak istedi imiz yukardaki eflitsizli e bir biçimde x n a ve y n b say lar n sokuflturmal y z, bu say lar devreye girmeli ki varsay mlar kullanabilelim. Her zamanki gibi sol taraftaki x n y n ab ifadesiyle oynamal y z. Bu ifadeyi hafifçe büyüterek, iflin içine x n a ve y n b ifadelerini sokmal y z. Bunu yapmak için matematikte s k s k kullan lan ufak bir hile vard r. flte o hile: x n y n ab = x n y n x n b + x n b ab x n y n x n b + x n b ab = x n y n b + x n a b. fiimdi en sa daki x n y n b + x n a b toplam n dan küçük yapmal y z. Ama bu mümkün müdür? Her iki x n y n b ve x n a b terimini de /2 den küçük yapabilirsek, o zaman bunlar n toplamlar da /2 + /2 = dan küçük olur ve kan t m z baflar yla tamamlam fl oluruz. Önce görece kolay olan x n a b terimini (n yi yeterince büyük yaparak) /2 den küçük yapal m. Bunun için, x n a terimini /2 b den küçük yapmak yeterli. Ama dikkat, e er b = 0 ise, b ye bölemeyiz... Hiç önemli de il! Bu sorunun çözümü gayet basit: x n a b < x n a (1 + b ) oldu undan, x n a terimini 2( 1 b)

6 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama den küçük yapmak yeterli! Bunu yapabilir miyiz? Evet! Bu say 0 dan büyük kesirli bir say oldu undan, öyle bir N 1 say s vard r ki, her n > N 1 için, xn a 2( 1 b) eflitsizli i do rudur. fiimdi x n y n b terimini de /2 den küçük yapmaya çal flmal y z. y n b terimini istedi imiz kadar küçültebilece imizi biliyoruz. Ama bu yetmez... Çünkü bu terimin yan na yap flm fl bir de x n terimi var. E er x n çok artarsa, o zaman bu terimi, küçüldü ünü bildi imiz y n b terimiyle çarpt m zda, çarp - m n çok küçülece inden emin olamay z. Örne in, y n b terimi 1/n gibi küçülebilir ama x n terimi n gibi artabilir. O zaman da çarp mlar olan x n y n b terimi n büyükken 1 civar nda dolan r durur ve hiçbir zaman /2 kadar küçülemez. ( un küçük bir say oldu unu unutmay n.) Neyse ki böyle bir sorunla karfl laflmay z, çünkü birazdan kan tlayaca m z üzere, (x n ) n dizisi yak nsak oldu undan s n rl d r (Teorem 4) ve dizinin her x n terimi belli bir B > 0 kesirli say s ndan küçüktür. Demek ki (e er Teorem 4 ü do ru kabul edersek), x n y n b < B y n b eflitsizli i geçerlidir. fiimdi en sa daki B y n b ifadesini /2 dan küçük yapmak yeterlidir. B y n b ifadesini /2 den küçük yapmak için ise de, y n b ifadesini 2B den küçük yapmak yeterlidir. Bunu baflarabiliriz dostum! Ne de olsa bu say pozitif bir kesirli say d r ve y n b say s yeterince büyük n ler için bu say n n alt na iner: Öyle bir N 2 say s vard r ki, her n > N 2 için, y n b 2B

7 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 285 eflitsizli i do rudur. Demek ki, x y b B y b B n n n 2B 2 eflitsizli i geçerlidir. fiimdi N = max{n 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, hem n > N 1 hem de n > N 2 oldu undan, x y ab x y x b x b ab n n n n n n x y x b x b ab n n n n x y b x a b n n n B y b x a b n B y b x a 1 b n B b B b Afla da tamamlayaca m z ufak bir eksiklik d fl nda kan t - m z bitmifltir. Teorem 9.4. Yak nsak bir dizi s n rl d r. Yani Y B. Kan t: Kan t n anafikri çok basit: E er bir dizi a ya yak ns - yorsa, bu dizinin terimleri a dan pek uzakta olamazlar... fiimdi teoremi matematiksel olarak kan tlayal m. Bir a say s na yak nsayan bir (x n ) n dizisi ele alal m. Yak nsaman n tan m nda u 1 e eflit alal m. 1, 0 dan büyük bir kesirli say oldu undan buna hakk m z var. O zaman dizinin terimleri belli bir N göstergecinden sonra (a1, a + 1) aral na düfler, yani her n > N için, x n (a1, a + 1) olur. Geriye sonlu say da x 0, x 1,..., x N terimi kal r. Bunlar da s n rl bir aral a s arlar elbette n n

8 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama x N+1 x N+3 x N+2 x N x 0 ( x 1 ) a1 a a+1 Daha biçimsel olal m ve A = min{x 0, x 1,..., x N, a} 1, B = max{x 0, x 1,..., x N, a} + 1 tan mlar n yapal m. O zaman her x n terimi (A, B) aral na düfler. Demek ki dizi s n rl d r. Böylece Teorem 3 ün de kan t tamamland. lk üç teorem, s(1) Y olgusuyla birlikte (s(1), sabit 1 dizisidir ve Y nin çarpma iflleminin etkisiz eleman d r), yak nsak diziler kümesi Y nin bir halka oldu unu söylüyor, hatta bu üç teorem Y nin, tüm diziler halkas D nin bir althalkas oldu unu söylüyor. Teorem 4 de, ayr ca, Y nin s n rl diziler halkas B nin bir althalkas oldu unu söylüyor. Althalkal k iflaretiyle gösterilir. Demek ki, Y B D iliflkilerini (eflitsizliklerini de il!) kan tlad k Mutlak De er Önsav 9.5. E er x = (x n ) n yak nsak bir diziyse, ( x n ) n dizisi de yak nsakt r ve lim n x n = lim n x n olur. Kan t: lim n x n = a olsun. lim n x n = a eflitli ini kan tlayaca z. Her zaman oldu u gibi bir > 0 kesirli say s seçelim. Her n > N için, x n a < eflitsizli inin geçerli oldu u bir N do al say s (göstergeci) bulaca z. Bunun için afla daki gri kutuda kan tlanan ünlü eflitsizli i kullanaca z:

9 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 287 x n a x n a. Demek ki x n a < eflitsizli ini elde etmek için, x n a < eflitsizli ini elde etmek yeterli. Nitekim, lim n x n = a oldu undan, öyle bir N do al say s vard r ki, her n > N için, x n a < eflitsizli i geçerlidir. Demek ki, n > N için, x n a x n a <. Önsav kan tlanm flt r. Eflitsizli i a, b olsun. Üçgen eflitsizli inden, a = (a b) + b a b + b elde ederiz. Demek ki, a b a b. Ayn nedenden, a ile b nin rollerini de ifltirirsek, a b = b a b a buluruz. Demek ki a b, hem a b say s ndan, hem de bunun eksisi olan b a say s ndan büyükeflit, yani a b say s n n mutlak de erinden büyükeflit: a b a b. Al flt rmalar fiu önermeyi kan tlay n: (x n ) n dizisi yak nsaksa ve a ise (ax n ) n dizisi de yak nsakt r ve lim n ax n = a lim n x n olur E er ( x n ) n dizisi 0 a yak ns yorsa (x n ) n dizisinin de 0 a yak nsad n kan tlay n (x n ) n dizisi yak nsaksa ve kise (x n k )n dizisinin de yak nsak oldu unu ve lim n x n k = (limn x n ) k eflitli ini kan tlay n.

10 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama 9.5. Yak nsak Diziler ve S ralama Yak nsak dizilerle bölme aras ndaki iliflkiyi irdelemeden önce yak nsak dizilerle s ralama aras ndaki iliflkiyi irdeleyelim. Önsav 9.6. (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b ye yak nsas nlar. E er belli bir göstergeçten sonra hep x n y n eflitsizli i sa lan yorsa, o zaman a b olur. Kan t: E er z n = x n y n tan m n yaparsak, Teorem 2 ye göre, (z n ) n dizisi c ye yak nsas n. E er belli bir göstergeçten sonra hep z n 0 eflitsizli i sa lan yorsa, o zaman c 0 olur önermesini kan tlaman n yeterli oldu unu görürüz. Tam tersine, c nin negatif oldu unu varsayal m. Demek ki c = c. c Varsay ma göre öyle bir N 0 vard r ki n > N 0 için, z n 0 olur. Ayr ca, (z n ) n dizisi c ye yak nsad ndan, öyle bir N 1 vard r ki n > N 1 için, z n c c /2 olur. Bunu görmek için, yak nsaman n tan m nda = c /2 > 0 almak yeterli. Demek ki, c /2 z n c c /2. Dolay s yla z n c + c /2. fiimdi n, hem N 0 dan hem de N 1 den büyük bir göstergeç olsun. O zaman, z n c + c /2 = c + c /2 = c /2 < 0, çeliflki. Al flt rma. (x n ) n ve (y n ) n dizileri s ras yla a ve b ye yak nsas nlar. E er sonsuz say da n göstergeci için x n y n eflitsizli i sa lan yorsa, o zaman a b oldu unu kan tlay n. z n ( ) c /2 c /2 0

