HETEROJEN EŞ-ZAMANLI TOPLA-DAĞIT ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ: MATEMATİKSEL MODELLER VE SEZGİSEL BİR ALGORİTMA

Transkript

1 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Journal of the Faculty of Engineering and Architecture of Gazi University Cilt 30, No 2, , 2015 Vol 30, No 2, , 2015 HETEROJEN EŞ-ZAMANLI TOPLA-DAĞIT ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ: MATEMATİKSEL MODELLER VE SEZGİSEL BİR ALGORİTMA Barış KEÇECİ 1, Fulya ALTIPARMAK 2, İmdat KARA 1 1 Endüstri Mühendisliği Bölümü, Mühendisli Faültesi, Başent Üniversitesi, Anara. 2 Endüstri Mühendisliği Bölümü, Mühendisli Faültesi, Gazi Üniversitesi, Anara. bececi@basent.edu.tr, fulyaal@gazi.edu.tr, iara@basent.edu.tr (Geliş/Received: ; Kabul/Accepted: ) ÖZET Loisti yönetiminde en önemli operasyonel ararlardan birisi müşterilere hizmet verece araç rotalarının belirlenmesidir. Araç Rotalama Problemi (ARP), bir depodan müşterilerin dağıtım (toplama) taleplerini arşılayaca en uygun rotaların belirlenmesi olara tanımlanabilir. Gerçe hayat loisti uygulamalarında, filoda bulunan araçlar farlı özellilerde olabilirler. Ayrıca müşterilerden/taşınanlardan aynalı gerelililer de farlı özellite araç ullanımı zorunluluğunu ortaya çıarabilir. Bunun yanısıra firmalar, mamul, yarı mamul ve hammaddelerin tersine aışının yönetimini de hem eonomi getirisi hem de yasal ve çevresel yüümlülülerinden dolayı daha fazla önemsemetedirler. Bu maalede, heteroen araç filosunun bulunduğu ve müşterilerin dağıtım ve toplama taleplerinin eşzamanlı gerçeleştiği durumların birlite diate alındığı bir ARP türü üzerinde çalışılmıştır. Bu problem Heteroen Eşzamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi (HETD-ARP) olara adlandırılmıştır. HETD-ARP, toplam maliyeti enüçüleyen araç rotalarının ve herbir rotada ullanılan araç tipinin belirlenmesi olara tanımlanabilir. Problem için polinom sayıda ısıta sahip aış tabanlı bir matematisel model önerilmiştir. HETD-ARP, NP-zor problemler sınıfında olduğundan dolayı maul sürelerde orta boyutlu problemlere bile en iyi çözümü bulma zordur. Bu nedenle bu maalede orta ve büyü boyutlu HETD-ARP nin çözümü için basit bir urucu sezgisel algoritma önerilmiştir. Bu algoritma, aynalarda ARP için önerilen Clare-Wright Tasarruf (CWT) algoritmasının HETD-ARP için uyarlanmış halidir. Önerilen matematisel modelin ve sezgisel algoritmanın etinliği test problemleri üzerinde incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Heteroen filo, eşzamanlı topla-dağıt, araç rotalama problemi, arma tamsayılı matematisel modelleme, sezgiseller, Clare-Wright tasarruf algoritması HETEROGENEOUS VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH SIMULTANEOUS PICKUP AND DELIVERY: MATHEMATICAL FORMULATIONS AND A HEURISTIC ALGORITHM ABSTRACT One of the most important operational decisions in the logistics management is to determine the vehicle routes serving the customers. The Vehicle Routing Problem (VRP) can be defined as the determination of the optimal routes which meet the delivery (or picup) demands from the depot to the customers. In the real life applications of logistics, vehicles in a fleet may differ from each other. In addition, the requirements arising from customers/goods may reveal the necessity to use different vehicles. Besides, companies do care more about the management of reverse flow of products, semi-finished and raw materials because of their economic benefits and as well as legal and environmental liabilities. In this paper, a variant of the VRP is considered with heterogeneous fleet of vehicles and simultaneous picup and delivery. This problem is referred to Heterogeneous Vehicle Routing Problem with Simultaneous Picup and Delivery (HVRPSPD). The HVRPSPD can be defined as determining the routes and the vehicle types on each route while minimizing the total cost. In this paper, a polynomial sized flow-based mathematical model is proposed for the HVRPSPD. Since the HVRPSPD is in the class of NP-hard problems, it is difficult to find the optimal solution in a reasonable time even for the moderate

2 B. Keçeci ve ar. Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel size problems. Therefore, a simple and constructive heuristic algorithm is proposed to solve the medium and large scale HVRPSPD s. This algorithm is the adaptation of very well-nown Clare-Wright Savings approach, which has originally developed for the VRP, to the HVRPSPD. The performances of the proposed mathematical model and the heuristic algorithm have been examined on the test problems. Keywords: Heterogeneous fleet, simultaneous picup and delivery, vehicle routing problem, mixed integer programming formulation, heuristics, Clare-Wright savings algorithm 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Ulaştırma, dağıtım ve loisti alanlarında operasyonel düzeyde önemli bir problem olan ARP, il defa 1950 li yılların sonuna doğru Dantzig ve Ramser tarafından tanımlanmış ve modellenmiştir [1]. Bu il çalışmadan sonra ARP onusuna olan ilgi zaman içerisinde hızlı artış göstermiştir. Bu ilginin en önemli nedeni; ARP nin loisti, çizelgeleme, sto ve hizmet yönetimi, üretim planlama vb. onularda arşılaşılabilen önemli endüstri mühendisliği problemlerinden birisi olmasının yanı sıra aynı zamanda NP-zor problemler sınıfında yer almasıdır [2,3]. Daha güçlü ve ço yönlü rotalama araçlarına olan endüstriyel ihtiyaçlar ve yeni bilimsel yönelimler, araştırmaların odağının daha armaşı, genel ve büyü boyutlu ARP türleri üzerine aymasına neden olmuştur [4]. Hem gerçe hayatta hem de aynalarda farlı ARP türleri ile ilgili prati ve teori birço çalışma yapılmıştır ve yapılmaya da devam edilmetedir. Bu çalışmada hem heteroen araç filosunun (farlı araç apasiteleri ve araç ullanım maliyetleri, her tipten belirli sayıda araç bulunan filo) hem de eş zamanlı toplama ve dağıtım faaliyetinin söz onusu olduğu Heteroen Eşzamanlı Topla-Dağıt Problemi (HETD-ARP) ele alınmıştır. Yapılan ayna taraması sonucunda doğrudan bu problem üzerinde yapılmış bir çalışmanın olmadığı görülmüştür. Klasi ARP'de, araç filosunda bulunan araçların sabit maliyet (satın alma, iralama, ullanım), birim değişen (ulaştırma) maliyet, araç apasitesi vb. çeşitli özelliler açısından aynı olduğu (homoen) durumlar ele alınmıştır [5]. Anca, gerçe hayattai loisti uygulamalarında araç filosunda bulunan araçların özellileri nadiren aynıdır. Ayrıca, müşterilerden ve / veya taşınanlardan aynalı bir taım gerelililerden dolayı da farlı araç ullanımı zorunluluğu ortaya çıabilir. Bunun yanında bazı yasal yüümlülüler ile birlite artan çevresel ve sosyal bilinç tersine loisti yönetimini firmalar için ön plana çıarmıştır. Dolayısıyla, tersine loisti yönetiminin eonomi getirisinden faydalanabilme için firmalar eşzamanlı toplama ve dağıtım faaliyetlerini ayrı ayrı değil, birlite yönetmeye başlamışlardır. Bu maalede, daha önce aynalarda Eşzamanlı Topla-Dağıt ARP (ETD-ARP) için önerilmiş olan üç indisli formülasyona sahip bir matematisel model HETD-ARP ye uyarlanmıştır. Yanı sıra polinom büyülüte üç indisli yeni bir arma tam sayılı matematisel model önerilmiştir. HETD-ARP, NPzor problemler sınıfında yer almatadır. Bu nedenle orta ve büyü boyutlu problemler için maul sürelerde en iyi çözümü bulabilme zorlaşmatadır. Kısa zamanda iyi çözümler bulabilme için aynalarda daha önce ARP için geliştirilmiş çözüm urucu bir algoritma olan Clare-Wright Tasarruf (CWT) algoritması HETD-ARP ye uyarlanmıştır. Matematisel modeller ile CWT algoritmasının etinliği test problemleri üzerinde incelenmiştir. Çalışmanın diğer bölümleri şu şeilde organize edilmiştir. İinci bölümde ilgili ayna taramasına yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, HETD-ARP nin tanımı yapılara mevcut ve önerilen matematisel model verilmiştir. Dördüncü bölümde, HETD-ARP için uyarlanan çözüm urucu CWT algoritması açılanmıştır. Beşinci bölümde matematisel modeller ile sezgisel algoritmanın etinlileri test problemleri üzerinde incelenmiştir. Son bölümde ise, genel bir değerlendirme yapılara sonuçlar tartışılmıştır. 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI (LITERATURE SURVEY) HARP ile ilgili aynalar incelendiğinde, filo genişliğinin sınırlı veya sınırsız olmasına göre temelde ii türü olduğu görülmetedir. Bunlardan birincisi, il olara 1984 de Golden ve ar. [6] tarafından önerilmiştir. Bu problem, aynalarda Filo Büyülüğü ve Karışımı ARP (The Fleet Size and Mix VRP [6], The Fleet Size and Composition VRP [7]) ya da Araç Filo Karışımı Problemi (The Vehicle Fleet Composition (VFC) Problem [8]) gibi farlı şeilde adlandırılmatadır. Bu problemde herbir araç tipinden sınırsız sayıda araç bulunduğu abul edilmetedir. HARP ın iinci türü aynalarda, Heteroen Araç Filolu ARP (The VRP with a Heterogeneous Fleet of Vehicles [9]) ya da Heteroen Sabit Filolu ARP (The Heterogeneous Fixed Fleet VRP [10]) olara adlandırılmatadır. Bu problem türünde, filoda her bir araç tipinden belirli sayıda araç bulunmatadır. Bu ii türün yanı sıra, HARP ı sabit maliyetin söz onusu olup olmadığına, taşıma maliyetlerinin gidilen yere ya da depoya bağımlı olup olmamasına dayalı olara sınıflandırma da mümündür. Bu onuda bir sınıflandırmayı ve HARP için esin çözüm yöntemlerini içeren bir çalışma Baldacci ve ar. [11] tarafından yapılmıştır. Ayrıca Hoff ve ar. [4], heteroen filo arışımı ve rotalama onularının 186 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2, 2015

3 Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel B. Keçeci ve ar. endüstriyel yönlerini, hem deniz hem de arayolu taşımacılığı alanlarında detaylı bir şeilde araştırmış ve geniş bir ayna taraması sunmuştur. Topla-Dağıt ARP (TD-ARP) ve türleri aynalarda farlı isimlerle adlandırılmıştır. Özellile aynı problem tipi için verilen isimler üzerinde bir birli olmadığı görülmetedir. Hem TD-ARP türlerini sınıflandırma, hem de problem tiplerine verilen isimlerde bir fiir birliği sağlama için Parrag ve ar. [12, 13] birbirinin devamı olan ve ayna taraması niteliğinde, olduça detaylı ii maale yayımlamıştır. Bu çalışmalarda TD-ARP ii temel sınıfa ayrılmıştır. İli dağıtım faaliyetlerinin depo(lar) ve müşteriler arasında yapıldığı problem türleri [12]; iincisi ise dağıtım faaliyetlerinin toplama ve dağıtım notaları arasında yapıldığı problem türleridir [13]. ETD-ARP, Parrag ve ar. nın [12] il sınıflandırma tanımına giren bir TD-ARP türüdür ve aynalarda il defa Min [14] tarafından ele alınmıştır. Bu çalışmada bir hal ütüphanesinde itap dolaşımı ile ilgili bir dağıtım problemi üzerinde durulmuştur. Problemi çözme için matematisel formülasyon ile önce grupla-sonra rotala prensibine dayalı sezgisel bir algoritma önerilmiştir. Sonrai yıllarda problem için çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Halse [15] ETD-ARP için önce grupla-sonra rotala yapısında ii aşamalı bir algoritma önermiştir. Rope ve Pisinger [16] ETD- ARP ve farlı ARP türleri için büyü omşulu arama (large neighborhood search) sezgiseli geliştirmiştir. Bianchessi ve Righini [17] ETD-ARP için bir Tabu Arama algoritması önermiştir. Ai ve Kachitvichyanuul [18] problemin çözümü için Kuş Sürüsü Eniyileme algoritmasına dayalı bir sezgisel algoritma önermiştir. Subramanian ve ar. [19], iteratif olara yerel arama yapan ve arama sırasında rassal olara omşulu yapısını değiştiren bir paralel sezgisel yalaşım önermiştir. Ayrıca, Subramanian ve ar. [20] ETD-ARP için bir Dal-Kesme (Branch-an- Cut) algoritması geliştirmiştir. Karaoğlan [21] dotora tezinde ETD-ARP için polinom boyutta ısıt ve arar değişenine sahip ii arma tam sayılı matematisel model önermiştir. Ayrıca, ETD-ARP yi yer seçimi problemiyle birlite aynalarda il defa ele almış ve problemin esin çözümü için Dal-Kesme algoritmaları geliştirmiştir. Gösal [22] ETD-ARP için Geneti