Kamil TEKE 1, 2, Johannes BOEHM 1, Emine TANIR 3, Harald SCHUH 1. Harita Dergisi Temmuz 2009 Sayı 142

Transkript

1 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim Modelleri (Clok Error and Tropospheri Delay Parameter Estimation Models of the Very Long Baseline Interferometry Tehnique) Kamil TEKE, 2, Johannes BOEHM, Emine TANIR 3, Harald SCHUH Vienna University of Tehnology, Institute of Geodesy and Geophysis, Gusshausstrasse 27-29, E28/, 4, Vienna, Austria 2 Haettepe Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü, Beytepe, 68, Ankara, Türkiye 3 Karadeniz Teknik Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü, 68, Trabzon, Türkiye kteke@mars.hg.tuwien.a.at ÖZET Global Jeodezik Gözlem Sistemi (GGOS) önerileri doğrultusunda farklı uzay jeodezik tekniklerinde modelleme, parametrizasyon (bilinmeyenlerin belirlenmesi) ve analiz standartlarında homojenleştirme ve geliştirmeler yapılaaktır. Bununla birlikte, Uluslararası Çok Uzun Baz Enterferometrisi Jeodezi ve Astrometri Servisi (IVS), VLBI2 projesi kapsamında yeni oluşturaağı sistemden elde edileek önemli sayıdaki gözlem artışının VLBI yazılım paketleri kapsamında analiz edilebilmesine olanak sağlayaak günellemeleri öngörmüştür. Yeni VLBI2 sisteminin geleeğe yönelik analiz ilişkili gereksinimlerine evap vermek üzere Viyana Teknik Üniversitesi, Jeodezi ve Jeofizik Enstitüsü tarafından, VLBI veri analizi yazılımı (Vienna VLBI Software, VieVS) geliştirilmektedir. Programlama dili olarak, yazılımın oluşturulması çabalarını kolaylaştıraak birçok fonksiyon ve araç içeren Matlab seçilmiştir. Proje sonunda geliştirilen VLBI analiz yazılımı VieVS ile GGOS un geleek IVS gereksinimlerine evap verilmesi beklenmektedir. Şimdiye kadar stokastik süreçler modellenmiştir (VLBI saat hataları ve troposferik ıslak geikme parametreleri). VLBI parametrelerinin kestirimi Parçalı Lineer (PL) ofset fonksiyonu ile her saat başı veya bölümleri (her 2,, 5 dakika) esas alınarak gerçekleştirilmiştir. Sayısal problemlerden (rank defektleri) kurtulmak ve tutarlı bir parametre kestirimi gerçekleştirmek için bazı koşullar (kısıtlayıılar) sahte (pseudo) gözlem denklemleri şeklinde modele dahil edilmiştir. Bu çalışma kapsamında VLBI temel geikme (ölçü) modeli, VLBI radyo teleskobu gözlem istasyonunda bulunan atomik saatlerin veya hidrojen maserların senkronizasyon tutarsızlarından kaynaklanan saat hatası modeli ve troposferik ıslak geikme modeli ele alınaaktır. Anahtar Kelimeler: Çok Uzun Baz Enterferometrisi, VLBI, saat hatası modeli, troposferik ıslak geikme modeli, VieVS, parçalı lineer ofsetler. ABSTRACT Based on the reommendations given by the Global Geodeti Observing System (GGOS), ommon standards in modeling, parameterization (designation of unknowns) and analysis will be homogenized and improved aross the various spae geodeti tehniques. In addition, there is the projet VLBI2 of the International VLBI Servie for Geodesy and Astrometry (IVS) whih is asking for major updates of the Very Long Baseline Interferometry (VLBI) software pakages beause of the signifiant inrease of the number of observations with the new system. As to reah the analysis related future requirements of VLBI2 a new VLBI data analysis software (alled Vienna VLBI Software, VieVS) is developed at the Institute of Geodesy and Geophysis at Vienna University of Tehnology. The programming environment Matlab is used, whih onsiderably eases the programming efforts beause of many built-in funtions and tools. At the end of the study, the VieVS software will fulfill all future requirements of GGOS, IVS. The work done up to now is the modeling of stohasti proesses (VLBI lok errors and tropospheri wet delays). VLBI parameters are estimated by 'pieewise linear offset funtion', i.e. only offsets are estimated at integer hours or integer frations of it (every 2,, 5 minutes). In order to avoid numerial problems (as e.g. rank defiienies) and to stabilize the parameter estimation proess, some onstraints as pseudo observations are inluded in the model. In this paper, the VLBI delay model, the lok error model due to the inonsistenies of the atomi loks and hydrogen masers at radio telesope sites and the tropospheri wet delay model will be disussed. Key Words: Very Long Baseline Interferometry, VLBI, lok error model, tropospheri wet delay model, VieVS, pieewise linear offsets.

