Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon

Transkript

1 Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28

2 Bir soruyu ya da sorunu ele alış biçimi (TDK sözlüğü). Fonksiyon ya da sayısal analizde; nitelikleri daha az bilinen bir fonksiyona, nitelikleri daha iyi bilinen öğelerle (veya örneklemlerle) yaklaşma eylemi. Bir fonksiyona, verilmiş bir kümeden, herhangi bir anlamda yakın olan bir veya birden fazla fonksiyonun bulunması problemi. Belirli bir öğe yerine kullanılabilecek kadar yakın ancak tam olmayan gösterim biçimi. Burada yakınlık ve tam olmayan kavramları hata, doğruluk ve duyarlık ile ilişkilidir. ı ilgilendiren konular: Sayısal analiz, matematiksel fonksiyonlar, geometrik şekiller ve fiziksel yasalar. Örnek: yeryuvarının şekline küre veya elipsoitle yaklaşmak (geometrik problem); yeryuvarının gravite alanına normal gravite alanı ile yaklaşmak (fiziksel problem) A. Üstün yöntemleri 2 / 28

3 teorisi Matematikte; yaklaşım teorisi belirli bir fonksiyona daha basit fonksiyonlarla en iyi biçimde nasıl yaklaşılabilir? ve bu yolla ortaya çıkan hatalar nicelik olarak nasıl sınıflandırılabilir? konularıyla ilgilidir. Uygulamalı (mühendislik) bilimlerde yaklaşım problemi sayısal analiz problemine dönüşür. Gözlenen bir gerçek duruma polinomlarla (kuvvet, trigonometrik veya oransal olabilir) yaklaşılmaya çalışılır. Problemin çözümü sayısal değerlere uygulanan basit aritmetik işlemlerle (çarpma, toplama vb.) aranır. Burada en iyi yaklaşımı belirleyen en önemli iki faktör yaklaşım için kullanılacak fonksiyonun derecesi (terim sayısı) ve/veya bu fonksiyonun tanım aralığıdır. fonksiyonun geçerli olduğu tanım aralığı daraldıkça daha iyi yaklaşım sağlanır. A. Üstün yöntemleri 3 / 28

4 En iyi yaklaşım a x b aralığındaki f(x) fonksiyonuna, daha basit φ k (x) fonksiyonlarının doğrusal kombinasyonu olan φ(x) = nx a k φ k (x) (1.1) k=0 ile yaklaşılsın. Örneğin φ k (x) = x k olarak alınırsa yaklaşım fonksiyonu, biçiminde bir polinom halini alacaktır. φ(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (1.2) En iyi yaklaşımdan söz edildiğinde, fonksiyonun tanımlı olduğu aralık boyunca uygun bir biçimde tanımlanan enterpolasyon hatasının en küçük olması anlaşılır.genel enterpolasyon hatasının matematiksel tanımı hata normu, ile tanımlabilir. Buna göre en iyi yaklaşım, hata normu olandır. f φ (1.3) f φ = minimum (1.4) A. Üstün yöntemleri 4 / 28

5 En iyi yaklaşım (1.4), yaklaşım polinomunun bilinmeyen katsayılarının a 0, a 1, a 2,..., a n çözümünü sağlayacak koşul niteliğindedir. Hata normunun tanımı için tercih edilebilecek en uygun iki seçim ve g = max g(x) (Chebyshev normu) (1.5) a x b g = 8 < : Z b a 9 = [g(x) 2 ]dx ; A. Üstün yöntemleri 5 / 28 1/2 (L 2 normu) (1.6) dur. Bu durumda en iyi yaklaşım; en büyük enterpolasyon hatasının en küçükleştirildiği Chebyshev yaklaşımı, max f(x) φ(x) = minimum (1.7) a x b ve yaklaşma hatalrının karelerinin toplamının en küçükleştirildiği en küçük kareler yaklaşımı, Z b olarak tanımlanmış olur. a [f(x) φ(x)] 2 dx = minimum (1.8)

6 Weierstrass ve Chebyshev teoremleri Verilmiş bir fonksiyonun bir polinom veya bir trigonometrik seri ile ifade edilmesi için Weierstrass tarafından ispatlanmış iki teorem kullanır: Weierstrass Teoremi 1: Bir f(x) fonksiyonu a x b aralığında sürekli ise bu aralıkta doğruluk derecesi herhangi istenen dereceden φ(x) polinomu ile gösterilebilir. Weierstrass Teoremi 2: 2π periyotlu ve sürekli herhangi bir f(x) fonksiyonu, φ(x) = a 0 + nx a k cos(kx) + b k sin(kx) (1.9) k=1 biçiminde sonlu bir trigonometrik seri ile gösterilebilir. Weierstrass teoremlerine göre verilen a x b aralığında x in herhangi bir değeri için ε = f(x) φ(x) olacak biçimde bir polinom ya da trigonometrik seri bulmak olanaklıdır. Chebyshev Teoremi: polinomu, φ(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (1.10) olsun. a k katsayıları (??) ile ifade edildiği biçimiyle en büyük hatanın en küçükleştirilmesiyle bulunabilir. A. Üstün yöntemleri 6 / 28

7 Var olan ayrık veri dizilerinden yeni veri türetme tekniğidir. geniş anlamda, mevcut verilere fonksiyon (eğri ya da yüzey) uydurma işlemi olarak tanımlanır. g(x) = x x x x x x 6 x f(x) f(2.5) =? A. Üstün yöntemleri 7 / 28

8 Gözlem anı ( , UTC: 10 h 15 m 22 s ) koordinatları? Güneşin görünen koordinatları (Ocak 2006) Gün Rektesensiyon Deklinasyon h m s 0 CT PZ PT SA CA PE CU CT PZ PT SA CA PE CU CT PZ PT A. Üstün yöntemleri 8 / 28

9 yöntemleri g(x) enterpolasyon fonksiyonunun oluşturulma biçimine bağlı olarak yöntemler aşağıdaki biçimde sınıflandırılabilir: Doğrusal enterpolasyon Polinom enterpolasyonu Lagrange enterpolasyon polinomu Newton (bölünmüş farklar) enterpolasyon polinomu Gregory-Newton (ileri farklar) Aitken enterpolasyon polinomu Bessel, Everett, Stirling (merkezi farklar) enterpolasyon polinomu ve diğerleri Spline enterpolasyon Kuadratik spline enterpolasyonu Kübik spline enterpolasyon Trigonometrik enterpolasyon A. Üstün yöntemleri 9 / 28

10 Doğrusal enterpolasyon f(x) g(x) f(x) gerçek fonksiyon g(x) doğrusal enterpolasyon x Doğrusal ent. Hatası g(x) = y i + y i+1 y i x i+1 x i (x x i ) (1.11) f = f(x) g(x) < h2 8 f (x) (1.12) A. Üstün yöntemleri 10 / 28

11 polinomu y = f(x) fonksiyonunun bağımsız değişkeni x in x 0, x 1, x 2,..., x n ardışışık değerlerine karşılık, fonksiyonun alacağı değerler y 0, y 1, y 2,..., y n olsun. (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen n. dereceden bir polinom, g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (1.13) ile tanımlanabilir. g(x) fonksiyonuna f(x) in yaklaşığı, bir başka deyişle enterpolasyon polinomu denir. Bu polinomun katsayıları a 0, a 1, a 2,..., a n, a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = g(x 0 ) = y 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n 1 = g(x 1 ) = y 1.. (1.14) a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a n x n n = g(x n ) = y n denklem sisteminin çözümünden elde edilir. (1.13) matris biçiminde de gösterilebilir: Xa = y (1.15) Burada X katsayılar (Vandermonde) matrisine, a bilinmeyen parametreler vektörüne, y ise yalın ölçüler vektörüne karşılık gelir. A. Üstün yöntemleri 11 / 28

12 Lagrange enterpolasyon polinomu (1.14) in çözümü, matris biçimiyle, a = X 1 y (1.16) ile gerçekleştirilir. g(x) polinomunun bilinmeyen katsayıları a = [a 0 a 1 a 2... a n ] T başka yollarla da belirlenebilir. Bunlardan biri Lagrange enterpolasyon polinomudur: g(x) = n y i L i (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + + y n L n (x) i=0 Burada L i (x) Lagrange baz fonksiyonlarıdır: (1.17) L i (x) = n j=0,j i x x j x i x j = (x x 0)...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x j 1 )(x i x j+1 )...(x i x n ) (1.18) A. Üstün yöntemleri 12 / 28

