ZAMAN SERİSİ SÜREÇLERİ Durağan ve Durağan Olmayan Zaman Serileri

Transkript

1 ZAMAN SERİSİ SÜREÇLERİ Durağan ve Durağan Olmayan Zaman Serileri 1

2 Zaman Serileri Analizi Zaman Serisi Modelleri Veri Üretme Süreci(DGP) Stokastik Süreçler Durağan Stokastik Süreçler Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi Diğer Durağan Stokastik Süreç Modelleri Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Rassal Yürüyüş Süreci Kayan Rassal Yürüyüş Süreci Zaman Trendleri Genelleştirme Entegre Seriler 2

3 Zaman Serisi Nedir? Zaman Serileri Analizi Bir dönemden diğerine değişkenlerin değerlerinin ardışık bir şekilde gözlendiği sayısal büyüklüklerdir. Özelliği ve yapısı ile bizzat kendisi geleceğin tahmininde kullanılan bir bilgi kaynağı olduğu gibi, aynı zamanda bir yöntem olmaktadır. Neden- sonuç bağlantısı olmaktan çok, serinin ileriye doğru güvenilir bir uzantısının bulunmasıdır. 3

4 Zaman Serileri Analizi Zaman serisi analizinin özet olarak iki amacı: Tek değişkenli zaman serileri analizi=tek bir seri Çok değişkenli zaman serileri analizi=iki veya daha fazla seri Öncelleştirme, geciktirme, geri besleme ilişkileri Zaman serisi modeli, X ile Y arasındaki fonksiyonel ilişki ile değil, Y t ile Y t-(1,2, t) arasındaki ilişkiyle ilgilenir. 4

5 Zaman Serileri Analizi Geleneksel Zaman Serisi Ayrışım Yöntemi Trend Konjonktür Mevsim etkileri Düzensiz hareketler 5

6 Zaman Serileri Analizi Trend, zamana göre gözlemlenen bir değişkenin uzun dönemde gösterdiği artış veya azalışa denir. Trend, iki şekilde ifade edilebilir: Doğrusal Trend ve Doğrusal Olmayan Trend 10 Doğrusal Trend 10 Doğrusal Olmayan Trend

7 Zaman Serileri Analizi Konjonktürel (Devrevi) Hareketler, 2-10 yıl veya daha uzun bir dönemde serinin seyrinde oluşan değişmelerdir ya da zaman serisindeki dalgalanmalar bir yıldan daha uzun dönemi kapsar şekilde seyir izliyorsa bu gidişat konjonktür unsuru olarak adlandırılır. 8 Konjonktür Etkisi Taşıyan Bir Seri

8 Zaman Serileri Analizi Mevsim etkileri, 1 yıl içinde tamamlanan ve veride yıl bazında tekrarlanan değişmelerin seyri olarak ifade edilir. Konjonktürel hareketin özel bir hali olarak düşünülebilir. 8

9 Zaman Serileri Analizi Düzensiz(rassal) hareketler, zaman serisindeki düzensiz değişmelerdir ve diğer bileşenlerden hiçbiri bu değişmelerin nedeni olarak gösterilemez. Düzensiz(rassal) hareketlerin tanımlanabilir bir seyirleri yoktur. Serideki yanıltıcı hareketlerdir. Serinin diğer bileşenleri hesaplandığında geride kalan büyüklüklerdir. 15 Düzensiz Değişmeler Sergileyen Seri

10 Zaman Serileri Analizi Zaman serisi Y t, trend, konjonktürel hareketler, mevsimsel hareketler ve düzensiz hareketlerin bir fonksiyonu olarak düşünülebilir. Zaman Serisi=f(Trend, Konjonktürel Hareketler, Mevsimsel Hareketler, Düzensiz Hareketler) Y t =f(t t,c t,s t,i t ) I t yerine bir stokastik değişken e t tanımlanırsa; Zaman serisi=izlenen seyir+hata Y t =f(t t,c t,s t,e t ) 10

11 Zaman Serileri Analizi Geleneksel Zaman Serisi Ayrışım Yöntemi Toplamsal Ayrıştırma Yöntemi Y t =f(t t,c t,s t,i t ) Y t = T t +C t +S t +I t Çarpımsal Ayrıştırma Yöntemi Y t =f(t t,c t,s t,i t ) Y t =T t C t S t I t Geleneksel zaman serisi ayrışım yönteminde, özellikle zaman serilerinin trend, konjonktürel ve mevsimsel hareketlerin etkisi altında kaldığı versayılır ve ayrıştırma işlemi bu üç bileşenin I t veya e t ile tanımlanan düzensiz hareketlerin pür rassal süreç(temiz dizi) sağlanana kadar devam edilir. 11

12 Zaman Serileri Analizi Zaman serileri analizi, yalnızca serilerdeki trend, konjonktür ve mevsimsel etkileri arındırma amacını gütmez. Serilerin gelecekte alabilecekleri muhtemel değerleri önraporlamak ve serilerin temsil ettiği sistemi kontrol etmek gibi farklı amaçları da vardır. Zaman serisi verilerinin durağan olduğu varsayılır. Eğer bir zaman serisinin ortalaması, varyansı ve kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa, serinin durağan olduğu söylenebilir. 12

13 Zaman Serileri Analizi E(X t ) = sabit (tüm t ler için) Var(X t ) = sabit (tüm t ler için) Cov(X t, X t+k )= sabit (tüm t ler için tüm k 0 için) 13

14 Zaman Serileri Analizi Sahte regresyon, modelde yer alan trende sahip değişkenlerin birbirleriyle tamamen ilişkisiz olsalar dahi, R 2 (belirlilik katsayısı) için yüksek değerler tahmin edildiğinde ortaya çıkar. DW< R 2 ise sahte regresyon vardır denilebilir. 14

15 Zaman Serisi Modelleri Zaman unsuru, modellemede yeni bir boyut olarak sunulur. Dinamik ekonometride modeller için kullanılan istatistiksel form, zaman serisi analizlerinde ele alınan modellerde kullanılır. Y t =βx t +e t Statik model Eğer X t değişkeninde bir değişme olursa Y t anında değişime cevap verir. Ancak X t de bir değişme söz konusu değilse, Y t de de herhangi bir değişme olmayacaktır. Dolayısıyla sistem dengede kalacaktır. 15

16 Zaman Serisi Modelleri Y t =β 1 X t +β 2 X t-1 + e t Dinamik model X t bir birim artarsa, Y t nin beklenen değeri β 1 in birim değerine bağlı olarak anında artacak, fakat β 1 +β 2 nin tam değişimi yalnızca bütünüyle bir zaman dönemi geçtikten sonra hissedilir. Y t =αy t-1 +β 1 X t + e t Dinamik Model 16

17 Zaman Serisi Modelleri Ekonomik zaman serilerinde, durağan dışılılığın nedeni, genellikle trend, konjonktürel ve mevsimsel hareketlerin etkilediği ileri sürülür. Durağan dışılılığın bir başka nedeni de stokastik trend olabilir. Y t =Y t-1 +e t t=1,2,,t Rassal Yürüyüş modeli Rassal yürüyüş modelinde, bütün t zamanlarındaki Y değerlerinin beklenen değeri yani ortalaması birbirine eşittir. Dolayısıyla sürecin ortalaması da sabittir. 17

18 Y t =φy t-1 +e t Zaman Serisi Modelleri Birinci dereceden otoregresif bir zaman serisi modeli φ <1 koşulunu sağlayan bir modelin durağan olduğu kabul edilir. φ >1 ise zaman serisi patlayan bir seridir. Y t nin bağımlılığını onun geçmiş değerlerine dayanarak açıklamanın alternatif bir yolu bir hareketli ortalama modeli yardımıyla oluşturulabilir: Y t =e t +θe t-1 Hareketli Ortalama Süreci (MA(1)) 18

19 Veri Üretme Süreci Zaman serileri analizinin amacı seriyi oluşturan herhangi bir süreç (yani anakütle) modelini tanımlamak için bu sürecin gerçekleşmelerini (yani örneklemini) kullanmaktır. Y t =φy t-1 +e t, φ <1 Bu modelin veri üretme süreci, p sayıda gecikme uzunluğunda Y t =φ 1 Y t-1 +φ 2 Y t-2 + +φ p Y t-p + e t dir. Ya da Y t =e t +θ 1 e t-1 θ <1 için q uzunluğunda veri üretme süreci Y t = e t + θ 1 e t θ q e t-q dir. 19

20 Stokastik Süreçler Zaman serileri için olasılık modellerinin diğer bir tanımı stokastik süreçlerdir.. Literatürde stokastik süreç, hem reel fiziksel süreç hem de onun matematiksel bir modeli olarak algılanır. Rassal süreç kavramı ile stokastik süreç kavramı eşanlamdadır. Bir stokastik süreçte her gözlem yani serideki her değer Y 1,Y 2,,Y t bir olasılık dağılımından rassal olarak çekildiğinden rassal bir değişkendir ve gözlemlerin belirli bir olasılık dağılımına göre oluştuğu varsayılır. Zaman serisi analizlerinin temel amacı gözlenen seride içerilen bilgiden yararlanarak stokastik sürecin özellikleri veya temel öğeleri hakkında çıkarımlarda bulunmaktır. 20

21 Stokastik Süreçler Kolmogorov, çalışmasıyla belirli düzenli koşulları sağlayan stokastik süreçlerin sonlu tanımlanabileceğini göstermiştir. boyutlu dağılım ile Stokastik süreci tasvir etmenin bir yolu, t 1,, t n herhangi bir seti için Y t1,,y tn birleşik olasılık dağılımını tanımlamaktır. Süreci tasvir etmenin bir momentlerini oluşturmaktır. başka yolu da sürecin Ortalama=µ t =E(Y t ) Varyans=σ 2 =Var(Y t ) Otokovaryans=g t1,t2 =cov(y t1, Y t2 ) Y t nin dağılımı normal bir dağılım takip ederse, bu dağılımı Gaussian Süreç olarak adlandırılabilir. 21

22 Durağan Stokastik Süreçler Bir zaman serisinin eğer ortalamasında sistematik bir değişme yoksa (trend yapmıyorsa), eğer varyansında sistematik bir değişme yoksa ve eğer düzenli periyodik değişmeler ortaya çıkarmıyorsa, seri durağandır denir. Durağan bir süreçte stokastik sürecin özellikleri zaman boyunca değişmemektedir. 22

23 Durağan Stokastik Süreçler Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri Veri noktaları seti Y 1,,Y t birleşik olasılık dağılım fonksiyonu P(Y 1,,Y t ) in özel bir sonucunu gösterir. Benzer bir şekilde, gelecek bir gözlem Y t+1 in koşullu olasılık dağılım fonksiyonu P(Y t +1 Y 1,,Y t ) tarafından ya da başka bir ifadeyle geçmiş gözlemler Y 1,,Y t veri iken Y t+1 için bir olasılık dağılımı tarafından elde edildiği düşünülebilir. Eğer Y t serisi durağan ise P(Y t,,y t+k )=P(Y t+m,,y t+k+m ) P(Y t )= P(Y t+m ) olacaktır. 23

24 Durağan Stokastik Süreçler Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri Eğer Y t serisi durağan ise Serinin ortalaması=µ Y =E(Y t ) Serinin varyansı=σ 2 =Var(Y t )=E[(Y t - µ Y ) 2 ] herhangi bir k gecikmesi için kovaryans g k =cov(y t, Y t+k )= E[(Y t - µ Y )( Y t+k - µ Y )] dir. 24

25 Durağan Stokastik Süreçler Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık Bir stokastik sürece karşı gelen zaman serileri eğer, Ortalama µ Y =E(Y t ) bütün t ler için sabitse Varyansı σ 2 =Var(Y t ) bütün t ler için sabitse Kovaryans g k =cov(y t, Y t+k ) bütün t ler için sabit ve k 0 ise zayıf durağan(kovaryans durağan) olarak adlandırılır. Nedeni ortalama, varyans ve kovaryansın t ye bağlı olmamasıdır. 25

26 Durağan Stokastik Süreçler Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık Y t rassal değişkeninin, zayıf durağanlık özelliklerinin yanı sıra dağılımın zaman içinde değişmemesi özelliğine sahip olması halinde güçlü durağanlık söz konusudur. Stokastik bir süreç veya karşılığı olan zaman serisi, eğer n sayıda gözlemin Y t1,,y tn herhangi bir setinin bileşik dağılımı k sayıda gecikmesi ele alındığında bütün n ve k için Y t1+k,,y tn+k in bileşik dağılımının aynısı ise kesin durağan olduğu söylenir. Kesin durağanlık bütün n sayıda değer için elde edilebilir. 26

27 Durağan Stokastik Süreçler Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık g k =cov(y t, Y t+k ) k=0 için g 0 =cov(y t, Y t )= σ 2 ρ(k)=g k / g 0 t ve t+k dönemleri için serilerin otokovaryans fonksiyonu otokorelasyon fonksiyonu yada k gecikmede otokorelasyon katsayısı Özet olarak kesin durağan bir seri için Y t nin dağılımı t den bağımsızdır. 27

28 Durağan Stokastik Süreçler Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi Kesikli rassal süreç olan Y t, bağımsız özdeş dağılan rassal değişkenlerin bir dizisini içeriyorsa pür rassal süreç olarak kabul edilir. Literatürde temiz dizi, white noise, beyaz gürültü, kuru gürültü gibi kavramlar pür rassal süreçle aynı anlama gelmektedir. Bu sürecin rassal değişkenleri sabit bir ortalamaya ve sabit bir varyansa sahiptir. Ortalama E(e t )=0 bütün t ler için Varyans Var(e t )=σ 2 bütün t ler için Kovaryansı Cov(e t, e t+k )=0 bütün t ler için, k 0 28

29 Durağan Stokastik Süreçler Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi Otokorelasyon fonksiyonu; ρ(k)=1 (k=0 ise) ρ(k)=0 (k 0 ise) Otokovaryans fonksiyonu ise; g k =Cov(Y t,y t+k )=0 e t ~IID (0, σ 2 ) e t ~NID (0, σ 2 ) k 0 için ikinci derece veya kovaryans durağan kesin durağan veya Gaussian Temiz-dizi 29

30 Durağan Stokastik Süreçler Diğer Durağan Stokastik Süreç Modelleri Otoregresif Süreçler: Ortalaması sıfır ve varyansı σ 2 olan pür rassal sürecin { e t } kesikli olduğu varsayılsın. Dolayısıyla { Y t } süreci Y t =µ+φ 1 Y t-1 + φ 2 Y t φ p Y t-p +e t p inci dereceden bir otoregresif süreç veya AR(p) olarak adlandırılır. Σφ i <1 ise seri durağandır. Hareketli Ortalama Süreci:Ortalaması sıfır ve varyansı σ 2 olan pür rassal sürecin { e t } kesikli olduğu varsayılsın.dolayısıyla { Y t } süreci Y t =δ+e t +θ 1 e t-1 + +θ q e t-q q uncu dereceden bir hareketli ortalama süreç veya MA(q) olarak adlandırılır. Σθ i <1 ise seri durağandır. 30

31 Durağan Stokastik Süreçler Diğer Durağan Stokastik Süreçler Otoregresif Hareketli Ortalama Süreci: AR(p) ve MA(q) modellerinin bir arada ele alındığı karma modeldir. Yine { e t } ortalaması sıfır ve varyansı σ 2 olan pür rassal süreçtir. Y t =δ+ φ 1 Y t φ p Y t-p +e t +θ 1 e t-1 + +θ q e t-q bu tür modeller ARMA(p,q) veya karma modeller olarak adlandırılır. 31

32 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Bir zaman serisi, durağan zaman serisi özelliklerinden bir yada birden fazla özelliğini sağlamıyorsa, bu seriyi temsil eden stokastik süreç durağan dışı olarak adlandırılır. Bu tür serilerin durağan hale dönüştürülmesi için trend veya mevsim etkisinden arındırılması gerekir. Box-Jenkins metodu Basit bir durağan dışı zaman serisi modeli: Y t =µ t + e t 32

33 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Eğer bira yada daha fazla sayıda fark alınarak seri durağan hale dönüştürülüyorsa, böyle bir durağan dışı seri homojen olarak ifade edilebilir. Serinin fark alma sayısı aynı zamanda homojenlik derecesini tanımlar. ΔY t = Y t - Y t-1 Δ 2 Y t = Δ(Y t - Y t-1 ) 1. derece homojen durağan dışı 2. derece homojen durağan dışı 33

34 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Rassal Yürüyüş Süreci Hisse senedi gibi finansal verilerin zaman içerisindeki davranışlarını iyi bir şekilde yansıtan süreç, rassal yürüyüş süreci olarak adlandırılır. Örneğin t günündeki (t-1) günündeki rassal hisse senedi = hisse senedi + hata fiyatları fiyatları Birinci derece durağan dışı sürecin basit rassal yürüyüş süreci: Y t = Y t-1 +e t 34

35 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Rassal Yürüyüş Süreci Y t = Y t-1 +e t Y t - Y t-1 =e t Δ Y t = e t bu ilk farkı alınan yeni değişken durağandır. Çünkü e t nin zamandan bağımsız olduğu varsayıldığından Δ Y t =e t ninde durağan olduğu kabul edilir. Ayrıca rassal yürüyüş sürecinin diğer önemli bir özelliği ise uzun dönemli bir belleğe sahiptir. 35

36 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Kayan Rassal Yürüyüş Süreci Kayan rassal yürüyüş, büyüklüğü sıfırdan farklı olan bir kesme terimi içeren basit bir yürüyüş sürecidir. Y t = δ+y t-1 +e t Δ Y t = Y t - Y t-1 =δ+e t Ortalaması E(Y t )=µ t +δt Varyansı E(Y t2 )=tσ 2 dir. δ 0 36

37 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Zaman Trendleri Tek bir yönde hareket eden durağan dışı bir serinin eğilimi zaman trendi olarak adlandırılır. Y t =α+βt+φy t-1 + e t (α 0) modeli için e t ~IID (0, σ 2 ), t bir zaman trendi φ 0,β=0 için Y t =α+y t-1 +e t (α 0) stokastik trend Φ=0,β 0 için Y t =α+βt+e t (α 0) deterministik trend Φ=1,β 0 için Y t =α+βt+y t-1 +e t (α 0) birleşik stokastik ve deterministik trend 37

38 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Genelleştirme En basit durağan dışı süreç: Y t = Y t-1 +e t Bu sürecin özel bir hali: Y t =φy t-1 + e t Bu özel süreç aslında birinci derece otoregresif (AR(1)) süreçtir. Eğer -1<φ<1 ise AR(1) durağan, eğer φ<-1 ve φ>1 ise AR(1) durağan dışıdır. Y t = φ 1 Y t-1 + φ 2 Y t φ p Y t-p +e t AR(p) AR(p) nin özel bir denklemi olan 1-φ 1 L 1 -φ 2 L 2 - -φ p L p =0 polinomunun kökleri mutlak değerce birimden büyükse durağan, diğer durumlarda durağan dışıdır. 38

39 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Entegre Seriler Durağan dışı bir seri, durağanlık öncesi d kere ardı ardına farkı alınabiliyorsa orijinal seri Y t, d inci dereceden entegre seridir ve I(d) ile gösterilir. I(1)=ΔY t =Y t -Y t-1 birinci derece entegre seridir. I(0) ile yapılacak tanımlama durağan bir seriyi temsil edecektir. Y t ~I(d) şeklinde gösterilebilir. Eğer bir seri, ne kadar farkı alınırsa alınsın hala durağan hale getirilemiyorsa seriye entegre olmayan seri denir. 39

40 E-views : Zaman Serileri Veri Üretme Süreçleri Temiz dizi yaratma süreci File / New / Workfile ile dosya yaratılır. Undated or irregular Komut satırı : series e=@rnorm veya series e=nrnd View / Graph /Line View / Descriptive Statistics / Histogram and Stats 40

41 AR(1) Modeli Veri Üretme Süreci File / New / Workfile ile dosya yaratılır. Undated or irregular series e=nrnd series y=0 Sample değiştir Sample series y=0.9*y(-1)+e View / Graph / Line 41