Algoritma ve Kuş Sürüsü Eniyileme algoritmalarını uygulamıştır. Bu algoritmalarda Değişen Komşu İniş (Variable Neighborhood Descent) algoritmasını yerel arama algoritması olara ullanmıştır. Polat ve ar. [23] zaman ısıtlı ETD- ARP için Montane ve Galvao nun [24] matematisel modelini esas alan bir model önermişlerdir. Yanı sıra çözüm yalaşımı olara lasi tasarruf sezgiseli, değişen omşu arama ve perturbasyon (perturbation) meanizmalarını temel alan perturbasyon tabanlı bir omşu arama algoritması geliştirmişlerdir. Ulaşılabilen aynalar incelendiğinde doğrudan HETD-ARP üzerine yapılmış bir çalışmaya rastlanamamıştır. Anca son zamanlarda yapılan bazı çalışmalarda heteroen filo ile eşzamanlı toplama ve dağıtım özellileri yanında başa ısıtlarda birlite diate alınmıştır. Riec ve Zimmermann [25] Avrupa da müşteri taleplerinin araç apasitesinden üçü olduğu (üçü apasite yülü - less than truc load) taşımacılı faaliyetlerinde arşılaşılan bir ARP türü ile ilgili bir çalışma yapmıştır. Bu çalışmada ilgilenilen ARP türünde heteroen filo, eşzamanlı toplama ve dağıtım, müşteri notalarında ve depoda zaman pencereleri, araçların birden fazla ullanımı, araçların toplam çalışma zamanları gibi çeşitli ısıtlar bir arada diate alınmıştır. Problem Dethloff un [26] matematisel modeli esas alınara formülize edilmiştir. Problemin çözümü için ise Clare ve Wright ın [27] tasarruf algoritmasına ve yerel aramaya dayalı, ço başlangıçlı bir sezgisel yöntem önerilmiştir. Çetin [28] dotora tezinde esin zaman penceresi ısıtlarının söz onusu olduğu ETD-ARP yi ele almıştır. Ele alınan problem Dethloff un [26] matematisel modeli esas alınara modellenmiş ve amaç fonsiyonu belemelerin enüçülenmesi şelinde diate alınmıştır. Problemin çözümü için Dethloff un [26] çözüm yalaşımına dayalı sezgisel bir algoritma önerilmiştir. Matematisel model ve sezgisel algoritmanın etinlileri test problemleri üzerinde incelenmiştir [29]. Bu çalışmanın devamı olara Çetin ve Gencer [30] heteroen filo ve esin zaman penceresi ısıtlarının olduğu ETD-ARP yi ele almıştır. Problem Dethloff un [26] matematisel modeli esas alınara modellenmiş ve amaç fonsiyonu belemelerin enüçülenmesi olara alınmıştır. Rios-Mercado ve ar. [31] şişelenmiş içece ürünleri üreten ve Mesiada faaliyet gösteren bir firmadai gerçe yaşam dağıtım problemini ele almışlardır. Problem sabit maliyetleri ve tur maliyetlerini enüçüleyece şeilde römorların nasıl yüleneceği, naliye araçlarının hangi römorları çeeceği ve araç turlarının nasıl belirleneceği gibi armaşı birço alt problemi birden içermetedir. İlgilenilen problem ço depolu, ço ürünlü, zaman pencereli, heteroen filolu ETD- ARP dir. Bu tür problemler aynalarda zengin (rich) ARP olara adlandırılmatadır. Yazarlar problemin arma tam sayılı matematisel modelini geliştirmişler ve çözüm yalaşımı olara GRASP tabanlı sezgisel bir algoritma önermişlerdir. Firmadan elde edilen bilgiler ile rassal olara üretilen test problemleri üzerinde önerilen sezgisel yalaşımın etinliği incelenmiştir. Yanı sıra firmanın hâlihazırda ullanmata olduğu çözüm ile sezgisel yalaşımın verdiği çözüm ıyaslanmış ve iyileşme para birimi cinsinden ortaya onmuştur. 3. PROBLEMİN TANIMI VE MATEMATİKSEL MODELİ (PROBLEM DEFINITION AND MATHEMATICAL FORMULATION) HETD-ARP avramsal olara; araç özellilerinin (apasite, satın alma / iralama / ullanım ve birim mesafeyi at etme maliyetleri) birbirinden farlı Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2,

4 B. Keçeci ve ar. Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel olduğu bir filoda, tesislerden müşterilere yapılaca taşıma işlemleri ile birlite müşterilerden tesislere toplama işlemlerinin de aynı araçlarla gerçeleştirildiği ve hangi tip aracın hangi müşterileri ziyaret edeceğinin belirlendiği bir problem olara tanımlanabilir. G(N,A) tam bağlı ve yönlü bir serim olsun. Burada N düğüm ümesi (N={0,,n}) ve B farlı tiptei araçlar ümesi (B={1,...,b}) olma üzere, A bu ümeler üzerinde tanımlanan yönlü ayrıt ümesidir (A={ ( i, ) : i,n, i }). N ümesindei {0} depoyu, diğerleri ise müşterileri temsil etmetedir. Her B tipi araçtan ullanılabilir T tane bulunmatadır. Her bir araç için tanımlı ullanım maliyeti, bir birim mesafeyi at etme maliyeti ve Q taşıma apasitesi bulunmatadır. Her in müşterinin, 0 d i, pi Q, B ve d 0 = 0, p 0 = 0 olma üzere, d i adar dağıtım talebi (depodan müşteriye sev edilece mitar) ve adar toplama talebi (müşteriden depoya sev edilece mitar) vardır. Serimde l, ( i, ) ayrıtın uzunluğunu temsil etmetedir ve üçgen eşitsizliği ( l + l r l ir,i,, rn, i r) sağlanmatadır. Ayrıca, her B aracının serim üzerinde bulunan belirli bir ayrıtı at etme birim maliyeti farlı olduğundan, her ( i, ) ayrıtının o ayrıtı at eden araç tipine bağlı bir c (= l ) maliyeti bulunmatadır. Bu tanımlamalar doğrultusunda HETD-ARP, G(N,A) serimi üzerinde taşıma ve araç ullanım maliyetleri toplamını enüçüleyen m tane araç rotasının ve her bir rotada ullanılaca araç tipinin aşağıdai ısıtları sağlayaca şeilde bulunması problemidir: 1) Her rotada yalnızca bir tip araç bulunmalıdır, 2) Her müşteri yalnızca bir tip araç tarafından ve yalnızca bir ez ziyaret edilmelidir, 3) Her rota depoda başlayıp depoda bitmelidir, 4) Her turda dağıtılan yü mitarı, toplanan yü mitarı ve her düğümde yapılan yüleme-boşaltma sonrasında aracın fiili yüü, araç apasitesini aşmamalıdır. ARP için aış tabanlı doğrusal bir model, il defa Waters [32] tarafından önerilmiştir. Hem apasite hem de tur uzunluğu ısıtlarının diate alındığı bu modelde Aışların Korunumu İlesine göre geliştirilmiş olan alt tur engelleme ısıtları ullanılmıştır. Kara ve Derya [33] aynı problem için sınırlandırıcı ısıtlar ullanara formülasyonu güçlendirmiş ve daha iyi doğrusal gevşetme değeri veren bir model önermişlerdir. Bu maalede önerilen üç indisli ve aış tabanlı modelde, Kara ve Derya nın [33] güçlendirdiği gelenesel Aışların Korunumu İlesine göre