Stokastik Süreçler. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir.

Transkript

1 Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Zamanla değişen bir rastgele değişkendir. Rastgele değişkenin alacağı değer zamanla değişmektedir. Deney çıktılarına atanan rastgele bir zaman fonksiyonudur. Örnek: X t cost şeklinde tanımlanan sürekli zaman sinyalinde rastgele değişkendir ve alacağı değer bir madeni paranın atılması ile belirlenmektedir. 0, Tura gelirse, Yazı gelirse X t nin değeri önceden bilenemediğinden X t rastgeledir. X t, rastgele bir deneyin çıktılarına atanan bir sayı olmayıp bir zaman fonksiyonu olduğundan Örnek Uzay: X t rastgele değişken değildir. x t, x t cos t, cost Her hangi bir t zamanı için X t bir rastgele değişkendir ve en fazla iki değerden birini alabilir: cos t ve. cost

2 Örnek: Rastgele darbe genişliğine sahip kare dalga treni: X t nin değeri önceden belirlenemediği için X t rastgeledir. X t bir zaman fonksiyonu olduğu için bir rastgele değişken değildir. Xt 0 ya da A olası değerlerini alabilen bir Her hangi bir t zamanı için rastgele değişkendir. Burada örnek uzay sonsuz tane zaman fonksiyonunu içermektedir.

3 3 X t nin her hangi bir t zamanındaki değeri rastgele değişkendir. X t nin bir gerçeklenişi (realization) bir zaman fonksiyonudur ve örnek fonksiyon ya da üye fonksiyon adını alır. Bir sayı değildir. Bu durumda örnek uzay (topluluk (ensemble)) zaman fonksiyonları topluluğudur. Farklı zaman anları için X t çok farklı dağılımlara sahip olabilir.

4 4 Rastgele Süreçlerin Karakterizasyonu Xt bir rastgele değişken olduğundan Xt E g X t X t g x t f x t dx t, X t sürekli i i g x t P X t x t, X t kesikli i nin ortalaması, ikinci momenti ve varyansı aşağıdaki gibi elde edilir. E X t xf x dx X t E X t x f x dx X t Ortalama Fonksiyonu İkinci Moment Fonksiyonu x E X t f xdx E X X t t E X t X t Burada Varyans Fonksiyonu x xt Topluluk Ortalaması

5 5 Rastgele Süreçlerin Karakterizasyonu X t sürecinde her hangi iki zaman anında elde edilen iki rastgele değişken Xt ve Xt için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f x, x tanımlanabilir.,,, E g X t X t g x x f x x dx dx X t X t Özilinti Fonksiyonu (Autocorrelation Function): RX t, t E X t X t Otokovaryans Fonksiyonu (Autocovariance Function): C X t, t E X t E X t X t E X t X, R t t E X t E X t İlinti Katsayısı (Correlation Coefficient): C t, t X t, t X t X t X t X t

6 6 Rastgele Süreçlerin Karakterizasyonu Örnek: Rastgele faza sahip bir sinüsün ortalama ve özilintisini bulunuz. Aşağıda verilen sinüs fonksiyonun ele alalım. X t Asin w t 0 w bilinen sabitler olup, Burada A ve 0 0 sahip rastgele değişkendir. f X t nin ortalama ve özilintisi:, 0, diğer yerler aralığında düzgün dağılıma sin sin E X t E A w t E g A w t f d 0 0 A A sinw0t d cosw0t 0 Ortalama t ye bağımlı değil.

7 7 Rastgele Süreçlerin Karakterizasyonu Örnek (Devam): RX t t E X t X t E A w0t w0 w0t sin sin cos cos A RX t, t E cosw0 E cosw0t w0 A cos 0 Sadece zaman farkı 'ya bağımlı, sin sin w R

8 8 Rastgele Süreçlerin Sınıflandırılması X t rastgele süreci için Her sabit süreçtir. Her sabit t için t için X t sürekli rastgele değişken ise X t SÜREKLİ rastgele Xt kesikli rastgele değişken ise X t KESİKLİ rastgele süreçtir. Bütün marjinal ve ortak OYF ler zaman orijini seçimine bağlı değilse, bir başka deyişle bütün karakteristikler zamandan bağımsız ise KATI ANLAMDA DURAĞAN süreç denir (Strictly Stationary Process). Sürecin ortalama ve özilintisi zaman bağımlı değilse GENİŞ ANLAMDA DURAĞAN süreç denir (Wide Sense Stationary (WSS) process). t E X t zaman değişkeni 'ye bağımlı değil R t, t R t t R her t ve t için X X X Sürecin karakteristikleri zaman bağılı ise süreç durağan değildir denir (Nonstationary process).

9 9 Rastgele Süreçlerin Sınıflandırılması X t rastgele süreci için Sürecin BEYAZ (White Process) olması aşağıdaki gibi eşdeğer tanımlardan her hangi biri ile verilmektedir. o Farklı zaman anları için sürecin değerleri ilintisizdir. o Farklı zaman anları için otokovaryans her zaman sıfırdır. o Farklı zaman anları için özilinti, beklenen değerlerin çarpımı olarak yazılabilmektedir. CX t, t 0 ya da RX t, t E X t E X t t t Her örnek fonksiyon xt için sürecin topluluk ortalaması (yani ortalaması) zaman ortalamasına eşit ise süreç ERGODİK tir denir. T E X w, t lim xtdt, verilen bir w T T T

10 0 IID Rastgele Süreç: Eğer kesikli zaman süreci X n bağımsız ve özdeşçe dağılmış rastgele değişkenler dizisinden oluşuyor ise bu sürece IID Rastgele Süreç denir. Bir Boyutlu Rastgele Yürüyüş: D n, değerini alabilen rastgele değişkenlerin IID rastgele süreci olsun. Bu duruma karşılık gelen toplama süreci S n bir parçacığın n. andaki pozisyonu olsun. Rastgele süreç sürecinin bir örnek fonksiyonu aşağıdaki gibidir. S n bir boyutlu rastgele yürüyüş için bir örnektir. S n

11 Winer Süreci: Wiener rastgele süreci (ya da Wiener-Levy ya da Brownian Hareketi) rastgele yürüyüşün limit formudur. Her saniyede her yönde eşit olasılığa (equiprobable) sahip, bağımsız, genlikli adımlar atılıyor olsun. Sürekli zaman süreci X t, t anına kadar olan adımların toplamı olmak üzere t X bir basamak fonksiyonudur ve her saniyede yapar. t anında süreç n t tane sıçrama yapmış olacaktır. X t nin ortalama ve varyansı t X t h D D D hs n 0 h h genlikli sıçrama E X t he S n var X t h nvar D h n, var D 4p p, p n n

12 Hem adımların genliğini hem de adımlar arasındaki zamanın limiti alınarak sıfıra götürülsün. Özel olarak bir sabit olmak üzere h şeklinde tanımlanırsa ve h 0, 0 X t olsun. götürüldüğünde ortaya çıkan süreç X t sürecinin ortalama ve varyansı olur. E X t 0, var X t t X t sürecine Winer Süreci denir ve t=0 da sıfır değerini alır. 0 olur. Dolayısı ile durumunda n t X t sonsuz tane rastgele değişkenin toplamını göstermeye başlar. Merkezi limit teoremi kullanılarak X t nin OYF si f x exp x t X t t

13 Wiener süreci beyaz gürültü sahiptir. Stokastik Süreçler nt ile aşağıda verilen şekilde bir ilişkiye t 0 w t n d E n t n t t t Markov Süreci: Markov süreci aşağıda verilen Markov özelliği ile tanımlanır. p x t x, t p x t x t, t t t anına kadar olan geçmiş, sürecin t anındaki değeri ile tamamen karakterize edilebilir. Şu an biliniyor ise gelecek geçmişten bağımsızdır. Wiener süreci Markov özelliği gösterir ve n, t, t, Xt t t X t X t n d den bağımsızdır. Beyaz gürültü ile sürülen bir sistemin durumu Markov sürecidir. xt f t, xt, nt 3