13 Newton enterpolasyon polinomu Bazı kaynaklarda bölünmüş farklar enterpolasyonu olarak geçer. polinomu, g(x) = g 0 + n g i N i (x) = g 0 + g 1 N 1 (x) + + g n N n (x) (1.19) i=1 biçiminde ifade edilir. Burada, N i (x) = i (x x j 1 ) = (x x 0 )(x x 1 )...(x x j 1 ) (1.20) j=1 Newton baz fonksiyonudur. g 0, g 1, g 2,..., g n katsayıları, g 0 = y 0, g 1 = [x 1 x 0 ] = y 1 y 0 x 1 x 0 g 2 = [x 2 x 1 x 0 ] = [x 2x 1 ] [x 1 x 0 ] x 2 x 0 g n = [x n...x 2 x 1 x 0 ] = [x n...x 3 x 2 x 1 ] [x n 1...x 2 x 1 x 0 ] x n x 0 (1.21) bölünmüş farklar ile gösterilirse; (1.18) daha açık biçimde yazılabilir: A. Üstün yöntemleri 13 / 28

14 Newton enterpolasyon polinomu (çizelge) g(x) =y 0 + [x 1 x 0 ](x x 0 ) + [x 2 x 1 x 0 ](x x 0 )(x x 1 ) [x n... x 2 x 1 x 0 ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) (1.22) (1.21) deki bölünmüş farklar bir çizelge üzerinde kolayca hesaplanabilir: x 0 y 0 (x 1 x 0 ) [x 1 x 0 ] (x 2 x 0 ) x 1 y 1 [x 2 x 1 x 0 ] (x 3 x 0 ) (x 2 x 1 ) [x 2 x 1 ] [x 3 x 2 x 1 x 0 ] (x 4 x 0 ) (x 3 x 1 ) x 2 y 2 [x 3 x 2 x 1 ] [x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 ] (x 4 x 1 ) (x 3 x 2 ) [x 3 x 2 ] [x 4 x 3 x 2 x 1 ] (x 4 x 2 ) x 3 y 3 [x 4 x 3 x 2 ] (x 4 x 3 ) [x 4 x 3 ] x 4 y 4 g(x) =g 0 + g 1 (x x 0 ) + g 2 (x x 0 )(x x 1 ) g n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) A. Üstün yöntemleri 14 / 28

15 Eşit aralıklı veriler için enterpolasyon polinomu Ardışık x i değerlerinin arasındaki farklar eşitse, ileri farklar çizelgesi yardımıyla, Newton enterpolasyon polinomu daha basit bir şekil alır: x 0 y 0 h 1 0 2h x 1 y h h h 2h x 2 y h h h x 3 y h 1 3 x 4 y 4 g(x) =y (x x 0 ) 1! h + n 0 n! (x x 0 )(x x 1 ) 2! h (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) h n (1.23) A. Üstün yöntemleri 15 / 28

16 Gregory-Newton enterpolasyon polinomu (1.22), t = x x 0 h g(x 0 + t h) = y 0 + t yardımcı büyüklüğü ile daha da basitleştirilebilir: ( ) t ( ) t ( ) t n 0 (1.24) n (1.23) ya Gregory-Newton (ileri fark) enterpolasyon polinomu denir. Polinomda geçen binom katsayıları, açık olarak yazılış biçimiyle aşağıdaki gibidir: ( ) t n = t(t 1)(t 2)...(t n + 1) n! (1.25) Gregory-Newton enterpolasyon polinomundan hareketle Gauss, Stirling, Bessel vb. enterpolasyon polinomları da türetilebilir. da ters işlem, fonksiyonun verilen değerine karşılık bağımsız x değişkeninin değerinin hesaplanmasıdır. Çözüm için x değerleri yerine y yi, y değerleri yerine x i göz önüne almak yeterli olacaktır. A. Üstün yöntemleri 16 / 28

17 Fonksiyonel model y = f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x Eğri (1.26) z = f(x, y) = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 xy + a 5 y Yüzey (1.27) Yukarıdaki eşitliklerde geçen f fonksiyonuna enterpolasyon polinomu denir. Polinomun katsayıları, ölçü olarak verilen y veya z değerlerinin dengelenmesiyle kestirilebilir. Örneğin n sayıdaki yüzey noktası için A katsayılar matrisi, x bilinmeyen katsayılar ve l ölçü vektörü, A = x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y x 3 y 3 x 2 3 x 3 y 3 y x n y n x 2 n x n y n yn 2... A. Üstün yöntemleri 17 / x = a 0 a 1 a l = 6 4 (1.28) biçiminde yazılabilir. Buradan en küçük kareler yöntemine göre; P ölçülerin ağırlık matrisi olmak üzere bilinmeyenler, matris çözümünden elde edilebilir. z 1 z 2 z 3. x = (A T PA) 1 (A T Pl) (1.29) z n 3 7 5

18 Prediksiyon x bilinmeyen katsayılar vektörünün belirlenmesiyle, yüzey denklemi oluşturulmuş olur. Ölçülerin trend yüzeyinden sapmaları (düzezeltmeler) ve herhangi bir ölçüye ilişkin standart sapma, v = Ax l, m 0 = r vt Pv n u (1.30) ile verilir. Burada n u fazla ölçü sayısını gösterir. Yüzey denklemi sayesinde, z değeri bulunmayan p sayıda nokta için prediksiyon işlemi uygulanabilir. Bunun için öncelikle predikte edilecek noktaların katsayılar matrisi, 2 1 x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y A p = 6 4 oluşturulursa prediksiyon sonuçları, matris çarpımından bulunur. 1 x 3 y 3 x 2 3 x 3 y 3 y x p y p x 2 p x p y p y 2 p... A. Üstün yöntemleri 18 / (1.31) l p = A p x (1.32)

19 için kullanılan fonksiyonel model, ölçüleri çoğu kez yeterli incelikte temsil etmez. Böyle durumlarda, basit bir fonksiyonel model ile birlikte ölçülerin bu modelden sapmalarını ifade eden stokastik model (=kollokasyon) öngörülmelidir. probleminde, bir i noktası için düzeltme denklemi: l i + v i = trend + s i, (i = 1,2,3,..., n) (1.33) s i v i Trend l i ölçü v i ölçü hatası ( n i ) n i noise=gürültü s i sinyal f(x) trend (Ax) f(x) l i (ölçü) Sinyal A. Üstün yöntemleri 19 / 28

20 problemi Gürültü Bir dengeleme işleminin sonucu olarak elde edilen ölçü hatalarını sinyal ve gürültü olmak üzere iki bileşene v = s + n (1.34) ayırarak, ölçülerden sadece korelasyonsuz hataları (n=noise) süzmek Fonksiyonel modeldeki bilinmeyen parametreleri (a 0, a 1,... katsayılarını) belirlemek Ölçü yapılmamış (predikte edilecek) noktalarda enterpolasyon işlemini gerçekleştirmek Ölçüler ve kestirilen büyüklüklere ilişkin ortalama hataları belirlemek A. Üstün yöntemleri 20 / 28

21 Kovaryans fonksiyonu Ölçü (dayanak) noktalarındaki (s) ve enterpolasyon noktalarındaki (s p ) sinyalleri elde edebilmek için sinyaller arasındaki korelasyonu tanımlayan kovaryans fonksiyonu bilinmelidir. Böyle bir fonksiyon, önceden bilinen bir ölçünün ortalama hatası m n (sadece raslantısal hataların sonucu), sinyallere ilişkin ortalama hata m s değerleriyle tanımlanabilir. Sinyaller arasındaki korelasyon fonksiyonu genellikle deneysel yollardan belirlenir ve bu fonksiyon genellikle bir parametreye bağımlıdır: örneğin jeodezik uygulamalarda çoğunlukla noktalar arasındaki uzaklığa (q). Kovaryans fonksiyonuna göre, iki noktadaki sinyal değerleri arasındaki korelasyon uzaklık arttıkça azalır ve belli bir uzaklıktan (q 0 ) sonra sıfıra çok yakın bir değer alır. C(q) C z (q) Bazı kovaryans fonksiyonları: C s (0) C = C (q/q 0 ) 2 Hirvonen Kovaryans C = C 0 e a2 q 2 Gauss fonksiyonu C = C 0 q q 0 Lauer q A. Üstün yöntemleri 21 / 28

22 Korelasyon matrisleri probleminin çözümü öncesinde, tekrarlı ölçülerle elde edilebilen C n (0) = m 2 n ve bir ön dengeleme ile belirlenebilen C z (0) = m 2 0 varyans değerinden yola çıkılarak sinyallere ilişkin varyans, C s (0) = C z (0) C n (0) (1.35) eşitliğiyle belirlenebilir. Uygun görülen bir kovaryans fonksiyonu yardımıyla da kollokasyon için gereken kovaryans matrisi, C i,k = C(q i,k ) den, 2 3 C 11 C C 1n C ss = 6 C 12 C C 2n (1.36) C 1n C 2n... C nn bulunur. Benzer şekilde predikte edilecek noktalar arasındaki öz korelasyon C sp s p ve dayanak noktaları ile enterpolasyonu yapılacak noktalar arasındaki çapraz korelasyon matrisleri C sp s oluşturulmalıdır. Eşit doğrulukta ve ortalama hataları m n olan kovaryans matrisi C nn = m 2 ne (E: birim matris) ile gösterilirse ölçülerin korelasyon matrisi, olur. C ll = C ss + C nn (1.37) A. Üstün yöntemleri 22 / 28

23 probleminin çözümü modeli: Bilinmeyen parametreler: l = Ax + s + n (1.38) x = (A T C 1 ll A) 1 A T C 1 ll l (1.39) Sinyaller: Gürültüler: noktalarındaki sinyaller: : Birim ağırlıklı ölçünün karesel ortalama hatası: s l m 0 = T C 1 ll (l Ax) n u s = C ss C 1 ll (l Ax) (1.40) n = C nn C 1 ll (l Ax) (1.41) s p = C sp sc 1 ll (l Ax) (1.42) l p = A p x + s p (1.43) (1.44) A. Üstün yöntemleri 23 / 28

24 Sayısal uygulama Aşağıda koordinatları verilen dört noktanın ağırlık anomalisi değerleri g biliniyor olsun. Bu nokta kümesi ile tanımlanan bir yüzey fonksiyonu, g = a 0 + a 1 x + a 2 y yardımıyla bir P noktasının ağırlık anomalisi değeri istensin. Nokta no X Y g x y l P P P P P ? 40 0? x = X X 0, X 0 = 460 y = Y Y 0, Y 0 = 300 l = g g 0, g 0 = 4.00 Bir ön çalışma ile sinyallere ilişkin varyans değeri C s (0) = m 2 s = 0.01 mgal 2 ve kritik uzaklık değeri q 0 = 200 m ve ayrıca tekrarlı ölçülerden bir ölçünün karesel ortalama hatası m n = 0.03 mgal belirlenmiş olsun. A. Üstün yöntemleri 24 / 28

25 Çözüm sonuçları Noktaları arasındaki uzaklıklar (q i,k ): Nokta P 1 P 2 P 3 P 4 P P P P P P 0 Uzaklık değerlerine göre dayanak noktalarının C s (0) değerine bölünmüş kovaryans matrisleri (sinyaller ve ölçüler için): C ss = ,C nn = Korelasyonlu ölçülerin ağırlık matrisi: C 1 ll = (C ss + C nn ) 1 = A. Üstün yöntemleri 25 / 28

26 Çözüm sonuçları (devamı) Trend fonksiyonuna göre A katsayılar matrisi, ve küçültülmüş ölçüler vektörü: A = , l = A T C 1 ll A = (A T C 1 ll A) 1 = , A T C 1 ll l = x = , l Ax = , s = , n = A. Üstün yöntemleri 26 / 28

27 Çözüm sonuçları (devamı) C sp s = ˆ , s p = A p = ˆ , l p = 0.82 mgal sonucu: g = g = 3.12 mgal Birim ağırlıklı ölçünün standart sapması: s l m 0 = T C 1 ll (l Ax) = n u r = ±0.36 mgal A. Üstün yöntemleri 27 / 28

28 Demirel, H., (1983),, HKM Dergisi, (45 47): Wolf, H., (1978), Kollokation und Ausgleichngsrechnunung, İDMMA Dergisi, (4): A. Üstün yöntemleri 28 / 28