Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Transkript

1 Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28

2 2

3 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları Olasılık

4 4 İÇINDEKILER

5 Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 1.1 Olasılık Rastlantısal süreçlerin analizi olasılık ve istatistiğin matematiksel alanlar olarak odaklanmasıdır. Basit bir örnek olarak para atma gösterilebilir. Yazı yada tura gelmesinin %5 şansı vardır. Raslantısallıktan dolayı, veri bir atış sayısından hareketle kaç kere yazı geleceğini bilmek olanaklı değildir. Fakat herbir olanaklı çıktının olabilirliği hesaplanabilir. Yazı için Y, tura için T kullanıldıında atılan iki demir paranın olanaklı dört çıktısı olacaktır; YY, YT, TY, TT. Herbirinin olbilirliği eşittir, dolayısıyla olasılık 1 olarak bulunacaktır. Bunun anlamı, ortalamada, her bir olay denemelerin dörtte birinde 4 gerçekleşecektir. Başka bir değişle, göreceli sıklık, olayların denemeler çok sayıda olduğunda, yaklaşık olarak 1 kere gerçekleşeceğini söylemektedir. 4 Yazı gelme olayının sayısının kaydedildiğini düşünelim. İki kere yazı gelme olasılığı 1, bir kere yazı gelme olasılığı 2 (çünkü iki farklı olay olarak yazı 4 4 gelebilir YT ve TY) ve hiç yazı gelmeme olasılığı 1 olacaktır. Genellikle bu 4 tarz veriler histogram ile gösterilmetedir (Şekil (1.1)). Şimdi sekiz adet para atılsın. Buna göre gelecek yazı sayısı tabloda verilmiştir ve histogramı da gösterilmiştir. Olasılıklar toplamı bire eşittir (ya da %1 yani herhangi bir denemede olanaklı çıktılardan biri gerçekleşecektir). Bu durum olasılık teorisinin en önemli özelliğidir. Diğer bir özelliği toplama prensibidir. 6, 7 veya 8 yazı gelme olasılığını hesaplamak için (ya da mutually exclusive çıktıları) bireysel olasılıklar toplanmalıdır. P (6, 7, yada 8) = =

6 6 BÖLÜM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI Şekil 1.1: İki Demir Para Atışının Histogramı Şekil 1.2: Sekiz Demir Para Atışının Histogramı Bu hesaplamanın grafiksel yorumu çok açıklayıcıdır. Şekil (1.2) deki histogramda, herbir dikdörtgenin genişliği 1 dir. O zaman her bir dikdörtgenle ilişkili olasılık diktörgenin alanına eşittir. Yazı Sayısı Olasılık Grafiksel ifadelerle incelersek, Böyle bir histogramın toplam alanı 1 dir ile 8 arasında yazı gelme olasılığı 6 ile 8 in bulunduğu alanların toplamıdır

7 1.1. OLASILIK 7 Burada dikkat edilmesi gereken bütün olasılık olaylarının yazı turanın hoş teorik yapısı gibi yapıları yoktur. Örneğin, rastlantısal olarak seçilmiş bir kişinin boyunun 1.9 ya da 1.95 olma olasılığını bulmanın yolu farklıdır. Bu durumda olasılık ile göreceli sıklık arasındaki ilişki kullanılmaktadır. Çok sayıda insanın boyunun verisi yardımcı olacaktır. Elimizde şöyle bir veri olsun. Boy < >1.73 Kişi Sayısı Anketteki toplam kişi sayısı 1 dir boya sahiplerin göreceli sıklığı =.134 dür yada olma olasılığının tahmini =.289 olacaktır. Şekil (1.3) histogramı göstermektedir Şekil 1.3: Boyların Göreceli Sıklığının Histogramı Burada aradaki farklar artık 1 değildir..1 şeklinde artmaktadır. Her nekadar genişlik 1 ile gösterilse bile alanı.1 ile çarpmamız bize olasılığı verecektir il 1.69 arasında n boy aralığı olsun. x santimetre cinsinden boyu ve f(x), x değerini içeren aralık için histogramdaki boy olsun. Buna göre, x 1 = , x n 2 = şeklinde devam edecektir. Böylece, n x i = i olduğu açıktır. Buna göre, x = 1 bulunacaktır. Raslantısal n n seçilmiş bir kişi için, boyunun 1.68 ile 1.73 arasında olma olasılığı aşağıdaki şekilde verilebilir; P (1.68 x 1.73) f(x 1 ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x = n f(x i ) x i=1 (1.1)

8 8 BÖLÜM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI n sayısı arttıkça, histogramın köşelerden kurtulduğu ve smoothing olduğu görülecektir.,4,3,2, Şekil 1.4: Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ve Histogram Bu limite giden f(x) fonksiyonuna, olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilmektedir. Herhangi bir i = 1, 2,..., n için, f(x i ), x i boyunun olasılığını vermemektedir. Bunun yerine, çok küçük x değerleri için, f(x i ) x miktarı [x i 1, x i ] aralığındaki boyların yaklaşık olasılığını vermektedir. Eşitlik (1.1) e dikkatlice bakıldığında, ve n değeri arttığında ne olacağını düşünelim. Sağdaki Riemann toplamı b f(x)dx integraline yaklaşmalıdır. a Buna göre, 1.68 ile 1.73 integralinin limiti aşağıdaki gibi olacaktır; lim n n f(x i ) x = i= f(x)dx Dolayısıyla, olasılıkları hesaplamanın direk yolu bulunmuştur. Bazı tanımlarla tartışma özetlensin. Ayrık (discrete) olasılık dağılımı için aşağıdaki örneği inceleyelim. (ayrık kelimesi belirli sonlu kümelerde yada sabit dizilerde işlem yapıldığını belirtmektedir). Örneğin, yazı-tura olayında yazı sayısı tam sayıdır. Ancak, bir çok dağılım sürekli dir. Raslantısal değişken belirli bir aralıktaki sayılardan oluşmaktadır. Sürekli dağılımlar için, histogram olasılık yoğunluk fonksiyonunun (pdf) grafiğidir. Şimdi pdf i tanımlayalım.

9 1.1. OLASILIK 9 Tanım 1.1. X, a x b ile herhangi bir x değeri için varsayılmış bir rastlantısal değişken olsun. X için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlayan bir f(x) fonksiyonudur; 1. a x b için f(x) dir. (pdf hiçbir zaman negatif olamaz.) 2. b f(x)dx = 1 (Toplam olasılık 1 dir.) a 3. c ve d arasında gözlemlenen X değerinin olasılığı bu aralıktaki olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği altında kalan alandır. Yani, P (c X d) = d c f(x)dx Örnek 1.1 (Herhangi Bir aralıkta bir fonksiyonun pdf olup olmadığının doğrulanması). f(x) = 3x 2 fonksiyonunun [, 1] aralığında pdf olarak tanımlandığını gösterelim. Bunun için tanım (1.1) deki (1.) ve (2.) özellikler doğrulanmalıdır. Açıkça, f(x) dır. 2. özellik için, bu aralıkta pdf in integrali alınmalıdır; 1 = 3x 2 dx = x 3 1 = 1 Örnek 1.2 (pdf kullanarak olasılıkların tahmini). f(x) =.4 2π e.8(x 68)2 olasılık dağılım fonksiyonu olsun. x değerinin 68 ile 69 arasında bulunma olasılığı için aşağıdaki integralin çözülmesi yeterlidir; P (68 x 69) = π e.8(x 68)2 dx Örnek 1.3 (Üssel pdf ile olasılık hesabı). Belirli bir marka ampulün yıl olarak ömrü üssel olarak dağılan bir pdf e sahiptir: f(x) = 4e 4x. Buna göre 3 aydan daha az ömre sahip olma olasılığını bulunuz. İlk olarak rastlantısal değişken ampülün ömrünü yıl olarak ölçtüğünden 3 aylık zaman dilimi yıllık olarak 1 şeklinde yazılabilir. Buna göre olasılık; 4 P ( x 1 ) = 4 1/4 4e 4x dx = 4 = e 1 + e = 1 e ( ) 1 e 4x 1/4 4

10 1 BÖLÜM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI Örnek 1.4 (PDF in Katsayısını Belirleme). x 1 ve bazı c sabitleri için, herhangi bir rastlantısal sayı için pdf f(x) = ce 3x olsun. Buna göre fonksiyonun pdf olabilmesi için c ne olmalıdır? İlk olarak bütün x [, 1] değerleri için, pdf olabilmesi için, f(x) = ce 3x olmalıdır. Buna göre, c olacaktır. Ayrıca bu aralıkta integralin değeri bire eşit olmalıdır. Böylece, 1 ( 1 = ce 3x dx = c 1 ) e 3x 1 3 = c 3 e 3 + c 3 = c 3 (1 e 3 ) Buradan, c = e 3 Tanım 1.2. f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu ile [a, b] aralığında rastlantısal değişkenin ortalaması (µ) aşağıdaki şekilde olacaktır; µ = b a xf(x)dx Ortalama, rastlantısal değişkenler için yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak, istatistikçiler için tek ölçüt değildir. Diğer alternatifi medyan olarak adlandırılmaktadır. Rastlantısal değişkenin yarısı bu değerde yada altında diğer yarısı da bu değerde yada üstündedir. Örnek 1.5 (Bir grup hücrenin ortalamasını ve medyanını bulma). Günlük olarak tek hücreli bir organizmanın yaşı k = 1 ln 2 ile, f(x) = (ln 2)e kx 2 olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. Aralık x 2 varsayımı, bir hücrenin iki günlük olunca ikiye ayrılmasından yapılmaktadır. Buna göre, (a) hücrelerin ortalama yaşı kaçtır, (b) ortalamadan daha genç hücrelerin oranı nedir ve (c) hücrelerin yaşlarının medyanı nedir? (a) için, tanım (1.2) den hareketle, ortalama aşağıdaki gibi olacaktır. µ = 2 x ln 2e (ln 2)x/2 dx Burada integral sayısal olarak çözülebilir. Çünkü integrandın anti-türevi yoktur. (b) için, ortalamadan daha genç hücrelerin oranı ortalamadan daha genç hücrenin rastlantısal olarak seçilme oranı demektir. Buna göre, bu olasılık

11 1.1. OLASILIK 11 aşağıdaki gibi hesaplanacaktır; P ( X µ) = ln 2e (ln 2)x/2 dx Burada da integral sayısal olarak çözülebilir. Çünkü integrandın anti-türevi yoktur. (c) için, aşağıdaki integral c sabiti için, çözülmelidir;.5 = c e (ln 2)x/2 fonksiyonunun anti-türevi 2.5 = c ln 2e (ln 2)x/2 dx = ln 2 ln 2e (ln 2)x/2 dx ln 2 e(ln 2)x/2 olduğundan, ] c [ 2 2)x/2 e(ln ln 2 İki taraftan da 2 çıkarıldığında ve -2 değerine bölündüğünde, (ln 2)c/2.75 = e = 2e (ln 2)c/ Buna göre, c, ln.75 = (ln 2)c/2 2 ln.75 c = ln 2.83

12 12 BÖLÜM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI

13 Kaynaklar 13