Sistem Dinamiği. Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Transkript

1 Sistem Dinamiği - Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü Doç.

2 Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası Şekil No Tablo numarası Dikkat Doç. Bölüm 1 2

3 içerik: Diferansiyel denklemler Laplace Dönüşümü Laplace kullanılarak eşitliklerin çözümü Kesirlere ayırma yöntemi Cevap parametreleri ve kararlılık Transfer fonksiyonu Impuls ve pay dinamikleri Uygulama örnekleri MATLAB ile katsayı hesaplama MATLAB ile transfer fonksiyonu analizi 3

4 Giriş: Dinamik modeller, bir dinamik sistemi tanımlayan diferansiyel denklemlerdir. Bu bölümde mühendislik uygulamalarında sık kullanılan diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri üzerinde durulacaktır. 4

5 2.1.Diferansiyel Denklemler: 5

6 ODE (ordinary differential equation) adi diferansiyel denklemler kısmi türevler içermeyen denklemlerdir. Çünkü sistem dinamikleri zamana bağlıdır. ODE lerin bağımsız değişkeni zaman (t) parametresi olacaktır. 6

7 Tanımlar: Tüm fonksiyonların bağımlı değişkenleri eşitliğin sol yanında ve tüm izole sabitler ve izole fonksiyonlar ise eşitliğin sağ yanında yer alır. Eşitliğin sağ yanına giriş yada zorlama fonksiyonu denir. Zamana bağlı bağımlı değişken çözüm yada yanıt (cevap) adını alır. Bağımlı değişken x(t): Yanıt veya çözüm Cevap veya giriş 7

8 Başlangıç koşulları: ODE Çözüm x(t) yi bulmak x(t)=ce -3t +0.5 C:sabit Herhangi bir anda x in özel bir değerini bilmiyor isek C bulunamaz. t 0 : t=0 anı (başlangıç zamanı) x 0 : başlangıç koşulu (t 0 anında x in değeri) 8

9 Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması: Diferansiyel denklemleri lineer ve nonlineer olarak sınıflandırabiliriz. Lineer dif. denklemde; bağımlı değişkenler ve bunların türevleri lineer fonksiyonlardır. Bağımsız değişkenin nonlineer fonksiyonu bir diferansiyel denklemi nonlineer yapmaz (aşağıdaki örneklerde t bağımsız değişken). Aşağıdaki denklemler lineerdir: 9

10 Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması: Aşağıdaki denklemler nonlineerdir. 10

11 Değişken ve sabit katsayılı dif. denklem: Değişken katsayılı dif. denklem Sabit katsayılı dif. denklem Sabit katsayılı dif. denklemleri çözerken başlangıç koşulları genelde 0 alınır. Bu çözümü basitleştirir. bağımlı değişkenin en yüksek dereceli türevinin derecesi denklemin derecesi kabul edilir. Aşağıda 2. derece bir dif. denklem verilmiştir. Bağlı (kuple=coupled) diferansiyel denklem 11

12 Direk integrasyon ile çözüm: 12

13 13

14 Değişkenlerin ayrılması: 14

15 Örnek

16 Şekil

17 Kökler ve Kompleks Sayılar: Tablo Kökler ve kompleks sayılar 17

18 Kökler ve Kompleks Sayılar: 18

19 Şekil Şekil

20 Tablo Eksponansiyel Fonksiyon 20

21 2.5. Cevap Parametreleri ve Kararlılık 21

22 Giriş: Genel olarak sistem dinamiklerindeki diferansiyel denklemler lineer ve sabit katsayılıdır. Herbiri genel olarak sağ-yanlıdır. Temel olarak birinci derece ve ikinci derece olmak üzere iki tipte bulunur: Birinci derece: İkinci derece: 22

23 Tablo Sabit bir giriş için Çözüm Formları 23

24 Sistem davranışının (cevap veya çözüm=response) değerlendirilmesi: 24

25 Sistem cevabının yorumu: Osilasyon Eksponansiyel azalma Sonuç 25

26 26

27 Zaman Sabiti (Time Constant) 27

28 Birinci dereceden sistem cevabı: Aşağıdaki formda tekrar yazarsak: : zaman sabiti olmak üzere: Zaman sabiti, sistemin geçici durumu ve kalıcı hale ne zaman ulaşacağı konusunda bilgi verir. 28

29 Zaman Sabiti: 4 Şekil Sistem cevabı MKT3131 Sistem Dinamiği 29

30 Zaman sabiti: Zorlanmış fonksiyon sabit ise; 30

31 Zaman sabiti: t=4tao sürede %98 kararlı hale gelir, t=5tao sürede ise %99 kararlı hale gelir. Buradaki fark çok küçük olduğundan genellikle mühendislik problemlerinde 4Tao süre kararlı hale gelme süresi olarak tanımlanır. Diğer yandan x(t) fonksiyonu sonsuza kadar tam olarak kararlı hale oturmayacaktır. 31

32 Örnek 2.5.1: Tablo den 32

33 Baskın kök yaklaşımı (Dominant root approximation): 33

34 Dominant kutup ve dominant zaman sabiti: Örnek de iki adet geçici zaman yanıt terimi vardır. Bunlar e -2t ve e -5t dir. x(t) nin zaman yanıtı incelenir ise e -2t nin diğer terime göre daha geç 0 a gittiği görülür. Yani bu terim zaman yanıtını daha çok etkiler. Bu nedenle bu terime baskın kutup adı verilir. Aynı terimin zaman sabitine ise baskın zaman sabiti denir. Ancak unutulmaması gereken bu terimlerin C 1 ve C 2 katsayılarının birbirine göre durumlarının da dikkate alınması gerekliliğidir. Geçici durum yaklaşık olarak ne zaman tamamlanacaktır??? 4Tao sürede. t=4x(1/2)=2 sn 34

35 Örnek (3.2.3 for 2nd Ed.):İkinci derece sistem cevabı, Kompleks Kökler 35

36 Örnek için sistem cevabı: Örnek c=0, x(0)=10, dx(0)/dt=0 Kökün negatif gerçek kısmının etkisi 1,33 Her çift aynı zaman sabitine sahip 36

37 Zaman sabitleri ve Kompleks Kökler 37

38 Örnek: İkinci derece, İmajiner Kökler 38

39 Doğal Frekans (Natural Frequency): 39

40 Doğal Frekans Tanımı: 40

41 Doğal frekans tanımının yorumu: Sistem cevabı sabit genlikli bir osilasyon sinyalidir. Genlik başlangıç koşullarına bağlıdır. Osilasyon frekansı ve periyot başlangıç koşullarından bağımsızdır. 41

42 Sönümlü(bastırılmış) doğal frekans (damped natural frequency) 42

43 43

44 44

45 Sönümlü doğal frekans 45

46 46

47 Sönümlü doğal frekansın yorumu: En büyük osilasyon frekansı c=0 da mümkündür. Bu durumda w n =w d olur. Eğer c yeterince büyük ise w d sıfır veya imajinerdir. Kökler reeldir ve osilasyon yoktur. w d =0 ve kökler reel ve birbirine eşit ise bu değer kritik sönüm değeri olarak adlandırılır. Eğer c>2sqrt(mk) ise cevap eksponansiyel Eğer c<2sqrt(mk) ise cevap osilasyon yapan bir sinyaldir. 47

48 2.5.7 Sönüm Oranı (Damping Ratio): 48

49 Sönüm oranı: Eğer iki kökte negatif veya negatif gerçek kısıma sahip ise 2. derece sistemin zorlanmamış cevabı sönüm oranı tarafından karakterize edilir. Bazen sönüm faktörü olarak da adlandırılabilir. 49

50 Sönüm oranı: Sönüm oranı bize sistem cevabının karakterini kolayca yorumlamamıza yardım eder. 50

51 51

52 52

53 53

54 Tablo İkinci derece modellerin cevap parametreleri: 54

55 2.5.8 Kararlılık (Stability): 55

56 Kararlılık ile ilgili kavramlar: Kararsız (unstable): Bir sistemin zorlanmamış cevabı, zaman sonsuza gittikçe sonsuza gidiyor ise o sistem kararsızdır. Kararlı (stable): (asimptotik kararlı da denir) Bir sistemin zorlanmamış cevabı, zaman sonsuza gittikçe 0 a yaklaşıyor ise o sistem kararlıdır. 56

57 Kararlılık ile ilgili kavramlar: Kritik kararlı (critically stable=neutral stability): Sistemin zorlanmamış cevabı kararlılık ve kararsızlık sınırında ise sistem kritik kararlıdır. Sistemin zorlanmamış çözümü sonsuza veya 0 a yaklaşmaz. 57

58 Bir sistemin kararlılığı karakteristik denklemin kökleri incelenerek tespit edilir. 58

59 59

60 60

61 2. derece sistem yorumları: Şekil

62 Lineer sabit katsayılı modellerin kararlılık testi: Bir modelin herhangi bir kökü pozitif reel kısma sahip ise kararsızdır. Bir model sadece ve sadece karakteristik denkleminin tüm kökleri negatif reel kısma sahip ise kararlılıdır. Bir modelin gerçek kısımları sıfır olmak üzere imajiner eksen üzerinde en az bir katsız kök bulunması ancak katlı kök bulunmaması ve sağ yarı düzlemde hiçbir kökün bulunmaması durumunda kritik kararlıdır. 62

63 Sarkaç örneği: 63

64 Sarkaç hareketinin kararlılık açısından yorumu: Sürtünme yok ise kritik kararlı dır. Sürtünme var ise sistem başlangıç pozisyonuna döner. Kararlıdır. Şekil

65 Routh-Hurwitz Durumu: 65

66 Routh-Hurwitz Kriteri: Karakteristik denklemi ms 2 +cs+k=0 formunda olan sistemler için m, c ve k katsayılarının işaretleri aynı ise sistem kararlıdır. 66

67 Kararlılık ve denge (equilibrium) 67

68 Değişiklik olmama durumuna denge denir. Sarkaç eğer menzili teta=pi ise teta=0 derece konumunda dengededir. Teta=0 da dengede kararlıdır. Teta=pi denge konumunda ise kararsızdır. Bu durum bize farklı denge durumlarında kararlılığın değişebildiğini göstermektedir. Dolayısı ile sistemin tek başına fiziksel özelliklerine göre değil dengede bulunduğu yerlere göre kararlılık yorumlanmalıdır. 68

69 Lokal ve global kararlılık: Vadi denge Tepe denge Vadinin alt ucunda sürtünme yok ise top sonsuza kadar salınır. Kritik kararlı. Eğer sürtünme var ise vadi tabanında durur. Kararlı. Sürtünme var ise vadi dengesi lokal kararlı fakat global kararsız. Çünkü büyük bir kuvvet ile biz vadiden topu dışarı gönderirsek asla dönmeyecektir. Bir dengenin global kararlı olması için sistemin başlangıç koşullarına dönüş şarttır. Tepe noktada ise denge global kararsızdır. Lineer modeller için kararlılık analizi karakteristik denklemin kökleri kullanılarak global anlamda yapılabilir. Ancak nonlineer sistemler bu inceleme lokal kararlılığı verilen bir denge noktası civarında yapılabilir. 69

70 2.6. TRANSFER FONKSİYONU 70

71 Transfer fonksiyonu: dx/dt+ax=f(t) (2.6.1) x(0)=0 kabul edelim. sx(s)+ax(s)=f(s) T(s)=X(s)/F(s) T(s): Transfer fonksiyonu Transfer fonksiyonunun paydası karakteristik denklemdir. Sistem kararlılığı buradan analiz edilir. Birden fazla giriş ve çıkış olan sistemlerde (MIMO) transfer fonksiyonları girişler için ayrı ayrı elde edilir. Sadece bir giriş aktif edilerek çıkışlar bulunur. Daha sonra süperpozisyon yaklaşımı uygulanır. 71

72 Örnek

73 Çözüm 2.6.2: 73

74 Çözüm 2.6.2: 74

75 Çözüm 2.6.2: 75

76 2.7. Impuls ve pay dinamikleri: 76

77 2.7.1 Impuls Şekil Darbenin kuvveti L Hospital Limit Kuralı: Eğer A= 1 ise birim impuls adını alır. Dirac delta olarak da adlandırılır ve dinamik sistem analizinde sık kullanılır. 77

78 Pay dinamikleri: Giriş (g(t)) nin türevi transfer fonksiyonunun payına bir s terimi ekledi. Bu tip modellere pay dinamiklerine sahiptir denir. Eğer g(t), u s (t) ise 78

79 2.8. Ek örnekler: Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek

80 Örnek

81 Örnek

82 nin özeti: 82

83 Diferansiyel denklemler ve Laplace transformasyonu Zorlanmamış, zorlanmış, geçici hal ve kalıcı hal yanıtları İmpuls giriş ve girişin türevlerinin sistem cevabına etkileri Doğal frekans, sönüm oranı, zaman sabiti Kararlılık 83

84 Referans: System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education; 3 edition (March 19, 2013)