geliştirilmiş olan alt tur engelleme ve f p i apasite ısıtları HETD-ARP ye uyarlanmıştır. Önerilen arar modelinin etinliğinin değerlendirilmesinde ullanılma üzere, aynalarda Dethloff [26] tarafından ETD-ARP için geliştirilen üç indisli ve düğüm tabanlı matematisel model diate alınmıştır. Dethloff un geliştirdiği matematisel model bu çalışmada DM2001 olara adlandırılmıştır ve yer sınırı nedeniyle maalede yer verilememiştir. DM2001 modeli O( N 2 V ) sayıda 0-1 tam sayılı arar değişeni, O( N -1) sayıda yardımcı arar değişeni ve O(( N -1) 2 ) sayıda ısıta sahiptir (V araçlar ümesi). HETD-ARP için önerilen aış tabanlı matematisel model ATM olara adlandırılmıştır. ATM için gereli arar değişenleri ve model aşağıda verilmiştir: Karar Değişenleri x : 1, (i, )N ayrıtı B tipi aracın turunda ise; 0 diğer durumda. y : filoda tipi araçtan seçilece araç sayısı (B). m : : tur sayısı. z (i, )N ayrıtı bir aracın turu üzerinde ise, bu araç inci düğüme gelene adar araçta alan dağıtılaca yü mitarı t : (i, )N ayrıtı bir aracın turu üzerinde ise, bu araç inci düğüme gelene adar toplanan yü mitarı. Model (ATM): N \{0} B in \{0} B in B i i N x x o io m m (1) (2) x 1 N \{0} (3) x x i N \{0} B (4) i N B i z t Q x i, N, i (5) N i z i z N i d x B B z d i i N (6) i, N, i (7) z ( Q d ) x i, N, i (8) i 188 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2, 2015

5 Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel B. Keçeci ve ar. t t i pi } N N i i pi x B B t i N \{0 (9) i, N, i (10) t ( Q p ) x i, N, i (11) z 0 i0 i N \{0} (12) t 0 0 N \{0} (13) B y m (14) y T B (15) x y 0 B N \{0} (16) y 0 ve tamsayı B (17) m 0 (18) z, t 0 i, N (19) x {0,1} i, N, B (20) Kısıtları altında: Enüçü z c x f y (21) in N B i B ATM de (1) ve (2) numaralı ısıtlar sırasıyla depodan en fazla m aracın ayrılmasını ve depoya m aracın dönmesini sağlar. (3) numaralı ısıt herhangi bir düğüme yalnızca bir düğümden gelinmesini sağlaren (4) numaralı ısıt ile birlite herhangi bir düğüme uğrayan ve ayrılan araçların aynı tip araçlar olması sağlanır. Bu ısıt turda devamlılığı sağlar. (5) numaralı ısıt herhangi bir ayrıt üzerinde araç apasitesinin aşılmasını engeller. (6) numaralı ısıt aracın dağıtım yüünün araç turda ilerleren azalan şeilde seyretmesini sağlaren, (7) ve (8) numaralı ısıtlar aracın dağıtım yüü için alt ve üst sınır değerlerini belirler. (9) numaralı ısıt aracın topladığı yüün araç turda ilerleren artan şeilde seyretmesini sağlaren, (9) ve (10) numaralı ısıtlar aracın topladığı yü için alt ve üst sınır değerlerini belirler. (6), (7) ve (8) numaralı ısıtlar azalan; (9), (10) ve (11) numaralı ısıtlar ise artan basama fonsiyon yapısı gösterere çalışırlar. (6) ve (9) numaralı ısıtlar alt turların oluşmasını engeller. Eğer (i,) ayrıtı herhangi bir aracının turu üzerinde değil ise, (7) ve (8) ile (10) ve (11) numaralı ısıtlar sırasıyla dağıtım ve toplama yüünü gösteren yardımcı değişenin 0 değerini almasını sağlar. (12) numaralı ısıt aracın dağıtım yüünü tur sonunda sıfıra eşitleren, (13) numaralı ısıt aracın topladığı yüü tur başında sıfıra eşitler. (14) numaralı ısıt en fazla m tane aracın seçilmesini sağlar. (15) numaralı ısıt her araç tipinden en fazla mevcut mitar adar seçilebilmesini sağlar. (16) numaralı ısıt ile tipi araçtan filoda aç adet seçilecese, o adar sayıda ilgili arar değişeninin depodan çıışta değer alması sağlanır. Son olara (17) (20) numaralı ısıtlar işaret ısıtlarıdır. (21) numaralı eşitli ise amaç fonsiyonunu göstermetedir. Amaç fonsiyonu toplam taşıma ve araç ullanım maliyetlerini en üçüler. ATM de, O( N 2 B ) sayıda 0-1 tam sayılı arar değişeni, O(2 N 2 ) sayıda yardımcı arar değişeni, O( B ) sayıda tam sayılı arar değişeni ve O(3 N 2 ) sayıda ısıt bulunmatadır. 4. SEZGİSEL ALGORİTMA (HEURISTIC ALGORITHM) HETD-ARP, NP-zor problemler sınıfında yer alan bir problemdir. Dolayısıyla, önerilen matematisel model ile orta boyutlu problemler için bile maul zamanlarda en iyi çözüme ulaşma zordur. Bu nedenle, bu maalede orta ve büyü boyutlu HETD- ARP nin çözümü için lasi tasarruf algoritmasına dayalı bir sezgisel algoritma geliştirilmiştir. Klasi sezgisellerin en önemli özelliği basit ve esne olmalarıdır [37]. Bunun yanı sıra Gapal ve Abad [35], ARP türü problemlerde lasi sezgisel algoritmalara olan ihtiyacın biraç nedeni olduğunu vurgulamıştır. Bunlardan birincisi, ço büyü boyutlu problemlerde meta-sezgisel algoritmalar ile çözüm zamanının ço yüse olabilmesidir. Bu durumda ısa sürede bir çözüme ulaşabilme amacıyla lasi sezgisellerden yararlanılabilir. Ayrıca, bazı metasezgisel algoritmalarda elde edilen çözümün alitesi, başlangıç çözümünün alitesine bağlı olabilmetedir [36]. Bu nedenle, lasi sezgisellerden elde edilen iyi çözüm meta-sezgisel algoritmada başlangıç çözümü olara ullanılabilir. Son olara dinami ortam söz onusu olduğunda probleme çözümün ço ısa zamanda elde edilmesi için lasi sezgisellerden yararlanılabilir. Bu sebeplerden dolayı bu maalede HETD-ARP için lasi sezgisel sınıfında yer alan bir çözüm urucu sezgisel algoritma geliştirilmiştir. Geliştirilen sezgisel algoritma Clare-Wright Tasarruf (CWT) [27] algoritmasına dayalıdır ve HETD-ARP için il defa bu çalışmada uyarlanmıştır. CWT algoritması, uygulaması olay, hızlı ve basit bir çözüm urucu sezgisel algoritmadır. İi ayrı turun birleştirilmesiyle elde edilebilece tasarruf esasına dayalı olara çalışan CWT algoritması, hem yönlü hem de yönsüz serimler için uygulanabilmetedir. CWT algoritmasının uygulamada paralel ve seri Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2,

