ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

Transkript

1 Dnm Sınavı 8.8. Çözümlri Soru. Yatay bir masa üstünd, y koordinat sistmi yüzrind çizilmiş, karli bir dftr yaprağı kayarak harkt tmktdir. Bilinn bir anda koordinatları (;3) olan A noktasının hızın büyüklüğü m/s dir v ksnin yönüdür, koordinatları (;) olan B noktasının hızının yönü is aynı anda ksn il 45 bir açı yapıyor. Kâğıdın noktaların hızların büyüklüğü m/s dn büyük olmayan, kâğıdın hangi bölgsind bulunmaktadır? (Cvap: mrkzi (;) noktada, yarıçapı is r=3cm olan daird) Çözüm: Yaprağı bir katı cisim olarak kabul dlim v koordinat sistmin başlangıç noktasını (;3) noktasında alalım, yani O ( ; y) = (;3) (;3) = (;), buna gör ikinci noktanın koordinatları ( ; y ) = (;) (;3) = (; ) oluyor (msafnin birimi cm dir). Vrilr gör yaprak döngüsl bir harkt yapmaktadır v ani hızı sıfır olan noktanın konumu ( ; y ) vriln noktalardan gçn v hızlara dik olan doğruların ksit noktasıdır, çünkü tanım olarak yaprağın hr hangi bir noktasının hızı v ( ) = v( ) + ω = ω şittir, burada ω dönm açısal hızdır (yaprağın düzlmin diktir). ( ;) noktasından gçn v v dik olan doğrunun dnklmi = dır; v dik v ( ; y ) tn gçn doğrunun dnklmi is y y = ( ) dnklmidir, burada k =± tan(45 ) =± v y parall olan doğrunun k ğimidir. Vrilr gör k =, yani y y = ( ). Bu iki doğrunun ksit noktası için v = v y = 3, yani ( ; y ) = (; 3). Buradan açısal hızının büyüklüğü için ω= O buluruz. Buradan ani hızı v dn küçük olan noktalar yarıçapı v v R = = O mrkzi is da olan bir dair oluşturuyor. ω v Vrilr gör v = v= cm / s, yani R= O = 3cm, noktanın koordinatları is ilk koordinat sistm gör is ; y ) = (; 3) + (;3) (;),(şkildki gibi) ( =

2 Soru. Şkildki vriln makara sistmind tüm makaralar türdştir v makaranın kütlsi nrdys inc olan kslin düşr. İpi A noktasında ktsimizd makaraların ivmlrini bulunuz. İp mükmmldir, ipin srbst kısımları (makara dışı) 6 9 diktir. (Cvap: g v g ) 7 7 Çözüm: akaraların kütllrini noktasal kütl gibi alıp şkli aşağıdaki gibi çizbiliriz. İpin grilmsini T, yr çkim ivmsini g = v kütl = olarak alalım. Sağ kütlnin harkt dnklmindn T = a ivm için a= T buluruz. Aynı şkild sol kütl için d aynı ivmyi buluruz: a= T. akaraların kinmatik dnklmlrindn kütlnin ivmsi ipin sağ ucunun ivmsi artı a sol ucunun ivmsinin yarısına şittir, + a a=. Sağ ucunun ivmsi is kütlnin ivmsinin iki katıdır, yani ikinci makara için 3 T + = ( a+ a) / dnklmini yazabiliriz. Buradan T = a, yani T = a = a vya sağ makaranın ivmsi a =. Buradan sol makaranın ivmsi a 9 = y şittir (ivm birimi is g dir). 7

