Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Transkript

1 Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif ris modellemesiyle toplam asar değişeninin dağılımının bulunması önemlidir. Bu dağılımların belirlenmesinde, toplam asar sayıları için önerilen en önemli dağılımları ii parametreli bir sınıf olan (a, b, sınıfı üyeliğindei dağılımlar oluşturmatadır. Hasar mitarları için ise, bir ço süreli dağılım önerilebilir, faat bir ço asar mitarları dağılımı için toplam asar mitarının dağılımını tam olara elde etme olduça zordur. Çalışmamızda, arşılaşılan bu zorlular anér yöntemine başvurulara aşılmaya çalışılmatadır. Anatar elimeler: Hasar mitarı, toplam asar sayısı, toplam asar değişeni, Erlang modeli, anér yöntemi, gamma dağılımı, (a, b, dağılımlar sınıfı. JE Sınıflandırma odları: C6, G anér s Metod In Te Collective Ris Modelling Abstract It is important to find te distribution of te total loss variable using te collective ris model in te non-life insurances. Determining tese distributions, te most important distributions tat are proposed for te number of aggregate claim are te distributions wic are te members of (a, b, class tat ave two parameters. Many continuous distributions can be suggested for te amounts of claim, but it is quite difficult to identify eact distribution of te amount of aggregate claim for many distributions of te amounts of claim. In our study, it is aimed to outcome tese difficulties by using anér s metod. eywords: Amount of claim, number of aggregate claim, total loss variable, Erlang model, anér s metod, gamma distribution, (a, b, class of distributions. JE Classification Codes: C6, G Araş. Gör., Douz Eylül Üniversitesi Fen Faültesi İstatisti Bölümü, pervin.baylan@deu.edu.tr Doç. Dr., Douz Eylül Üniversitesi Fen Faültesi İstatisti Bölümü, gucan.yapar@deu.edu.tr

2 Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss Giriş Hayat dışı sigortalarda, belirli bir portföy için belirli bir zaman aralığındai toplam asar değişeninin dağılımının bulunması önemlidir. Toplam asarın dağılımının bulunması için öne çıan yöntemlerden biri olan olletif ris modellemesinde, poliçelerin oluşturduğu bir portföy için asarları meydana getiren rasgele bir süreç varsayılır i bu süreç, portföyü içerdiği bireysel poliçelerden ziyade bir bütün olara tanımlamatadır (Bowers, 997: 367. Dolayısıyla olletif ris modellemesi matematisel olara S ( şelinde ifade edilmetedir (Straub, 988: 9. Bu ifade de S, belirli bir zaman aralığında portföy tarafından meydana getirilen toplam asarı, erbir asar mitarını ve ise verilen bir zaman aralığında bir portföydei poliçelerin meydana getirdiği toplam asar sayısını göstermetedir. Bu durumda, rassal değişen olan asarların sayısı asar freansı ile ilişilendiriliren,,, rassal değişenleri de asarların mitarlarını ölçme ile ilgilidir. Bu modelin işlenebilir olması için de,,, rassal değişenlerinin birbirinden tam bağımsız olduğu, bütün, ların ise aynı dağılıma saip olduğu şelinde ii temel varsayım yapılmatadır. Sabit bir zaman aralığındai toplam asarın dağılımı ise, toplam asar sayısının ve asar mitarlarının dağılımından elde edilmetedir. Bu durumda, rassal toplam olara adlandırılan toplam asar değişeni S nin dağılımının bulunmasında izlenece yalaşım - verilere dayanan için bir dağılım önerme, - verilere dayanan lar için bir dağılım önerme, - bu ii dağılımı ullanara, S nin dağılımını bulma için gereli esaplamaları elde etme şelinde sıralanabilir.. Toplam Hasar Değişeninin Dağılımı Olasılı teorisinde, toplam asar değişeninin dağılımının belirlenmesinde ullanılan toplam asar sayısının dağılımına birincil dağılım, asar mitarlarının orta dağılımına da iincil dağılım adı verilmetedir. Sabit bir 4

3 İrven-Yapar/olletif Ris zaman aralığındai toplam asarın dağılımı, toplam asar sayısının ve asar mitarlarının dağılımına bağlı olduğu için olasılı teorisine göre, toplam asar mitarı birleşi dağılıma saiptir. Niteim atüeryal bilimin içeriğinde de birleşi dağılım, olletif ris modeli olara adlandırılmatadır. Toplam asar S, denlem ( e göre tanımlanan birleşi dağılıma saipse, S nin moment çıaran fonsiyonu, toplam asar sayısı ve asar mitarları in moment çıaran fonsiyonlarının bir fonsiyonu olara ifade edilebilmetedir. Bu durumda (, bağımsız ve aynı dağılıma saip olan ların orta dağılım fonsiyonu ise ve, bu dağılım fonsiyonunda bir rassal değişen ise i ninci moment i p E [ ] ( i olara ifade edilmetedir ve in moment çıaran fonsiyonu da t M ( t E[ e ] (3 olara gösterilmetedir. Ayrıca, toplam asar sayısının moment çıaran fonsiyonu t M ( t E[ e ] (4 olara belirtilirse toplam asarın moment çıaran fonsiyonunu ts M ( t E [ e ] (5 S olara ifade etme mümündür (Bowers, 997: 368. Toplam asar değişeni olan S nin belenen değeri ve varyansı da temel varsayımlar altında oşullu belenen değer teoremi ullanılara elde edilmetedir. E [ ], rassal değişeni ile ilişili bir sabit olduğundan S nin belenen değeri E[ S ] E [ E[ S ]] E[ ] E[ ] (6 olara bulunuren, E [ ] ile Var ( ilişili sabitler olmasından dolayı S nin varyansı da in er iisinin de rassal değişeni ile Var ( S E [ Var ( S ] E[ ] Var ( Var ( E[ ] ( E[ S ] Var ( (7 olara ifade edilmetedir (Cunningam, vd., 5: 46. Bu durumda denilebilir 4

4 Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss i, toplam asarın belenen değeri, belenen asar mitarı ile belenen toplam asar sayısının bir ürünüdür. Toplam asarın varyansı ise, asar mitarlarının değişenliği ile toplam asar sayısının değişenliğini veren ii bileşenin toplamı olara yorumlanmatadır. S nin moment çıaran fonsiyonu da, oşullu belenen değer teoremi aracılığıyla M ( t E[ e ] E[ E[ e ] ] S (8 M ts [log M ts ( t ] olara elde edilmetedir (Bowers, 997: 369. Ayrıca, S nin olasılı çıaran fonsiyonu ise, sabit, lar bağımsız olma üzere ( t [ ( t] (9 S şelinde ifade edilmetedir (lugman, vd., 4: Erlang Modeli. yüzyılın başlarında telefon santrali ile ilgili uyru problemleri üzerine araştırma yapan Danimaralı matematiçi Erlang, bir telefon görüşmesinin süresi ile ard arda gelen ii çağrı arasında geçen sürenin üstel dağıldığı bir model üzerinde çalışmıştır. Erlang modeli adı verilen bu model, ayat dışı sigortalarda ullanılan bütün modeller arasında matematisel olara en ullanışlı olan modeldir. Bu modelin en önemli avantaı, t uzunluğundai bir zaman aralığında meydana gelen toplam asar sayısının dağılımını olaylıla esaplayabilmesidir (Straub, 988: -. Erlang modeline göre toplam asar değişeni S nin dağılımı bulunuren, toplam asar sayısının oisson, asar mitarlarının ise üstel dağıldığı varsayılmatadır. Bu varsayım altında toplam asarın dağılımı,,,,, n değerleri için gamma ve oisson a göre olasılılar bulunup er bir için bulunan gamma ve oisson olasılığı endi aralarında çarpılıp toplanara G ( ve n için G ( e n ile n! [ S ] n n e n! G n, ( olara elde edilir i burada G n, ve parametreli gamma dağılımını 4

5 İrven-Yapar/olletif Ris göstermetedir (Straub, 988: 3. Hasar mitarlarının gamma dağılması, toplam asar sayısının ise (a, b, dağılımlar sınıfı üyeliğinde olması durumunda, toplam asar mitarının dağılımını Erlang modeli ile elde etme mümün olmamala birlite, bu şartlar altında toplam asar mitarının dağılımını tam olara elde etme olduça zordur. Bu sorun, anér yöntemine başvurulara yalaşı bir dağılım elde edilmesiyle aşılacatır. 4. anér Yöntemi Verilen bir bağımsız değişenin dağılımının değerlerinin asar olasılılarını esaplamada birço farlı yol mevcuttur. Ris teorisinin il zamanlarında fazla bir yalaşım yöntemi olmamasına rağmen, mevcut olan yöntemler arasında en iyi bilinen ii yöntem Esscer ın yalaşımı ve normal etili seriler yalaşımıydı. Son zamanlarda ise anér tarafından eşfedilen yalaşım, asar olasılılarını esaplama için revaçta olan bir yöntem olmuştur. Çünü bu yalaşım, şimdiye adar olan yalaşımlardan ço daa üstün ve gerçeçi bir alternatiftir ve programlanması da olaydır (Straub, 988: 33. Hayat dışı sigortalarda olletif ris modellemesiyle toplam asar değişeninin dağılımının belirlenmesinde, toplam asar sayısı olan nın dağılımına ilişin öne çıan en önemli dağılımları (a, b, sınıfı üyeliğinde olan dağılımlar oluşturmatadır. Freans dağılımı olan değişenin olasılı fonsiyonu olup p, esili bir rassal p p a b,,,3,4, ( ifadesine göre a ve b sabitlerinin var olmasını sağlayan ii parametreli (a, b, dağılımlar sınıfının bir üyesidir (lugman, vd., 4: 8. Bu dağılım sınıfına ait özyinelemeli için başlangıç değeri p olup, denlem ( dei özyineleme formülü, varsayılan dağılımdai başarı olasılılarının büyülüğünü tanımlamatadır. Bu özyineleme formülünü sağlayan olası dağılımlar ise, oisson dağılımı, binom dağılımı, negatif binom dağılımı ve geometri dağılım olup bu dağılımlar (a, b, sınıfının bir üyesidir. Özyinelemenin sol tarafına oisson, binom ve negatif binom dağılımlarının erbiri için olasılı fonsiyonu yerleştirilere a ve b değerleri Tablo dei gibi elde edilmetedir. Tabloda yer alan geometri dağılım ise, negatif binom dağılımının (r oşulu altında te parametreli özel bir durumudur (lugman, vd., 4: 8. Ayrıca, toplam asar 43

6 Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss değişeni olan S nin moment çıaran fonsiyonu üzerinden iincil dağılımın sıfır değerinde aldığı f olasılığı sıfır abul edilere birinci türev yardımıyla ' ' ' M ( t am ( t M ( t ( a b M ( t M ( t S S S denleminin bileşenleri bulunmatadır. Bu bileşenler yerine onup uygun atsayılar arşılaştırıldığında g a g f ( a b ( g f ( ifadesi elde edilmetedir (Straub, 988: 34. Bu özyineleme formülü, birincil dağılımın (a, b, sınıfının üyesi olması durumunda g af a b f g,,,3, (3 şelini almatadır. Özyinelemeliler için başlangıç değeri olan g ise, er dağılım için farlı olup, toplam asar sayısı olan nın dağılımı için belirlenmetedir (lugman, vd., 4: 9. Bu durumda g ( S [ (] ( f olup, birleşi bir dağılım için (t, birincil dağılımın olasılı çıaran fonsiyonunu ve f, iincil dağılımın sıfır değerinde aldığı olasılığı göstermetedir (lugman, vd., 4: 93. Dolayısıyla, (a, b, sınıfındai dağılımlar için a ve b değerleri ile başlangıç değeri Tablo dei gibi ifade edilebilmetedir. Tablo. (a, b, Sınıfındai Dağılımlar İçin a, b ve Başlangıç Değerleri. Dağılım a b g oisson ( ep[ ( f ] Binom (m, q Negatif Binom (r, q q m q q m ( [ q ( f ] (r [ ( f ] r Geometri ( [ ( f ] (lugman, vd., 4: 8, 654 anér yöntemi, ayat dışı atüeryal gerçe yaşamda görünen asar 44

7 İrven-Yapar/olletif Ris olasılılarının bütün parametri versiyonlarının ların dağılımının yalaşı olara esili ale getirilere özyineli olara esaplanabilmesi esasına dayanmatadır. ların dağılımı süreli bir dağılım olduğunda, bu dağılım esili ale getirilmelidir i bunun için en olay yalaşım, dağılım açılığı olan uygun bir ölçüm birimi üzerinden yuvarlama yöntemi uygulayara esili asar mitarı dağılımını oluşturmatır. Yuvarlama yöntemi, ( ile arasındai olasılığı bölüp, en yaın uygun olan dağılım açılığına bütün mitarları yuvarlamatadır (lugman, vd., 4: 67. Niteim bu yöntem aracılığıyla, süreli olan asar mitarı dağılımı, belirli aralılar dailinde f f ( ( F ( F ( F ( olaca şeilde esili ale getirilere,,, olasılıları bulunmatadır (lugman, vd., 4: 67. anér yönteminde, başlangıç değeri olan g elde edilen (4,,, için de yer alan f ın ve yuvarlama yöntemiyle f olasılılarının yardımıyla, denlem (3 e,,3, değerleri verilmetedir. Böylece, biriimli model yeniden incelenere asar olasılılarının özyineleme değerleri olan g lar bulunmuş olur. g lara baılara genel bir dağılım tanımlanır i bu tanımlanan dağılım, esileştirilmiş asar mitarları üzerinden toplam asarın esileştirilmiş dağılımını vermetedir. 5. Uygulama Hasar mitarı lar için birço süreli dağılım önerilebilir, faat birço asar mitarı dağılımı için S nin dağılımını bulma olduça zordur. Gamma dağılımı saip olduğu parametrelerden dolayı elverişli bir dağılım olup, gamma rassal değişeni aynı dağılıma saip bağımsız üstel rassal değişenlerin toplamı olduğundan, asar mitarı lar için gamma dağılımının ullanılması çoğu asar verisi için üstel dağılımdan daa avantalıdır. Dolayısıyla, bu çalışmada asar mitarlarının ve 5 parametreleri ile E [ ]. ve 45

8 Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss Var ( 5. olan bir gamma dağılımına saip olduğu varsayılara t oşulu altında t e t, ile ( dt ( ; ( t t e dt,, (5 olasılı fonsiyonu ullanılmıştır (lugman, vd., 4: 67. Ayrıca, toplam asar sayılarının da - oisson ( ~ oisson ( - Binom ( m, q ~ Binom (,, - Negatif Binom (r, ~ Negatif Binom (,, - Geometri ( ~ Geometri ( dağıldığı varsayılmıştır. Bu varsayımlar altında erbir asara, 4. asar limiti ve 5 olağan muafiyet uygulanırsa, toplam asar mitarının dağılımı ECE yardımıyla aşağıdai adımlar taip edilere bulunmatadır. - Hasar başına düşen toplam ödemelerin belenen değerinin ve varyansının belirlenmesi Hasarların biriimli dağılım fonsiyonu, pozitif tamsayısı için ( e ; (6! olara değerlendirilen tamamlanmamış gamma fonsiyonu ullanılara elde edilmetedir (lugman, vd., 4: 68. Bu dağılım fonsiyonu, F ( ; eşitliği olara bulunup, bu eşitli ullanılara, ( E[( ] ; ;, (7 ( ifadesinden E [( 4. ] ve E [( 5 ] değerleri elde edilmiştir (lugman, vd., 4: 636. Bu ii belenen değerin farı alınara, asar başına 46

9 İrven-Yapar/olletif Ris düşen ödeme mitarlarının belenen değeri olan E [( Y ] belirlenmiştir. Daa sonra denlem (7 ullanılara E [( 4. ] ve E [( 5 ] değerleri bulunur i bu ii belenen değerin yardımıyla şeilde u u r ve d d r olaca E[( Y ] ( r E[( u ] E[( d ] d E ( u d E ( d (8 ifadesinden asar başına düşen ödeme mitarlarının iinci momenti olan E [( Y ] elde edilmiştir (lugman, vd., 4: 7. Birinci ve iinci momentler ullanılara da, asar başına düşen ödeme mitarlarının varyansı belirlenmetedir. Hasar sayıları için ise, Tablo dei dağılımlara göre değeri ve varyansı bulunmatadır. nin belenen Tablo. Dağılımlara Göre Hasar Sayılarının Belenen Değeri ve Varyansı. Dağılım E [ ] Var ( oisson ( Binom (m, q m. q m. q. q Negatif Binom (r, r. r.. Geometri (. (lugman, vd., 4: 73, 77, 8 Dolayısıyla denlem (6 ve (7 ullanılara, asar başına düşen ödeme mitarlarının belenen değeri ve varyansı ile asar sayılarının belenen değeri ve varyansı aracılığıyla asar başına düşen toplam ödemelerin belenen değeri ve varyansı belirlenmiştir. - Ödeme sayılarının dağılımının belirlenmesi Ödeme sayıları ile asar sayıları aynı parametri aileden olup sadece için parametreler Tablo 3 tei gibi elde edilmetedir. Bu durumda, olasılı çıaran fonsiyonlar aşağıdai ilişilerle üretilmetedir. 47

10 Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss Tablo 3. Freans Düzeltmeleri. için parametreler oisson ( ( ( d. Binom (m, q F q ( F ( d. q Negatif Binom (r, ( F ( d., r r Geometri ( ( F ( d., r (lugman, vd., 4: 65 - Bir ödeme yapıldığında verilen Y ödeme mitarının biriimli dağılım fonsiyonunun belirlenmesi Masimum ödeme mitarı 3.75 olacağından fonsiyonu Y nin biriimli dağılım y 3.75 ( y ( y 5 (9 Y y 3.75 ( 5 F ifadesine göre elde edilmetedir. - Hasar mitarı dağılımının esileştirilmesi =. dağılım açılığı alınara ve yuvarlama yöntemi ullanılara bir öncei adımda elde edilen Y nin biriimli dağılım fonsiyonundan,,, için f olasılıları denlem (4 aracılığıyla belirlenmetedir. Böylece süreli bir dağılım olan gamma dağılımı esili ale getirilmiş olmatadır. - Toplam ödemelerin esileştirilmiş dağılımının esaplanması esileştirilmiş ödeme mitarı 3.5 ye adar toplam ödemelerin esileştirilmiş dağılımı elde edilme istendiğinde, bu dağılım özyineleme formülü ullanılara belirlenmetedir. Tablo 3 tei düzeltilmiş parametrelere göre, denlem (3 ve Tablo temel alınara (a, b, sınıfında olan dağılımlar için a ve b değerleri ile başlangıç değeri elde edilmetedir.,,, için bulunan iincil dağılımın f olasılıları ile birincil dağılım için bulunan a ve b değerlerinin ve başlangıç değerinin yardımıyla asar mitarlarının gamma, toplam asar sayılarının ise Tablo 4 tei gibi dağıldığı varsayımı altında birleşi dağılımın g asar olasılıları aşağıdai gibi bulunmatadır. 48

11 İrven-Yapar/olletif Ris Tablo 4. (a, b, Sınıfının Üyesi Olan Dağılımlar İçin Hasar Olasılıları g ( S ( f oisson ( Binom (m, q Negatif Binom (r, Geometri ( g ( f,4539,4549,3355,73864 g f,354,3773,87,9395 ( g ( f 3,9984,99945,97368, Dolayısıyla, asar mitarının gamma, toplam asar sayısının (a, b, dağılım sınıfında olması durumunda elde edilen lar, esileştirilmiş ödeme mitarı 3.5 ye adar olan esileştirilmiş asar mitarları aracılığıyla elde edilen toplam asarın esileştirilmiş dağılımını vermetedir. 6. Sonuç Gamma dağılımı saip olduğu parametrelerden dolayı elverişli bir dağılım olmasına rağmen, asar mitarlarının gamma dağıldığı ve toplam asar sayılarının (a, b, dağılımlar sınıfı üyeliğinde olduğu varsayıldığında, bu sınıftai dağılımların gamma dağılımı ile bir arada olması alinde bir ço zorlula arşılaşma mümündür. Bu zorlular, anér yöntemi ullanılara aşılmış ve er bir (a, b, sınıfındai dağılımın gamma dağılımı ile bir arada olması varsayımına arşılı, yalaşı bir dağılım elde edilmiştir. aynaça g Bowers, N.., D. A. Jones, H. U. Gerber, C. J. Nesbitt ve J. C. Hicman (997, Actuarial Matematics, ACTE. Cunningam, R., T. Herzog ve R.. ondon (5, Models for Quantifying Ris, ACTE ublications Inc. lugman, S. A., H. H. aner ve G. E. Willmot (4, oss Models: From Data To Decisions, nd edition, Wiley. Straub, E. (988, Non-ife Insurance Matematics, Springer-Verlag. 49