2 . GİRİŞ Astronomi ve astrofizik alanlarında gerçekleştirilen araştırılmalar doğrultusunda 97 li yıllarda geliştirilen Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) tekniği (Cohen ve Shaffer, 97) galaksi içi ve çoğunlukla galaksi dışı uzay objelerinden [quasi-stellar radio soure (kuazar)] dünyaya ulaşan radyo dalgalarının, dünyanın farklı konumlarındaki iki veya daha fazla radyo teleskobu (Şekil ) tarafından alınması [dalga boyları ve ilgili frekansları sırası ile 3 ve 3.5 m olan 2.3 GHz (S-bandı) ve 8.4 GHz (X-bandı)] ve beraberinde radyo teleskopları ile aynı gözlem istasyonunda bulunan atomik saatlere ölçülen zamanın (iç duyarlığı 2 x -2 saniye) ilgili sinyallere etiketlenmesi ve hard disklere kaydedilmesi, sonrasında zaman etiketlerinin karşılaştırmalarını yapan sistemlerin (korelatör) (Şekil 2) bulunduğu belli merkezlerde toplanan hard disklerin zaman etiketli sinyallerinin eşleştirilmesi ilkesine dayanır. Sinyallerin çakışması (maksimum eşleşmesi) ile eşleşen sinyallere etiketli zamanların farkı [ :grup geikmesi (group delay)] alınarak VLBI temel ölçüsü elde edilir. Tüm VLBI analiz parametreleri grup geikmesi ( ) ölçülerinin bir fonksiyonu olarak hesaplanır (Campbell, 24). Günümüzde grup sinyal geikmesi yaklaşık - 2 pikosaniye (3-6 milimetre) hassasiyette belirlenebilmektedir (Sovers vd, 998). Günümüzde VLBI tekniği (Shapiro vd, 974), (Ma, 978), (Campbell ve Witte, 978) ile birlikte sadee astronomik amaçlı çalışmalar için değil jeodezik amaçlı çalışmalar için de kullanılmaktadır. VLBI ölçülerinin analizleri sonuu radyo teleskopları arasındaki baz vektörleri b, yer dönüklük parametreleri (kutup gezinmesi x, p y, p yer zamanı ile atomik zaman farklı olan UT, ve nutasyon parametreleri dψ, dε ), atmosferik parametreler, gözlem istasyonu konumları ve kuazar (radyo kaynağı) koordinatları (deklinasyon ve Greenwih saat açısı (rektezansiyon, right asension) gibi bir dizi jeodezik parametre kestirimi yapılmakta ve gel-git etkileri, atmosferik yüklemeler, okyanus yüklemeleri ve plaka hareketleri belirlenebilmektedir. VLBI ile kıtalar arası baz vektörlerinin uzunluklarının (-2 km) -2 m duyarlıkta ve zamana bağlı tutarlı tekrarlanabilmesi mümkündür. Yer sabit referans sistemlerinin (TRS) gerçekleştirmelerinde diğer bir ifade ile yer sabit referans çatılarının (TRF) oluşturulmasında VLBI radyo teleskoplarının oluşturduğu ağlarda gerçekleştirilen düzenli oturumlardan yararlanarak referans çatısının ölçek faktörü belirlenebilmektedir. Bunların yanı sıra, VLBI uzay jeodezi tekniğini diğer tekniklerden ayıran en büyük üstünlüğü; Göksel Referans Çatıları (CRF) (Gök sabit) ile TRF arasındaki bağlantıyı sağlayan yer dönüklük parametrelerini hiç bir hipotez veya varsayıma dayandırmadan doğrudan ölçebilmesidir. Şekil. Radyo Teleskobu, Effelsberg, Almanya [URL ]. 2

3 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. Combined C4)) ve parametre kestirimine ilişkin seçenekler (minimum kısıtlayıı ile çözüm, serbest çözüm, zorlamalı çözüm, gevşek kısıtlayıılarla çözüm, kesme açısı, troposferik izdüşüm fonksiyonu, parametre kestirim zaman aralıkları vd.) VLBI parametre kestirimi için girdi verilerini oluşturmaktadır. Şekil 2. Bonn Astro/Geo Mark IV Korelatörü [URL 2]. İki veya daha fazla radyo teleskobunun bir kuazara yaptığı birini taramadan (san) elde edilen geikme ölçüleri ve ardından bir öneki tarama ile ortak radyo teleskopları olmak şartı ile farklı teleskoplarında katılımı ile aynı kuazara veya farklı bir kuazara yapılan ikini tarama (san) geikme ölçüleri ( ) şeklinde 24 saat boyuna gerçekleştirilen taramalardan elde edilen zaman geikmeleri ölçüleri (Şekil 3), ölçülere ilişkin önül kovaryans matrisi, tüm parametrelere ilişkin önül yaklaşık değerler (CRF de tanımlı önül yıldız koordinatları (örn. ICRF-Ext.), TRF de tanimli (örn. ITRF2) önül nokta konum ve hız vektörleri, önül yer dönüklük parametreleri (örn. IERS C4, Analiz sonuu CRF de tanımlı kuazar (oturumda gözlem yapılanlar) koordinatları, TRF de tanımlı VLBI radyo teleskopları (aynı oturumda gözlem yapanların) koordinatları, yer dönüklük parametreleri, baz uzunlukları, atmosferik parametrelerden zenit ıslak sinyal geikmesi PL ofsetleri, atomik saat hatası PL offsetleri gibi bir dizi parametrenin kestirimi yapılır. Analiz önesi bu parametrelerden bir kısmı veya büyük bir bölümü sabit alınabileeği gibi hepsi değişken olarak da seçilebilir. Bu parametreler istasyona özel ve küresel parametreler olarak gruplandırılabilinir. Analize ilişkin tüm hesaplar gök sabit ve yerin döndüğü, güneş, ay ve diğer gezegenlerin relativistik etkilerinin dikkate alındığı quasi-inertial bir koordinat sistemi olan barisentrik koordinat sisteminde yapılır. Parameterlerin kestiriminden sonra tüm parametreler tekrar tanımlandıkları sisteme dönüştürülürler. VLBI ile ilgili temel prensipleri içeren tüm bilgiler (Sovers vd, 998; Campbell, 979; Shuh, 987; Nothenagel, 99; ve Takahashi, 994) de bulunabilir. kuazar 2 kuazar kuazar 3 Anten Anten 7 Anten 8 Anten 2 Anten 3 Anten 4 Anten 5 Anten 6 Şekil 3. VLBI taramaları (sans). 3

