Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Transkript

1 Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü

2 Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının sıralanma yönlerine göre sütun veya satır vetörü adlarını alırlar. Aşağıdai A sıra vetörünü Matlab e tanıtalım. A = { 4 5 7} A = [ 4 5 7]; veya A = [, 4, 5, 7]; Şimdi de bir sütun vetörü Matlab e tanıtalım. Matlab de yeni bir satıra geçildiğini anlatma için matris elemanları arasına (;) yerleştirilir. B = 4 6 B = [; ; 4; 6]; A ve B vetörlerinin boyutları olduça üçü olduğu için bu tanıtım işlemleri değişenler editörü vasıtasıyla da yapılabilirdi. Anca vetör boyutları büyüdüçe, manuel olara tanıtım işlemi olduça zorlaşmatadır. Özellile belli bir artıma sahip vetörlerin oluşturulmasında (:) operatörü ullanılmatadır. Elemanları - den başlayıp şer artara 5 ye adar devam C satır vetörünü oluşturalım. C = { 8 K } C = [-::5]; Başlangıç değeri Artış mitarı Son değer Benzer şeilde, elemanları den başlayan ve ar inere - de biten bir D olon vetörü oluşturalım.

3 9 D = M 9 D = [:-:-] D olon vetörünün oluşturulması için önce bir satır vetörü oluşturulmuş ve daha sonra ( ) operatörü vasıtasıyla transpozesi (devriği) alınmıştır. Bir vetörün boyutu veya eleman sayısı length veya size omutu ile öğrenilebilir. Örne olara C vetörünün eleman sayısı : >> length(c) ans = 8 >> size(c) ans = 8 Sütun Sayısı Satır Sayısı Vetör indisleri Bir vetörün elemanlarına atanılan değer değişenler editörü veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir. Vetör indisleri den başlamatadır. Satır vetörlerde il eleman soldai eleman, sütun vetörlerde ise en üsttei elemandır. Örne olara, A vetörünün 3. elemanını 7 ile değiştirelim. A(3) = 7 Benzer şeilde A vetörünün. elemanını silelim. Vetörün elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinir.

4 A = >> A() = [] A = 7 7 Atanaca eleman adresi eleman sayısından fazla ise aradai elemanlara otomati olara değeri atanır. Örne olara 3 elemanlı A vetöründe aşağıdai atama operasyonunu gerçeleştirelim. >> A(9) = A = 7 7 Bir vetörün son elemanına end omutu ile ulaşılabilir. A(end)= Vetör İşlemleri Salerlerle ile 4 işlem vetörün her elemanına uygulanır. A = A+3 A =

5 Benzer şeilde, B = B* B = 4 8 Vetörler arasında yapılaca işlemler lineer cebir urallarını sağlama durumundadır. Örne olara, ii vetörün birbiriyle çarpılabilmesi için il vetörün sütun sayısı ile iinci vetörün satır sayısı birbirine eşit olmalıdır. Vetörlerde eleman elemana işlemler (.) operatörü ile gerçeleştirilir. Eleman elemana operasyonlar.* Eleman elemana çarpma./ Eleman elemana bölme.^ Eleman elemana üst alma Yeni bir vetörün oluşturulmasında hafızadai vetörlerden istifade edilebilir. A = [ 4 5 7]; AAA = [A A A] AAA =

6 Benzer şeilde hafızadai bir vetörün parçalarından da yeni vetörler oluşturulabilir. A = AAA(:4) A = Özel Vetör Yapıları zeros(,n) : zeros(n,) : ones(,n) : ones(n,) : rand(,n) : rand(n,) : randn(,n) : Tüm elemanları sıfır olan n elemanlı satır vetör. Tüm elemanları sıfır olan n elemanlı sütun vetör. Tüm elemanları bir olan n elemanlı satır vetör. Tüm elemanları bir olan n elemanlı sütun vetör. Elemanları ile arasından rastgele seçilmiş n elemanlı satır vetör. Elemanları ile arasından rastgele seçilmiş n elemanlı sütun vetör. Ortalaması ve standart sapması olan normal dağılımlı elemanlardan oluşan n elemanlı sütun vetör. randn(n,) : Ortalaması ve standart sapması olan normal dağılımlı elemanlardan oluşan n elemanlı sütun vetör.

7 Veri Analizi Fonsiyonları mean( ) median( ) std( ) max( ) min( ) var( ) sum( ) prod( ) sort( ) flipud( ) fliplr( ) Ortalama Orta değer Standart sapma Vetörün masimum değeri Vetörün minimum değeri Varyans Elemanların toplamı Elemanların çarpımı Elemanları büyülüğe göre sıralama Sıralamayı yuarıdan aşağıya değiştirme Sıralamayı soldan sağa değiştirme Hatırlatma Ortalama Standart Sapma Varyans Medyan : Büyülüğe göre sıralanmış bir dizinin (n+)/. elemanı.

8 Matrisler Matrisler ii boyutlu sayı dizileridir. m satır ve n sütundan oluşan bir A matrisi ele alınırsa a ij, matrisin i. satır ve j. sütununda yer alan elemandır. Örne olara 4 hafta boyunca toplanan günlü maximum sıcalıları içeren HighTemp adlı matrisi ele alalım. İinci haftanın üçüncü günündei en yüse sıcalığı bulma isterse; HighTemp(,3) = 45 Matris İşlemleri Matris işlemlerinin anlatımında aşağıdai matrisler ullanılacatır. A = [ 4; 3]; B = [ 4; 3]; C=[ 3; ] Toplama ve Çıarma: Aynı boyutlardai matrislerde toplama ve çıarma işlemi uygulanabilir. Örne olara, A ve C matrislerini toplayıp D değişenine atayalım. (d ij =a ij +c ij )

9 D = A + C Transpozisyon : Bir matrisin transpozesi veya devriği, satır ve sütunların yer değiştirilmesi ile elde edilir. Örne olara, A matrisinin transpozesini alıp D değişenine atayalım. (d ij =a ji ) D = A Salerler ile 4 işlem : Salerler ile 4 işlem yapılması durumunda matrisin her elemanı sırayla işleme girer ve aynı boyutda bir değişene atılır. Yalnızca bölme işleminde diat edilmesi gereen bir uygulama vardır. Bir matris bir salere bölünmesi durumunda elemanların hepsi o salere bölünmetedir. Anca bir salerin bir matrise bölünmesi işlemi hata ile sonuçlanmatadır. Örne olara D matrisini ile çarpalım. (d ij = a ij.) D = *A İi matrisin çarpımı : İi matrisin çarpılabilmesi için il matrisin sütun sayısı ile iinci matrisin satır sayısının birbirine eşit olması geremetedir. Elde edilen matris, il matrisin satır sayısı ile iinci matrisin sütun sayısı boyutlarında olacatır. Örne olara A ve C matrislerini toplayalım ve D değişenine atayalım.

10 D = A*C Çarpma işleminde matrislerin çarpım sırası değişince sonuç da değişmetedir. E = C*A Determinant : Satır ve sütun sayısı aynı olan bir A matrisinin determinantı aşağıda tanımlanmıştır. Bu ifadede C i, a i nın ofatörüdür. M i ise a i nın minörüdür. M i, A matrisinin i. satır ve. sütunun silinmesinden sonra elde edilen matrisin determinantıdır. Yuarıda verilen 3x3 boyutlu are A matrisi için M 33 ü hesaplayalım. M 33 = a a -a a Matris boyutları büyüdüçe hesaplanmaları olduça yorucu bir hali almatadır. Matlab de matris determinantı det fonsiyonuyla hesaplanmatadır. Örne olara; det(a) = -5

11 Matris İnversi: Matrisin endisiyle çarpılması sonucu birim matrisi veren matrise, matrisin inversi veya tersi adı verilir. Her matrisin inversi bulunmamatadır. Matris inversi aşağıdai şeilde hesaplanmatadır. x ve 3x3 boyutlarındai matrislerin inverslerinin alınması aşağıda gösterilmiştir.

12 Matlab de matris inversi inv( ) fonsiyonu ile alınmatadır. Örne olara A matrisinin inversini alalım; Ainv = inv(a); Ainv = Şimdi de sonucun doğruluğunu ontrol edelim. >> A * Ainv ans = Sonuç x boyutlu bir birim matristir. Birim matrisler olduça sı ullanılan matrislerdir. Matlabde birim matris oluşturma için eye( ) fonsiyonu ullanılır. eye() ans = Matris Ranı : Bir matrisin ranı, dolayısıyla bağımsız satır veya sütun sayısı ran( ) fonsiyonu ile hesaplanabilir. >> ran(a) ans =

13 Teilli ontrolü : Bir matrisin teilli durumu cond( ) fonsiyonu ile ölçülebilir. Cond fonsiyonu birim matrise uygulandığında değerini alır. Teil bir matriste ise sonsuz değerini alır. cond(eye(5)) = S = [ ; +^-6] cond(s) = Inf Matris Ayrıştırması : Matrislerin ayrıştırması amacıyla lu( ), qr( ) ve svd( ) fonsiyonları ullanılmatadır. Matris ayrıştırması özellile büyü boyutlu matrislerle çalışılması durumunda hafıza ullanımında ve hesap zamanında olumlu sonuçlar verebilmetedir. Matrisler ile Lineer Denlemlerin Çözümü n bilinmeyenli n denlemi ele alalım. Bu denlemlerde a ij ve b j değerleri bilinen sabitlerdir. x i ise bilinmeyenler vetörüdür. Bu denlemler taımı matris halinde yazılırsa; Ax = B

14 Denlemin her ii tarafı A matrisinin (atsayılar matrisi) inversi ile çarpılırsa bilinmeyenler vetörü elde edilebilir. A - Ax = A - B Ix = A - B x = A - B Örne olara aşağıdai denlem taımını Matlab ile çözelim. Bu denlemleri matris olara yazarsa; >> A=[ 3 -;- 3; ] A = >> b=[- 9 5]' b = - 9 5

15 >> x=inv(a)*b x = - Alternatif olara Matlab in içerisinde bulunan \ operatörünü de ullanabiliriz. x = A\b x = -

16 Uygulama: Doğrusal davranışlı yaylar Bu uygulamada doğrusal bir yayın denge denlemi matris olara ifade edilecetir. Bunun için Şeil..a da görülen sabit rijitliğine sahip doğrusal yayı ele alalım. Bu yayın ii ucunun yer değiştirmeleri sırasıyla u ve u ile gösterilmiştir. Benzer şeilde, yayın uçlarına etiyen esenel uvvetler f ve f ile gösterilmiştir. Yerdeğiştirmeler ve esenel uvvetler için sağ yön pozitif olara alınmıştır. f f f f u u u (a) Şeil.. Doğrusal yayda oluşan yer değiştirmeler Yatayda denge denlemi yazılırsa; F x = : f + f = (.) (b) u f = (.) f Şeil..a, (.) ifadesi göz önünde tutulura yeniden çizilirse Şeil..b elde edilir. Bu şeilde görüldüğü üzere yay f uvvetleri arasında sıışmatadır. Yayın sabit rijitliği ullanılara oluşturulan uvvet-yer değiştirme ilişisi (.3) ifadesinde verilmiştir. ( u = f (.3) u ) Yuarıdai ifade, (.) ifadesi ullanılara yeniden yazılırsa (.4) ifadesi elde edilir. ( u = f (.4) + u ) (.3) ve (.4) ifadeleri ullanılara yayın matris denleminin oluşturulması (.5) ifadesinde gösterilmiştir.

17 u = (.5a) u f u = (.5b) + u f u f = u f (.5c) (.5c) ifadesinin sol tarafında yer alan x boyutlu matris, eleman rijitli matrisi ; sağ tarafında yer alan x boyutlu vetör ise eleman uvvetleri vetörü adını almatadır. Örne MN/m 3 MN/m MN/m 3 4 N Yuarıda verilen doğrusal yaylardan oluşan sistemde ve 4 notaları rijit olara tutturulmuştur ve notasına N büyülüğünde bir yatay yü etimetedir. Bu durumda; a. ve 3 düğüm notalarının yer değiştirmelerini b. Mesnet tepilerini hesaplayınız Çözüm Sistemin serbest cisim diyagramı Şeil. dei ifade edilirse; f f f 3 f 4 3 u = u (Sınır Şartları) 4 = = N / m ; = 3 N / m ; = N / m f = N u u u 3 u 4 3

18 Denge denlemleri = ) ( ) ( f f f f u u u u (.6) Problem girdileri ve sınır şartları (.6) ifadesinde yerine oyulursa (.7) elde edilir. = f f u u (.7) u ve u 4 tutulduğu için u ve u 3 yer değiştirmelerinin bulunması için yuarıda gri olara işaretlenen matris taımının çözülmesi yeterlidir. = u u Matlab de bu denlem taımı çözülürse, >> A = [5-3; -3 4]*^6 A = >> b = [ ]' b =

19 >> u = A\b u = e-5.773e-5 Elde edilen u değerleri yer değiştirme matrisine yerleştirilir ve rijitli matrisi ile çarpılırsa ve 4 notalarındai uvvetler bulunur. f = N f 4 = -7.7 N