3 Soru 3. Kütlsi, ğim açısı α olan ğik bir düzlm pürüzsüz yatay bir masa üstünd bulunmaktadır. Kütlsi m olan küçük bir cisim v hızı il masa üstünd harkt tmktdir v ğik düzlm çarpmadan (ğik düzlmin başlangıç noktasında masadan düzlm gçiş yuvarlak bir şkild yapılmıştır) düzlm yukarıya doğru çıkmaya başlıyor. Küçük cisminin ğik düzlmin tpsin kadar çıkması için ğik düzlmin yükskliği, H, n kadar olmalıdır. Küçük cisim ğik düzlmdn ayrıldıktan sonra ğik düzlm nasıl bir hız il harkt dcktir? v v (Cvap: H = ; cisim ğik düzlmi atlatmama durumda düzlmin hızı ) g m m + + v Çözüm: m=, g= v v = mkaniğin birimlri olsun. Buna gör msaf birimi l = g oluyor. Küçük cisim ğik düzlmin tpsini çıkıp tpyi atlamazsa tpdki konumda hızı tamamn düzlmin hızına şittir. omntum (yatay yönd) v nrji koruma yasasına gör ( + ) u = () (+ ) u + H = () Burada u cismin v ğik düzlmin o andaki hızıdır. ()-() sistmdn H = y şit + olduğunu buluruz v standart birimlrd m v H = l =. Küçük cisim ğik g m + + m düzlmdn ayrıldıktan sonra yin momntum v nrji koruma yasalarına gör v + u= (3) v + u = (4) Burada v cismin, u is o andaki ğik düzlmin hızıdır. (3)-(4) sistm gör u= vya + v standart birim biçimind u=. m + Eğr küçük cisim tpy varamazsa vya tpy varıp tpyi atlatırsa cismin tpdki konumunda hızının diky bilşni sıfır dğildir: v = u+ v cosα, (5) v y = vsinα burada v cismin ğik düzlm gör hızıdır. omntum v nrji koruma yasasına gör v + u=, yani v + v y + u + H = u+ v cosα + u= (6) v + uv cosα+ u + H = Sistm (6) yı u ya gör çözdüğümüzd ğik düzlmin hızını cisim düzlmi atlattığı anda buluruz.

4 Soru 4. Pistonlu bir silindir içind mol hlyum bulunmaktadır. Gaz yavaş bir şkild ısıtılıyorkn gazın hacmi artıyor fakat silindirin harktsiz duvarına birim zamanda molkül çarpması dğişmiyor. Böyl bir sürçt gazın ısı kapasitsini bulunuz. (Cvap: C=R) dn Çözüm: Tanım olarak birim zamanda bir duvara çarpan molkül sayısı = j ds, burada j dt molkül akı yoğunluğu, ds is duvardaki çarpılan küçük alanın vktörüdür. Bir yavaş sürçt dn 8kT N idal gaz için = j ds= nvds = n ds, burada n= birim hacimdki molkül dt 4 4 πm V sayısı, 8kT v= is molküllrin ortalama hızıdır. Vrilr gör N=N A (mol gazda 4 πm dn N A 8kT Avogadro N A sayısı kadar molkül bulunmaktadır) v = ds = sabit, yani dt 4 V πm T = av () burada a bir sabittir. Bir sürçt ısı kapasitsi tanım olarak C = δq dir v trmodinamiğin dt birinci yasasına gör bir idal gaz için gaza vriln ısı δ Q= CV dt + δw y () şittir, burada C V sabit hacim ısı kapasitsi, δw is gazın yaptığı iştir. Sürç yavaş olduğuna dv gör hr bir anda idal gazın durum dnklmi gçrlidir, buradan δ W = pdv = p dt y dt dv V V R şittir. Dnk() gör = =, yaniδ W = p dt = dt. Bu ifadyi dnk() y dt av T T R R yrlştirdiğimizd δq= CV dt + dt = CV + dt = RdT buluruz. Burada bir atomlu 3R mol gazın ısı kapasitsi C V = y şit olduğu varsayılmıştır. Sonuçta sürcin ısı Q kapasitsini C = δ = R olarak buluruz. dt

5 Soru 5. Çapları D olan üç tan dairsl mtal saçları, aralarındaki msaf d (d<<d) olarak birbirin parall durumdadır (üçünün d ksni aynı doğrudur). Ortadaki saçın yüzyind homojn dağılımlı Q miktarda bir yük bulunmaktadır, knardaki saçlar is yin homojn şklind yüklüdür ama hr birind bulunan yük Q dur. Dairlrin mrkzlrind lktrik alanın potansiylini bulunuz. Etrafta başka cisim bulunmamaktadır. (Cvap: ortadaki dairnin 4Qd potansiyli, knarlardakilrin is sıfırdır) ε πd Çözüm : Dairlr sınırlı olduğuna gör potansiylin rfrans noktasını sonsuzda sıfır almak uygundur. Aynı anda ortadaki dairyi yükü +Q olan iki tan bir biriyl yapıştırılmış özdş dairlrdn olduğunu kabul dbiliriz (şkildki gibi). Dairlr arasındaki msaf d vrilr gör dairlrin çapından çok daha küçüktür (d<<d), dolayısıyla dairlr arasındaki bölgd v dairlrin dışında fakat dairlr çok yakın bölglrd sistmin lktrik alanı iki parall plakalı kondansatör sistmin lktrik alanına özdştir (bu modlin sası dairlrin ksnind is çok yüksktir). Yani lktrik alanı (E) dairlr arasında sabit olarak homojndir Q (şkildki gibi). Gauss yasasına gör ES = vya: ε 4Q E= () πε D Plakaların dışında is E. Buradan ϕ Γ = ϕ B = () 4Qd ϕ Β = ϕ Γ + Ed = (3) πε D 4Q Çözüm : Yarıçapı r, yüzy yükü σ = olan homojn yüklü bir dairnin mrkzindn z πd uzaklıkta v dairnin ksnind bulunan bir noktada lktrik alanın potansiyli ϕ = kσ r d( πρ ) ρ + z y şittir, yani ( r + z z) ϕ = πkσ, () burada k = sabittir. Böyl hsaplanan potansiylin rfrans noktası (φ=) sonsuzdadır. 4πε Dnk() y gör v ϕ Γ ϕ = πkσ = Β ϕ = πkσ ( r+ ( r + d d) ( r + 4d d ) d πkσ r + r ( r d) = ( ( r + d d) + r ( r + d d ) 4πkσ ( ( r d) + r) = 4πkσ d = Β 4Qd πε D () (3)

6 Soru 6 Dört dirnçtn oluşan bir köprü grilimi bilinmyn bir pil bağlanmaktadır. Köprünün köşgnind grilimi V olan başka bir pil v 5mA göstrn bir amprmtr sri olarak bağlıdır (şkildki gibi). Köşgndki pilin kutuplarının yrlri dğişinc amprmtrdn gçn akımın yönü dğişiyor v dğri 35mA oluyor. İki pilin yrlrini dğiştirilnd amprmtrdn gçn akım sıfır oluyor. Eğr pillrdn birinin kutuplarının yrlrini dğiştirirsk amprmtr n göstrcktir? (Cvap: 34.6mA) Çözüm: Dvrdki Б v B noktalar arasında aynı akımı grilimi U iç dirnci is R olan bir tkin mk kaynağınla da sağlayabiliriz (şkildki gibi). Grçktn, orijinal dvrd U kaynaktan gçn akım olsun, tkin dvrd is akım olsun. Bu iki dvr özdş olduğuna gör iki dvrd d birim zamanda yapılan iş birbirin şit olmak zorundadır: U + U = U + U, yani U = U = ku, () burada grilimi U, is grilimi U olan pildn gçn akımdır, k = is köprüdki dirnçlr balı olan bir kat sayısıdır. Vrilr gör U U U + U =, = v >, yani U > U, burada amprmtrnin ilk anda r r ölçtüğü akım, is grilimi U olan pilin kutupların yrlrini dğiştirdiktn sonra ölçüln akımdır. Bu vrilr gör U = U = αu = ku () + U v U pillrin yrlrini dğiştirdiğimizd akım sıfır oluyor, yani ku =, (3) U burada ku yni tkin grilimdir. Dnk() v (3) tn α ku = k U = αu, yani k = α = y şittir. (4) + Bu durumda pillrdn birinin kutupların yrini dğiştirirsk amprmtrnin ölçtüğü akım ku = r ku = U + U ku = U + U U + U r k = +α 3 Vrilr gör α = =, k 4 3 k = α =, = = 35mA= mA. + α 7

7 Soru 7. Dirnci r=ω olan inc bir tldn kar şklind bir çrçv yapılıyor v çrçv bir uzun bobin gçiriliyor. Bobindn zamanla linr şklind artan bir akım akıyor. Bu durumda çrçvdki indüklnmiş akımın dğri =5mA dir. Eğr karnin bir knarın yrin bir voltmtr bağlanırsa voltmtrnin okuduğu grilim n kadar olacaktır? Eğr karnin knarını kaldırmasak v sadc kısa tllrl voltmtrnin uçlarını bas timiz knarın uçlarına balarsak voltmtr bu durumda n göstrck? Voltmtrnin dirnci R=kΩ dur. (Cvap: birinci durumda U=.465V, ikinci durumda U=.7V) dφ Çözüm: Faraday yasasına gör hr hangi kapalı bir döngüd indüklnmiş mk ε = y dt şittir. Bizim örnkt bu bir sabittir: Φ = µ nπ r v bobinin akımı zamanla linr şklind dğişiyor, yani dφ d = µ nπ r = sabit. Tldn oluşan döngüd vrilr gör dt dt ε = ı r = 5 ( ma) Ω =. 5V, burada i döngüd indüklnmiş akımdır. Karnin bir knarını voltmtryl ε i 4 dğiştiğind dvrd = = = i akım 3 3 R 43 r+ R r oluşacak v voltmtrnin okuduğu grilim U = i R= V =. 465V şittir. İkinci durumda 43 voltmtr karnin bir knarına parall bağlıdır: okuduğu grilim r r R R U 4 ε = = 4 3V 3 Rr / 4 r+ R r+ r+ R 4 4 R+ r / 4 4

8 Soru 8. Hr birinin kapasitansı C olan iki tan kondansatör sri olarak bağlanıyor (şkildki gibi) v oluşan dvrnin uçları grilimlri U (şkildki sol) v U (şkildki sağ) olan pillrin uçlarına şkildki gibi bağlanıyor. Kısa bir sür sonra dvrnin A v Б noktaları arasına indüktansı L olan bir bobin bağlanıyor. Bobindn gçn akımının aldığı maksimum dğrini v kondansatörlr yüklnn yüklrin maksimum dğrlrini bulunuz. Tllrin dirnçlrini küçük (fakat sıfır dğil!) kabul diniz. Pillri, bobini v kondansatörlri idal olarak kabul diniz. (Cvap: C m = 3U, yüklrin maksimum dğrlri is.5cu v 3.5CU dur) L Çözüm: Bobin dvry bağlandığında kondansatörlr k yük glck: sol kondansatördki yük q = ( Q + Q) = C( ϕ A ( ϕ B + U )), () sağdakind is q = ( Q + Q ) = C( ( ϕ B + U ) ϕ A) olacaktır, () burada Q v Q kondansatörlrin bobin dvry bağlanmadan öncki yüklridir: Q = Cϕ ϕ ) (3) ( A ( B + ) (( ϕ + U ϕ ) U Q C B ) A = (4) Yük koruma yasasına gör A noktasında (bobin bağlanmamış durumda) toplam yük sıfır olmalıdır, yani Q = Q. Buradan v dnk(3-4) tn Q = Q = CU (5) Dnk()-() dn q + q = ( Q + Q ) + ( Q + Q ) = CU. Fakat dnk(3)-(4) d gör ( Q + Q ) = CU. Buna gör ( Q + Q ) = vya Q = Q. (6) Yni duruma sistm çok hızlı şklind gldiğin gör tllrdki ısıyı ihmal dbiliriz v mk ların yaptığı iş sistmin nrjinin dğişimin şittir: ( Q + Q ) ( Q + Q ) Q Q UQ + UQ = L + +, yani dnk(6) dan C C C C ( Q Q ) ( Q + Q ) Q Q 3 UQ = L + + = L + C C C C, buradan Q L = 3UQ. (7) C Buna gör akım Q Q in bir fonksiyonudur v bu fonksiyon maksimum dğri 3 = U C 3 C olduğunda alıyor, yani L ma = UQ, buradan ma = 3U. L

9 Q Bobindki akım sıfır olduğunda kondansatörlrin yükü maksim oluyor, yani = 3U C CU olduğunda. Buradan, q ( Q Q ) = + = 3CU =. 5CU v CU q = ( Q + Q ) = + 3CU = 3. 5CU. Bobindki akım kondansatörlr n boş olduğunda CU CU sıfır oluyor: bu durumda Q = v q = Q =, q = Q =.

10 Soru 9. Çapı D=6m olan büyük parabolik bir yansıtıcının odak noktasında frkansı f=hz olan noktasal bir radyo dalgası kaynağı bulunmaktadır. Difraksiyon sbbiyl kaynaktan çıkan lktromanytik dmti az bir şy açılıyor. Dmtin açısın 3 kr artması için kaynağın yrini paraboloidin ksni boyunca n kadar dğiştirmsi grkiyor? (Cvap:.3F, F-odak uzaklığı) Çözüm: Parabolik bir yansıtıcının odak noktasında bulunan noktasal bir ışık kaynağından çıkan v dalga boyu λ olan bir ışık dmti, kaynak odak noktasında olmasına rağmn, kırınıyor (yanı dmt yansıtıcının ksnin tam parall dğildir, az bir şy açılıyor). Dmtin difraksiyon açısı λ δ = () D mrtbsinddir, burada D yansıtıcının çapıdır. Kaynağı yri odak noktasından yansıtıcının ksni boyunca dğiştirdiğind difraksiyon açı artıyor. Soruda 3λ bu açı δ = kadar olması için yr dğişimi n kadar D olmalıdır soruluyor. Yansıtıcıdan çıkan ışığın v aynanın aynı noktasına trs yönd düşn ışığın yolları aynı olduğu için bu soruyu daha kolay şu şkild sorabiliriz: Parabolik aynanın ksninl δ açı yapan v aynaya düşn ışık odak noktasından n fazla n kadar sapabilir? Tabii ki, ışık aynanın ksnin parall is, fark tmz, ışık aynanın hangi noktasına düşs d ışık aynadan yasıldıktan sonra hp aynanın odak noktasından gçiyor(parabolik aynanın özlliği). Grçktn, şkild ksn parall olan v aynanın (,y ) noktasına aynaya α açısıyla düşn ışın yansımadan sonra düşy ksnin y noktasından gçiyor. Bu noktayı bulmak için yansıma doğrunun dnklmini yazalım: y y = k( ) () Burada k doğrunun ğimidir. Parabolik aynanın dnklmi y= A (3) olduğuna gör yananın (,y ) noktasındaki tğtin ğimi dy tan α = = A y şittir. (4) d Buradan dnk() ki ğim için is π k = tan + α = cot(α ), yani y = y+ cot( α ). (5) Buradan tan α ( A) y = A + = A + = = F (6) tanα 4A 4A Yani ışın hangi noktaya düşs d hp odak noktasından gçiyor, burada F = (7) 4A parabolik aynanın odak uzaklığıdır. Fakat ışın düşy il δ açısı yaptığında v aynanın farklı noktalarına düştüğünd aynanın ksnin farklı noktalarından gçiyor. Şkl gör δ-ışının

11 π π yansıladıktan sonra -ksnl yaptı açı π ( α + δ ) = + α δ olduğuna gör π doğrusunun dnklmi y y = tan + α δ ( ) y şittir vya y= y cot( α δ) ( ) (8) Açı δ << olduğuna gör cot( α δ ) cot α ( δ ) = cot α + δ v sin α sin α dnk(8) şu şkild yazılır: y= y cot( α )( ) δ ( ). = ikn sin α y = y+ cot( α ) + δ (9) sin α Dnk(5) gör ışın odak noktasına gör yr dğişimi δ y y = y şittir () sin α tanα Fakat bu yr dğişimi ışın aynanın düştüğü noktaya bağılıdır. Dnk(4) d gör =, A δ buradan sapma = y y = α açının fonksiyonu olarak buluruz vya kaynaktan sin α çıkan ışının ksndn sapma açısını kaynağın konumunun ( ) fonksiyonu olarak buluruz: 3 δ = 8A sinα cos α () 3 Bu sapmanın maksimum dğri f ( α) = sinα cos α fonksiyon maksimum olduğundadır, df yani = cos α( cos α 3sin α) = olduğunda, buradan tan α =, dα f α) = tanα cos α = tanα v ( ma = ( + tan α) δ = () 8F 3λ Vrilr gör δ =, buradan D 8λF = (3) 3D 8 c 3 Vrilr λ = = m=.3m, D=6m, buradan.3f (Cvap) 9 f

12 Soru. Hafif kütlli v inc duvarlı bir kapta lktrik bir ısıtıcıyla L su ısıtılıyor. Bilinn bir sür içind suyun sıcaklı 6 C olup ısıtmaya rağmn fazla artmıyor. Bu olayın farkına vardığımızda ısıtıcıyı kapatıyoruz. İlk saniyd suyun sıcaklığı C düşüyor. sıtıcının kabında 5W v Türk malı yazıldığına gör bir Türk birim Watt kaç Watt tır? Çözüm: Dng durumunda (suyun sıcaklığı t=6 C ikn) ısıtıcının tüm gücü kaptan ortama Q yayılıyor. Fury yasasına gör W = δ = k( T T ), burada k kabın ısı iltkn kat sayısıdır, T dt δq cm T 4.8( kj / K) K suyun, T is ortamın sıcaklığıdır. Vrilr gör = = = 48W. dt dt ( s) 48 Buna gör TW = =. 84W. Yani bir TW (Türk Watt) normal.84watt tır. 5