4 Uluslararası Jeodezi Birliği (IAG), Global Jeodezi Gözlem Sistemi (GGOS) projesi kapsamında, uzay ve uydu jeodezisi tekniklerinden (VLBI, GNSS, SLR, LLR ve DORIS) istasyon koordinatlarında mm ve hızlarından. mm/yıl duyarlık gereksinimini karşılamasını beklemektedir (Drewes ve Reigber, 25; Petrahenko vd, 28). Konumsal ve zamansal çözünürlüğü yüksek, günel jeodezik parametrelerin sağlanmasına yönelik Uluslararası Çok Uzun Baz Enterferometrisi Jeodezi ve Astrometri Servisi (IVS), VLBI2 projesini başlatmıştır. Bu proje kapsamında GGOS gereksinimlerini karşılamak üzere radyo teleskopları gözlem istasyonlarının, korelatörlerin ve analiz merkezlerinin bir dizi geliştirme ve günelleme yapması öngörülmüştür. Viyana Teknik Üniversitesi, Jeodezi ve Jeofizik Enstitüsü, IVS analiz merkezinde bu kapsamda simülasyon çalışmaları yapılmaktadır. Yapılan simülasyon çalışmaları VLBI analiz yazılımlarının yeni sistemle birlikte elde edileek çok fazla sayıda ölçüyü değerlendirmek ve bu ölçülerden yüksek zamansal çözünürlükte parametre kestirmek hususunda yeterli olmayaağını göstermiştir. Bu makalede VLBI temel geikme (fonksiyonel) modeli ile ilgili kısa bir anlatımın ardından VLBI analiz yazılımı VieVS de geliştirilen, VLBI saat hata ve troposferik ıslak geikme modellerine değinilmiştir. 2. VLBI TEMEL GECİKME (FONKSİYONEL) MODELİ İki radyo enterferometresi arasındaki zaman geikmesi ( geom ) (bir radyo kaynağından yayılan radyo dalgasının iki radyo teleskobuna ulaşmasında oluşan zaman farkı), gözlem istasyonunun yer merkezli konum vektörü r i ve enterferometreler arasındaki baz vektörü b= r r olmak üzere, 2 geom =2 = b k () eşitliğinden hesaplanır. Bu eşitlikte, radyo dalgasının hızını (vakum ortamda ışık hızını), k radyo kaynağı (kuazar) doğrultusu birim vektörünü ve 2 aynı radyo kaynağından gelen eş frekanslı [dalga boyları ve ilgili frekansları sırası ile 3 ve 3.5 m olan 2.3 GHz (S-bandı) ve 8.4 GHz (X-bandı)] radyo dalgalarının radyo teleskoplarına ulaşma zamanlarını göstermektedir (Nothnagel, 99). Baz vektörü b, yer sabit referans çatısında (örn. ITRF2) tanımlıdır. Buna karşın radyo kaynağı doğrultu birim vektörü ( k ) gök sabit bir koordinat sisteminde (örn. ICRF-Ext.) tanımlıdır. İki sistem arasındaki dönüşümünü gerçekleştirmek için, yer dönüklük parametreleri ile oluşturulan dönüşüm matrsileri kullanılır. Beş dönüklük parametresi ile oluşturulan dört dönüklük matrisi; W kutup gezinmesini (Wobble x p and y p ), S yerin dönüş zamanını (Spin, dut), N Nutasyonu ( dψ, dε ), ve P Prezesyonu ( ξ A, Θ A ) göstermek üzere () eşitliği geom = b R k = b W S N P k (2) şeklinde de ifade edilinebilir (Ma, 978; Nothnagel, 99). W, S, N, ve P dönüklük matrisleri her parametrenin kendi dönüklük eksenlerindeki Euler dönüklük açıları ile tanımlanır (Nothnagel, 99; Sovers vd, 998). Yukarıdaki (2) eşitliği sadee geometrik VLBI geikme modelini açıklamaktadır. Bu eşitliğe atmosferik etkiler, karasal gel-git etkileri, okyanussal ve karasal yükleme etkileri, saat hataları, radyo teleskobunda oluşan gravite ve sıaklık deformasyonları, sinyalin geçiş yolu üzerindeki relativistik etkileri gibi fiziksel etkiler de eklendiğinde, VLBI temel ölçü denklemi obs = b W S N P k eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte, j abb. t abb. Rel. Tid. Load. Instr. Clok Ion. Atmh Atmw (3) j abb. :Yıllık aberasyon [yer in güneş ağırlık merkezli koordinat sisteminde (solar system baryentre] hareketi sonuu oluşan radyo dalgası kırılımı etkisi) sinyal geikmesi, t abb. :Günlük aberasyon (yer in kendi ekseni etrafındaki hareketi sonuu oluşan radyo dalgası kırılma etkisi) sinyal geikmesi, 4

5 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. Rel. :Relativistik etkiler sinyal geikmesi, Tid. :Karasal gel-git (solid tides) ve okyanussal gel-git (oean tides) sonuu yerin açısal momentumunda oluşan değişimlerin meydana getirdiği deformasyonların sinyal geikmesi, Load. :Okyanussal gel-git ve atmosferik basınç yüklemeleri değişimleri gibi yükleme etkilerinin sonuu oluşan deformasyonların sinyal geikmesi, Ion. :İyonosfer sinyal geikmesi, Instr. :Aletsel deformasyonlar (örn. VLBI radyo teleskobunun gravitasyonel ve sıaklık deformasyonları) sinyal geikmesi, Atm h :Troposfer hidrostatik sinyal geikmesi, Atm w :Troposfer ıslak sinyal geikmesi, Clok :Saat senkronizasyon tutarsızlık hatası (saat hatası) sinyal geikmesidir. (3) eşitliği daha açık yazılaak olursa (4) eşitliği elde edilir. (4) eşitliğinde X, i Y, i Z radyo i teleskoplarının yer merkezli yere bağlı (Earth Centered Earth Fixed) bir sistemde (örn. ITRF2) tanımlı koordinatlarını, R göksel ve yersel koordinat sistemleri arasındaki dönüklük matrisini, h(t) radyo kaynağının (kuazarın) Greenwih saat açısını (rektezansiyon), δ radyo kaynağının (kuazarın) deklinasyonunu göstermektedir. Bilinmeyenlerin belirlenmesine ilişkin Uluslararası Yer Dönüklük ve Referans Sistemleri Servisi (IERS) 23 konvansiyonları resmi tanımlamaları olmasına rağmen (MCarthy ve Petit, 24) bilinmeyenlerin belirlenmesi ve modelleme amaa yönelik olarak kullanııdan kullanııya değişebilmektedir. 3. VLBI SAAT HATASI ve ZENİT ISLAK GECİKMESİ MODELLERİ VLBI ölçüleri taramalara dayalı olarak (sanwise) gerçekleştirilir. Her bir taramada iki veya daha fazla radyo teleskobu bir kuazara yöneltilerek ölçü alınır. Zaman etiketli sinyallerin korelasyonu sonuu elde edilen grup sinyal geikmeleri ( ) değerleri her bir oturum için oluşturulmuş olan ASCII yapıdaki NGS uzantılı ölçüler dosyasında yer almaktadır. Ölçü ve alamanak dosyasındaki ilgili tüm veriler tarama esaslı olmak üzere ayrı ayrı Matlab yapı dizilerine (struture arrays-c derleyiisindeki karşılığı sınıf tanımı ile eş olan) aktarılır. Her bir yapı dizisi altyapı dizilerinden oluşmakta olup temel yapı dizisi taramaya dayalıdır. VLBI oturumu analiz yazılımı iç veritabanı için düzenlenilebilineek bilinmeyenlerin tanım dizisinin bir bölümü Tablo de özetlenmiştir. X A X B os δ os h(t) obs = YA YB R(x p,y p,dut,d,d,z, A, A ) os sinh(t) Ψ ε ξ Θ δ Z Z sin δ A B j abb. t abb. Rel. Tid. Load Instr. Clok Ion. Atm h Atm w (4) 5

