Pratik Kuantum Tarifleri. Adil Usta

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Pratik Kuantum Tarifleri. Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com"

Temel Karabulut
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Pratik Kuantum Tarifleri Adil Usta

2 İçindekiler 1 Açılış 1.1 Olası momentum değerleri Klasik limit

Klasik limit.................................... 5 1

3 1 Açılış Bu elektronik kitap Adil Usta nın ders notlarının ve kişisel çalışmalarının bir araya getirilmesinden oluşturuldu. Her ne kadar ders kitabı olma iddiası taşımasa da, standart bir kuantum kitabında bulunabilecek hemen hemen tüm konulara ve belki daha fazlasına bu naçizane metinde de değinildi. Kendi çabalarıyla kuantum mekaniği öğrenmeye çalışanlara ve giriş seviyesinde kuantum dersi alanlara yarararı olabileceğine inanıyoruz. Ben zaten kuantumun ustasıyım! diyenlerin bile, ustaların ustası Adil Usta dan kapabileceği birkaç taktik olabilir. Kitabın belli kısımlarında temel konular ve problemler kuantum alan teorisiyle ilişkilendirilerek ele alındı. Bu kısımlarda ve de özelliklle son bölümde amaç kuantum alanlarından dem vurmak ve kuantum alan teorisine dair merak uyandırmaktı. Belki de olasi, ikinci bir Adil Usta kitabının gizli reklamını yapmak... Metnin dili yer yer ciddiyetten uzak görünse de, içeriğinin fiziksel ve matematiksel tutarlılığına büyük özen gösterildiğini bilmenizi isteriz. Bu metin, ticari amaçlar dışında ücretsiz çoğaltılabilir veya dağıtılabilir. Adil Usta nın maddi veya akademik bir beklentisi yoktur. Zaten kendisi akademisyen değildir, fizikçi hiç değildir. Atom fiziğine lanet ettikten sonra kendisini aşçılığa adamıştır ve hobi olarak kuantum üzerine aforizmalar üretmektedir. Yorumlarınız, eleştirileriniz veya önerileriniz için: Afiyet olsun.

Kendi çabalarıyla kuantum mekaniği öğrenmeye çalışanlara ve giriş seviyesinde kuantum dersi alanlara yarararı olabileceğine inanıyoruz. Ben zaten kuantumun ustasıyım!

4 1.1 Olası momentum değerleri Kutu içindeki parçacık için bulduğumuz çözümü hatırlayalım: { nπx sin ψ n (x) =, 0 < x < L için, L L 0, diğer bölgeler için. (1) Burada n = 1,,. Bu çözümün momentum içeriğini Fourier dönüşmü yaparak bulabiliriz. ψ n (p) 1 π dx e ipx/ ψ n (x) = 1 L πl = ( e ilp/ iπn 1 ) n( /L) 3/ p ( n π L ) 0 dx sin nπx L e ipx/ = i e ipl/ iπn/ sin(pl/ + πn/) n( /L)3/ p ( n π L ) L sin(nπ( p + 1)/) = i e in p iπn/, () π3 n( p 1) olarak yazılabilir. Bu ifadede p = p tanımını kullandık. ψ n π/l n (p) dediğimiz ettiğimiz zımbırtının ne olduğu nu yineleyelim. Kutudaki parçacığın kuantum çözümlerini bulduk ve bunları n tamsayısı ile etiketledik. Diyelim ki parçacığın momentumunu ölçeceğiz. Ölçüm sonucunu, yani momentumu, p olarak bulma genliğimiz ψ n (p) ten başka bir şey değil! Henüz olasılığı hesaplamadık ama genliği bulduktan sonra gerisi çok basit! Yapmamız gereken tek şey genliğin mod karesini hesaplamak: ve Olasılık (n) (p) ψ n(p) ψ n (p) = L π f n( p), 3 (3) ( ) sin(nπ( p + 1)/) f n ( p), n( p 1) (4) olarak tanımladık. Eş. (4) denklemine ve özellikle denklemin paydasına dikkatlice bakarsanız, denklemin p = ±1 değerleri için elinizde patladığını düşünebilirsiniz. Ama sakin olun, her şey kontrol altında. Kuantum mekaniğinde elinizde patlayan bir çok sey olacak ve bu patlayan değerlerle nasıl başedeceğinize daha sonra bakacağız. Şimdi de Eş. 3

ψ n (p) 1 π dx e ipx/ ψ n (x) = 1 L πl = ( e ilp/ iπn 1 ) n( /L) 3/ p ( n π L ) 0 dx sin nπx L e ipx/ = i e ipl/ iπn/ sin(pl/ + πn/) n( /L)3/ p ( n π L ) L sin(nπ( p + 1)/) = i e in p iπn/, () π3 n(

5 (4) denkleminin payına dikkatlice bakınız, o da aynı noktada sıfıra gidiyor: tipik bir 0/0 durumu. Eğer pay paydadan daha çabuk, ya da onunla aynı hızda sıfırlanıyorsa, sorun yok. Bu tür durumlarda paydanın kökü etrafında neler döndüğüne bakmak gerekiyor. p = 1 civarında neler olduğna bakmak için p yi 1 etrafında açalım: p = 1 + ϵ, ki ϵ çok küçük bir sayıolsun. Aşağıdaki trigonemetrik eşitliği birkaç kez kullanacağız: sin(a + B) = 1/ sin(a) cos(b) + 1/ sin(b) cos(b) (5) eşitliğini A = nπ ve B = nπϵ/ için kullanarak ϵ sıfıra giderken f n ( p) nin { sin(nπϵ/) nϵ şeklinde yazılabileceğini görürüz, ki bu da (π/4) limitine yaklaşır. (Burada isteyen benim sözüme inanır, isteyen L Hôspital kuralı nıkullanır. Hatta kimileri Tabii ulan ϵ gibi küçük bir sayı için sin(nπϵ/) nπϵ/ yazarım hehe! deyip ukalalık yapar.) p = 1 etrafındaki hesap hemen hemen aynı... Yeri gelmişken birkaç büyük laf edelim: paydaların kökleri hemen her zaman büyük önem taşır. Elimizdeki problemde kökler p = ±1 değerlerinde, yani p = ±n π/l. Daha sora hesaplayacağız ki bu değerler klasik limitteki olası momentum değerlerine karşılık gelecek. f n ( p) yi n in bazı değerleri için çizelim: Şekil (1). } f f f 3 f Şekil 1: n = 1,, 3 and 10 değerleri için f n ( p). Hatırlatma: p = ±1 değerleri p = ±n π/l ye karşılık geliyor. 4

Aşağıdaki trigonemetrik eşitliği birkaç kez kullanacağız: sin(a + B) = 1/ sin(a) cos(b) + 1/ sin(b) cos(b) (5) eşitliğini A = nπ ve B = nπϵ/ için kullanarak ϵ sıfıra giderken f n ( p) nin { sin(nπϵ/)

6 1. Klasik limit Grafiklere bakar bakmaz, n in büyük değerleri için olasılığın p = ±1 ( p = ±n π/l) değerleri etrafında yoğunlaştığını farketmişsinizdir. Öyleyse mecburen şu soru geliyor akla: n sonsuza giderken bu olasılık dağılımı nasıl görünecek? Bu soruya yanıt vermeden önce, bir nebze daha kolay bir soru soralım: n sonsuza giderken ψ n (x) nasıl görünecek? Kolay! ψ n (x) frekansın ile orantılı bir sinüs fonksiyonu. n arttıkça frekans da aynıoranda artacak ve Eş. (1) de hesapladığımız dalga fonksiyonu kutuyu homojen olarak dolduracak. İlk sorduğumuz soruya yanıt vermek için f n ( p) yi farklı bir şekilde yazarak başlayalım: f n ( p) = sin (nπ( p + 1)/) 1 n ( p 1) ( ) = sin (nπ( p + 1)/) 1 1 n 4 p ( p 1) 1 ( p + 1) = 1 ( ) 1 sin (nπ( p 1)/) sin (nπ( p + 1)/), (6) n 4 p ( p 1) ( p + 1) ki ikinci adımda Eş. (5) yardımıyla ulaşılabiliceğiniz şu eşitliği kullandık: sin (nπ( p + 1)/) = sin (nπ( p 1)/). Terimlerin yerlerini hafiften değiştirirsek ulaşacağımız sonuç şu oluyor: ({ f n ( p) = π 1 8n p π sin ( nπ } ( p 1)) ( p 1) nπ { 1 π sin ( nπ ( p + 1)) nπ( p + 1) }). (7) Bu kadar ameleliği boşuna yapmadık elbette! Küme parantezleri içindeki nesnelerin herbiri Dirac delta fonksiyonunun tanımalarından biri. Daha açık yazarsak: { 1 sin ( nπ } ( p ± 1)) lim n nπ = δ( p ± 1). (8) π ( p ± 1) Eğer Dirac delta fonkisyonunun ne menem bir şey olduğunu bilmiyorsanızıappendikse bir göz atmanızı salık veririm. Dirac fonksiyonunun hepi topu iki özelliği var zaten: 1) Tek nokta dışında 0 olması ki 1/n faktörü yardımıyla sağlanıyor bu, ) integralinin 1 olması p üzerinden alınacak bu integral çok basit değil, çözümü appendikste bulabilirsiniz. Son bir uyarı: Dirac fonksiyonu diye tanımladığımız bu nesneye fonksiyon bile değil diyerek çamur atanlar olacaktır, ki bunlar genelde matematikçi arkadaşlar olur. Onlara he gülüm he, tamam fonksiyon değil dağılım o deyip, kendi aramızda fonksiyon diyeceğiz bu nesneye. 5

Bu soruya yanıt vermeden önce, bir nebze daha kolay bir soru soralım: n sonsuza giderken ψ n (x) nasıl görünecek? Kolay! ψ n (x) frekansın ile orantılı bir sinüs fonksiyonu.

7 Dirac fonksiyonlarını yerleştirip δ(ax) = δ(x) a özelliğini kullanacak olursak: f ( p) = π π (δ( p 1) δ( p + 1)) = (δ( p 1) + δ( p + 1)) 8n p 8n = π3 (δ(p nπ /L) + δ(p + nπ /L)). (9) 8L Bu sonucu da Eş. (3) de yerine koyalım: Olasılık (n) (p) = 4L π 3 f n ( p) = 1 (δ(p nπ /L) + δ(p + nπ /L)). (10) Bu denklemden açık ça görüyoruz ki p, nπ /L veya nπ /L olmak üzere iki farklı değer alabilir, ki herbir değerin olasılığı1/. Şimdi gelelim neden buna klasik dediğimize gelelim: E n = n π the corresponding momenta can be p = ± me = ±nπ /L. ml 6

(3) de yerine koyalım: Olasılık (n) (p) = 4L π 3 f n ( p) = 1 (δ(p nπ /L) + δ(p + nπ /L)).

Benzer belgeler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret