Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018

Transkript

1 Küre Küre Üzerinde Hesap Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018

2 Küre ve Küre ile İlgili Tanımlar

3 Küre: «Merkez» adı verilen bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların bir araya getirilmesiyle, ya da bir dairenin herhangi bir çapı çevresinde döndürülmesiyle elde edilen şekildir. Meridyen Dairesi: İki kutup noktasını birleştiren Ekvator'u dik kesen çember yaylarından her birine meridyen denir. Dünya üzerinde belirlenmiş 360 meridyen yayının 180 tanesi Doğu Yarımküre'de 180 tanesi ise Batı Yarımkürede yer alır. Meridyenlerin yerini tayin etmek bakımından İngiltere deki Greenwich Rasathanesi nden geçen meridyen Başlangıç Meridyeni olarak kabul edilmiştir. Ekvator Dairesi: Kabaca kürenin kutup noktaları arasında dünyayı eşit iki parçaya böldüğü kabul edilen en büyük çembere Ekvator dairesi denir. Paralel Daireler : Ekvator dan itibaren kutuplara doğru birer derece aralıklarla çizilen birbirine paralel dairelere, paralel (Enlem) daireleri denir. Bunların sayısı (90 tanesi kuzeyde, 90 tanesi güneyde olmak üzere) 180 tanedir.

4 Büyük Daire: Kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara kesitidir. Ekvator dairesi, meridyen dairesi gibi. Büyük dairenin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir. Büyük daire, küre üzerindeki iki noktayı birleştiren en kısa eğriyi de içerir. (Örn. tüm Meridyen daireleri ve Ekvator dairesi) Küçük Daire: Kürenin merkezinden geçmeyen bir düzlemle ara kesitidir. Örneğin enlem daireleri birer küçük dairedirler. Küresel Uzaklık: Küre üzerinde iki noktayı birleştiren büyük daire yayının kısa olan parçasıdır. Şekilde gösterilen A ve B noktalarını birleştiren büyük daire yayının kısa parçası küresel uzaklık olarak adlandırılır. Küresel Açı: Küre üzerindeki iki büyük daire yayı arasındaki açıklığa küresel açı denir.

5 Küre Üzerinde Bazı Büyüklüklerin Hesabı

6 Kürede Meridyen ve paralel daire yayı Meridyen yayı AB R O R φ Dl R D R R φ C B A D Paralel daire yayı CD R = Küre yarıçapı = Herhangi bir enlemde paralel daire yarıçapı R φ

7 a) Küre üzerinde meridyen yayı hesabı Küre üzerinde meridyen yayı hesabı, meridyen dairesinin geometrisi R yarıçaplı bir çember olduğu için merkez açıyı gören yay eşitliğinden bulunur. R α b b = α ρ R = α 180 π Meridyen yayı R AB = R φ AB= R φ ρ = R φ 180 π R O R D R B A Ekvator yayı da benzer şekilde hesaplanır R =6370 km ile 1 derecelik meridyen yayı ve ekvator yayı uzunluğu km

8 b) Küre üzerinde paralel daire yayı hesabı Küre üzerinde paralel daire yayı hesabı yapmak için önce paralel dairenin yarıçapı R φ bulunur. 90-φ R O R φ Dl R φ C D sin 90 φ = R φ R cosφ = R φ R R φ = Rcosφ Paralel daire yarıçapı

9 Paralel dairenin yarıçapı bulunduktan sonra yine merkez açıyı gören yay eşitliğinden paralel daire yayı hesaplanır. CD = R φ λ ρ Paralel daire yayı CD = R φ λ = R φ λ 180 π = R λcosφ 180 π R O R φ Dl R φ C D

10 Örnek: 39 0 enlemindeki 1 derecelik paralel daire yayı (s)? φ = 39 0 R = 6370km R φ = Rcosφ = m (39 0 enlem dairesinin yarıçapı) 1 derecelik paralel daire yayı s = α 180 π R φ = m

11 SAYISAL UYGULAMA Verilenler a 38 0' 0,0000 b 40 0' 0,0000 l 37 30' 0,0000 R ,243 m İstenen: Meridyen Yayı Parçası uzunluğu AB = R φ 180 π AB İsteneler ,463 m Verilenler l c 26 0' 0,0000 l d 28 0' 0, ' 0,0000 R ,243 m İstenen: Paralel Daire Yayı parçası uzunluğu CD = R φ λ ρ = R λcosφ 180 π CD İsteneler ,075 m

12 1) Ortodrom Eğrisi: Küre üzerinde coğrafi koordinatlarıyla bilinen P 1 (φ 1, λ 1 ) ve P 2 φ 2, λ 2 noktalarını birleştiren büyük daire yayıdır. Büyük daire söz konusu iki nokta ile kürenin merkezinden geçen bir düzlemin küreyle arakesitidir. Bu daire üzerindeki P 1 ve P 2 noktalarını birleştiren yaylardan kısa olanı büyük daire yayıdır. 2) Loksodrom Eğrisi: Coğrafi koordinatlarıyla bilinen P 1 (φ 1, λ 1 ) ve P 2 φ 2, λ 2 noktalarını birleştiren eğri meridyen doğrultularıyla hep sabit bir α açısı yapıyorsa bu eğriye loksodrom eğrisi denir. Eğri üzerinde her noktanın kuzeyle yaptığı açı değişmediği için eğriye sabit pusula açısı altında gidilen yol denir. Loksodrom eğrisi özellikle deniz trafiğinde önemlidir. Gemiler yolculuklarını sabit kuzey açısı altında ve loksodrom eğrisi üzerinde yaparlar.

13 c) Küre Üzerinde Alan Hesabı Bilindiği gibi R yarıçaplı bir kürenin tamamının alanı; F = 4πR 2 eşitliğinden hesaplanabilmektedir. Küre üzerinde φ 1 ve φ 2 paralel daireleri ile λ 1, λ 2 meridyen dairelerinin sınırladığı gridin (F) alanı hesaplanmak istenirse, önce yüksekliği h olan φ 1, φ 2 paralel dairelerin sınırladığı küre kuşağının s alanı: Sonra istenen F grid alanı s kuşak alanından hesaplanır; 2π λ ρ F = s s F λ ρ 2π

14 Küresel Trigonometri

15 Küre üzerinde hesaplamalar küresel trigonometrinin konusudur. Küresel Trigonometriden küre yüzeyinde trigonometri diğer bir deyişle küre yüzeyinde üçgen hesabı anlaşılır. Küre yüzeyinin bütün normalleri kürenin merkezinde kesişir. Küre yüzeyinin her noktasında her doğrultuda eğrilik sabittir.

16 Küresel Üçgen: Kenarları büyük daire yaylarından oluşan küre üzerindeki üçgenlere genel olarak Küresel Üçgen denir. Hiçbir kenarı ve açısı 180 o den büyük olmayan küresel üçgene EULER üçgeni denir.

17

18

19 Küresel Ekses ve Alan İlişkisi Ekses (Küresel Artık) Üçgenin iç açılarının toplamı π ye yani 180 o ye eşit olması kuralı düzlem trigonometri için geçerlidir. Küresel üçgenlerde iç açıların toplamı her zaman 180 o den büyüktür. Kürenin meridyen daireleri ekvatoru dik olarak keserler. İki meridyenle ekvatorun teşkil ettiği bir ekvator-kutup küresel ABC üçgeninde iç açılarının toplamı π den meridyenler arasındaki λ kadar fazladır.

20 a A ABC küresel üçgeninin iç açılarının toplamını bulmak için ikigenlerinin alanları toplanır. C g b B O B' 2π 4πR 2 α F α F α = 4πR2 α 2π = 2R2 α F α = 2R 2 α F β = 2R 2 β F γ = 2R 2 γ a A' g C' F α + F β + F γ = 2R 2 (α + β + γ) ABC küresel üçgeninde üç ikigenin alanlarının toplamında kürenin yarı alanı ve fazladan küresel üçgenin F alanının iki katı vardır F α + F β + F γ = 2πR 2 + 2F 2πR 2 + 2F = 2R 2 (α + β + γ) α + β + γ π = F R2 ε = α + β + γ π Küresel Ekses ε = F R 2 Küresel Ekses ve alan ilişkisi

21 Pratikte ölçülen açılar kullanılarak yapılacak ekses hesabı ölçü hataları nedeniyle doğru sonuç vermez. Bu şekilde ölçülen açılardan hesaplanacak ekses değerinden küresel üçgenin alanı bulunurken ekses değerinin R 2 gibi çok büyük bir sayı ile çarpılıyor olması eksesteki hatayı çok büyüterek alan değerine yansıtmaktadır. Bu nedenle ekses değerinin alandan hesaplanması ya da ölçülen açılar yerine küresel üçgenin kenarlarından bulunması uygun olacaktır. Bunun için küresel trigonometrideki L Huilier ve Serret formülleri kullanılabilir. tan ε 4 = tan u 2 tan u a 2 tan u b 2 tan u c 2 u = a + b + c 2 Ekses, kenarları küresel üçgenin kenarlarına eşit bir düzlem üçgenin alanı ( ) türünden hesaplanmak istenirse, kenarları a, b ve c olan düzlem üçgenin alanı = u(u a)(u b)(u c) : Düzlem üçgen alanı F = (1 + a2 + b 2 + c 2 24R ε = R 2 (1 + a2 + b 2 + c 2 24R ρ

22 B İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa (KAK): c b a Alan: F = a b sinγ 2 Ekses: ε = a b sinγ 2R 2 A a b g C Üç açı ve herhangi bir kenar biliniyorsa: ε = F R 2 Alan: F = a2 sinβ sinγ 2 sinα Ekses: ε = a2 sinβ sinγ 2R 2 sinα İki açı ve aralarındaki kenar biliniyorsa (AKA): Alan: F = c2 sinβ sinα 2 sin(α + β) Ekses: ε = c2 sinβ sinα 2R 2 sin(α + β) Üç açı biliniyorsa (AAA): Ekses: ε = α + β + γ 180 o

23 Sonuç olarak, her küresel üçgende iç açıların toplamı π yani 180 o den, üçgenin büyüklüğüne göre az veya çok farklı olur. ε = α + β + γ π ε = α + β + γ ε = α + β + γ 200 g Sonuç olarak, Küresel üçgenin F alanı eksesiyle doğru orantılıdır. F = ε R 2 ε = F R 2 Örneğin; kenarları 2 km olan eşkenar bir üçgen eksesi ε = kenarları 10 km olan eşkenar bir üçgen eksesi ε = kenarları 50 km olan eşkenar bir üçgen eksesi ε = Jeodezide karşılaşılan bir çok uygulamada üçgenlerin kenarları 50 km yi geçmemektedir. Böyle durumlarda küresel üçgenin alanı yerine düzlem üçgenin alanı alınabilir. Alan bilinmiyorsa ve <20" ise ekses hesabı için düzlem üçgen kullanılabilir. Nirengi ağları (max 100 km) için ekses bu değerin altındadır.

24 SAYISAL UYGULAMA Verilenler (iki açı ve bir kenar) a 63 22' 41,4880 b 58 12' 45,3740 c 58045,642 m R ,115 m Ekses=? ε = c2 sinβ sinα 2R 2 sin(α + β) İstenenler 0, , ' 7,6301 Verilenler (üç açı) a 78 11' 0,7680 b 45 24' 42,3200 g 56 24' 26,0000 Ekses=? ε = α + β + γ 180 o İstenenler 0, , ' 9,0880 Verilenler (üçgenin alanı) F ,000 R ,115 m Ekses=? ε = F R 2 İstenenler 0, , ' 1,2693

25 Küresel Trigonometri Teoremleri

26 1- Sinüs Teoremi B sina sinα = sinb sinβ = sinc sinγ = m c b a 2- Kenar Kosinüs Teoremi cosa = cosb cosc + sinb sinc cosα cosb = cosa cosc + sina sinc cosβ cosc = cosb cosa + sinb sina cosγ A a b g C 3- Açı Kosinüs Teoremi cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosa cosβ = cosα cosγ + sinα sinγ cosb cosγ = cosβ cosα + sinβ sinα cosc

27 4- Sinüs - Kosinüs Teoremi

28 5- Kotanjant Teoremi (Dört Parça Teoremi ) Dört parça teoreminin genel yazılışı şu şekildedir: Küresel üçgenin her hangi bir kenarından başlamak koşuluyla üçgenin elemanları sırayla (saat ibresi veya tersi yönde) I den IV e kadar numaralandırılır. Dört parça teoremi cos III cos II = sin III cot I sin II cot IV cos a cos β = sin a cot c sin β cot γ

29 4- Neper Formülleri (1) b a b + c c tan ( = tan (a cos ( β γ β + γ cos ( g a + c a tan ( = tan (b cos ( α γ α + γ cos ( A b a + b tan ( = tan (c cos ( α β α + β cos ( b c tan ( = tan (a sin ( β γ β + γ sin ( a c tan ( = tan (b sin ( α γ α + γ sin ( a b tan ( = tan (c sin ( α β α + β sin ( B C

30 4- Neper Formülleri (2) B β + γ tan ( = cot (α cos ( b c b + c cos ( α + γ tan ( = cot (β cos ( a c a + c cos ( a b α + β tan ( = cot (γ cos ( a + b cos ( A c a b b g a C β γ tan ( = cot (α sin ( b c b + c sin ( α γ tan ( = cot (β sin ( a c a + c sin ( a b α β tan ( = cot (γ sin ( a + b sin (