BETONARME ÇERÇEVELERDE NARİNLİK ETKİSİ

Transkript

1 BETONARME ÇERÇEVELERDE NARİNLİK ETKİSİ SLENDERNESS EFFECT IN REINFORCED CONCRETE FRAMES Prof. Dr. Günay Özmen Prof. Dr. Konuralp Girgin Prof. Dr. Kutlu Darılmaz

2 ÖZET Bu çalışmada bir Sayısal Deney yöntemi kullanılarak çok katlı betonarme çerçevelerde yönetmeliklerdeki Moment Büyütme yöntemi ile elde edilen sonuçlar II. mertebe sonuçları ile karşılaştırılmış ve doğruluk mertebeleri irdelenmiştir. Bunun için önce çeşitli yazarlar tarafından geliştirilmiş olan çalışmalarda çatlamış kesit eğilme rijitlikleri incelenmiş ve II. mertebe hesaplarında kullanılacak etkili eğilme rijitliği değerleri saptanmıştır. Daha sonra seçilen tipik çerçevelerin narin kolonlarında moment büyütme yöntemi ile elde edilen tasarım momentleri II. mertebe hesapları sonunda bulunanlar ile karşılaştırılmış ve hata oranlarının pozitif (güvenli) yönde ve oldukça yüksek olduğu görülmüştür. Bu sakıncayı gidermek amacı ile iki ayrı yöntem geliştirilmiş ve bunlar tipik çerçevelere uygulanarak sonuçlar irdelenmiştir. Düzeltilmiş burkulma yüklerinin kullanılması durumunda ortalama hatanın ± % 3.7 olduğu saptanmıştır. Dolu kesitlerin kullanılması ve II. mertebe etkilerinin yatay fiktif yükler ile temsil edilmesi halinde ise ortalama hata ± % 4.6 olmaktadır. Her iki yöntemin de pratik uygulamalarda başarı ile kullanılabileceği sonucuna varılmıştır. Anahtar Sözcükler: Sayısal deney, Moment büyütme, İkinci mertebe, Etkili eğilme rijitliği, Narinlik, Burkulma yükü, Fiktif yükler. ABSTRACT In this study, the results of Moment Magnification method provided in the regulations are compared with those obtained by applying second order theory by means of a Numerical Test procedure and the order of accuracy is examined. First cracked section flexural rigidities developed in the studies by various authors are investigated and effective flexural rigidity values to be used in second order theory applications are determined. Then the bending moments of slender columns of chosen typical frames are obtained by applying moment magnification method and compared with those found by second order theory. The error ranges are found to be quite high in positive (safe) direction. In order to resolve this drawback two separate methods are developed and applied to typical frames. In the case when adjusted buckling loads are used average error order is computed as ± 3.7 %. Alternatively, when gross cross sections are used and second order effects are represented by fictitious loads average error order is found to be ± 4.6 %. It is concluded that both methods can be used successfully in practical applications. Keywords: Numerical test, Moment magnification, Second order theory, Effective flexural rigidity, Slenderness, Buckling load, Fictitious loads.

3 İÇİNDEKİLER SahifeNo. 1. GİRİŞ İkinci Mertebe Hesabı Moment Büyütme Yöntemi Amaç ve Kapsam TİPİK ÇERÇEVELER Yüklemeler MOMENT BÜYÜTME UYGULAMASI Sayısal Uygulama - Yapı Tip A Tüm Tipik Çerçeveler Genel Amaçlı Yazılımlar SAP 2000 Uygulamaları ETABS Uygulamaları DÜZELTİLMİŞ BURKULMA YÜKÜ UYGULAMASI Burkulma Yükünün Düzeltilmesi Sayısal Uygulama - Yapı Tip A Tüm Tipik Çerçeveler Genel Amaçlı Yazılımlar FİKTİF YATAY YÜK YÖNTEMİ Sayısal Uygulama - Yapı Tip A Tüm Tipik Çerçeveler Genel Amaçlı Yazılımlar SONUÇLAR SEMBOLLER KAYNAKLAR

4 1. GİRİŞ Betonarme yapı kolonlarının boyutlandırılmasında narinlik etkisinin göz önüne alınması zorunludur. Nitekim Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları (TS 500), ve Prefabrike Yapı Elemanları, Taşıyıcı Sistemler ve Binalar için Hesap Esasları (TS 9967) yönetmeliklerinde eksenel basınç ile birlikte eğilme de taşıyan elemanların boyutlandırılması sürecinde Narinlik Etkisi nin göz önüne alınması gerektiği belirtilmiş bulunmaktadır [1], [2]. Oysa uygulamada genellikle narinlik etkisinin önemli nitelikte olmadığı ve boyut ve/veya donatı arttırılmasına yol açmadığı gözlenmektedir. Bunun başlıca nedeni Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik (DBYBHY) esasları arasında yer alan Yerdeğiştirme Kısıtlamaları nedeni ile, narinlik etkisinin başlıca ögelerinden biri olan yerdeğiştirmelerin büyük değerler almamasıdır, [3]. Bununla birlikte bazı özel durumlarda kolon boyları yüksek olabilmektedir, Şekil 1.1. Şkil 1.1: Narin kolonlu çerçeveler Bu tür kolonların narinlik etkisi göz önünde tutularak boyutlandırılmaları gereklidir. Bu boyutlandırmada izlenen yollar iki başlık altında toplanabilir: 1. İkinci Mertebe Hesabı, 2. Moment Büyütme Yöntemi. Aşağıda bu yollar ayrı ayrı ele alınarak uygulama biçimleri özetlenecek ve her iki yol ile elde edilen olası sonuçlar irdelenecektir. 1.1 İkinci Mertebe Hesabı TS 500 yönetmeliğinde, Eksenel basınç ile birlikte eğilme de taşıyan betonarme elemanların boyutlandırılıp donatılması,..., verilen yük birleşimleri altında, doğrusal olmayan malzeme davranışını, çatlamayı, betonun sünme ve büzülmesini göz önünde bulunduran ikinci mertebe yapısal çözümlemelerinden elde edilen,..., değerlere göre yapılır. denilmektedir, [1]. Görüldüğü gibi, ikinci mertebe hesabının uygulanmasında çok çeşitli ve karmaşık nitelikteki faktörlerin göz önüne alınması gerekmektedir. Bu nedenle tasarımcılar uzun yıllar boyunca ikinci mertebe hesabı yapmaktan kaçınmışlardır. 1

5 Son yıllarda yazılım olanaklarının gelişmesi ve yaygınlaşması ikinci mertebe hesabı uygulamasının gündeme gelmesine yol açmıştır. Ancak bu hesapta kullanılacak EI etkili eğilme rijitlikleri için gerçekçi değerlerin saptanması gerekmektedir. İkinci mertebe hesabında kullanılması gereken EI değerlerinin limit durumdakilerden hemen önceki eğilme rijitliği değerleri olmaları gerektiği belirtilmektedir, [4]. Bu durumda kolon ve kirişlerin belirli bölümleri çatlar ve rijitlikler azalır. Uygulamada tüm elemanlar için çatlamış kesitlere ait EI değerlerini kullanmak için uzun ve yorucu hesaplar yapmak gerekir. Bunun yerine E c I c dolu kesit rijitliklerini bir k e katsayısı ile çarpmak, yani EI = k e E c I c (1.1) yaklaşık formülünü kullanmak pratik bir yol olarak önerilmektedir. k e katsayısı kolon ve kirişler için farklı değerler alır. Bu katsayının değerini saptamak için çeşitli yazarlar tarafından çok sayıda araştırma yapılmıştır. Bu araştırmalar sonunda önerilen k e değerleri Tablo 1.1 de özetlenmiştir. Tablo 1.1: k e değerleri Yazar Kolon Kiriş McGregor, [4] Kordina, [5] Hage & McGregor, [6] McGregor & Hage, [7] Furlong, [8] 0.3~ Dixon, [9] McDonald, [10] Tablonun incelenmesinden kolon ve kirişlere ait k e katsayıları için, sırası ile, 0.7 ve 0.35 değerlerini kullanmanın uygun olacağı ve gelişmiş yazılım olanakları ile II. mertebe hesaplarının kolayca yapılabileceği anlaşılır. Bilindiği gibi, II. mertebe etkilerinin en büyük olduğu yükleme birleşimleri G + Q ± E ve 0.9 G ± E (1.2) olarak ifade edilen birleşimlerdir. Burada G, Q ve E, sırası ile, sabit yük, hareketli yük ve deprem etkilerini göstermektedir. Bu yükleme birleşimlerinde (1.1) ile gösterilen EI rijitliklerini, diğer birleşimlerde ise E c I c dolu kesit rijitliklerini kullanmak gerekir. Yani, genel amaçlı yazılımların kullanılması durumunda, iki ayrı model kullanmak ve boyutlandırma hesaplarını el ile yapmak söz konusudur. 1.2 Moment Büyütme Yöntemi TS 500 yönetmeliğinde, ikinci mertebe hesabı yerine Moment Büyütme Yöntemi adı verilen yaklaşık bir yöntemin de kullanılabileceği belirtilmektedir, [1]. Bu yöntemde Kolonlar birbirlerinden bağımsız olarak ele alınıp yaklaşık burkulma boyları hesaplanır. Etkili Eğilme Rijitlikleri kullanılarak kolon burkulma yükleri bulunur. Moment büyütme katsayıları hesaplanır. Boyutlandırmada eğilme momentleri bu katsayılarla çarpılarak büyütülür. Bu yönetmeliğin 7.6 NARİNLİK ETKİSİ bölümünde belirtildiğine göre önce, kolonların her iki ucunda Uç dönmesi engelleme katsayıları adı verilen 2

6 Ic Lc α1,2 = ( α1 α Ib L b 2 ) (1.3) katsayıları hesaplanmaktadır. Burada I c : Kolon atalet momentini, L c : Kolon boyunu I b : Kiriş atalet momentini, L b : Kiriş açıklığını göstermektedir. α oranlarının hesabında yalnızca eğilme doğrultusundaki kirişler dikkate alınmakta ve kirişler için çatlamış kesit, kolonlar için de çatlamamış (tüm) kesit atalet momentleri kullanılmaktadır. Çatlamış kesit atalet momenti olarak çatlamamış kesitinkinin yarısının alınabileceği belirtilmektedir. Kolonun her iki ucundaki α 1 ve α 2 değerleri (1.3) formülüne göre hesaplandıktan sonra, ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş kolonlar için, sırası ile, α1 α 2 2 α1α x x (x) = x = 0 (1.4a) 4 2 tan x tan x f 2 2 x α1α2 36 x f (x) = = 0 (1.4b) 6( α + α ) tan x 1 2 Galambos denklemlerinden birini sağlayan x değişkeninin hesaplanması gerekmektedir, [11]. Daha sonra π k = x (1.5) L k = k L c (1.6) formülleri ile L k kolon burkulma boyu hesaplanır. TS 500 yönetmeliğinin eski sürümlerinde, (1.4) denklemlerinin çözülmesi işleminden kurtulmak amacı ile, ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş çerçeveler için nomogramlar verilmiştir, [12]. Yönetmeliğin son sürümünde nomogram uygulamasından vazgeçilmiş ve bunların yerine α m = 0.5 (α 1 + α 2 ) (1.7) ortalama değerine bağlı olarak, ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş kolonlar için, sırası ile, k = (α 1 + α 2 ) ( α 1 ) 1.0 ve (1.8) α α m m < 2 2 ise ise 20 α k = 20 m k = α 1+ α m m (1.9) formülleri verilmiştir, [1]. Buna göre kolon burkulma yükü 2 π (EI) N k = (1.10) 2 Lk olarak hesaplanır, L k kolon burkulma boyu (1.6) formülü ile, (EI) etkili eğilme rijitliği de 3