11 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama S f ra Yak nsayan Diziler Bölmeye geçmeden önce bir de 0 a yak nsayan dizilere bakal m. Bu dizilerin kümesine Y 0 diyelim. Y 0 kümesi de toplama, ç - karma ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r ama çarpman n etkisiz eleman olan s(1) dizisini içermedi inden (bizim bu terime verdi imiz anlamda) halka de ildir. Bu dezavantaj na karfl n Y 0 kümesinin bir üstünlü ü vard r: Önsav a yak nsayan bir diziyle s n rl bir dizinin çarp m 0 a yak nsar. Yani BY 0 Y 0. (Asl nda eflitlik geçerli tabii.) Kan t: (x n ) n, 0 a yak nsayan, (y n ) n de s n rl bir dizi olsun. (x n y n ) n dizisinin de 0 a yak nsad n kan tlayaca z. Kan t m - za, art k al fl k oldu umuz sözlerle bafllayal m: > 0, herhangi bir kesirli say olsun. Öyle bir N bulmal y z ki, her n > N için, x n y n < olsun, yani x n y n < olsun. (x n ) n dizisi 0 a yak nsad ndan, yeterince büyük n göstergeçleri için x n say s n n çok küçülece ini biliyoruz. Ama araya bir de y n girmifl. E er y n çok büyürse, x n y n say s n küçültmekte zorlanabiliriz. Neyse ki y n ler çok büyüyemezler, çünkü varsay ma göre (y n ) n dizisi s n rl. Bu olguyu kullanmal y z kan t m zda. B, y n lerin bir üsts n r olsun: Her n için, y n < B. B nin 0 olamayaca na dikkatinizi çekerim. fiimdi, her n için, x n y n B x n. Dolay s yla, B x n yi dan küçük yapmak yeterli, o zaman x n y n otomatik olarak dan küçük olur; bunun için de x n yi /B say s ndan küçük yapmak yeterli ve bunu da baflarabiliriz: (x n ) n dizisi 0 a yak nsayan bir dizi oldu undan, öyle bir N vard r ki,

12 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama e er n > N ise, x n < /B dir. Dolay s yla, her n > N için, x n y n = x n y n < B x n < B/B =. stedi imiz kan tlanm flt r. Bir R halkas n n, ç karma alt nda kapal, bofl olmayan ve RIIve IRI içindeliklerini sa layan I altkümelerine R nin ideali ad verilir ve bu durum I R olarak gösterilir. Demek ki Y 0 B Bölme fiimdi Y nin tersinir elemanlar n bulal m. Yani öyle yak nsak dizileri bulal m ki, gene yak nsak bir diziyle çarp nca, sonuç sabit 1 dizisi s(1) olabilsin. Demek ki belli bir (y n ) n yak nsak dizisi için, (x n ) n (y n ) n = s(1) eflitli ini sa layan (x n ) n yak nsak dizilerini ar yoruz. Böyle bir (y n ) n dizisi varsa x n y n = 1 olmal, yani her n için x n 0 ve y n = 1/x n olmal. Sonuç: Her terimi 0 dan de iflik olan hangi (x n ) n yak nsak dizileri için, (1/x n ) n dizisinin yak nsak oldu unu bulmal y z. Teorem 9.8. E er (x n ) n yak nsak dizisinin her terimi 0 dan de iflikse ve dizi 0 a yak nsam yorsa, o zaman (1/x n ) n dizisi de yak nsakt r ve 1 1 limn xn limn xn dir. Ayr ca e er (x n ) n dizisi 0 a yak ns yorsa (1/x n ) n dizisi raksakt r. Daha simgesel bir ifadeyle Y * = {x Y : her n için x n 0 ve x Y 0 } = (Y \ Y 0 ) D* olur. Kan t: E er x = (x n ) n Y * ise, her n için x n 0 olmas gerekti i bariz. y = (y n ) n Y *, x in tersi olsun. E er a ve b s ras yla x ve y dizilerinin limitiyse, o zaman Teorem 3 e göre,