6 B. Keçeci ve ar. Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel olma üzere ii farlı türü bulunmatadır. Paralel CWT algoritmasında aynı anda birden fazla tur oluşturuluren, seri CWT algoritmasında ise her seferinde bir tur oluşturulur. Seri ve paralel algoritmalar arasında çözüm alitesi açısından anlamlı bir far yotur. HETD-ARP nin çözümü için CWT algoritmasının paralel versiyonu uyarlanmıştır. Uyarlanan algoritmanın il adımında serimdei tüm (i,) iili düğümleri için, çiftler ve bu çiftlerin tasarruflarından oluşan tasarruf listesi oluşturulur. Daha sonra bu düğüm çiftleri en büyü tasarruf değerine sahip çift listenin en başında olaca şeilde tasarruf değerlerine göre büyüten üçüğe doğru sıralanır. Algoritmanın başlangıcında düğümlerin hiçbiri, hiçbir tura dâhil değildir. Sıralanmış tasarruf listesinin en başından başlayara sırayla her (i,) çifti ontrol edilir. Eğer ontrol edilen (i,) çiftindei düğümlerden hiçbiri henüz herhangi bir tura dâhil edilmemişse, yeni bir tur oluşturulur ve bu düğümler bu tura dâhil edilir. Kapasitesi uygun, ullanılabilir en üçü maliyetli araç tipi bu tura atanır. Eğer ontrol edilen (i,) çiftindei düğümlerden yalnız birisi herhangi bir turun (bu tur r * ile gösterilsin) il veya son sırasında ise, henüz herhangi bir tura dâhil edilmemiş diğer düğüm araç apasitesi sağlanıyorsa r * turuna elenir. Eğer ontrol edilen (i,) çiftindei düğümlerin her iisi de herhangi bir turun il veya son sırasında ise, hangi düğümün bulunduğu turdai (bu tur r * ile gösterilsin) araç apasitesi en üçü maliyetle sağlanıyorsa, diğer turdai düğümler r * turuna atarılır ve diğer tur çözümden çıartılır. Sıralanmış tasarruf listesinin sonuna gelindiğinde algoritma durur ve probleme çözüm elde edilir. Algoritmanın adımları Şeil 1 de verilmiştir. Paralel CWT algoritmasıyla elde edilen turun başında ve sonunda aracın yüü araç apasitesinden üçü veya eşit olmasına rağmen, tur ortasında aracın yüü müşterilerin ziyaret sırasına bağlı olara araç apasitesinden büyü olabilir. Bu yüzden eşzamanlı toplama ve dağıtımın olduğu bir araç rotalama probleminde uygunlu, turdai müşterilerin ziyaret sırasına bağlı olduğundan bu durumun ontrol edilip gereiyorsa tamir edilmesi gereebilir. Bu amaçla, elde edilen çözümdei her tur sırayla ontrol edilir. Bunun için yü (i r ), herhangi bir turda r. düğümden çıışta, o turda bulunan tipi aracın yüünü göstersin. Hareetine turdai müşterilerin dağıtım yüleri toplamı adar bir yüle başlayan aracın, taip eden her müşteriden çııştai yüü, yü (i r+1 ) = yü (i r ) - d ir + p ir eşitliği ile hesaplanır. Herhangi bir müşteriden çıışta yü (i r ) > Q ise bu tur bu haliyle uygun bir tur değildir ve bir şeilde yeniden sıralanmalıdır. Uygun olmayan turun yeniden sıralanması, turda bulunan müşteri sayısına bağlı olara ii farlı şeilde yapılmatadır. Eğer turdai müşteri sayısı 15 ya da daha az ise ilgili tur te araçlı ETD-ARP olara ele alınıp, matematisel model yardımıyla; eğer müşteri sayısı 15 den fazla ise bu durumda basit bir Adım 1. Adım 2. Adım 3. Adım 4. Tasarruf listesini oluştur. Tasarruf listesini büyüten üçüğe sırala. r := 0, Tur r := {}. Tasarruf listesinde baştan sona her (i,) çifti için terarla. Eğer i ve düğümlerinin iisi de herhangi bir turda değilse, { } d i + d Q ve p i + p Q oşulunu sağlayan, ullanılabilir araçlar içinden enüçü maliyetli aracı ata ( * ). r := r + 1. Tur r := Tur r {i,}. Eğer i ve düğümlerinden yalnız birisi, turun (bu tur r * ile gösterilsin) birinci veya sonuncu sırasında ise, { } Tura dahil olmayan düğüm (#), elendiğinde r * turuna atanan aracın apasitesini aşmıyorsa, Tur r* := Tur r* {#}. Eğer i ve düğümlerinin iisi de ayrı turların birinci veya sonuncu sırasında ise, { } Hangi düğümün bulunduğu turdai araç apasitesi enüçü maliyetle sağlanıyorsa, diğer turdai düğümler bu tura atarılır. Dur ve çözümü raporla (S). Şeil 1 Paralel CWT algoritmasının genel adımları Şeil 1. Paralel CWT algoritmasının genel adımları (The steps of parallel Clare-Wright savings algorithm) 190 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2, 2015

7 Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel B. Keçeci ve ar. algoritmi yalaşımla yeniden sıralanmatadır. Turun basit bir sezgisel yalaşımla yeniden sıralanması ii aşamadan oluşmatadır. Dağıtım ve toplama yüleri toplamları araç apasitesine eşit veya daha üçü olma şartıyla, tur ortasında araç yüünün müşterilerin ziyaret sırasına bağlı olara araç apasitesinden büyü olması durumunda tersten sıralama turu uygun hale getirebilir. T, d() ve p() sırasıyla; turunun tersini, turundai dağıtım ve toplama talepleri toplamını gösterirse; maxyü( T ) = d() + p() minyü() ilişisiyle, tersten sıralanmış turun uygunluğu olay bir şeilde ontrol edilebilir [38]. Eğer bu ilişiye göre tersten sıralanan turun en büyü yüü araç apasitesine eşit veya daha üçü ise bu durumda tur doğrudan tersinden sıralanara uygun hale getirilir (maliyet( T ) = maliyet() dır). Turun tersten sıralanması durumunda yuarıda verilen ilişiye göre elde edilen en büyü yü hala araç apasitesinden büyü alıyorsa, bu durumda aşağıda açılanan basit bir ural ile tur yeniden sıralanara uygun hale getirilir. Buna göre ilgili turda her seferinde. sıra için, elendiği zaman uygunluğu bozmayaca (d() d + p Q ) düğümler arasından (-1). düğüme en yaın düğüm seçilere tur yeniden sıralanır. 5. SAYISAL ANALİZLER (COMPUTATIONAL ANALYSIS) Matematisel modellerin ve sezgisel yalaşımın etinlilerinin incelenmesi amacıyla HETD-ARP test problemleri üzerinde sayısal analizler gerçeleştirilmiştir. Bu bölümde, test problemleri haında bilgi verilditen sonra sayısal analiz sonuçları detaylı olara incelenecetir. Matematisel modellerin (DM2001, ATM) odlanması için Ilog Cplex Opl dili ve Ilog Cplex Concert tenoloisi; matematisel model çözücüsü olara da Cplex 12.3 (varsayılan parametre değerleriyle) ullanılmıştır. Çözüm süresi 2 saat (7200 saniye) ile sınırlandırılmıştır. Önerilen algoritma ve algoritmanın Concert tenoloisiyle etileşimi, Microsoft Visual Studio 2008 ortamında, Visual C++ programlama dilinde odlanmıştır. Denemeler Intel Core i5 hızında işlemciye, 2 GB RAM ara belleğe sahip Microsoft Windows Server 2003 R2 işletim sistemi ile çalışan bir bilgisayarda geçeleştirilmiştir Test Problemleri (Test Problems) HETD-ARP test problemlerini elde etme için aynalarda HARP için ullanılan test problemlerinden faydalanılmıştır. Taillard [9] ile Golden ve ar. [6] nın HARP için ullandığı test problemleri (50 ile 100 arasında değişen müşteri sayılı toplam 26 test problemi) biri aynalarda ullanılmış [39], bir diğeri ise bu çalışmada geliştirilen ii farlı ayrıştırma yöntemiyle HETD-ARP ye uyarlanmıştır. Salhi ve Nagy [39]'nin ayrıştırma yönteminde her müşteri için oordinatlarına bağlı bir oran diate alınmata ve orinal talep değerleri bu oran ullanılara dağıtım ve toplama talepleri olara ayrıştırılmatadır. Bu şeilde üretilen problemler X tipi problemler olara adlandırılmıştır. Y tipi olara adlandırılan problem tipi ise, X tipinde elde edilen her müşterinin dağıtım ve toplama talebinin endinden bir sonrai müşteriye aydırılmasıyla elde edilmetedir. Bu çalışmada geliştirilen talep ayrıştırma yönteminde ise, her müşterinin orinal talebi Altın Oran olara bilinen bir orana göre dağıtım ve toplama taleplerine ayrıştırılmatadır. Bir (AB) doğru parçası Altın Oran'a uygun biçimde ii parçaya bölündüğünde, öyle bir (C) notasından bölünür i; üçü parçanın (AC) büyü parçaya (CB) oranı, büyü parçanın (CB) bütün doğruya (AB) oranına eşit (yani, AC/CB=CB/AB=φ) olur. Altın Oran, π gibi irrasyonel bir sayıdır ve esirli olara (1+ 5)/2 ye, ondalılı olara da yalaşı 1,618 e eşittir. Buna göre i müşterisinin orinal talep değeri (q i ); i te ise d i =(2q i )/(1+ 5), p i =q i -d i ; i çift ise p i =(2q i )/(1+ 5), d i =q i -p i olaca şeilde dağıtım ve toplama taleplerine ayrıştırılır. Bu şeilde üretilen problemler W tipi problemler olara adlandırılmıştır. Z tipi olara adlandırılan problem tipinde ise yine bir önceinde olduğu gibi, W tipinde elde edilen her müşterinin dağıtım ve toplama talebinin endinden bir sonrai müşteriye aydırılmasıyla elde edilmiştir. Dört farlı ayrıştırma yöntemi (X, Y, W, Z) ullanılara toplamda 104 (4x26 tane müşterili) test problemi üretilmiştir. Ayrıca her ayrıştırma yöntemi ile üretilen problem setindei her bir problemin il 20, 25 ve 30 düğümü alınara toplamda 312 (3x104) üçü boyutlu test problemi sayısal analizlerde ullanılma üzere hazırlanmıştır. Küçü boyutlu test problemleri matematisel modellerin arşılaştırmasında, 50 ile 100 arasında değişen müşteri sayısına sahip problemler (orta ve büyü boyutlu) ise sezgisel algoritmanın etinliğinin test edilmesinde ullanılmıştır Matematisel Modellerin Etinliğinin İncelenmesi (Investigating the Performance of Mathematical Formulations) HETD-ARP için önerilen modelin (ATM) etinliği, Dethloff [26] tarafından ETD-ARP için önerilen model ile arşılaştırmalı olara incelenmiştir. Bunun için Dethloff un modeli HETD-ARP ye uyarlanmış ve DM2001 olara adlandırılmıştır. Matematisel modellerin etinliğinin arşılaştırmalı olara incelenmesi amacıyla aşağıdai performans ölçütleri ullanılmıştır: Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2,

8 B. Keçeci ve ar. Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel Tablo 1. DM2001 ve ATM için sayısal sonuçlar (Computational results for the DM2001 and ATM) Çizelge 1. DM2001 ve ATM için sayısal sonuçlar n Tip DM2001 ATM EÇUPS OÇS ODGYSD EÇUPS OÇS ODGYSD X 6 462,64 39, ,48 22,46 20 Y ,28 38, ,37 23,20 W ,02 28, ,93 22,75 Z 5 209,94 26, ,12 23,93 (Top.) Ort. (27) 1037,72 33,24 (76) 542,73 23,09 X ,15 39, ,34 18,95 25 Y ,78 36, ,72 18,95 W 5 767,22 27, ,93 20,04 Z 5 810,03 26, ,03 21,29 (Top.) Ort. (20) 1271,80 32,49 (55) 1022,26 19,82 X ,79 45, ,65 21,00 30 Y ,57 42, ,06 23,32 W 4 828,50 28, ,04 22,10 Z ,75 28, ,93 22,33 (Top.) Ort. (16) 1529,40 36,40 (25) 937,92 22,19 (Top.) Genel Ort. (63) 1279,64 34,05 (156) 834,30 21,69 1) Çözüm süresi sınırları içerisinde matematisel model ile en iyi çözüme ulaşılan problem sayısı (EÇUPS), 2) Ortalama çözüm süresi (OÇS), 3) Ortalama doğrusal gevşetme yüzde sapma değeri (ODGYSD) ODGYSD, her problem için elde edilen DGYSD ye dayalı olara hesaplanmatadır. DGYSD nın hesaplanmasında ise (22) no lu eşitli ullanılmatadır. Z DGYSD * Z * Z DG.100 (22) Z * : Matematisel model ile çözüm süresi sınırları içerisinde bulunan en iyi tam sayılı çözümün amaç fonsiyonu değeri, Z DG : Matematisel modelin 0-1 arar değişenlerinin gevşetilmesiyle elde edilen çözümün amaç fonsiyonu değeri. DM2001 ve ATM nin üçü boyutlu HETD-ARP test problemleri üzerinde yapılan deneysel arşılaştırma sonuçları Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1 de il ii sütun müşteri sayısını ve problem tipini göstermetedir. Taip eden her üç sütun ise sırasıyla; her bir matematisel model için en iyi çözüme ulaşılan problem sayısını (EÇUPS), ortalama çözüm süresini (OÇS) ve ortalama doğrusal gevşetme yüzde sapma değerini (ODGYSD) vermetedir. Tablo 1 den görüldüğü gibi tüm performans ölçütleri (yani, EÇUPS, OÇS ve ODGYSD) açısından ATM daha iyi sonuç vermetedir. ATM, DM2001 ile elde edilen ODGYSD yi yalaşı %12 iyileştirmetedir. ATM ile elde edilen en büyü ODGYSD %23,93 dür ve 312 test probleminin 156 tanesinde belirlenen süre içerisinde en iyi çözümlere ulaşılmıştır. Ayrıca ortalama çözüm süresi 111,12 ile 1658,72 saniye arasında değişmetedir. DM2001 ile elde edilen en büyü ODGYSD %45,85 dir ve 312 test probleminin sadece 63 tanesinde en iyi çözümlere ulaşılmıştır. Ayrıca ortalama çözüm süresi ise 209,94 ile 2215,79 saniye arasındadır. Bunlara e olara, müşteri sayısının artması matematisel modellerin performansının düşmesine neden olmatadır. Son olara problem tipleri arasında bariz bir farlılı gözlenmemiştir Sezgisel Algoritmanın Etinliğinin İncelenmesi (Investigating the Performance of Heuristics Algorithm) HETD-ARP için uyarlanan paralel CWT algoritmasının etinliğini değerlendirme amacıyla aşağıdai performans ölçütleri ullanılmıştır. 1. En üçü yüzde sapma (EKYS), 2. Ortalama yüzde sapma (OYS), 3. En büyü yüzde sapma (EBYS), 4. Ortalama çözüm süresi (OÇS). OYS, her problem için elde edilen YS ya dayalı olara hesaplanmatadır. YS nın hesaplanmasında ise (23) no lu eşitli ullanılmatadır. Z YS CWT Z * Z *.100 (23) Z * : Matematisel modeller ile çözüm süresi sınırları içerisinde bulunan en iyi üst sınır değeri (bulunan en iyi tam sayılı çözümün amaç fonsiyonu değeri), 192 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2, 2015

9 Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel B. Keçeci ve ar. Z CWT : Paralel CWT algoritması ile bulunan çözümün amaç fonsiyonu değeri. Tablo 2 de önerilen paralel CWT algoritmasının büyü boyutlu HETD-ARP test problemleri için elde edilen sonuçları verilmetedir. Tablo 2 nin il ii sütunu daha önce Tablo 1 de açılandığı gibidir. Taip eden her üç sütun ise önerilen sezgisel algoritma için sırasıyla en üçü yüzde sapma değerini (EKYS), ortalama yüzde sapma değerini (OYS), en büyü yüzde sapma değerini (EBYS) ve ortalama çözüm süresini (OÇS) göstermetedir. Tablo 2 de verilen sonuçlardan görüleceği üzere, CWT algoritması, ortalama 0,27 saniye gibi ısa bir zamanda matematisel modelin verdiği üst sınır değerinden ortalama olara %9 sapmatadır. Yanı sıra 104 problemin 40 ında matematisel modelin verdiği en iyi tam sayılı uygun çözümlerden ortalama olara %23,75 daha iyi çözümler bulmuştur. Algoritma ile elde edilen OYS değeri %-4,91 ile %36,67 arasında, EKYS değeri %-65,39 ile % -5,16 arasında, EBYS değeri %2,47 ile %82,91 arasında ve çözüm zamanı ise 0,03 ile 0,58 saniye arasında değişmetedir. 6. SONUÇLAR (CONCLUSIONS) Bu çalışmada ARP nin bir türü olan Heteroen Eşzamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi (HETD-ARP) ele alınmıştır. Problem için aış tabanlı bir matematisel model önerilmiştir. Ayrıca aynalarda ETD-ARP için Dethloff [26] tarafından geliştirilen bir matematisel model HETD-ARP ye uyarlanmıştır. HETD-ARP NP-zor bir problem olduğundan dolayı orta ve büyü boyutlu problemlere maul zamanlarda iyi çözümler bulma amacıyla bir sezgisel algoritma geliştirilmiştir. Geliştirilen sezgisel algoritma Clare-Wright Tasarruf (CWT) [27] algoritmasına dayalıdır ve HETD-ARP için il defa bu çalışmada uyarlanmıştır. Matematisel modeller ile sezgisel algoritmanın performansı aynalarda HARP için ullanılan test problemlerinin HETD-ARP ye uyarlanması ile elde edilen problemler üzerinde deneysel olara incelenmiştir. Deneysel çalışmalar sonucunda bu maalede önerilen aış tabanlı matematisel modelin, aynalarda ETD- ARP için geliştirilen modele ıyasla daha iyi doğrusal gevşetme değerleri verdiği ve daha fazla sayıda problem için en iyi çözüme ulaştığı görülmüştür. Yanı sıra çalışmada önerilen sezgisel algoritma ile ço hızlı çözümler alınabilmetedir. Matematisel modellerin 20, 25, 30 düğümlü problemleri bile ortalama 800 saniyede çözebildiği düşünüldüğünde; 50, 75 ve 100 düğümlü problemlerde sezgisel algoritmanın bir saniyeden daha ısa sürede matematisel modeller ile 2 saatte elde edilen üst sınırlara yaın çözümler bulabilmesi abul edilebilir bir sonuç olara görülebilir. Gerçe hayat problemlerinde hızlı arar alma geretiğinde, basit, olay uyarlanabilir ve hızlı çözüm yöntemleri daha fazla tercih edilmetedir. Sezgisel algoritmanın en büyü avantaı ço ısa sürede problem için bir çözümü bulabilmesidir. İlerii çalışmalarda, orta ve büyü boyutlu HETD-ARP için maul zamanlarda aliteli çözümler elde edebilme amacıyla tabu arama, tavlama benzetimi ya da geneti algoritmalar gibi meta-sezgisel algoritmalara dayalı sezgisel algoritmalar geliştirilebilir. Bu algoritmalarda başlangıç çözümünü elde etme amacıyla bu maalede geliştirilen çözüm urucu algoritmadan yararlanılabilir ya da bu algoritmaların performansının incelenmesinde çözüm urucu algoritma ullanılabilir. Ayrıca, üçü ve orta boyutlu HETD-ARP için en iyi çözümleri elde edebilme amacıyla dal-esme ya da dal-fiyat algoritması geliştirilebilir. Tablo 2. CWT algoritması için sayısal sonuçlar (Computational results for Clare-Wright Savings algorithm) Çizelge 2. CWT algoritması için sayısal sonuçlar N Tip CWT EKYS (%) OYS EBYS (%) OÇS X -5,59 4,66 25,44 0,03 50 Y -5,84 19,21 46,37 0,04 W -10,47-4,91 2,47 0,04 Z -5,16 6,06 18,14 0,04 Ort. -6,77 6,26 23,11 0,04 X -21,28 5,67 32,61 0,19 75 Y 31,35 36,67 41,99 0,17 W -25,52 1,34 28,20 0,20 Z -38,01 2,46 42,94 0,19 Ort. -13,37 11,54 36,44 0,19 X -65,39 20,28 82,91 0, Y -53,61 3,83 45,63 0,56 W -46,31 4,23 55,53 0,57 Z -39,17 9,65 66,37 0,57 Ort. -51,12 9,50 62,61 0,57 Genel Ort. -23,75 9,10 40,72 0,27 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2,

10 B. Keçeci ve ar. Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Dantzig, G.B., Ramser, J.H., The truc dispatching problem, Management Science, Cilt 6, No 1, 80 91, Haimovich, M., Rinnooy Kan, A.H.G., Stougie, L., Analysis of heuristic routing problems, Vehicle Routing: Methods and Studies, Editor: Golden B. et al., North Holland, Amsterdam, 47 61, Paschos, V.Th., An overview on polynomial approximation of NP-hard problems, Yugoslav Journal of Operations Research, Cilt 19, No 1, 3-40, Hoff, A., Andersson, H., Christiansen, M., Hasle, G., Løetangen, A., Industrial aspects and literature survey: Fleet composition and routing, Computers and Operations Research, Cilt 37, , Toth, P., Vigo, D., The Vehicle Routing Problem, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, A.B.D, Golden, B., Assad, A., Levy, L., Gheysens, F., The fleet size and mix vehicle routing problem, Computers and Operations Research, Cilt 11, 49-66, Gheysens. F., Golden. B., Assad. A., A new heuristic for determining fleet size and composition, Mathematical Programming Study, Cilt 26, 233-6, Salhi, S., Rand, G.K., Incorporating vehicle routing into the vehicle fleet composition problem, European Journal of Operational Research, Cilt 66, , Taillard, E.D., A heuristic column generation method for the heterogeneous fleet VRP, RAIRO - Operations Research, Cilt 33, No 1, 1-14, Tarantilis, C.D., Kiranoudis, C.T., Vassiliadis, V.S., A threshold accepting metaheuristic for the heterogeneous fixed fleet vehicle routing problem, European Journal of Operational Research, Cilt 152, , Baldacci, R., Toth, P., Vigo, D., Exact algorithms for routing problems under vehicle capacity constraints, Annals of Operations Research, Cilt 175, No 1, , Parragh, S.N., Doerner, K.F., Hartl, R.F., A survey on picup and delivery problems Part I: Transportation between customers and depot, Journal fur Betriebswirtschaft, Cilt 58, No 1, 21-51, Parragh, S.N., Doerner, K.F., Hartl, R.F., A survey on picup and delivery problems Part II: Transportation between picup and delivery locations, Journal fur Betriebswirtschaft, Cilt 58, No 1, , Min, H., The multiple vehicle routing problem with simultaneous delivery and picup points, Transportation Research A, Cilt 23, No 5, , Halse, K., Modeling and solving complex vehicle routing problems, Ph.D thesis, Technical University of Denmar, Institute of Mathematical Statistics and Operations Research, Rope, S., Pisinger., D., A unified heuristic for a large class of vehicle routing problems with bachauls, European Journal of Operational Research, Cilt 171, No 3, , Bianchessi, N., Righini G., Heuristic algorithms for the vehicle routing problem with simultaneous pic-up and delivery, Computers and Operations Research, Cilt 34, No 2, , Ai, J.T., Kachitvichyanuul, V., A particle swarm optimization for the vehicle routing problem with simultaneous picup and delivery, Computers and Operations Research, Cilt 36, , Subramanian, A., Drummond, L.M.A., Bentes, C., Ochi, L.S., Farias, R., A parallel heuristic for the Vehicle Routing Problem with Simultaneous Picup and Delivery, Computers and Operations Research, Cilt 37, No 11, , Subramanian, A., Uchoa, E., Pessoa, A.A., Ochi, L.S., Branch-and-cut with lazy separation for the vehicle routing problem with simultaneous picup and delivery, Operations Research Letters, Cilt 39, , Karaoğlan, İ., Dağıtım Ağları Tasarımında Yer Seçimi ve Eşzamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi, Dotora Tezi, Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Gosal, F. P., Eşzamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi için Sezgisel Yalaşımlar: Geneti Algoritma ve Kuş Sürüsü Eniyileme, Yüse Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Polat, O., Kalayci, C.B., Kula, O., Günther, H. O., A perturbation based variable neighborhood search heuristic for solving the Vehicle Routing Problem with Simultaneous Picup and Delivery with Time Limit, European Journal of Operational Research, Cilt 242, , Montané, F.A.T., Galvão, R.D., A tabu search algorithm for the vehicle routing problemwith simultaneous pic-up and delivery service, Computer and Operations Research, Cilt 33, , Riec, J., Zimmermann, J., A hybrid algorithm for vehicle routing of less-than-trucload carriers, Metaheuristics in Service Industry, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Editor: Geiger, M.J., et al., Cilt 624, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Germany, Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2, 2015

11 Heteroen Eş-Zamanlı Topla-Dağıt Araç Rotalama Problemi: Matematisel B. Keçeci ve ar. 26. Dethloff, J., Vehicle routing and reverse logistics: The vehicle routing problem with simultaneous delivery and pic-up, OR Spetrum, Cilt 23, No 1, 79-96, Clare, G., Wright, J.V., Scheduling of vehicles from central depot to a number of delivery points, Operations Research, Cilt 12, , Çetin, S., Kesin Zaman Pencereli Eş Zamanlı Dağıtım Toplamalı Araç Rotalama Problemleri, Dotora Tezi, Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Çetin, S., Gencer, C., Kesin Zaman Pencereli - Eş Zamanlı Dağıtım Toplamalı Araç Rotalama Problemi: Matematisel Model, Journal of the Faculty of Engineering and Architecture of Gazi University, Cilt 25, No 3, , Çetin, S., Gencer, C., Heteroen araç filolu zaman pencereli eş zamanlı dağıtım-toplamalı araç rotalama problemleri: matematisel model, International Journal of Research and Development, Cilt 3, No 1, 19-27, Ríos-Mercado, R.Z., López-Pérez, J.F., Castrillón- Escobar A., A GRASP for a multi-depot multicommodity picup and delivery problem with time windows and heterogeneous fleet in the bottled beverage industry, Lecture Notes in Computer Science, Cilt 8197, , Waters, C.D.J., Expanding the scope of linear programming solutions for vehicle scheduling problems, Omega, Cilt 16, No 6, , Kara, İ., Derya, T., Polynomial Size Formulations for the Distance and Capacity Constrained Vehicle Routing Problem, Numerical Analysis and Applied Mathematics, ICNAAM 2011, American Institute of Physics Conf. Proc. Cilt 1389, , Laporte, G., Gendreau, M., Potvin, J.Y., Semet, F., Classical and modern heuristics for the vehicle routing problem, International Transactions in Operational Research, Cilt 7, No 4-5, , Gapal, Y., Abad, P., Saving-based algorithms for vehicle routing problem with simultaneous picup and delivery, The Journal of the Operational Research Society, Cilt 61, No 10, , Johnson, D.S., Aragon, C.R., McGeogh, L.A., and Schevon, C., Optimization by simulated annealing: An experimental evaluation: Part 1. Graph Partitioning, Operations Research, Cilt 37, , Cordeau, J.F., Gendreau, M., Laporte, G., Potvin, J.Y., and Semet, F., A Guide to vehicle routing heuristics, The Journal of the Operational Research Society, Cilt 53, , Nagy, G., Salhi, S., Heuristic algorithms for single and multiple depot vehicle routing problems with picups and deliveries, European Journal of Operational Research, Cilt 162, No 1, , Salhi, S., Nagy, G., A cluster insertion heuristic for single and multiple depot vehicle routing problems with bachauling, Journal of the Operational Research Society, Cilt 50, No 10, , Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 30, No 2,

12