DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI"

Bora Koçyiğit
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlıkları Eşit Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dengelemesi Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2016

(Ağırlıklı Ortalama) Dolaysız Ölçüler için Stokastik Model: p i = sabit m i 2 = s 2 0 2 m i s 0

2 (Ağırlıklı Ortalama) Dolaysız Ölçüler için Stokastik Model: p i = sabit m i 2 = s m i s 0 : Birim ölçünün öncül ortalama hatası Ölçüler Ağırlıklar L 1 ± m 1 L 2 ± m 2 L n ± m n p 1 p 2 p n

3 (Ağırlıklı Ortalama) Dolaysız Ölçüler için Fonksiyonel Model: Ölçü + Düzeltmesi = Kesin değer L i + v i = x Ölçüler Düzeltmeler i = 1, 2, 3,, n (n, ölçü sayısı) L 1 ± m 1 L 2 ± m 2 L n ± m n v 1 v 2 v n

4 (Ağırlıklı Ortalama) Fonksiyonel Model: L i + v i = x v i = x L i Düzeltme Denklemleri v 1 = x L 1 v 2 = x L 2 v n = x L n

5 (Ağırlıklı Ortalama) Matematik Model (Fonksiyonel Model + Stokastik Model) Fonksiyonel Model Stokastik Model v i = x L i v 1 = x L 1 v 2 = x L 2 v n = x L n p i p 1 p 2 p n

6 (Genel Aritmetik Ortalama, Ağırlıklı Ortalama) Küçük sayılarla çalışıp kolaylığı sağlamak amacıyla bilinmeyen x, bilinmeyenin yaklaşık değeri x 0 ve dengeleme bilinmeyeni dx olarak iki bileşene ayrılır. x = x 0 + dx Kesin Değer x 0 Bilinmeyenin Yaklaşık Değeri dx Dengeleme Bilinmeyeni

7 (Genel Aritmetik Ortalama, Ağırlıklı Ortalama) Düzeltme Denklemleri v i = x L i v i = x 0 + dx L i v i = dx L i x 0 v i = dx l i p i Ötelenmiş ölçüler l i = L i x 0 v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2 v i = dx l i Düzeltmeler v n = dx l n p 1 p 2 p n

8 (Ağırlıklı Ortalama) Amaç Fonksiyonu pvv = min En Küçük Kareler Yöntemi (EKK) Amaç Fonksiyonu v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2 v n = dx l n p 1 p 2 p n pvv = [p]dx 2 2dx pl + [pll]

9 (Ağırlıklı Ortalama) Amaç Fonksiyonu pvv = [p]dx 2 2dx pl + [pll] EKK yöntemine göre amaç fonksiyonu minimum olması için pvv bilinmeyenlere (x) göre birinci türevi (0) olmalıdır. [pvv] dx = 2 p dx 2 pl = 0

10 (Ağırlıklı Ortalama) 2 p dx 2 pl = 0 p dx pl = 0 Normal Denklem dx = [pl] [p] Dengeleme Bilinmeyeni

11 (Ağırlıklı Ortalama) dx = [pl] [p] Dengeleme Bilinmeyeni x = x 0 + dx Kesin Değer (Ağırlıklı Ortalama)

12 Denetim İşlemleri 1. Düzeltmelerin Ağırlıklı Toplamı pv Kontrolü v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2 v n = dx l n pv = [p]dx [pl] v = [p] pl [p] [pl] p 1 p 2 p n dx yerine yazılırsa; dx = [pl] [p] pv = 0 Denetim 1 Düzeltmelerin Ağırlıklı Toplamı Kontrolü

13 Denetim İşlemleri 2. Düzeltmelerin Ağırlıklı Kareleri Toplamı pvv Kontrolü p 1 p 2 p n v 1 v 2 v n v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2 v n = dx l n Düzeltme denklemlerinin her iki tarafı p i v i ile çarpılıp toplanırsa pvv = dx pv [pvl] pv = 0 pvv = [pvl] Denetim 2

14 Denetim İşlemleri 2. Düzeltmelerin Ağırlıklı Kareleri Toplamı pvv Kontrolü pvv = [pvl] p 1 p 2 p n l 1 l 2 l n v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2 v n = dx l n Düzeltme denklemlerinin her iki tarafı ( p i l i ) ile çarpılıp toplanırsa pvl = dx pl + [pll] pvv = [pll] dx pl Denetim 3

15 Denetim İşlemleri 2. Düzeltmelerin Ağırlıklı Kareleri Toplamı pvv Kontrolü pvv = [pll] dx pl dx yerine [pl] [p] yazılarak pvv = [pll] [pl]2 [p] Denetim 4

16 Denetim İşlemleri SONUÇ DENETİMİ ÖLÇÜ + DÜZELTMESİ = KESİN DEĞER L i + v i = x?

17 Duyarlık Hesapları Birim Ölçünün Ortalama Hatası Gözlemlerin Ortalama Hatası m 0 = ± [pvv] n 1 m i = ± m 0 p i Kesin Değerin Ortalama Hatası m x = ± m 0 [p]

18 Uygulama 1 Bir nivelman noktasına 5 ayrı noktadan yükseklik taşınmıştır. Noktanın 5 ayrı geçkiden elde edilen yükseklikleri L ve geçki uzunlukları s i verildiğine göre, nivelman noktasının kesin yüksekliğini, ölçülerin ve kesin yüksekliğin ortalama hatasını hesaplayınız. Ölçüler L(m) Geçki Uzunlukları s (km) Ağırlık p i =10/s Stokastik Model p i = sabit s i(km) = 10 s i(km) 2- Bilinmeyenin yaklaşık değerinin seçimi x 0 = m

042 8 12 15 9 2 l i = L i x 0 4- Dengeleme bilinmeyeninin hesabı dx = [pl] [p]

19 Uygulama 1 Ölçüler L (m) Ötelenmiş Ölçüler (l ) (mm) 3- Ötelenmiş ölçünün hesabı l i = L i x 0 4- Dengeleme bilinmeyeninin hesabı dx = [pl] [p] dx = = mm 5- Bilinmeyenin (yüksekliğin) kesin değeri x = x 0 + dx x = m mm x = m

Uygulama 1 Ötelenmiş Ölçüler (l ) (mm) 8 12 15 9 2 Düzeltme v i (mm) 2.1-1.9-4.9 1.1 8.

13 mm 7- Denetim işlemleri 1- Düzeltmelerin Toplamı pv Kontrolü pv = 0.

20 Uygulama 1 Ötelenmiş Ölçüler (l ) (mm) Düzeltme v i (mm) Düzeltmelerin hesabı v i = dx l i dx = mm 7- Denetim işlemleri 1- Düzeltmelerin Toplamı pv Kontrolü pv = 0. 4 mm = ~0 Denetim 1 2- Düzeltmelerin Ağırlıklı Kareleri Toplamı pvv Kontrolü pvv = pvv = plv Denetim 2 pvv = [pll] [pl]2 [p] Denetim 4 pvv = [pll] dx pl Denetim 3 pvv = = pvv = =

21 Uygulama 1 8- Duyarlık hesapları Birim Ölçünün Ortalama Hatası (Ağırlığı p=1 olan ölçünün ortalama hatası) m 0 = ± m 0 = ± [pvv] n = ±5. 9 mm Kesin Değerin Ortalama Hatası Ağırlığı p i olan ölçülerin ortalama hatası m i = ± m 0 p i Ortalama Hata m i (mm) m x = ± m 0 [p] m x = ± 5. 9 = ±1. 7 mm 12. 7

22 Uygulama 1 9- Sonuç Denetimi L i + v i = x Ölçüler L (m) Düzeltme v i (mm) Kesin Değer x (m)

23 MATRİS GÖSTERİMİ Düzeltme Denklemi v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2 v n = dx l n V = e dx l p 1 p 2 p n V = e = v 1 v 2 v n Düzeltme vektörü Bir vektörü Fonksiyonel Model (Düzeltme Denklemi) l = l 1 l 2 Ötelenmiş ölçü vektörü l n

MATRİS GÖSTERİMİ V = e dx l Fonksiyonel Model (Düzeltme Denklemi) P = p 1 0 0 0 p 2 0 0

24 MATRİS GÖSTERİMİ V = e dx l Fonksiyonel Model (Düzeltme Denklemi) P = p p p n Stokastik Model (Ağırlık Matrisi) P köşegen matris V T PV = min. EKK Amaç Fonksiyonu

25 MATRİS GÖSTERİMİ V = e dx l V T PV = min. V T PV = e T Pe dx 2 2e T Pl dx + l T Pl (V T V) dx = 2 et Pe dx 2e T Pl = 0 e T Pe dx e T Pl = 0 Normal Denklemler dx = et Pl e T Pe Dengeleme bilinmeyeni x = x 0 + dx Kesin Değer

26 MATRİS GÖSTERİMİ Denetim İşlemleri 1- e T PV Denetimi V = e dx l Soldan e T P ile çarpılır e T PV = e T Pe dx e T Pl e T PV = e T Pe e T Pl e T Pe et Pl dx = et Pl e T Pe e T PV = 0 Denetim 1 V T Pe = 0

27 MATRİS GÖSTERİMİ Denetim İşlemleri 2- V T PV Denetimi V = e dx l Soldan V T P ile çarpılır V T PV = V T Pe dx V T Pl V T Pe = 0 V T PV = V T Pl V T PV = l T PV Denetim 2

28 MATRİS GÖSTERİMİ Denetim İşlemleri 2- V T PV Denetimi V = e dx l Soldan l T P ile çarpılır l T PV = l T Pe dx + l T Pl V T PV = l T PV = l T Pl l T Pe dx Denetim 3 V T PV = V T Pl = l T Pl dx e T Pl

29 MATRİS GÖSTERİMİ Denetim İşlemleri 2- V T PV Denetimi V T PV = V T Pl = l T Pl dx e T Pl V T PV = V T Pl = l T Pl et Pl e T Pe et Pl dx = et lp e T Pe V T V = V T Pl = l T Pl (et Pl) 2 e T Pe Denetim 4

30 Denetim İşlemleri SONUÇ DENETİMİ ÖLÇÜ + DÜZELTMESİ = KESİN DEĞER L + V = e x?

31 Duyarlık Hesapları Birim Ölçünün Ortalama Hatası Gözlemlerin Ortalama Hatası m 0 = ± VT PV n 1 m i = ± m 0 p i Kesin Değerin Ortalama Hatası m x = ± m 0 e T Pe

MATRİS GÖSTERİMİ Duyarlık hesapları Q vv = (

dx l V = e et Pl e T Pe l Q vv = ( e et P e

T Pe Q Pe e T ll e T Pe e et P e T Pe Q Pee

Q vv = e et Pe e T e T Pe e T Pe e et e T Pe

vv = eet e T Pe + Q ll = Q ll eet e T Pe m

32 MATRİS GÖSTERİMİ Duyarlık hesapları Q vv = ( eet P e T Pe E)Q ll( e et P e T Pe E)T V = e dx l V = e et Pl e T Pe l Q vv = ( e et P e T Pe E)Q Pe et ll( e T Pe E) Q vv = e et P e T Pe Q Pe e T ll e T Pe e et P e T Pe Q Pee T ll Q ll e T Pe + Q ll V = e PeT e T Pe E l Q vv = e et Pe e T e T Pe e T Pe e et e T Pe eet e T Pe + Q ll dv = ( epet e T Pe E)dl Q vv = eet e T Pe + Q ll = Q ll eet e T Pe m vi = ±m 0 q vivi Düzeltmelerin Ortalama Hatası

Benzer belgeler

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlık ve Ters Ağırlık (Kofaktör) Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 016 AĞIRLIK