Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Transkript

1 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x) := f(x + 1) f(x). Eğer f ve g fonsiyonları f(x) = g(x) denlemini sağlıyorsa, f(x) g(x) farının sabit olduğunu gösterin. Çözüm: Tamsayılardan gerçel sayılara giden h(x) := f(x) g(x) fonsiyonunu tanımlayalım. Varsayımdan h(x) = f(x) g(x) = 0 olduğunu görürüz. Her a ve 0 tamsayısı için h(a + ) = h(a) eşitliği üzerine tümevarımla olayca anıtlanır. Yani h fonsiyonu sabittir. 2. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı ve f(x) = f(x) denlemini sağlayan tüm f(x) fonsiyonlarını bulun. Çözüm: f(0) = C oşulunu sağlayan bir çözüm olduğunu varsayalım. Kolayca, f() = f( + 1) f() = f() eşitliğini ullanara f( + 1) = 2f() olduğunu görürüz. Tümevarımla her negatif olmayan tamsayısı için f() = C2 olduğu çıar. Negatif değerleri için de f() = 2 fonsiyonu bir çözüm verdiğinden bu denlemin genel çözümü C2 x şelindedir. 3. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı f ve F fonsiyonlarını alalım. Eğer f(x) = F (x) eşitliği sağlanıyorsa F fonsiyonuna f nin bir belirsiz toplamı denir ve f(x)δx = F (x) + C yazılır. Eğer F fonsiyonu f nin bir belirsiz toplamıysa, tüm a < b tamsayıları için b 1 f(x) = F (x) b a = F (b) F (a) eşitliğinin sağlandığını anıtlayın. 1

2 Çözüm: Sıfırdan büyü bir sayısı için b = a + yazalım. Eşitliği üzerine tümevarımla anıtlayacağız. Eğer = 1 ise b 1 f(x) = a f(x) = f(a) = F (a + 1) F (a) = F (b) F (a). Şimdi de eşitliğin için doğru olduğunu varsayıp + 1 için gösterelim. b b 1 f(x) = f(x) + f(b) = F (b) F (a) + f(b) = F (b + 1) F (a). 4. Pozitif bir m tamsayısı için x m := x(x 1)(x 2) (x m + 1) olsun. Ayrıca x 0 = 1 olara tanımlayalım. Negatif olmayan her m için x m δx = xm+1 m C eşitliğinin sağlandığını anıtlayın. Aynı formülün m nin 1 den üçü değerleri için de doğru olması için x m ne şeilde tanımlanmalıdır? Kanıtlayın. Çözüm: Önce xm ifadesini hesaplayalım. (x + 1) m x m = (x + 1)x... (x m + 2) x... (x m + 2)(x m + 1) = mx(x 1)... (x m + 2) = mx m 1. Her ii tarafı m sayısına bölere istediğimiz eşitliği elde ederiz. İinci ısmın birden fazla olası cevap. Biz sadece literatürde geçeni vereceğiz. Eğer m nin pozitif değerleri için x m fonsiyonunu [(x + 1)(x + 2)... (x + m)] 1 şelinde tanımlarsa formül m nin 1 den farlı tüm değerleri için geçerli olur. 5. Derecesi d olan bir f(x) polinomu alalım. d =0 f(0) x = f(x)! eşitliğini anıtlayın. Burada, tanım gereği, 0 f(x) = f(x) ve n+1 f(x) = ( n f(x)). Çözüm: Öncelile, d üzerine tümevarımla, f(x) polinomunun x0, x 1,..., x d polinomlarının bir doğrusal ombinasyonu olara yazılabildiği gösterilebilir. Diyelim i f(x) = a 0 x 0 + a 1 x a d x d. Bundan sonra derecesi d 1 olan f(x) polinomuna baıp tümevarımla eşitliği anıtlayabiliriz. 2

3 6. f(x) = 1 6 x x2 2 3x polinomunun tüm tamsayılarda tamsayı değerler aldığını anıtlayın. Genel olara rasyonel atsayılı bir polinomun tüm tamsayılarda tamsayı değer alıp almadığını anlama için bir yöntem bulun. Çözüm: Biliyoruz i! her zaman n sayısını böler. Dolayısıyla, bir öncei problemden, böyle bir polinomun her tamsayıda tamsayı değer alması için gere yeter oşul her i için i f(0) sayısının tamsayı olmasıdır. Verilen f(x) polinomu bu oşulu sağlar. 7. Negatif olmayan her tamsayısı için derecesi + 1 olan ve n i = p (n) i=1 denlemini sağlayan bir p (x) polinomu olduğunu gösterin. p 4 (x) ve p 5 (x) polinomlarını bulun. Çözüm: f(x) = x olsun. Bu durumda, eğer F (x) = f(x) oşulunu sağlayan ve derecesi (+1) olan bir polinom bulursa işimiz biter çünü bu durumda n n i = f(x) = F (n + 1) F (1) i=1 x=1 eşitliği sağlandığından p (x) = F (x + 1) F (1) olur. Derecesi olan her polinom gibi f(x) polinomu da a 0 x 0 +a 1 x 1 + +a x şelinde yazılabilir. Bu durumda f(x) polinomunun bir belirsiz toplamını bulma ço olaydır. Kolayca F (x) = a 0 x 1 + a 1 2 x2 + + a ( + 1)! x+1 alabileceğimiz görünür. p 4 (x) polinomunu hesaplama için x 4 = x 4 +6x 3 + 7x 2 +x 1 eşitliğini ullanma yeter. p 5 (x) polinomunun hesaplanmasını bir egzersiz olara bıraıyoruz. 8. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı bir f fonsiyonu için Ef(x) = f(x + 1) olsun. f(x) g(x)δx = f(x)g(x) Ef(x) g(x)δx eşitliğini anıtlayın. n i=1 i2i toplamını hesaplayın. Çözüm: İstenen eşitli [f(x)g(x)] = f(x + 1)g(x + 1) f(x)g(x) = f(x + 1)g(x + 1) f(x)g(x) + f(x)g(x + 1) f(x)g(x + 1) = f(x) g(x) + Eg(x) f(x). 3

4 eşitliğinden olayca çıar. Eğer f(x) = x ve g(x) = 2 x alırsa f(x) = 1 ve Eg(x) = 2 x+1 olur. Bundan da x2 x = x2 x 2 x+1 = x2 x 2 x+1 + C elde edilir. Sonuçta n i= 2 = (n 1)2 n bulunur. 9. f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n olsun. toplamını hesaplayın. Çözüm: Tümevarımla n =0 n f(x) = ( 1) n ( ) n ( 1) f() n =0 ( ) n ( 1) f(x + ). elde ederiz. Dolayısıyla ( 1) n n f(0) bizim hesaplama istediğimiz ifade. Biliyoruz i f(x) = a x = f(0) x.! En sağda x n sadece x n teriminden geliyor ve atsayısı n f(0)/n!. Yani n f(0) = n!a. Bu da deme oluyor i bizim aradğımız toplam ( 1) n n!a n. 10. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı bir t() fonsiyonu alalım. Eğer t() t(+1), nın bir rasyonel fonsiyonuysa t() ya hipergeometri terim denir. Bu problemde bir t() hipergeometri terimini sabitleyeceğiz. (a) Şu ii oşulu sağlayan p(x), q(x) ve r(x) polinomlarının varlığını gösterin. i. t(+1) t() = p(+1) p() q() r(+1), ii. eğer (x α) q(x) ve (x β) r(x) ise, α β farı bir pozitif 1 tamsayı değildir. Sorunun geri alanında böyle p(x), q(x) ve r(x) polinomları sabitleyelim. Çözüm: İl önce p(x) = 1 alalım. Bu durumda q(x) ve r(x + 1) polinomlarını t( + 1)/t() rasyonel fonsiyonunun sırasıyla payı ve paydası seçebiliriz. Diyelim i (x α) q(x), (x β) r(x) ve α β = N bir tamsayı. O zaman q(x) yerine q(x)/(x α), r(x) yerine r(x)/(x β) be p(x) yerine p(x)(x α + 1) N 1 yazara α ve β dan urtuluruz. Bu işlemi ii. oşulunu bozan tüm öler için yaparsa aradığımız p(x), q(x) ve r(x) polinomlarını buluruz. 1 Hata buradaydı. Pozitif yazmayı unutmuşum. Çözümde düzeltme yo. 4

5 (b) Diyelim i T () = t() oşulunu sağlayan bir hipergeometri T () terimi var. Bir s() fonsiyonu için (c) T () = r()s()t() p() yazalım. Bu s() fonsiyonunun p() = q()s(+1) r()s() eşitliğini sağlayan bir polinom olduğunu gösterin. Çözüm: T () = t() ve T () = r()s()t() p() eşitlilerinden p() = q()s( + 1) r()s() eşitliği olayca çıar. Diğer yandan r()s() p() = T () t() = T () T ( + 1) T () = 1 T ( + 1)/T () 1 olduğu için s(x) fonsiyonunun rasyonel olduğu bariz. Yani s(x) i, f(x) ve g(x) aralarında asal ii polinom olma üzere s(x) = f(x)/g(x) şelinde yazabiliriz. Diyelim i g(x) sabit değil. Bu durumda 0 dan büyü öyle bir masimum N doğal sayısı vardır i bir β armaşı sayısı için hem (x + β) hem de (x + β + N 1), g(x) polinomunu böler. p() = q()s( + 1) r()s() eşitliğini ullanırsa, p()g( + 1)g() = q()f( + 1)g() r()g( + 1)f() eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlite x = β ve x = β N alırsa r( β)g(1 β)f( β) = 0 = q( β N)f(1 β N)g( β N) buluruz. Ama f ve g aralarında asal oldularından f(β) ve f(1 β N) sıfır olamaz. Diğer yandan N masimum olduğundan g(1 β) ve g( β N) de sıfır olamaz. Bu da deme oluyor i r( β) = q( β N) = 0 olmalı. Ama il problemde r(x) ve q(x) polinomlarını böyle bir eşitliği sağlamayaca şeilde seçmişti. Çelişi elde ettiğimize göre g sabit olmalı, yani s(x) bir polinom olmalı. Öncei problemde bulduğumuz s(x) polinomunun derecesini hesaplayın. (İpucu: Q(x) = q(x) r(x) ve R(x) = q(x) + r(x) olsun. 2p() = Q()(s( + 1) + s()) + R()(s( + 1) s()) eşitliğini ullanın.) Çözüm: Biliyoruz i s(x) = a 0 + a 1 x + a n x n, a n 0 şelinde yazılabiliyor. Bu durumda s( + 1) + s() = 2n n + ve s( + 1) s() = na n n 1 + şelinde. Eğer deg(q) deg(r) ise deg(s) = deg(p) deg(q) olma zorunda. O yüzden deg(q) < deg(r) = d olduğunu varsayalım. Bu durumda öyle λ, λ sayıları vardır i λ 0 ve Q(x) = λ x d 1 + ve R(x) = λx d +. 5

6 şelinde yazılır. Dolayısıyla, ipucunda verilen eşitliğin sağ tarafı (2λ a n + λna n ) n+d + formunda olma zorunda. Yani elimizde ii olasılı var. Birincisi 2λ + λn 0 ve n = deg(p) deg(r) + 1. İincisi n = 2λ/λ > deg(p) deg(r) + 1. (d) Binom atsayılarının tanımını şu şeilde genişletelim: ( ) { r r = /!, 0 0, < 0 Pozitif bir n sayısı için ( n ) ( 1) δ belirsiz toplamını hesaplayın. Çözüm: t() = ( n ) ( 1) olsun. Eğer p() = 1, q() = n ve r() = alırsa il sorudai oşulları sağlayaca bir şeilde polinomlar bulmuş oluruz. Bu durumda Q() = n ve R() = 2 n olur. Q nun derecesi R nin derecesinden büyü olduğu için ii durumu ontrol etmemiz gereiyor. Yani s(x) in derecesi ya 0 = deg(p) deg(r) + 1 ya da 2 = 2λ /λ. Bu dercelerden sadece biri (b) ısmında çıardığımız p() = q()s( + 1) r()s() eşitliğini sağlayaca bir s(x) verebilir. Deneme yanılma yoluyşa s(x) = 1/n olduğunu görürüz. Burdan da T () = ( n 1 1) ( 1) 1 elde ederiz. (e) Pozitif bir n sayısı için ( n ) δ belirsiz toplamının hipergeometri olmadığını anıtlayın. Çözüm: Bir öncei metodu bu fonsiyona uygulayınca q() = n olur ama p() ve r() aynı alır. Dolayısıyla Q(x) = n 2 ve R() = n olur. Bıradan da s(x) in derecesi deg(p) deg(q) = 1 çıar. Çelişi elde ettiğimizden bu toplam hipergeometri değildir. (f) ( ) 2 δ belirsiz toplamını hesaplayın. Çözüm: Aynı yöntemle bu toplam ( 1) bulunur. 6