13 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama = lim s(1) = lim x n y n = lim x n lim y n = ab, dolay s yla b 0. fiimdi xy \ Y 0, her n için x n 0 koflulunu sa las n. x in tersinir oldu unu, yani (1/x n ) n dizisinin yak nsak oldu unu gösterelim. E er a 0 say s (x n ) n dizisinin limitiyse, 1/a say s n n (1/x n ) n dizisinin limiti oldu unu gösterece iz. > 0, herhangi bir kesirli say olsun. Öyle bir N bulmak istiyoruz ki, her n > N için, 1/x n 1/a < olsun. 1/x n 1/a ifadesiyle oynayarak, bu ifadenin dan küçük olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulaca z. Oynamaya bafllayal m: 1 1 a x xn a a xn Sa daki ifadenin pay n diledi im kadar küçük yapabilirim, çünkü (x n ) n dizisi a ya yak ns yor, burada bir sorun yok. Paydadaki a sabit bir say, bu da sorun yaratmaz. Ama x n sorun yaratabilir, çünkü e er x n çok küçülürse, o zaman ifade çok büyüyebilir ve ifadenin dan küçük oldu unu kan tlayamay z. Teoremin do ru olmas için x n ler belli bir pozitif say dan küçük olmamal. Bu do rudur ve (x n ) n dizisinin limitinin 0 olmamas ndan kaynaklan r ama gene de bir kan ta ihtiyac vard r. Bir sonraki önsavda bunu kan tlayaca z. Bir sonraki önsava göre, öyle bir > 0 var ki, her n için, x n > d r. fiimdi yukardaki hesab bir ad m daha devam ettirebiliriz: 1 1 a x xn a a xn fiimdi en sa daki ifadenin dan küçük olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulal m. Bu ifadenin dan kü- n n. a xn a.

14 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama çük olmas için, ax n, a dan küçük olmal ve a > 0 oldu undan bunu yapabiliriz: N, her n > N için, a x n < a eflitsizli ini sa layan bir say olsun. fiimdi N den büyük her n için, 1 1 a x xn a a xn n a x a a. a Bir sonraki önsav da kan tlarsak kan t m z tamamen tamamlanm fl olacak. Önsav 9.9. i. E er (x n ) n yak nsak dizisi 0 a yak nsam yorsa, öyle bir N do al say s ve > 0 vard r ki, her n > N için, x n > olur. ii. E er (x n ) n yak nsak dizisi 0 a yak nsam yorsa ve her terimi 0 dan de iflikse, öyle bir > 0 vard r ki, her n için, x n > olur. Kan t: Önsav 5 e göre, (x n ) n yerine ( x n ) n dizisini al p x n 0 eflitsizli ini varsayabiliriz. (x n ) n dizisi a ya yak nsas n. Önsav 6 ya ve varsay ma göre a > 0 olmal. E er = a/2 al rsak, her n > N için, x n a < a/2 eflitsizli ini, yani a/2 < x n a < a/2 eflitsizliklerini sa layan bir N nin oldu unu görürüz. Demek ki, n > N için, a a/2 < x n eflitsizli i sa lan r. fiimdi = a/2 al rsak, birinci k sm kan tlam fl oluruz. kinci k sma geçelim. Yukardaki yerine, = min{ x 0 /2, x 1 /2,..., x N /2,a/2} alal m. Varsay mdan dolay > 0 ve a n n, N nin ve n n tan mlar ndan dolay, her n için, x n >. n

15 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama S ralama Teorem 9.10 [Sandviç Teoremi]. (x n ) n, (y n ) n ve (z n ) n üç dizi olsun. x n y n z n eflitsizliklerinin belli bir M göstergecinden sonra do ruysa ve (x n ) n ve (z n ) n dizileri ayn elemana yak ns - yorsa, (y n ) n dizisi de bu elemana yak nsar. Kan t: (x n ) n ve (z n ) n dizileri a ya yak nsas nlar. (y n ) n dizisinin de a ya yak nsad n kan tlayaca z, yani > 0, herhangi bir pozitif say ysa, y n a < eflitsizli inin her n > N için do ru oldu u bir N say s bulaca- z. > 0 verilmifl olsun. y n a < eflitsizli inin do ru olmas için n nin ne kadar büyük olmas gerekti ini bulaca z. Bunun için y n a ifadesiyle oynayaca z. Hesaplarda rahat etmek için n > M alal m. Bu k s tlama yetmeyecek ama bu sayede, hiç olmazsa, y n a = a x n + x n y n a x n + x n y n = a x n + (y n x n ) a x n + (z n x n ) a x n + z n a + a x n = 2 a x n + z n a eflitsizli ini elde ederiz. Demek ki en sondaki ifadeyi dan küçük yapmak yeterli. (x n ) n dizisi a ya yak nsad ndan, öyle bir N 1 vard r ki, her n > N 1 için x n a = a x n < /3 olur. Ayn nedenden, öyle bir N 2 vard r ki, her n > N 2 için a z n < /3 olur. fiimdi N = max{m, N 1, N 2 } olsun. E er n > N ise, y n a = 2 a x n + z n a < 2/3 + /3 = elde ederiz.

16 Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama kinci Kan t: Bir > 0 verilmifl olsun. a, (x n ) n ve (z n ) n dizilerinin limiti olsun. O zaman büyük n ler için, hem a < x n a a a+ E er n yeterince büyükse, hem x n y n z n olur hem de bu üç say bu aral kta olurlar. hem de z n < a + olur. Demek ki belki biraz daha büyük n ler için a < x n y n z n < a + olur. Bu büyük n ler için a < y n < a +, yani y n a < olur. Teorem kan tlanm flt r.

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte 11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

4. yis ralamalar Hissetmek

4. yis ralamalar Hissetmek 4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden

Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden 43. Toplama, Çarpma, S ralama ve Süreklilik Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden ifadelere rastlam flt r. Bu ifade asl nda x 2 /2 ile sin x fonksiyonlar n n toplam n simgelemektedir.

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand 9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi 11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem

Detaylı

Matematik bölümlerinin birinci s -

Matematik bölümlerinin birinci s - Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Hiç K salmadan K salan Yol

Hiç K salmadan K salan Yol Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru 6A. Halkalar ve Cisimler Geçmiflte halkalardan sözettik, ileride de söz edece iz. Bu bölümde halkan n ne demek oldu unu aç klayaca z! nfla etti imiz

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb.

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (2) Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Matematik Dünyas n n her say s n n önceki say lardan olabildi ince ba ms z olmas na dikkat etmeye

Detaylı

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. 2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin

Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin atematik ünyas, 2005 K fl Geometri Köflesi ustafa a c / yagcimustafa@yahoo.com www.mustafayagci.com okuz okta (ya da euerbach) Çemberi Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin çevrel çemberi ve

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi

kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi 139 5A. Say lar Yaratmak Geçen k s mda boflkümeden, yani hiç yoktan (!) yola ç - karak 0, 1, 2, 3, 4 gibi say lar içeren do al say lar kümesini yaratt

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

Özdeflleflme ve Direkt Limit

Özdeflleflme ve Direkt Limit Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so- Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak

Detaylı

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir.

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir. UZUNLUKLARI ÖLÇEL M Burada bir çubuk üzerine ay c n resmi konmufltur. Çubuk kayd r ld kça çubuklar n boyu eksik kal yor. Eksik k sm boyayarak tamamlay n z. Her kareyi bir birim kabul ediniz. 3 Çubuk kareli

Detaylı

Üç Oyun Birinci Oyun.

Üç Oyun Birinci Oyun. Üç Oyun B irinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için. Yolda, otobüste, vapurda, sinemada, tiyatroda,

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul

TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

1. Her fiey S ralanamaz

1. Her fiey S ralanamaz Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B

Detaylı

Pokerin Matemati i Ali Nesin* /

Pokerin Matemati i Ali Nesin* / Kapak Konusu: Sayma Pokerin Matemati i Ali Nesin* / anesin@bilgi.edu.tr Bu yaz da pokeri bahane ederek sayman n temellerini ele alaca z. Poker, en fazla dört oyuncuyla ve yediliden asa 3 iskambil kâ d

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

Cemal Amca n n Zarlar

Cemal Amca n n Zarlar Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin /

Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr Birinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ- da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için.

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

= puan fazla alm fl m.

= puan fazla alm fl m. Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI YGS TEMEL MATEMAT K KONU ANLATIMLI YGS KONU ANLATIMLI TEMEL MATEMAT K Bas m Yeri ve Y l stanbul / 0 Bask Cilt Ek Bil Matbaac l k Tel: 0 () 87 ISBN 978 60 70 6 Copyright Ayd n Bas n Yay n Matbaa Sanayi

Detaylı

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri Bahar 2009 Ders materyallerini alıntılamak için bilgi almak ya da Kullanım Koşulları nı öğrenmek için lütfen aşağıdaki siteyi

Detaylı

Tavla ve Bilimsel Düflünce

Tavla ve Bilimsel Düflünce Tavla ve Bilimsel Düflünce Y llar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla fiampiyonas düzenlemiflti. Bizde tavlac çok. fl yerlerinde bile tavla oynan r ülkemizde. Bile ine güvenen kat ld flampiyonaya.

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı