ANALİTİK GEOMETRİNİN TARİHÇESİ

Transkript

1 ANALİTİK GEOMETRİNİN TARİHÇESİ Hazırlayanlar 10/A 131 Duygu ÇAM 10/A 63 Elif KANTAR 10/A 182 Kerem KANTAR 10/A 171 Mine YILDIRIM Rehber Öğretmen Belkıs ARGIT

2 İÇİNDEKİLER Teşekkür Önsöz Analitik Geometride Tanım ve Kavramlar Analitik Felsefe Uygarlıklarda Analitik Geometri Değerlendirme ve Sonuç Kaynakça 1

3 TEŞEKKÜR Proje çalışmamızda bizlere yardımcı olan analitik geometri öğretmenimiz Belkıs Argıt a ve bizlere sunduğu kaynaklardan dolayı okulumuz Özel Ege Lisesi ne çok teşekkür ederiz. 2

4 ÖNSÖZ Bu projeyi seçerken hem sevdiğimiz bir ders olan analitik geometriyi, hem de merak ettiğimiz tarihçesini göz önünde bulundurduk. Projemizi gerçekleştirirken bazı hedefler belirledik. Bu hedeflerin çoğuna da ulaştık. Ve bu sonuçları da sizlerle paylaşmak istiyoruz. 3

5 ANALİTİK GEOMETRİDE TANIM ve KAVRAMLAR Analitik geometri, koordinat geometrisi olarak da bilinir, geometri problemlerini tanımlamak ve çözmek için cebirsel yöntemler ve simgelerden yararlanan matematik dalı. Analitik geometrinin önemi, geometrik eğrilerle cebirsel denklemleri birbirleriyle eşlemesinden kaynaklanır. Bu eşleme, geometri problemlerini, eşdeğerleri olan cebir problemlerine dönüştürmeyi ya da bunun tersini olanaklı kılar. Böylece bu iki disiplinden birinde kullanılan yöntemlerle öteki disiplindeki problemler de çözülebilir. Eski çağlarda birçok matematikçi, biçimlerin geometrisiyle sayıların cebiri arasında bir ilişki olduğunun farkındaydı. Ancak eski Yunanlılar bile, matematiğin fiizksel dünyaya bağımlı olduğu ve onu yansıttığı görüşününün ve cebirsel yöntemlerle simgelerin ilkel biçimlerinin ötesine geçememişlerdi. Örneğin sayıları doğru parçaları olarak, iki sayının çarpımını alan olarak, üç sayının çarpımını da hacim olarak düşünüyorlardı. Fiziksel dünyada, ölçülebilen geometrik biçim olarak yalnızca uzunluk, alan ve hacim varolduğuna göre, Yunanlıların y=x 4 türündeki cebirsel bağıntıların geometrik eşdeğerlerini tanımlayabilmeleri olanaksızdı. Ancak cebir bağımsız olarak kendi içinde daha eksiksiz ve kullanışlı bir disipline dönüştüğünde ve matematik fiziksel dünyayla bağlantısını ve bağımlılığını bir ölçüde kırdığında, geometri ile cebir arasında verimli bir ilişki kurabilme olanağı ortaya çıktı. Analitik geometrinin temelleri, bir noktanın aynı düzlemde kesişen iki doğrudan (eksenler ya da koordinatlar eksenleri) uzaklığı ile sıralı gerçek sayı çiftleri arasındaki ilişkinin önemini birbirlerinden bağımsız olarak kavrayan René Descartes ve Pierre de Fermat tarafından 17.yüzyılda Fransa da atıldı. Matematiği, felsefe araştırmaları için bir model olarak da değerlendiren Descartes, bir yandan Eski Yunan da gelişmiş geometri yöntemlerini, öbür yandan da kendi çağının cebir bilgisini derinlemesine inceledi. Matematiğin bu iki dalını da kendi amaçları açısından yetersiz ve soyut buluyordu. Geometrinin, biçimlerle uğraşırken, kavrayışı geliştirecek yolları ihmal ettiğini, cebrin ise kimi kuralların boyunduruğunda, karanlık ve karmaşık bir sanata dönüştüğünü düşünüyordu. Analitik geometri, bilgi yolunu tıkayan eksikliklerini gidermek amacıyla bu iki dalın birleştirilmesinin ürünüydü. Yeni geometride Descartes, bir düzlemdeki noktaları birbirine dik iki eksene uzaklıklarıyla belirtiyordu. Böylece, geometride cebirsel yöntemlerden, cebirde de geometriden yararlanma olanağı ortaya çıktı. Fermat Pierre de modern sayılar kuramının kurucusu olarak kabul edilen Fransız matematikçi. Fermat, René Descartes tan bağımsız olarak, analitik geometrinin temel ilkesini bulmuştur da Eski Yunanlı geometrici Pergeli Apollonios un Plane loci (Düzlemsel Geometrik Yerler) adlı kayıp yapıtını yeniden düzenledi ve geometrik yerlerin (belirli bir niteliği olan noktalar kümesi), cebrin bir koordinat sistemi aracılığıyla geometriye uygulanması yoluyla kolayca incelenebileceğini buldu. Descartes da aynı 4

6 yıllarda, analitik geometrinin, iki değişkenli denklemler düzlemsel eğrileri tanımlar biçimindeki temel ilkesini bulmuştu. Fermat ın Düzlemlerin ve Katıların Geometrik Yerlerine Giriş adlı kitabı ölümünden sonra 1679 da yayımlandığından, 1637 de Descartes in Geometri adlı yapıtında ele alınan bu buluşa dayalı geometri, Descartes çı geometri (Kartezyen Geometri) olarak anılagelmiştir. Analitik geometri sonraki yıllarda Sir Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz in geliştirdiği matematiksel analizin temelini oluşturdu. 5

7 ANALİTİK FELSEFE II. Dünya Savaşı ndan sonra İngiltere ve ABD ile bazı İskandinav ülkelerinde yaygınlaşan ve felsefenin asıl uğraş alanının dil ve dildeki kavramları çözümlemek olduğunu, bu yolla kafa karışıklığı yaratan geleneksel felsefe sorunlarının çözülebileceğini savunan felsefe akımı. Başlangıçta İngiltere nin Cambridge Üniversitesi nde gelişen akımın Oxford Üniversitesi ndeki devamı linguistik felsefe adını almıştır. Analitik ve linguistik felsefenin kurucusu ve en büyük temsilcisi sayılan Avusturyalı filozof Ludwig Wittgenstein, yaşamı boyunca, öğrencileri arasında yaygınlaşan akıma karşı çıkmış, ancak ölümünden sonra yayımlanan Philosophische Untersuchungen (1953; Felsefe Soruşturmaları) akımın baş kitabı sayılmıştır. Wittgenstein ın son yıllarda yayımlanan öteki yazıları ve onu konu alan çalışmalar, filozofun akım ile ikişkisini yeniden değerlendirme gereksinimini doğurmuştur. Bu dönemde yeniden ele alınan en belli başlı yapıtı Tractatus Logico-Philosophicus tur.(1921, 1985 ve 1986) Akımın sonraki önemli temsilcileri, İngiliz düşünürler Bertrand Russell, G. E. Moore, Gilbert Ryle ve J. L. Austin dir. Bertrant Russell İngiliz mantıkçı ve düşünür. Matematiksel mantık alanındaki çalışmalarının yanısıra toplumsal ve siyasal kampanyalara öncülük etmiş, barışı ve nükleer silahsızlanmayı savunmuştur Nobel Edebiyat Ödülü nü kazanmıştır. Russell in düşüncesinde üç temel erek yer alıyor, bunların altında da bilimsel dünya görüşünün büyük ölçüde doğru görüş olduğu varsayımı yatıyordu. Bu ereklerden en önemlisi ve kapsamlısı insan bilgisinin kuşkulu yanlarını en aza ve en basit ifadelere indirgemekle ilgiliydi. İkinci ereği matematikle mantık arasındaki yakın ilişkiyi belirlemeye yönelikti. Russell in üçüncü ereği analitikti ve dünyaya ilişkin bir şeyin, bunun betimlendiği dilden çıkarsanabileceği varsayıma dayanıyordu. George Edward Moore İngiliz gerçekçi düşünür. Felsefeye ve özellikle etik sorunlara titiz ve sistematik yaklaşımıyla 20. yüzyıl İngiliz felsefesinde ağırlık kazanmıştır. Gilbert Ryle İngiliz düşünür. Oxford Üniversitesi nde gelişen linguistik felsefe akımının önde gelen temsilcisidir. Yapıtlarında olduğu kadar Oxford da Waynflete Kürsüsü ve Mind dergisinin yayın yönetmenliği görevlerinde de dilin yanlış kullanımından kaynaklanan karışıklıkları gidermeye çalışmıştır. John Langshaw Austin, gündelik dili ayrıntılı biçimde inceleyerek insan düşüncesinin bireyci bir analizini gerçekleştiren felsefeci. Dilbilimsel incelemenin, genellikle çağdaş 6

8 felsefenin yalnızca bir bölümü sayılmasına karşın, Austin, savunduğu analitik tutumla dilin felsefedeki önemini vurguladı. Analitik felsefenin temel hareket noktası, felsefenin tek konusunun dil olduğu anlayışıdır. 20. yüzyıl başlarında gelişen mantıksal olguculuktan, felsefenin kendisinin bilgi üretmediği görüşünü ve felsefe tarihinde yapıt vermiş düşünürlerin aslında dilin yarattığı sorunlarla uğraşmış oldukları görüşünü devralan analitik felsefe, felsefenin dilsel yapıları çözümlemekle asli uğraşını bulabileceğini savundu. Aynı biçimde Alman düşünür Gottlob Frege nin öncülüğünü yaptığı ve Russell ın çabalarıyla yaygınlaşan simgesel-matematiksel mantık anlayışı, felsefenin nesneler üzerine bilgi sağlayan bir bilim değil, verilmiş bilgisel ya da dilsel yapıları çözümleyen bir uğraş olduğu anlayışını getiriyordu. Bu etki de, birçok analitik felsefecinin mantığa duyduğu yakınlıkta kendini gösterir. Ancak, özellikle Oxford daki gelişmesi içinde analitik felsefe, Russell ve mantıksal olgucuların anlayışlarının temelinde yatan, mantık aracılığıyla bir mükemmel biçimsel dil kurma amacından uzak kalarak gündelik dil e yöneldi. Buna göre, sağduyunun kaynağı olan ve sıradan insanların konuştukları dil, zaten tam ve yetkindir. Felsefeye düşen, dilin bu gündelik kullanımın dışına çıkması sonucu beliren sahte sorunları gidermektir. Örneğin, Moore un gençlik döneminde, idealist Bosanquet nin zaman gerçek değildir önermesine, yani sabah kahvaltısını öğle yemeğinden önce etmediğini mi söylüyorsun? diyerek karşı çıkışı, akımın örnek lerinden biri olmuştur. Wittgenstein ise, bir kavram söz konusu olduğunda, bunu insanlar günlük yaşamlarında nasıl kullanıyorlar? sorusunu sormakla, akımın örnek aldığı düşünüş biçimini kaynağı olmuştur. Analitik felsefenin başlangıç noktası, dilin, felsefi araştırmanın kendine özgü ya da dolaysız konusu olduğu inancından ibaret değildir. Bu inanç, daha önce de akademik çalışmalar yapan birçok filozofun görüşlerinin hareket noktasını oluşturmuştu. Düşünce ve bilgiyi felsefenin başlıca uğraşı olarak tanımlayanlar da, en ilkel olanları dışında tüm düşüncelerin dile getirilmesi gerektiğini gördüklerinde aynı görüşü benimsemekteydiler. Oysa analitik felsefenin ayırt edici çizgisi, geleneksel felsefe sorunlarının, bunları dile getirirken ve tartışırken başvurulan sözcüklerin fiilen kullanılış biçimleri dikkate alınarak çözülebileceği ya da ortadan kaldırılabileceği savıdır. Analitik felsefeciler, daha önceki olgucu düşünürlerin, yalnız deneysel ya da kavramsal olguları olumlayıcı ifadelerin anlamlı olduğu sonucuna götüren doğrulanabilirlik ilkesini, keyfi ve saçma bularak kabul etmezler.daha önceki olgucu akımın bir yandan değer yargılarını ve belirtme kipinde olmayan ifadeleri anlamsız diye damgalamamaları, öte yandan maddi nesneler, başkalarının zihinleri ve geçmiş üzerine ifadeleri kendilerine özgü bir ilkeden hareketle keyfi biçimde bir araya getirme çabaları, analitik filozoflara göre sağduyunun ihlali demektir. Analitik filozoflar bunun yerine dilin toplumsal ve işlevsel bir olgu, insan türünün doğal yaşamının bir parçası olduğunu savundular. Dil, matematiksel mantıkla bir defada ve 7

9 kalıcı biçimde ortaya konmuş soyut bir yapı haline sokulmaya çalışıldığı gibi, çok değişik biçimlerde, çok değişik amaçlar için de kullanılmaktadır. Anlamlı konuşma için, anlamsız diye bir kenara atılmaktan kurtulan her şeyin keyfi biçimde kendisine indirgeneceği tek bir temel ya da bir model yoktur. Moore un sağduyuya dayalı inanışlara bağlılığından farklı olarak, analitik filozoflar kavramsal karışıklığın belirtisi olarak gördükleri bu inanışlara karşı çıktılar. Bu inanışlar, aynı zamanda, günlük olağan yaşamda sözcüklerin kullanımını fiilen yönlendiren kurallara ilişkin bir yanlış anlayışın da işaretiydi ve uygulamada bunun etkileri açıkça görülebilirdi. Ama insan, yoğun düşünme ortamına girdiğinde (Wittgenstein a göre) yanlış ama ayartıcı analojiler aracılığıyla ya da sırf aşırı basitleştirme yüzünden, Austin in deyimiyle tek yanlı örneklerle beslenme nin sonucunda bu kuralları boşlamaya sürüklenebilir. Buradan çıkan sonuç şudur: Felsefe sorunlarını ele alırken doğru yol, bu sorunlara yol açan sözcüklerin anlamına ilişkin yanlışları aydınlatmaktır. Bu nedenle gerçek felsefe, kavram kargaşasına uğramış zihinlere yönelmiş bir tür sağaltımdır. Wittgenstein bu noktaya büyük önem verdi. Felsefe sorunlarının kişiyi rahatsız eden, huzursuzluk veren şeyler olduğunu vurgulayan filozof, bu sorunları çözmenin, onlardan kurtulmak olduğunu söyledi. Bunun için de insanların yaşarken kullandıkları dile ve kullanımla ortaya çıkan dil oyunları na bakılması gerektiğini; anlamlı kullanımın ortaya çıkmasıyla felsefenin, dil boşa dönerken, yani günlük yaşamdaki kullanılışının dışında iş görürken ürettiği sorunların ortadan kalkacağını, böylece de rahatsızlık ve huzursuzluğun giderileceğini belirtir. Wittgenstein, anlama, acı çekme, acı ve niyetlilik gibi zihinsel süreçlere ilişkin söylemleri açıklama sorununa, kendisinin yeni dil anlayışını geniş ölçüde uyguladı. Ryle ın Zihin Kavramı adlı yapıtı, Wittgenstein ın konu üzerine düşüncelerinin yalınlaştırılmış, belki de kolaycı bir biçimiydi. Ryle ın çalışması, sonuçta çoğu olgucunun davranışçılığına yakın bir noktaya ulaşıyordu. Ama onun bu noktaya birçok ilginç ayrıntıyı ele alarak ulaştığını belirtmek gerekir. Austin ise algı, hakikat, söz verme ve sorumluluk konularında parlak ama sonuca ulaşmayan ürünler verdi. Wittgenstein, hep göz önünde tuttuğu sağaltıcı işlev gerekli kıldığı ölçüde dil felsefesine girişmişken, Oxford un analitik filozofları salt kendisi için dil üzerinde çalıştılar. Ryle ın felsefeyi kavramsal bir coğrafya olarak ele alışı, kapsamlı bir atlas geliştirme amacına yöneliyordu. Austin, son kitabı Sözcüklerle Şeyler Nasıl Yapılır, dilin kullanımına ilişkin sistematik bir kuramın ana hatlarını ortaya koydu. Başlangıç noktası olarak söyleme edimi ni, insanların anlam iletme sırasında içinde bulundukları koşullar bütününü alan Austin, bu yolla dilin işleyiş yapısına ulaşmaya çalıştı. Bugün, Ryle ve Austin in felsefe tarihinde yalnızca etkilerinden söz edilirken, Wittgenstein çağdaş felsefede canlı bir güç olarak yerini korumaktadır. 8

10 UYGARLIKLARDA ANALİTİK GEOMETRİ ESKİ MISIRLILAR ve MEZOPOTAMYALILARDA ANALİTİK GEOMETRİ Sayı ve uzay büyüklükleri arasındaki ilişkiler, bir büyüklüğün aynı ölçüde başka bir büyüklükle birleştirilmesi suretiyle veya büyüklüğü kendisi ile aynı büyüklüklere parçalamak şeklindeki bilgiler eski Mısırlılar ve Mezopotamyalılar döneminde kullanılmıştır. Bu tür operasyonlara yalnız tam sayılar ve kesirli sayılar yani paydası 1 ve 1 den farklı olan rasyonel sayılar düşüncesi vardı. Bu bilgiler, eski Mısır ve Mezopotamyalılar Babil dönemine ait zamanımıza kadar ulaşabilen papirüs ve kil tabletlerden edinilmiştir. Fakat bunlar hakkında henüz bilgimiz tam değildir. GREKLER ve ANALİTİK GEOMETRİ A) Apolonyos ve Analitik Geometri Matematik tarihinde analitik geometriye ait ilk eserin, Gerk bilgini Apolonyos un ( MÖ ), Konika ( Konikler) adlı eseri örnek olarak gösterilir. Konuyu ayrıntılı olarak inceleyen matematik tarihçileri analitik geometrinin Apolonyos ile ilgisini şu şekilde açıklamıştır. Apolonyos un Konika adlı eserinde hiç bir cebirsel kavram yoktur. Aslında genel olarak tüm Grek dünyasında o dönemde cebir bilgisi mevcut değildir. B) İskenderiyeli Heron ve Analitik Geometri İskenderiyeli Heron un ( MS 1. yy) Metrika ( Ölçü Bilgisi) adlı eserine ait iki örnek günümüzde de kaynaklarda yer almaktadır. Bu eserden günümüze kadar gelen iki örnekten bahsedelim. 9

11 i. Yüksek bir tepe çevresinde, A ve B noktaları arasında tünel yapılmak isteniyor. Bu örnekte, tünelin A ve B noktaları istikametlerinin koordinat değerlerinin nasıl bulunacağı aşağıdaki gibi açıklanmıştır. A ve B noktaları, bir poligon çizgisi ile birleştirilsin. Bir P noktası elde edilsin. Bu poligon çizgisi yardımıyla A ve B nin bu poligon çizgisine paralel bir eksen sistemi ile koordinatların farkı bulunsun. Bundan sonra; bir köşesi A ve B de bulunan ve kenarları eksenlere paralel, kenarlarının uzunlukları da, yukarıdaki koordinat farkları ile orantılı dil üçgenler çizilir. Bu üçgenlerin hipotenüslerinin uzantısı, kazılacak tünelin istikametini verir. ii. Astronomi problemlerinin çözümünde kullanılan grafik yöntemde, dik açılı uzay koordinatlarının varlığı görülmektedir. Burada, koordinat düzlemleri olarak meridyen dairesi, ufuk dairesi ve düşey daire kullanılmıştır. Bu tür astronomi problemlerinden, enlem ve boylam farkları bilindiğine göre Roma ve İskenderiye şehirleri arasındaki uzaklık bulunmuştur. Böylece milattan sonra 1. yüzyılda koordinat yöntemi, hem teorik hem de uygulamalı olarak analitik geometride kullanılmıştır. TÜRK- İSLAM DÜNYASI ve ANALİTİK GEOMETRİ A) Harezmi ve Analitik Geometri Analitik geometri ve ilgili eserlerde, analitik geometri 16. Yüzyıl Fransız matematikçi ve filozof Descartes in 1637 yılında yazdığı La Géométri adlı eseri ile başlar. Bu konunun gerçek yönü şudur. Harezmi tarafından 830 yılında yazılan Cebr ve l Mukabele adlı eserin ikinci bölümünde ikinci derece tam olmayan denklemlerin çözümü vardır. Bu eserde, her tip denklem için iki ayrı çözüm yöntemi gösterilmiştir. Bu çözüm yöntemlerinin birincisi geometrik çözüm yöntemi olup, bu çözüm yöntemine kare ve dikdörtgen çözüm yöntemi denir. Harezmi nin bu çözüm yöntemi, matematikte cebir ile geometri arasında bir nevi yakınlığı hedef alan bir araştırmanın ilk ürünüdür. Başka bir ifade ile; Harezmi nin Cebr ve l Mukabele adlı eserindeki çözüm yöntemleri analitik geometriye ait ilk örneklerdir. Bu tür çözüm yöntemini eski Mısır, Mezopotamya, Grek ve eski Hint matematiğinde görmek mümkün değildir. 10

12 Bu durumda Descartes kendisinden önceki yıllarda var olan analitik geometrinin temel bilgilerini derleyerek önce sistemleştirmiş ve sonra da kısmen geliştirmiştir. Müsteşrik Sigrid Hunke analitik geometri konusunda şöyle düşünmüştür. Sayısal niceliklerle geometrik niceliklerin beraber yürütülmesi gerektiğine dair kesin fikre ilk olarak, İslam ilim sahasında rastlanmıştır... Bu anlamda Rönesans ın üstadları Grekler değil, İslam dünyası oldu. B) Ömer Hayyam ve Analitik Geometri Ömer Hayyam, Cebir adlı eserinde cebirsel denklemlerin çözümünü geometrik yöntemlerle yani çizim yöntemi ile açıklamıştır. Ömer Hayyam, bu eserinde kübik denklemlerin kısmi çözüm yöntemlerini açıklamış, birçok denklemi de geometrik olarak çözmeyi başarmıştır. BATI DÜNYASI ve ANALİTİK GEOMETRİ Descartes ve Analitik Geometri Önceden de belittiğimiz gibi, çoğu Batılı matematikçi analitik geometriyi Descartes in bilgileri ile başlatır. Bu konuda tarihe geçmiş olan yaygın görüş şöyledir. Descartes cebiri geometriye soktu ve analitik geometriyi kurdu. Descartes in kurduğu analitik geometri; Greklerin geometri yardımıyla aritmetiği kavramak istemelerinin tam tersine, analitik geometriyi aritmetik ve cebir sistemleri sonucu ortaya koymuştur. Descartes, bir doğru üzerinde başlangıç olarak aldığı bir noktanın sağında pozitif, solunda da negatif nicelikleri (büyüklükleri) göstermeyi esas alan geometrik anlama dayanmıştır. Descartes ten 4000 yıl kadar önce de eski Mısır ve Mezopotamya döneminde yer almış analitik geometri çalışmaları vardı. Descartes ten 1000 yıl önce Harezmi, 600 yıl önce 11

13 Ömer Hayyam tarafından analitik geometriye ait zamanı için yeni problem ve çözüm yöntemleri ortaya konmuştur. 12

14 DEĞERLENDİRME Projemizin sonunda; analitiğin matematikle ilişkili olduğunu, günlük yaşamda da geniş bir kullanım alanı olduğunu gördük. Ayrıca analitik düşünce sisteminin felsefeye olan yakınlığını, tarihteki ünlü analitik düşünürlerinin felsefeyle de ilgilendiklerini gördük. Yüksek okullardaki mühendislik, işletme, iktisat, maliye ve benzeri programların temeli analitik geometridir diyebiliriz. Özellikle işletme ve iktisadi bilimlerde grafikler ve mühendislik bölümlerinde vektörlerin önemi büyüktür. 13

15 KAYNAKÇA 1. Sconeflıes Dehn,M. (1943) Analitik Geometri İstanbul 2. Hacısalihoğlu, Hilmi 2 ve 3 Boyutlu Uzaylarda Analitik Geometri 3. Göker, Lütfi Türk İslam ve Batı Dünyasında Analitik Geometri 4. Ana Britannica (cilt2) 14