7 (EI) 0.4E I 1+ R c c = (1.11) m ile elde edilmektedir. Burada E c I c dolu kesit eğilme rijitliğini göstermektedir. R m sünme oranı ise ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş kolonlar için, sırası ile, N gd R m = veya (1.12) N d gd Tüm kat R m = (1.13) V V d Tüm kat formüllerinden biri ile hesaplanmaktadır. Burada N gd, N d, V gd ve V d, sırası ile kalıcı yük eksenel kuvvetini, tasarım eksenel kuvvetini, kalıcı yük kesme kuvvetini ve tasarım kesme kuvvetini göstermektedir. Moment büyütme katsayısı, ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş kolonlar için, sırası ile, β β ns s Cm = N N 1 = d k 1 N d Tüm kat N k Tüm kat 1 veya (1.14) formüllerinden biri ile elde edilmektedir. Burada C m, M 1 ve M 2 uç momentlerine bağlı olarak C m = (M 1 / M 2 ) 0.4 ; (M 1 M 2 ) (1.15) formülü ile bulunur. Tasarımda kullanılacak eğilme momenti M d = β M 2 (1.16) olarak hesaplanır. β katsayısı, ötelemesi önlenmiş kolonlarda β ns değerine eşittir. Ötelemesi önlenmemiş kolonlarda ise β ns ve β s değerlerinden büyük olanı alınır. Uygulamada bu yöntemin uygulanması halinde de bazı sakıncalar ortaya çıkmaktadır, [13]. Bu yöntemin en önemli kusuru, kolonların burkulma boyunun hesabında iki uçlarındaki çubukların dışındaki çubuklara ait etkileşimin hiç hesaba katılmamasıdır. Bu yaklaşımın önemli oranda hatalara neden olduğu gösterilmiş bulunmaktadır, [14] ~ [16]. Çeşitli yazarlar tarafından burkulma boyu hesabının düzeltilmesi amacı ile farklı yöntemler geliştirilmiş bulunmaktadır, [15] ~ [29]. 1.3 Amaç ve Kapsam Bu çalışmada bir Sayısal Deney yöntemi kullanılarak çok katlı betonarme çerçevelerde Moment Büyütme yöntemi ile elde edilen sonuçlar II. mertebe sonuçları ile karşılaştırılacak ve doğruluk mertebeleri irdelenecektir. Bu amaçla, kat sayıları, kolon kesitleri ve narin kolonların konumları değişik olan 40 adet Tipik Çerçeve seçilmiştir. Seçilen tüm çerçeveler ötelemesi önlenmemiş türdendir. Ötelemesi önlenmiş çerçeveler bu çalışmanın kapsamı dışında bırakılmıştır. 4

8 Araştırmada önce, Bölüm 1.1 de saptanan EI etkili eğilme rijitlikleri kullanılarak tipik çerçevelere ait narin kolonların M d tasarım momentleri hesaplanmış, daha sonra bu değerler moment büyütme yöntemi ile elde edilen değerler ile karşılaştırılmıştır. Sonraki bölümlerde ise tasarım momentlerinin hesabında a. Düzeltilmiş burkulma yükleri, b. Fiktif yatay yükler kullanılmış ve her durum için hatalar irdelenmiştir. 2. TİPİK ÇERÇEVELER Dört grupta toplanmış olan 4, 6, 8 ve 10 katlı tipik çerçevelerin şematik kesitleri Şekil 2.1 ~ 2.6 da gösterilmiştir. A041 & B041 A061 & B061 A062 & B062 Şekil 2.1: 4 ve 6 katlı Grup A ve B çerçeveler 5

9 A081 & B081 A082 & B082 A083 & B083 Şekil 2.2: 8 katlı Grup A ve B çerçeveler A101 & B101 A102 & B102 A103 & B103 A104 & B104 Şekil 2.3: 10 katlı Grup A ve B çerçeveler 6

10 C041 & D041 C061 & D061 C062 & D062 Şekil 2.4: 4 ve 6 katlı Grup C ve D çerçeveler C081 & D081 C082 & D082 C083 & D083 Şekil 2.5: 8 katlı Grup A ve B çerçeveler 7

11 C101 & D101 C102 & D102 C103 & D103 C104 & D104 Şekil 2.6: 10 katlı Grup C ve D çerçeveler Tüm tipik çerçeveler düşey eksene göre simetrik olup kiriş kesitleri cm 2 dir. A ve C grubu çerçevelerin kolon kesitleri Tablo 2.1 de gösterilmiştir. Tablo 2.1: A ve C grubu çerçevelerin kolon kesitleri (cm cm) Kat Sayısı Kat No. Kenar Orta B ve D grubu çerçevelerin kolon kesitleri yapı yükseklikleri boyunca sabit olarak alınmıştır. Çeşitli kat sayıları için kolon kesitleri Tablo 2.2 de gösterildiği gibidir. 8

12 Tablo 2.2: B ve C grubu çerçeveler için sabit kolon kesitleri (cm cm) Kat Sayısı Kenar Orta Yüklemeler Tüm tipik çerçeveler TS500 ve DBYBHY esaslarına uygun olarak boyutlandırılmıştır, [1], [3]. Kirişler üzerindeki düşey yükler Sabit yük g = 28 kn/m, Hareketli yük q = 14 kn/m 2, (Çatıda 4 kn/m) olarak alınmıştır. Boyutlandırmalarda kullanılan deprem parametreleri aşağıdaki gibidir: Etkin yer ivmesi katsayısı A 0 = 0.30 (2. derece deprem bölgesi) Karakteristik zemin periyodu T B = 0.40 (Z2 türü yerel zemin sınıfı) Bina önem katsayısı I = 1 (Konut veya büro) Taşıyıcı sistem davranış katsayısı R = 8 (Süneklik düzeyi yüksek) Bölüm 1.1 de saptanan EI etkili eğilme rijitlikleri kullanılarak tüm tipik çerçevelerin II. mertebe hesapları yapılmış ve narin kolonlar için Tablo 2.3 te gösterilen M d tasarım momentleri elde edilmiştir. Bu değerler aşağıdaki bölümlerdeki karşılaştırma ve irdelemelerde kullanılacaktır. 9

13 Tablo 2.3: Narin kolonlarda II. mertebe tasarım momentleri Tip M d (knm) Tip Konum M d (knm) Tip Konum M d (knm) A Kenar Kenar C-041 D-041 A Orta Orta A Kenar Kenar C-061 D-061 A Orta Orta A Kenar Kenar C-062 D-062 A Orta Orta A Kenar Kenar C-081 D-081 A Orta Orta A Kenar Kenar C-082 D-082 A Orta Orta B Kenar Kenar C-083 D-083 B Orta Orta B Kenar Kenar C-101 D-101 B Orta Orta B Kenar Kenar C-102 D-102 B Orta Orta B Kenar Kenar C-103 D-103 B Orta Orta B Kenar Kenar C-104 D-104 B Orta Orta

14 3. MOMENT BÜYÜTME UYGULAMASI Bu bölümde yukarıda ayrıntıları açıklanan Moment Büyütme Yöntemi tipik çerçevelerdeki narin kolonlara uygulanacak ve sonuçlar irdelenecektir. 3.1 Sayısal Uygulama - Tip A083 Örnek sayısal uygulama için Tip A083 çerçevesi seçilmiştir. Bu çerçevenin şematik kesiti Şekil 2.2 de kolon kesitleri de Tablo 2.1 de gösterilmiş bulunmaktadır. Bu çerçeveye ait boyutlandırma hesaplarında G + Q ± E yüklemeleri için narin kolonlardaki uç momenti değerleri M 1 = knm ve M 2 = knm olarak elde edilmiş bulunmaktadır. Bu durumda tasarım momenti M d = knm olmaktadır. Narin kolonlar ile komşu kolon ve kirişlerin I/L değerleri cm 4 /cm olarak Şekil 3.1 de gösterilmiştir. (1.3) formülü uygulanarak Şekil 3.1: I/L değerleri α 1 = = ve α2 = = elde edilir. Buradan (1.7) ve (1.9) formülleri ile α m = ve k = = bulunur. Kolon burkulma boyu ile sünme oranı da (1.6) ve (1.13) formülleri ile Lk = = m ve R m = = olarak hesaplanır. Burada V gd = 7.43 kn ve V d = kn değerleri boyutlandırma hesaplarında kullanılan kesme kuvvetleridir. Kolon dolu kesitine ait E c I c eğilme rijitliği E c = kn/m 2 alınarak 11

15 Ec Ic = 3 10 = knm 2 dir. Etkili eğilme rijitliği ve kolon burkulma yükü ise, (1.11) ve (1.10) formülleri ile, ve ( EI) = = 31355kNm N k = π = kn 2 olarak elde edilir. Moment büyütme katsayıları, (1.14) ve (1.15) formülleri yardımı ile C β m s = ( / ) = = = , β ns 0. 4 = = , olarak hesaplanmaktadır. Burada N d = 833 kn değeri boyutlandırma hesaplarında kullanılan tasarım eksenel kuvvetidir. Son olarak tasarım eğilme momenti M d = = knm olarak elde edilir. Bu değerin Tablo 2.3 te verilen knm değerine göre % oranında hatalı olduğu hesaplanmaktadır. Bu hata oranının çok yüksek olduğu görülmektedir. 3.2 Tüm Tipik Çerçeveler Moment büyütme yöntemi tüm tipik çerçevelerin narin kolonlarına uygulanmış ve elde edilen M d tasarım momentleri Tablo 3.1, 3.2 ve 3.3 te gösterilmiştir. Bu tablolarda Bölüm 2.1 de II. mertebe hesapları sonunda bulunmuş olan tasarım momentleri de gösterilmiş bulunmaktadır. Tablo 3.1: A ve B tipi yapılarda tasarım momentleri Tip Moment Büyütme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) A A A A A A A A A

16 A B B B B B B B B B B

17 Tablo 3.2: C tipi yapılarda tasarım momentleri Tip C-041 C-061 C-062 C-081 C-082 C-083 C-101 C-102 C-103 C-104 Konum Moment Büyütme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta

18 Tablo 3.3: D tipi yapılarda tasarım momentleri Tip D-041 D-061 D-062 D-081 D-082 D-083 D-101 D-102 D-103 D-104 Konum Moment Büyütme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Tabloların son kolonlarında II. mertebe hesapları sonunda bulunan değerler doğru kabul edilerek hesaplanmış olan hata oranları görülmektedir. Bu oranların incelenmesinden aşağıdaki sonuçlar elde edilmektedir. Hata oranları +% 5.8 ile +% arasında değişmektedir. Ortalama hata oranı +% 49.7 olarak hesaplanmıştır. Hata oranlarının tek olumlu yanları tümünün pozitif (güvenli) nitelikte olmasıdır. Bu kadar yüksek orandaki hataların özellikle ekonomik bakımdan oldukça sakıncalı olduğu söylenebilir. 15

19 3.3 Genel Amaçlı Yazılımlar Genel amaçlı yazılımlarda narinlik uygulaması Design Overwrites (Boyutlandırmada Üzerine Yazma) ileti kutusundaki narinlik parametreleri aracılığı ile yapılmaktadır SAP 2000 Uygulamaları SAP 2000 ortamında narinlik uygulaması için bir çubuk seçildikten sonra, Design Concrete Frame Design View/Revise Overwrites komutları kullanıldığında Şekil 3.2 de gösterilen Design Overwrites ileti kutusu ekrana gelir. Şekil 3.2: SAP 2000 Design Overwrites ileti kutusu Şekilde görüldüğü gibi, tüm parametreler için Value (Değer) başlıklı kolonda Program Determined ifadesi yer almaktadır. Buradan bu parametrelerin yönetmelik esaslarına uygun olarak program tarafından otomatik olarak hesaplandığı anlamı çıkarılabilir. Bu varsayımın yanıltıcı olduğu bazı parametrelerin düzeltilmesi sırasında ortaya çıkan açıklamalardan anlaşılmaktadır. Örnek olarak ötelemesi önlenmemiş kolonlar için β s (Bs) parametresinin düzeltilmesi girişimi sırasında ortaya çıkan ileti kutusunun biçimi Şekil 3.3 te gösterilmiştir. 16

20 Şekil 3.3: Design Overwrites ileti kutusunda düzeltme aşaması Şekildeki ileti kutusunun sağ tarafında bu parametre ile ilgili açıklamalar bulunmaktadır. Görüldüğü gibi, program tarafından II. mertebe (P-Delta) hesabı yapıldığı varsayılmakta ve β s (Bs) parametresi 1 olarak alınmaktadır. Ancak Bölüm 1.1 de belirtildiği gibi, II. mertebe hesabında bazı yükleme birleşimlerinde çatlamış kesit rijitliklerini, diğer bazı birleşimlerde de dolu kesit rijitliklerini kullanmak gerekir. Bu da genel amaçlı yazılım uygulamalarında, iki ayrı model kullanmayı ve boyutlandırma hesaplarını el ile yapmayı gerektirir. Sonuç olarak çeşitli yükleme birleşimlerinin kullanılması durumunda II. mertebe hesabı uygulanmasının pratik olmadığı söylenebilir. Uygulamada Bölüm 3.1 deki örnek üzerinde gösterildiği gibi, moment büyütme katsayılarını el ile hesaplamak ve Design Overwrites ileti kutusunu kullanarak β ns (Bns) ve β s (Bs) parametrelerini düzeltmek daha pratik sonuçlar vermektedir. Örnek olarak Bölüm 3.1 deki sayısal örnek ile ilgili düzeltme durumu Şekil 3.4 üzerinde gösterilmiştir. 17

21 Şekil 3.4: Sayısal örnek için Design Overwrites ileti kutusunda düzeltmeler ETABS Uygulamaları ETABS ortamında da narinlik uygulaması için bir çubuk seçildikten sonra, Design Concrete Frame Design View/Revise Overwrites komutları kullanıldığında Şekil 3.5 te gösterilen Design Overwrites ileti kutusu ekrana gelir. 18

22 Şekil 3.5: ETABS Design Overwrites ileti kutusu Şekilde görüldüğü gibi, ETABS ortamında tüm narinlik parametreleri için 1 değeri kullanılmaktadır. Burada da SAP 2000 ortamında olduğu gibi, moment büyütme katsayılarını el ile hesaplamak ve Design Overwrites ileti kutusunu kullanarak β ns (Bns) ve β s (Bs) parametrelerini düzeltmek pratik uygulamalar bakımından uygun bir yaklaşımdır. 19

23 4. DÜZELTİLMİŞ BURKULMA YÜKÜ UYGULAMASI Yukarıda belirtildiği gibi, moment büyütme yönteminin önemli oranda hatalara neden olduğu çeşitli yazarlar tarafından gösterilmiş ve burkulma boyu hesabının düzeltilmesi amacı ile farklı yöntemler geliştirilmiş bulunmaktadır, [14] ~ [29]. Bu bölümde Kaynak [15] te geliştirilen yöntem özetlenecek ve bu yöntem tipik çerçevelerdeki narin kolonlara uygulanıp sonuçlar irdelenecektir. 4.1 Burkulma Yükünün Düzeltilmesi Kaynak [15] te geliştirilmiş olan yönteme göre yapıya yatay bir yükleme uygulanmaktadır, Şekil 4.1. Şekil 4.1: Yatay yükleme ve yerdeğiştirmeler Bu yüklemeden oluşan kat kesme kuvvetleri ve göreli ötelemeler yardımı ile α k burkulma katsayısı α k = 1.20 Katlar V Kolonlar 2 N L c (4.1) formülü ile hesaplanmaktadır. Burada V ve, sırası ile, yatay yüklemeden oluşan kat kesme kuvvetini ve göreli kat yerdeğiştirmesini göstermektedir, Şekil 4.1. N düşey bir yüklemeden oluşan eksenel kuvvettir. Kolon burkulma yükü N k = α k N (4.2) olarak elde edilmektedir. İstenirse, genel amaçlı yazılım uygulamalarında kullanılmak üzere, k etkin boy katsayısı da π (EI) k = (4.3) L c N k formülü ile hesaplanabilir. İkinci mertebe hesabında olduğu gibi, burkulma katsayısının tayininde de çatlamış kesitlerin kullanılması gereklidir. Bunun için Bölüm 1.2 de açıklanan EI rijitliklerini kullanarak yatay yüklerden oluşan göreli yerdeğiştirmeleri ayrı bir model üzerinde hesaplanabilir. Burada ayrı bir model kullanılmasını gerektirmeyen basit bir yaklaşık yol açıklanacaktır. Yukarıda açıklandığı gibi, çatlamış kesit rijitliklerinin hesabında kolon ve kiriş kesitleri için, sırası ile, 0.70 ve 0.35 katsayılarının 20

24 kullanılması uygun olmaktadır. Bu değerlerin ortalaması olarak ( ) / kullanılırsa yerdeğiştirmeleri yaklaşık olarak dolu kesitler için bulunanların 1 / 0.5 = 2 katları olarak alınabilir. Bu durumda (4.1) formülünde yerine 2 konarak α k = 2.40 Katlar V Kolonlar 2 N L c (4.4) formülü elde edilir. Burkulma katsayısının hesabında (4.4) formülünün kullanılması ile, model değiştirmeye gerek kalmadan, çatlamış kesitlerin etkisi yaklaşık olarak göz önüne alınmış olmaktadır. Bu yöntemle, yükleme seçimine bağımlı olmaksızın, kabul edilebilir hata sınırları içinde sonuçlar elde edildiği belirtilmektedir, [15]. Aşağıda tipik çerçevelerdeki narin kolonlara bu yöntem uygulanacak ve sonuçlar irdelenecektir. 4.2 Sayısal Uygulama - Tip A083 Örnek olarak yine Tip A083 çerçevesi seçilmiştir. Burkulma yükünün hesabı Tablo 4.1 üzerinde gösterilmiştir. Kat No. P (kn) V (kn) Tablo 4.1: Burkulma yükünün hesabı d (cm) (cm) V N (kn) L c (m) N L Toplamlar Tablonun ilk üç kolonuna, sırası ile, Kat No.ları, P yatay yükleri ve bu yüklerden oluşan V kat kesme kuvvetleri yazılmıştır. Yatay yükler olarak I. mertebe hesabındaki deprem (E) yükleri kullanılmıştır. 4. kolonda yatay yüklerden oluşan d yerdeğiştirmeleri, 5. Kolonda da d değerlerinin farklarından oluşan değerleri görülmektedir. 6. Kolona (4.4) formülünün payındaki toplama ait V terimleri yazılmıştır. Tablonun 7. ve 8. kolonlarında, sırası ile, (G+Q) yüklemesine ait N eksenel kuvvetleri ile L c kolon boyları bulunmaktadır. Son kolona (4.4) formülünün paydasındaki toplama ait terimler yazılmıştır. Tablonun en alt satırında pay ve payda terimlerinin toplamları bulunmaktadır. α k burkulma katsayısı (4.4) formülü yardımı ile α = k = c 21

25 olarak elde edilmektedir. Tabloda d değerleri cm olarak kullanıldığından paydaki değer 100 ile, her katta 2 adet özdeş kolon bulunduğundan paydadaki değer de 2 ile çarpılmış bulunmaktadır. N k burkulma yükü de (4.2) formülü ile N k = = 9653 kn olarak bulunur. (1.14) ve (1.15) formülleri yardımı ile hesaplanan moment büyütme katsayıları β β s h 0.4 = = = = , tasarım eğilme momenti de M d = = knm olarak elde edilir. Bu değerin Tablo 2.3 te verilen knm değerine göre % 3.8 oranında hatalı olduğu hesaplanmaktadır. Bu hata oranının kabul edilebilir mertebede olduğu görülmektedir. 4.3 Tüm Tipik Çerçeveler Burkulma yükünün düzeltilmesi yöntemi tüm tipik çerçevelerin narin kolonlarına uygulanmış ve elde edilen M d tasarım momentleri Tablo 4.2, 4.3 ve 4.4 te gösterilmiştir. Bu tablolarda Bölüm 2.1 de II. mertebe hesapları sonunda bulunmuş olan tasarım momentleri de gösterilmiş bulunmaktadır. 22

26 Tablo 4.2: A ve B tipi yapılarda tasarım momentleri Tip Moment Büyütme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B

27 Tablo 4.3: C tipi yapılarda tasarım momentleri Tip C-041 C-061 C-062 C-081 C-082 C-083 C-101 C-102 C-103 C-104 Konum Moment Büyütme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta

28 Tablo 4.4: D tipi yapılarda tasarım momentleri Tip D-041 D-061 D-062 D-081 D-082 D-083 D-101 D-102 D-103 D-104 Konum Moment Büyütme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Tabloların son kolonlarında II. mertebe hesapları sonunda bulunan değerler doğru kabul edilerek hesaplanmış olan hata oranları görülmektedir. Bu oranların incelenmesinden aşağıdaki sonuçlar elde edilmektedir. Hata oranları -% 10.4 ile +% 8.3 arasında değişmektedir. Ortalama hata oranı ±% 3.7 olarak hesaplanmıştır. Hata oranlarının kabul edilebilir sınırlar içinde oldukları ve bu yöntemin pratik uygulamalarda başarı ile kullanılabileceği söylenebilir. 4.4 Genel Amaçlı Yazılımlar Genel amaçlı yazılımlarda narinlik uygulamasının nasıl yapılacağı Bölüm 3.3 te ayrıntılı olarak incelenmiş ve irdelenmişti. Burkulma yükünün düzeltilmesi durumunda da Design Concrete Frame Design View/Revise Overwrites komutları kullanılır ve ekrana gelen Design Overwrites ileti kutusu üzerinde β ns (Bns) ve β s (Bs) parametreleri düzeltilir. Bu parametrelerin hesabında düzeltilmiş N k burkulma yükleri kullanılmalıdır. 25

29 5. FİKTİF YATAY YÜK YÖNTEMİ Bu bölümde pratik uygulamalar bakımından yeterli doğrulukta sonuçlar veren ve genel amaçlı yazılımlar kullanarak kolayca uygulanabilen basit bir yöntemin ana hatları açıklanacaktır. İkinci mertebe etkisi altında bulunan bir kolonun şekil değiştirme durumu, şematik olarak Şekil 5.1 de gösterilmiştir. İkinci mertebe etkilerinden dolayı kolonda Şekil 5.1: Kolon şekil değiştirme durumu M = N (5.1) kuvvet çifti oluşur. Burada N ve, sırası ile, eksenel kuvveti ve göreli yatay ötelemeyi göstermektedir. Bu kuvvet çiftini temsil etmek üzere fiktif bir V kesme kuvveti uygulanırsa M = VL c (5.2) elde edilir, Şekil 5.1. (5.1) ve (5.2) denklemlerinin sağ tarafları eşitlenir ve V çözülürse N V = (5.3) L c bulunur. Bu denklem ile tanımlanan kesme kuvvetlerini doğuracak fiktif H yatay yükleri yapının düğüm noktalarına yüklenirse ikinci mertebe etkileri yaklaşık olarak göz önüne alınmış olur. (5.3) denklemi uygulanırken ötelemeleri, çatlamış eğilme rijitliklerini göz önüne alacak biçimde büyütülmelidir. Bölüm 4 te belirtildiği gibi çatlamış kesit rijitliklerinin yaklaşık olarak dolu kesitlerinkilerin 0.5 katı olduğu varsayılırsa, V değerlerinin hesabında I. mertebe hesabında elde edilen yerdeğiştirmelerinin 2 katı alınabilir. Yani (5.3) denkleminin yerine 2N V = (5.4) L c denklemi kullanılabilir. Yapının en üst (N.) ve normal katları (i.) için, kolon üst uçlarındaki düğüm noktalarına etkiyen fiktif H yatay yükleri, sırası ile, ve H N = V N (5.5) H i = V i V i+1 (5.6) 26

30 denklemleri ile hesaplanır. Burada V N, V i+1 ve V i, sırası ile, N. kattaki, i. kat düğüm noktasının üstündeki ve altındaki kolonlar için hesaplanmış olan fiktif kesme kuvvetleridir. Uygulamada Önce birinci mertebe hesabı yapılır. Bu hesapta gerekiyorsa aşamalı yapım özellikleri de göz önüne alınmalıdır. N eksenel yükleri düşey yüklemelerden (veya yükleme birleşimlerinden), göreli ötelemeleri de yatay (deprem) yüklemelerinden alınarak (5.4) formülü ile fiktif kesme kuvvetleri hesaplanır. Yükleme birleşimleri seçilirken N değerleri olabildiğince büyük olanlar tercih edilmelidir. (5.5) ve (5.6) formülleri ile de fiktif yatay yükler hesaplanır. Fiktif yatay yükler mevcut yatay yüklere eklenerek birinci mertebe hesabı tekrarlanır. Bu yöntemde ikinci mertebe etkileri yaklaşık olarak hesaba katılmış olmaktadır. Çünkü ikinci mertebe etkileri sadece yukarıda sözü edilen N kuvvet çiftinden ibaret değildir. Gerçekte eksenel kuvvetler kolon birim deplasman sabitlerini de etkileyip değiştirirler. Ancak, yukarıda belirtildiği gibi, DBYBHY esasları arasındaki yerdeğiştirme kısıtlamaları nedeni ile yerdeğiştirmeler büyük değerler almamaktadır. Bu nedenle pratik uygulamalar bakımından yeterli doğrulukta sonuçlar elde edilebilmektedir. Bu yöntemle de II. mertebe hesabı için ayrı bir model kullanılması gerekmemektedir. Aşağıda tipik çerçevelerdeki narin kolonlara bu yöntem uygulanacak ve sonuçlar irdelenecektir. 5.1 Sayısal Uygulama - Tip A083 Örnek olarak yine Tip A083 çerçevesi seçilmiştir. Fiktif yüklerin hesabı Tablo 5.1 üzerinde görülmektedir. Kat No. N (kn) d (cm) Tablo 5.1: Fiktif yük hesabı (cm) L c (cm) 2N V = (kn) Lc H (kn) Tablonun ilk üç kolonuna, sırası ile, Kat No.ları, N eksenel kuvvetleri ve deprem yüklemesinden oluşan d yerdeğiştirmeleri yazılmıştır. Eksenel kuvvetler G + Q ± E yükleme birleşimlerinden alınmış bulunmaktadır. 4. kolonda d değerlerinin farklarından oluşan değerleri 5. Kolonda da L c kolon boyları görülmektedir. 6. kolona (5.4) denklemi ile hesaplanan V fiktif kesme kuvvetleri, 7. kolona da fiktif yatay yükler yazılmıştır. Fiktif yükler Şekil 5.2 de gösterilmiştir. 27

31 Şekil 5.2: Fiktif yükler Bu yükler yeni bir F yüklemesi olarak uygulanmış ve narin kolonlarda G + Q ± (E + F) yüklemesinden elde edilen tasarım momenti M d = knm olarak bulunmuştur. Bu değerin Tablo 2.3 te verilen knm değerine göre -% 1.2 oranında hatalı olduğu hesaplanmaktadır. Bu hata oranının kabul edilebilir mertebede olduğu görülmektedir. 5.2 Tüm Tipik Çerçeveler Burkulma yükünün düzeltilmesi yöntemi tüm tipik çerçevelerin narin kolonlarına uygulanmış ve elde edilen M d tasarım momentleri Tablo 5.2, 5.3 ve 5.4 te gösterilmiştir. Bu tablolarda Bölüm 2.1 de II. mertebe hesapları sonunda bulunmuş olan tasarım momentleri de gösterilmiş bulunmaktadır. 28

32 Tablo 5.2: A ve B tipi yapılarda tasarım momentleri Tip Fiktif Yükleme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B

33 Tablo 5.3: C tipi yapılarda tasarım momentleri Tip C-041 C-061 C-062 C-081 C-082 C-083 C-101 C-102 C-103 C-104 Konum Fiktif Yükleme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta

34 Tablo 5.4: D tipi yapılarda tasarım momentleri Tip D-041 D-061 D-062 D-081 D-082 D-083 D-101 D-102 D-103 D-104 Konum Fiktif Yükleme M d (knm) II. Mertebe Hata (%) Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Kenar Orta Tabloların son kolonlarında II. mertebe hesapları sonunda bulunan değerler doğru kabul edilerek hesaplanmış olan hata oranları görülmektedir. Bu oranların incelenmesinden aşağıdaki sonuçlar elde edilmektedir. Hata oranları -% 12.1 ile +% 2.7 arasında değişmektedir. Ortalama hata oranı ±% 4.6 olarak hesaplanmıştır. Hata oranlarının büyük çoğunluğu negatif (güvensiz) yönde fakat kabul edilebilir sınırlar içindedir. Bu yöntemin de pratik uygulamalarda başarı ile kullanılabileceği söylenebilir. 5.3 Genel Amaçlı Yazılımlar II. mertebe etkilerinin fiktif yatay yükler ile temsil edilmesi durumunda Design Overwrites ileti kutusundaki β ns (Bns) ve β s (Bs) parametrelerinin 1 (bir) olarak alınması gerekmektedir. 31

35 6. SONUÇLAR Bu çalışmada bir Sayısal Deney yöntemi kullanılarak çok katlı betonarme çerçevelerde Moment Büyütme yöntemi ile elde edilen sonuçlar II. mertebe sonuçları ile karşılaştırılmış ve doğruluk mertebeleri irdelenmiştir. Bu amaçla, 60 adet narin kolonu olan 40 adet Tipik Çerçeve seçilmiştir. Çalışmada ayrıca iki ayrı yöntem ile tasarım momentlerinin elde edilmesi için a. Düzeltilmiş burkulma yükleri, b. Fiktif yatay yükler kullanılmış ve her durum için hatalar irdelenmiştir. Elde edilen başlıca sonuçlar aşağıda özetlenmiştir. 1. II. mertebe hesaplarında kullanılacak çatlamış kesit eğilme rijitlikleri için, dolu kesit değerlerinin kolonlarda 0.70, kirişlerde de 0.35 katsayıları ile çarpılmasının uygun olacağı saptanmıştır. 2. Yönetmeliklerdeki moment büyütme yöntemi ile elde edilen tasarım momentleri II. mertebe hesapları sonunda bulunanlar ile karşılaştırıldığında, hata oranlarının pozitif (güvenli) yönde ve oldukça yüksek olduğu görülmüştür. Bu yöntemin uygulanmasının ekonomik bakımdan sakıncalı olduğu saptanmıştır. 3. Düzeltilmiş burkulma yüklerinin kullanılması durumunda ortalama hatanın ± % 3.7 olduğu ve bu yöntemin pratik uygulamalarda başarı ile kullanılabileceği görülmüştür. 4. Dolu kesitleri kullanıp II. mertebe etkilerinin yatay fiktif yükler ile temsil edilmesi halinde de ortalama hatanın ± % 4.6 olduğu saptanmıştır. Bu yöntemin de pratik uygulamalarda başarı ile kullanılabileceği anlaşılmaktadır. 32

36 7. SEMBOLLER C m EI, (EI) E c I c H N, H i I b I c k k e L b L c L k M d N N d N k V α 1, α 2 α k β ns (Bns) β s (Bs) Moment büyütme parametresi Etkili eğilme rijitliği Dolu kesit rijitliği Fiktif yatay yükler Kiriş atalet momenti Kolon atalet momenti Etkin boy katsayısı Etkili eğilme rijitliği katsayısı Kiriş boyu Kolon boyu Kolon burkulma boyu Tasarım eğilme momenti Düşey yüklemeden oluşan eksenel kuvvet Tasarım eksenel kuvveti Kolon burkulma yükü Yatay yüklemeden oluşan kat kesme kuvveti Uç dönmesi engelleme katsayıları Burkulma katsayısı Ötelemesi önlenmiş kolonlar için moment büyütme katsayısı Ötelemesi önlenmemiş kolonlar için moment büyütme katsayısı Göreli kat yerdeğiştirmesi 33

37 8. KAYNAKLAR [1] TS 500 Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, Birinci Baskı, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara, [2] TS 9967 Yapı Elemanları, Taşıyıcı Sistemler ve Binalar Prefabrike Betonarme ve Öngerilmeli Betondan Hesap Esasları ile İmalat ve Montaj Kuralları,, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara, [3] Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik, Bayındırlık ve İskan Bakanlığı, Ankara, Mart [4] MacGregor, J.G., Design of Slender Concrete Columns-Revisited, ACI Structural Journal, V. 90, No. 3, May-June, [5] Kordina, K., Cracking and Crack Control, Planning and Design of Tall Buildings, Proc. Of ASCE-IABSE International Conference, V. III, [6] Hage, S. E. & MacGregor, J. G., Second Order Analysis of Reinforced Concrete Frames, Structural Engineering Report No. 9, Dept. of Civil Engineering, University of Alberta, Edmonton, Oct [7] MacGregor, J. G. & Hage, S. E., Stability and Design of Concrete Frames, Journal of the Structural Division, ASCE, V. 103, No. ST10, Oct [8] Furlong, R. W., Frames with Slender Columns-Lateral Load Analysis, CRSI Professional Members Structural Bulletin No. 6, Mar [9] Dixon, D. G., Second-Order Analysis of Reinforced Sway Frames, MASc. Thesis, Dept. of Civil Engineering, University of Waterloo, Ontario, [10] McDonald, B. E., Second Order Effects in Reinforced Concrete Frames, MASc. Thesis, Dept. of Civil Engineering, University of Waterloo, Ontario, [11] Galambos, T.V., Structural Members and Frames, Prentice-Hall, Inc., New York, [12] TS 500 Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara, [13] Özmen, G., Prefabrike Yapılarda Narinlik Etkisi, Beton Prefabrikasyon Dergisi, Yıl 20, Sayı 83, Temmuz [14] Hellesland, J. and Bjorhovde, R., Restraint demand factors and effective lengths of braced columns, J. Struct. Engrg., ASCE, 122(10), , [15] Özmen, G. & Girgin, K., Ötelemesi Önlenmemiş Çok Katlı Yapılarda Kolon Burkulma Boyları, TMMOB İnşaat Mühendisleri Odası Teknik Dergi, Cilt 16, Sayı 4, Ekim [16] Girgin, K. & Özmen, G., Ötelemesi Önlenmiş Çok Katlı Yapılarda Kolon Burkulma Boyları, TMMOB İnşaat Mühendisleri Odası Teknik Dergi, Cilt 19, Sayı 1, Ocak [17] Duan, L. and Chen, W.F., Effective length factors for columns in braced frames, J. Struct. Engrg., ASCE, 114(10), , [18] Duan, L. and Chen, W.F., Effective length factors for columns in unbraced frames, J. Struct. Engrg., ASCE, 115(1), , [19] Bridge, R.Q. and Fraser, D.J., Improved G-factor method for evaluating effective lengths of columns, J. Struct. Engrg., ASCE, 113(6), , [20] Yura, J.A., Effective length of columns in unbraced frames, Engrg. J., AISC, 8(2), 37-42, [21] LeMessurier, W.J., A practical method of second-order analysis, 2:Rigid frames, Engrg. J., AISC, 14(2), 49-67, [22] White, D.W. and Hajjar, J.F., Buckling models and stability design of steel frames: A unified approach, J. Construct. Steel Res., 42(3), , [23] Lui, E. M., A Novel Approach for K Factor Determination ; Engrg. J., AISC, 29(4), , [24] Aristizabal-Ochoa, J. D., Braced, Partially Braced and Unbraced Frames: Classical Approach, J. Struct. Engrg., ASCE, 123(6), , [25] Kumbasar, N, Çok Katlı Çerçevelerin Burkulma Hesabı için Yaklaşık Bağıntılar, TMMOB İnşaat Mühendisleri Odası Teknik Dergi, Cilt 9, Sayı 3, Temmuz [26] Cheong-Siat-Moy, F., An Improved K-Factor Formula, J. Struct. Engrg., ASCE, 125(2), ,

38 [27] Aristizabal-Ochoa, J. D., Classic Buckling of Three-Dimensional Multi-Column Systems under Gravity Loads, J. Engrg. Mechs., ASCE, 128(6), , [28] Aristizabal-Ochoa, J. D., Elastic Stability and Second-Order Analysis of Three-Dimensional Frames: Effects of Column Orientation, J. Engrg. Mechs., ASCE, 129(11), , [29] Hellesland, J. and Bjorhovde, R., Improved frame stability analysis with effective lengths, J. Struct. Engrg., ASCE, 122(11), ,