6 Tablo. Bir VLBI oturumu analiz yazılımı iç veritabanı için düzenlenilebilineek bilinmeyenlerin tanım dizisi. Tanım Dizisi Açıklama Birim Tarama Gözlem iso Radyo kaynağı (kuazar) sayısı (ilgili taramaya ait) i, i2 Radyo teleskobu (ilgili taramaya ait istasyonlar) obs Ölçülen grup sinyal geikme değerleri saniye sig Grup sinyal geikme ölçüleri hataları saniye om Hesaplanan grup sinyal geikme değerleri saniye pnut, ppol Yer dönüklük parametrelerinin kısmi türevleri saniye/radyan dra, dde Radyo kaynağı koordinatlarının kısmi türevleri mili açı (ar) saniyesi... İstasyon x, y, z Kartezyen koordinatlar metre dx, dy, dz Kartezyen koordinatların kısmi türevleri az, zd Azimut, zenit mesafesi radyan zhd Troposferik hidrostatik zenit geikmesi metre gmfh, gmfw Küresel hidrostatik ve ıslak izdüşüm fonksiyonları... nobs Taramadaki ölçü sayısı mjd Taramanın ölçü epoğu (modified Julian Day) UTC VLBI ile ulaşılabileek en yüksek duyarlık değerlerini yakalama amaına yönelik olarak gerçekleştirilmiş olan CONT5 kampanyası toplam 5 günlük, radyo teleskobu ile gerçekleştirilen sürekli VLBI oturumudur. İlk ölçü 2 Eylül 25 tarihinde (Pazartesi) 7: UTC de, son ölçü ise 27 Eylül 25 tarihinde (Salı) 6:3 UTC de gerçekleştirilmiştir. CONT5 VLBI kampanyasındaki radyo teleskopları: olarak, Algonquin Park (Kanada), Gilmore Creek (Alaska, Amerika Birleşik Devletleri -ABD), Kokee Park (Hawaii, ABD), Westford (Massahusetts, ABD), Ny Alesund, (Norveç), Onsala6 (Isveç), Svetloe (Rusya), TIGO (Conepion, Şili), Tsukuba (Japonya), Wettzell (Almanya) istasyonları seçilmiştir (Şekil 4). Radyo istasyonlarının seçiminde teknik yeterlilik ve duyarlık ölçütleri göz önüne alınmış ve kampanya önesi her istasyon için bu ölçütler test edilmiştir (Shlüter ve Behrend, 27). Şekil 4. CONT5 kampanyasındaki VLBI radyo teleskopları. 6

7 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. Ölçülerin Düzeltmeleri (VLBI parametre kestiriminde ilk dengeleme sonuu) Ölçü Sayısı Ölçülerin Düzeltmeleri (VLBI parametre kestiriminde uyuşumsuz ölçülerin ayıklanması son iterasyon Ölçü Sayısı Şekil 5. CONT5 kampanyası 2 Eylül 25 tarihli 24 saatlik oturumun ölçü düzeltmeleri ve uyuşumsuz ölçülerin ayıklanması. 7

8 Islak zenit geikmeleri ve saat hataları parametrelerinin kestiriminde CONT5 kampanyasının 2 Eylül 25 tarihinde gerçekleştirilen ilk 24 saatlik oturumu kullanılmıştır. Modelde herhangi bir kesme açısı kullanılmamış ve tüm gözlemler modele dahil edilmiştir. Zenit ıslak geikmelerinin kestiriminde Küresel Izdüşüm Fonksiyonu [Global Mapping Funtion (GMF)] nun kısmi türev değerleri kullanılmıştır. Gevşek koşullar saat hatası ve zenit ıslak geikmesi modellerinin her ikisine de pseudo-gözlem denklemleri formunda dahil edilmiştir. Analiz sonuçlarına ilişkin parametreler bir dizi uyuşumsuz ölçünün iteratif olarak ayıklanmasının ardından elde edilmiştir. Her gözlem düzeltmesinin ( v ), kendi standart l(i) sapmasına ( m ) v l(i) oranından hesaplanan standartlaştırılmış düzeltme değeri ( T= v /m ).95 güven aralıklı Student l(i) v l(i) ( t ) dağılımı sınır değeri ile karşılaştırılmıştır. Sınır değerden büyük standartlaştırılmış düzeltme değerine sahip gözlemlerin istatistiksel olarak uyuşumsuz olduğuna karar verilerek ölçülerin ağırlıklarını küçültmek yerine ölçü setinden atılmıştır (Şekil 5) (Wolf ve Ghilani, 997). a. Saatlerin Senkronizasyon Uyuşumsuzluğu ve Frekans Tutarsızlığı Hatalarının Modellenmesi Sinyal geikme ölçülerindeki ( ) en büyük hatayı istasyondaki atomik saatlerin senkronize olmamaları hataları (ofsetler) ve frekans farklılıklarından kaynaklanan hatalar (trendler) oluşturur. VLBI analizi parametre kestirimi aşamasında istasyon koordinatları ( X, Y, Z ) ITRF2 ve saat parametreleri (ofset, trend ve kuadratik terim) master istasyon için tüm oturum boyuna sabit alınır. Böylee elde edilen rölatif saat değerleri (zaman farkları) ile saatlerdeki senkronizasyon hataları giderilir. Saat sıçramaları (lok breaks) olan bir oturumda ise saat sıçraması olmayan bir master istasyon seçilerek fark alınır. Frekans tutarlılığı yüksek bir atomik saat veya hirdrojen maser ın referans saat olarak alınması analiz sonuç duyarlıklarını arttırır. Saat parametrelerinin belirlenmesi için 2. deree bir polinom yeterlidir. Her bir saat için ölçü denklemi =β +β ( ) +β (t t ) saat saat saat saat saat 2 saat i 2 i saat2 saat2 saat2 saat2 saat2 2 saat 2 (ti t ) 2 (ti t ) =β +β +β (5) M =β +β ( ) +β (t t ) saat(s) saat(s) saat(s) saat(s) saat(s) 2 saat (s) i 2 i şeklinde oluşturulur. Burada s oturumdaki toplam saat sayısını, β i polinomun bilinmeyen katsayılarını, t i her bir saatin farklı epoklardaki taramalara ait zaman değerlerini, t referans (sabit) alınan saatin referans epoğundaki zaman değerini göstermektedir. Zaman geikmeleri için ölçü denklemleri, = = M saat(,2) saat saat2 saat(,3) saat saat3 = saat(s,s) saats saats (6) şeklindedir. Ölçü denklemlerinin, saat parametreleri bilinmeyenlerine göre kısmi türevleri, = saat saat 2 d β -d β β = saat saat saat 2 saat 2 (t - t )d β -(t - t )d β β =(t saat 2 saat saat2 2 saat2 -t)dβ 2 -(t -t)dβ 2 β2 (7) şeklindedir. Saat parametreleri (ofset, trend ve kuadratik terimler) için katsayılar matrisleri, 8

9 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. A saat.ofset saat saat 2 saat (s ) saat (s ) dβ dβ L dβ dβ L 2 L = M M M O M M m L m L A saat.trend saat saat 2 saat (s ) saat (s ) dβ dβ L dβ dβ t saat t (tsaat2 t ) L t 2 saat t L = M M M O M M L ( ) m saat(s) m K tsaat(s ) t (tsaat(s) t ) (8) A saat.kuadratik saat saat 2 saat (s ) saat (s ) dβ2 dβ2 L dβ2 dβ (tsaat t ) (tsaat 2 t ) L 2 2 (tsaat t ) L = M M M O M M 2 m L (tsaat(s) t ) 2 2 m K (tsaat(s ) t ) (tsaat(s) t ) [ ] A A A A = (9) saat saat.ofset saat.trend saat.kuadratik şeklinde oluşturulur (Shuh 987; Titov vd, 24; Tesmer, 24; Hobiger vd, 28). Kuadratik polinoma (Şekil 6) ek olarak VLBI saat modeline frekans farklılıklarındaki yüksek dereedeki değişimleri de belirleyebilmek için PL ofset parametreleri kestirilir. Aşağıdaki (4) eşitliğinde verilen PL ofset modeli, kestirim aralıklarına bağlı olarak parametre sayısı değişen sürekli bir fonksiyondur (Şekil 6). CONT5 kampanyasının ilk 24 saatlik oturumda (2 Eylül 25) tüm radyo teleskoplarının atomik saatlerinde meydana gelen senkronizasyon uyuşumsuzluğu ve frekans tutarsızlığı hataları tüm oturum için oluşturulan polinomun trend ve kuadratik terimleri (8) ve (9) eşitlikleri ve bu polinoma ek olarak her kestirim aralığı için oluşturulan PL ofset fonksiyonunun ofset değerleri (6) eşitliği ile En Küçük Kareler Kestirimi (EKK) parametre kestirimi yöntemi ile elde edilmiştir. Onsala6 radyo teleskobunun atomik saat hatasına ait kuadratik fonksiyon ve parçalı lineer ofsetleri kestirim parametreleri Şekil 6 da verilmiştir. 9

10 Radyo Teleskobu ONSALA6 saat hataları kuadratik fonksiyonu ve 2 dakika kestrim aralıklı parçalı lineer ofset değerleri Saat Hataları Şekil 6. CONT5 kampanyası ilk 24 saatlik oturumunda Onsala6 radyo teleskobunun atomik saat hatası (kuadratik fonksiyon ve PL ofset fonksiyonu ile belirlenen saat hataları kestirim aralıkları). b. Troposferik Sinyal Geikmesinin Modellenmesi Radyo sinyalleri, radyo kaynağından (kuazar) radyo teleskoplarına doğru olan yoluluklarında elektromanyetik dalgaları saptıraak miktarda serbest elektronların bulunduğu iyonosfer (kalınlığı yaklaşık olarak 7-5 km) ve elektriksel nötr olan troposfer (yaklaşık olarak kalınlığı, kutuplarda 6-7 km, ekvatorda 6-2 km ve ϕ = 45 de 2 km) tabakalarından geçmektedir. Radyo dalgaları, geçtiği yol boyuna tabakaların yoğunluk ve diğer bazı zamana bağlı değişen karekteristik özelliklerine (sıaklık, basınç vs.) bağlı olarak kırılma ve yansımaya maruz uğramaktadır. Iyonosferdeki geikme etkisi çift frekanslı ölçüler ile (VLBI için 2.3 ve 8.4 GHz) hemen hemen tamamen giderilmektedir. Atmosferin en alt tabakası olan troposfer, atmosferin tüm ağırlığının %75 ini ve su buharının ise yaklaşık %98 ini ihtiva eder. Zenit hidrostatik geikmesinin 3/4 ü troposfer tabakasında oluşur. Bir istasyonda, t anındaki L (t) zenit hidrostatik geikme, basınç (hpa) ve istasyon koordinatları (enlem ϕ ( ), ve yükseklik h (m)) ile = z Lh (.266 os(2 ).28 6 ϕ h) p z h () şeklinde hesaplanır (Saastamoinen, 973). Yüzey basınç ölçüleri ile hidrostatik geikme mm den daha duyarlı biçimde kestirilebilmektedir. Yüzey basınç ölçüsünde yapılaak hpa hata, zenit hidrostatik geikmesinin kestiriminde 2.3 mm hataya sebep olur.. mm duyarlıklı hidrostatik geikme kestirimi için ise.5 hpa duyarlıkta yüzey basınç ölçümü yapılmalıdır. Deniz seviyesi için, zenit yönündeki hidrostatik geikme yaklaşık 2.3 metreden, 5 yükselim açısında 25 metreye kadar artar (Boehm vd, 26). Islak zenit geikmesi ise çöl ortamında milimetre düzeylerinde iken nemli bölgelerde 35 santimetreye kadar çıkmaktadır. Troposfer tabakasındaki su buharı, yüksekliğe ve zamana bağlı olarak çok değişkendir. Bu nedenle zenit ıslak geikmesi yüzeyde yapılan basınç, sıaklık ve nem gibi ölçülerle yeterli duyarlıkta belirlenemez. Troposfer zenit ıslak geikmesinin z ( L w (t)) belirlenmesinde, troposferin katmanları boyuna radyosonda ölçülerinden zenit doğrultusunda yaklasık 3 km boyuna ve 3 seviye yüzeyinden elde edilen su buharı basını (hpa), sıaklık ( C) ve bağıl (rölatif) nem (%) değerleri kullanılır. metre aralıklı yüzeyler için km yüksekliğe kadar ölçülen değerlerin ara değerleme ve dış değerleme (extrapolasyon) yapılmasının ardından her katman için belirlenen yeni değerler ile ıslak kırılma değerleri hesaplanır. Tüm katmanlardaki ıslak refraktivite

11 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. değerlerinin toplamından zenit ıslak geikme değeri elde edilir. Zenit ıslak geikmesi VLBI analizinde bilinmeyen parametre olarak hesaplanır. Troposferik sinyal geikmesi ( için tro ) her baz e e e Tro(t) = [ L 2(t) L (t)] () şeklinde hesaplanır. Burada L(t) i istasyonunda, t zamanında, e kesme açısına ait troposferik sinyal geikmesidir. VLBI temel fonksiyonel modelinde kullanılan troposferik geikme parametresi, her iki istasyondaki geikmenin farkıdır, diğer bir ifade ile baza getirilen troposferik sinyal geikme düzeltmesidir. e Troposferik sinyal geikmesi L(t) i hidrostatik ve ıslak olmak üzere iki kısma ayrılarak L (t) = L (t) mf (e) + L (t) mf (e) (2) e z z i h h w w şeklinde modellenir (Davis vd, 985). Eşitlik (2) de mf h,w hidrostatik ve ıslak izdüşüm z fonksiyonlarını (mapping funtions), L h,w ise zenit doğrultusundaki hidrostatik ve ıslak troposferik geikmeleri ifade eder. İzdüşüm fonksiyonları (mapping funtions) herhangi bir istasyonda, t anında zenit yönündeki troposferik geikme ile ufuk düzleminden rasgele alınan herhangi bir yükselim açısındaki troposferik geikme arasındaki oranı veren kesirli bir fonksiyondur (Niell, 996). Troposferin kalınlığının ekvatordan kutuplara doğru inelmesinden ötürü herhangi bir istasyonda t anında aynı yükselim açısındaki zenit geikmeleri aynı olmaz. t anında aynı yükselim açısı için sinyalin güney troposfer yolunun kuzeye göre daha fazla olmasından troposferik geikme miktarı, güneye doğru olan ölçülerde kuzeye doğru olan ölçülerden daha fazladır. Buna troposfer geikmesinin azimutal e i asimetri özelliği denir ve tüm izdüşüm fonsiyonlarında dikkate alınır. Jeodezik izdüşüm fonksiyonları mf h,w ai + bi + + i (e) = ai sin(e) + bi sin(e) + sin(e) + i (3) eşitliği ile verilen kesirli fonksiyondaki (Marini, 972) hidrostatik ve ıslak a,b,,kparametrelerini i i i hesaplama yönü ile farklılaşır. Bu katsayılar enlem, elipsoidal yükseklik, yılın günü, yüzey sıaklığı ve toplam yüzey basını gibi ölçülerin bir fonksiyonu olan standart atmosfer modelleri ile (Chao, 974) hesaplanabileeği gibi, radyoson verileri ile (Niell, 996), veya şimdilerde sayısal atmosfer modelleri (Numerial Weather Models) (Boehm vd, 26) ile de hesaplanabilir. İzdüşüm fonksiyonlarının duyarlığı tüm kestirim parametrelerinin özellikle istasyon nokta yüksekliklerinin duyarlıklarını büyük oranda etkilemektedir.. Saat Hataları Parametrelerinin ve Troposferik Zenit Islak Geikmelerinin Sürekli Parçalı Lineer Ofset Fonksiyonu ile Modellenmesi Bu çalışma kapsamında, PL ofsetler şeklinde oluşturulan saat hatası ( lk ) ve troposferik ıslak zenit geikme ( L (t)) parametrelerinin kestirim modeli (4) VieVS yazılımına uygulanmıştır. Modeller için önerilen sürekli PL ofset fonksiyonu (ontinuous pieewiee linear ofset funtion) şeklinde ifade edilir. Foksiyonun temsili grafik gösterimi 6 dakikalık kestirim aralıkları için Şekil 7 de sunulmuştur. z w a a a a a a y = a + ( ) + ( ) + L + (t t ) 2 n n 2 n t2 t tn tn a -a = a + (t-t ) n n- n- n- tn -tn- (4)

12 a n ofset (ai) a o a a 2 y a 3 a n- t o = d t =6 d t 2 =2 d t t t t n =44 d n- =38 d 3 =8 d zaman (t i ) Şekil 7. VLBI analizinde saat hatalari ve zenit ıslak geikmeleri parametrelerinin PL ofsetler ile kestirimi grafik gösterimi (PL ofsetler - 6 dakikalık kestirim aralıkları). (4) eşitliğinde verilen ölçü denklemlerinin kısmi türevleri bilinmeyen parametreler a n ve a n e göre, y t-t a t -t n- = (- )da n- n- n n- y t-t a t -t n- = ( )dan n n n- (5) şeklinde elde edilir. PL ofsetler modeli için EKK dizayn matrisi ilgili kısmi türev değerleri A saat.par.lin.ofset ' ' L ' ' t2 t t2 t L M M M M O M ' ' tm/n t tm/n t L '' '' L t2 t t2 t '' '' t2 t t2 t L t2 t t2 t = M M M M O M '' '' tm/n t tm/ n t L t2 t t2 t M M M M O M (n) (n) L (n) (n) O M L M M M M (n) (n) L n n n n n n 2 n 2 n n n n n m/n n m/n n n n n n mxn (6) 2

13 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. şeklinde yerine konularak oluşturulur. Bu eşitlikte m ölçü sayısını, n bilinmeyen lineer ofset sayısını göstermektedir. Örneğin, saat hatası modeli için kestirim aralığı 6 dakika seçildiğinde VLBI oturumları 24 saat sürdüğü için bilinmeyen sayısı (25 ofset değeri, trend ve kuadratik terim) toplam 27 olur. Katsayılar matrisinin regüler olmaması ve rank bozukluğuna sahip olması gibi sayısal problemleri çözmek ve parametre kestirimini tutarlılaştırmak için PL offsetler fonsiyonunun kestirim aralıkları arasında koşullar pseudo-ölçü denklemleri şeklinde oluşturulmuştur. Pseudoölçü denkleminde iki ofset arasındaki fark sıfıra eşitlenmiş, a -a 5 mm i,, 2,,n - i+ i= ± = (7) gevşek koşul için ölçülerinkilere göre daha büyük standart sapma değeri atayarak pseudo-gözlem denklemleri ağırlıklandırılmıştır. Aşağıda sunulan dengleme modeline göre; (A'PA+ H'PH)dx = A'Pl+ H'Ph (8) çözüm sağlanmıştır. (8) eşitliğindeki gerçek ve pseudo-gözlem denklemlerine ait fonksiyonel ve stokastik modelin matris gösterimi v A dl dx - v = H h - K P Kll = S - K = P (9) şeklindedir. (9) eşitliğinde; K ll, ölçü ve koşullara ait varyans-kovaryans matrisini; H, pseudo-gözlem denklemleri dizayn matrisini; h, pseudo-ölçüler vektörünü; K, pseudo-ölçü denklemlerinin varyans-kovaryans matrisini; P, pseudo-ölçü denklemlerinin ağırlıklarını, A, gerçek ölçülerin dizayn matrisini; P, varyanskovaryans matrisini; dx, bilinmeyenlerin (saat hataları PL ofsetleri, trend ve kaudratik terimleri, troposferik ıslak zenit geikmeleri PL ofsetleri) düzeltmelerini ve dl, ötelenmiş (indirgenmiş) ölçüler vektörünü göstermektedir. Sonul karesel ortalama hata S = (v'pv+ v 'Pv )/(nölü + nkosul -n bilinmeyen ) (2) eşitliğinden elde edilir. n ölü, n kosul ve n bilinmeyen sırası ile ölçü sayısı, pseudo-gözlem eşitliği şeklinde oluşturulan ofsetler arasındaki koşulların sayısı ve bilinmeyen parametrelerin sayısını göstermektedir. Örneğin, Şekil 8 de bir günlük VLBI oturumunun bir bölümü için dakikalar arası zenit ıslak geikmelerinin PL ofsetler ile kestirimi görülmektedir dakikaları arasındaki 4 saatlik sürede herhangi bir ölçü yapılmadığı bir durum için model, eğer koşullar kullanılmasaydı çözümsüz olaaktı. Geleekte, saat hataları ve zenit ıslak geikmesinin ofset kestirim aralıkları veya 5 dakika seçildiğinde ilgili aralığa düşen ölçü sayısı bilinmeyen parametre sayısından fazla olaağından bu durum ile sıkça karşılaşılaaktır. Gevşek koşulların, pseudo-gözlem denklemleri şeklinde modele dahil edilmesinde koşulların ağırlıklarının ölçü ağırlıklarından çok daha küçük olmasından ötürü kestirim parametreleri üzerinde etkisi de olmayaaktır. PL ofsetlerinin kestiriminin yapıldığı model, saat hatası ve zenit geikme parametrelerinin kestirimi ile birlikte yer dönüklük parametrelerinin ve radyo teleskoplarının koordinatlarının kestiriminde de kullanılaaktır. CONT5 kampanyası ilk 24 saatlik oturumunun (2 Eylül 25) radyo teleskoplarındaki zenit ıslak geikme parametreleri (6) eşitliğinde verilen PL ofset modeli ile (7) eşitliğinde verilen gevşek koşullar modele dahil edilerek hesaplanmıştır. 3

14 Gevşek koşullu (kısıtlayıı) EKK kestrimi ile belirlenen zenit ıslak geikmeleri dakika kestirim aralıklı parçalı lineer ofsetler Zenit Islak Geikmeleri Parçalı lineer ofset değerleri (mm) Simülasyon ile üretilmiş zenit ıslak geikmeleri Parçalı lineer ofset kestirim değerleri Şekil 8. Pseudo-gözlem denklemleri şeklinde modele dahil edilen gevşek koşullar ile dakikalık aralıklar için zenit ıslak geikmelerinin kestirimi. Radyo Teleskobu ALGOPARK zenit ıslak geikmeleri 2 dakika kestirim aralıklı parçalı lineer ofsetler Zenit Islak Geikmeleri ve standart sapmaları Şekil 9. CONT5 kampanyası ilk 24 saatlik oturumunda Algopark radyo teleskobu zenit ıslak geikmeleri (PL ofset değerleri ve standart sapmaları kestirim aralıkları). 4

15 Çok Uzun Baz Enterferometrisi (VLBI) Tekniğinde, Saat Hatası ve Troposferik Geikme Parametre Kestirim K.Teke Modelleri vd. Radyo Teleskobu WETTZELL zenit ıslak geikmeleri 2 dakika kestirim aralıklı parçalı lineer ofsetler Zenit Islak Geikmeleri ve standart sapmaları(m) Şekil. CONT5 kampanyası ilk 24 saatlik oturumunda Wettzell radyo teleskobu zenit ıslak geikmeleri (PL ofset değerleri ve standart sapmaları kestirim aralıkları). Şekil 9 da kestirimi yapılan Algopark a ait ilk ve son zenit ıslak geikme değerlerinin ve Şekil da Wettzell e ait 6., 7. ve 8. geikme değerlerinin standart sapmalarının diğerlerine göre büyük olmasının nedeni, ilgili 2 dakikalık kestirim aralığında ölçü bulunmaması ve bu aralıklar için çözümün pseudo-gözlem denklemleri ile sağlanmış olmasıdır. Atanan standart sapma değerlerinin gerçek ölçülerinkilere göre büyük olması koşulların gevşekliğini göstermektedir. 4. SONUÇ Bu çalışma kapsamında VLBI saat hatalarının ve zenit ıslak geikmelerinin yüksek zamansal çözünürlükte (her 2,, 5 dakika) kestirimine olanak sağlayan parçalı lineer ofsetler modeli geliştirilerek, VLBI temel ölçü modeli içerisine dahil edilmiştir. Bazı kestirim aralıklarında ölçü bulunmamasından dolayı katsayılar matrisinde oluşan rank bozukluklarının ortadan kaldırılması için ofsetler arasındaki koşullar (kısıtlayıılar) pseudogözlem denklemleri şeklinde oluşturulmuş ve pseudo-gözlem denklemlerine atanan yüksek standart sapma değerleri ile koşullar gevşekleştirilmiştir. Böylee normal denklemlerin katsayılar matrisinin küçük kestirim aralıklarında ölçü eksikleri bulunması durumunda da regüler yapıda oluşması sağlanmıştır. VLBI parametrelerinin kestiriminde, saat hataları ve zenit ıslak geikmeleri yanında yer dönüklük parametreleri ve radyo teleskobu istasyon koordinatları gibi tüm jeodezik parametrelerin parçalı lineer ofsetler fonksiyonu ile modellenmesi önerilir. K A Y N A K L A R Boehm, J., Werl, B., ve Shuh, H., 26, Troposphere mapping funtions for GPS and very long baseline interferometry from European Centre for Medium-Range Weather Foreasts operational analysis data, J. Geophys. Res.,, B246, doi:.29/25jb3629. Campbell, J., ve Witte, B., 978, Grundlage und geodätishe Anwendung der very long baseline interferometry (VLBI), Zeitshrift für Vermessungwesen, 3, s

16 Campbell, J., 979, Die Radiointerferometrie auf langen Basen als geodatishes Messprinzip hoher Genauigkeit, DGK Reihe C, Heft 254, Verlag des Instituts für Angewandte Geodäsie, Frankfurt am Main. Campbell, J., 24, VLBI for Geodesy and Geodynamis, In: The Role of VLBI in Astrophysis, Astrometry and Geodesy, F. Mantovani and A: Kus (eds.), Kluwer Aademi Publishers, s Chao, C.C., 974, The Troposphere Calibration Model for Mariner Mars 97, JPL Teh. Rep., s , Jet Propul. Lab., Pasadena Calif. Cohen, M.H., ve Shaffer, D.B., 97, Positions of radio soures from long baseline Interferometry, Astron. Journ., 76, s. 9-. Davis, J.L., Herring, T.A., Shapiro, I.I., Rogers, A.E.E., ve Elgered G., 985, Geodesy by Radio Interferometry: Effets of Atmospheri Modeling Errors on Estimates of Baseline Length, Radio Si., 2(6), s Drewes, H., ve Reigber, C., 25, The Global Geodeti Observing System (GGOS) of the International Assoiation of Geodesy - Objetives and Status, FIG Working Week 25 and GSDI-8. Hobiger, T., Koyama Y., Boehm, J., Kondo, T., ve Ihikawa R., 28, The effet of the negletion of VLBI referene station lokoffsets on UT estimates, submitted to Advanes in Spae Researh. Ma, C., 978, Very long baseline interferometry applied to polar motion, relativity and geodesy, NASA Tehnial Memorandum 79582, University of Maryland, Maryland. Marini, J.W., 972, Corretion of Satellite Traking Data for an Arbitrary Tropospheri Profile, Radio Si., 7(2), s MCarthy, D.D., ve Petit G., 24, IERS Conventions 23, IERS Tehnial Note 32, Observatoire de Paris. Niell, A.E., 996, Global mapping funtions for the atmosphere delay at radio wavelengths, J.Geophys. Res.,, B2, s Nothnagel, A., 99, Radiointerferometrishe Beobahtungen zur Bestimmung der Polbewegung unter Benutzug langer Nord- Süd-Basislinien, DGK Reihe C, Heft 368, Verlag des Instituts für Angewandte Geodäsie, Frankfurt am Main. Petrahenko, B., Boehm, J., MaMillan, D., Pany, A., Searle A., ve Wresnik J., 28, VLBI2 Antenna Slew Rate Study, Proeedings of the 5th IVS General Meeting, St. Petersburg, s Saastamoinen, J., 973, Contributions to the theory of atmospheri refration, part II, Bull. Geod., 7, s Shlüter, W., ve Behrend, D., 27, "The International VLBI Servie for Geodesy and Astrometry (IVS): urrent apabilities and future prospets", Journal of Geodesy, 8, Nos. 6 8, s Shuh, H., 987, Die Radiointerferometrie auf langen Basen zur Bestimmung von Punktvershiebungen und Erdrotationsparametern, DGK Reihe C, Heft 328, Verlag der Bayerishen Akademie der Wissenshaften, Münhen. Shapiro, I.I., Robertson, D.S., Knight, C.A., Counselman, C.C., Rogers, A.E.E., Hinteregger, H.F., Lippinott, S., Whitney, A.R., Clark, T.A, Niell, A.E., ve Spitzmesser, D.J., 974, Transontinental baseline and the rotation of Earth measured by radio Interferometry. Siene, 86, s Sovers, O.J., Fanselow J.L., ve Jaobs, C.S., 998, Astrometry and geodesy with radio interferometry: experiments, models, results. Reviews of Modern Physis, 7, No. 4. Takahashi, Y., 994, Estimation of Errors in VLBI data and Position Determination Error. Journal of Geodeti Soiety of Japan, 4, No. 4, s , Tokyo. Tesmer, V., 24, Das stohastishe Modell bei der VLBI-Auswertung, DGK Reihe C, Heft 573, Verlag der Bayerishen Akademie der Wissenshaften, Münhen. Titov, O., Tesmer, V., ve Boehm J., 24, OCCAM v. 6. software for VLBI data analysis, In International VLBI Servie for Geodesy and Astrometry 24 General Meeting Proeedings, edited by Nany R. Vandenberg and Karen D. Baver, NASA/CP Wolf, P.R., Ghilani, C.D., 997, Adjustment omputation: statistis and least squares ın surveying and GIS, s [URL ], 24.Aralık 28. [URL 2], publi/pr/pr-ut-dt.html, 24.Aralık.28. 6