PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

Transkript

1 PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL

2 Projenin Adı: Bir Polinomun Köklerinin Kuvtler Toplamının Vektörasyon Yöntemi ile Hesaplanması Projenin Dalı: Matematik Projenin Amacı: Bu projedeki amacımız bir polinomun köklerinin kuvtleri toplamını soran, Newton formülüyle çözülebilen analiz-cebir sorularına alternatif bir çözüm getirmektir. Kullanılan Yöntem: Projenin hazırlanış yazılış aşamasında temel lise matematik bilgisinin (2. 3. derece denklemler, denklemlerin kökleri katsayıları arasındaki ilişki, ktörler) yanı sıra analiz cebrin temel konuları kullanılmıştır. Giriş. Matematikteki iki farklı konunun birleştirilmesinin öğrenmeye katkısı tartışılmazdır. Üreteç fonksiyonların kombinasyon sorularının çözümünde kullanılması (Dağ & Acar, 2014) bölünebilme kurallarının graf teoriyle açıklanması (Gülsüm & Esen, 2013) buna örnektir. Biz de yaptığımız bu çalışma ile matematiğin iki farklı konusu arasında köprü kurmuş olduk. Biz bir polinomun köklerinin kuvtleri toplamını soran sorulara alternatif bir çözüm getirebileceğimizi düşündük. Bu konuda Isaac Newton Albert Girard çalışmalar yapmıştır (Wikipedia, 2015). Bu tür sorular "Kuvtler Toplamı İçin Newton Formülü" ile çözülebiliyor. Newton formülü lise müfredatında bulunmadığı akılda tutması güç olduğu için farklı bir yöntem geliştirmeyi düşündük. Bu çalışmamızda Newton formülünden farklı olarak modelleme açısından elrişli bir konu olan ktörleri kullandık. Cebirsel bir formülü geometrik olarak ifade etmiş olduk. Böylece matematikteki iki konu arasında bağlantı kurulabileceğini gördük. Matematik olimpiyatı sorularıyla uğraşıyorduk. TÜBİTAK 20. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A kitapçığındaki 23. soruyu (TÜBİTAK, 2012) çözemeyince sorunun çözümünü araştırdık Newton formülüyle çözülebildiğini öğrendik. Newton formülünü kullanarak benzer soruları çözmek istediğimizde bu formülü aklımızda tutmakta çok zorlandık. Newton formülü lise müfredatında gösterilmemektedir. Biz de bu formülü lisede öğretilen bir konuyla bağdaştırabileceğimizi düşündük. Soruyu Newton formülüyle çözerken denkleminin ktör dikliği denklemine çok benzediğini gördük. 9. sınıf müfredatında mevcut olan ktörler konusu, çarpımların toplamlarını ifade etmek için ideal bir konuydu. Formüldeki değerleri iki farklı ktör olarak yazmaya karar rdik. Soyut bir matematik konusunu modelleyerek akılda kalıcı pratik bir çözüm yöntemi ürettik. Projenin adını "Vektörasyon" koyduk çünkü cebirsel bir ifadeyi ktörleştirmiş olduk. Öncelikle projeyi açıklarken kullanacağımız bazı temel tanımları teoremleri relim. 2

3 Ön Bilgi Temel Tanımlar. Tanım(Kuvtler Toplamı İçin Newton Formülü). negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere, denkleminin kökleri kuvtleri toplamı, ise denklemin katsayıları ile denklemin k. kuvtten köklerinin toplamları arasındaki ilişki,, dir. (Yücesan, 2012) Tanım(Vektör). Yönü uzunluğu belli olan büyüklükleri belirtmekte kullanılan yönlü doğru parçalarına ktör denir. (Karakuyu & Bağcı, 2014) Tanım(Vektörlerin Skaler Çarpımı). boyutlu ktörler olmak üzere, bu iki ktörün skaler çarpımı olarak tanımlanır. Nokta çarpımı ya da iç çarpım olarak da adlandırılır. (Şehirlioğlu, 2014) Tanım(Vektörlerin Dikliği). sıfırdan farklı ktörler olmak üzere; bu iki ktörün skaler çarpımı ise, birbirine diktir (ortogonal). (MIT OpenCourseWare, 2011) Tanım(Vieta Teoremi). sayılarının bir polinomunun kökleri olduğunu varsayalım. Bu takdirde, olur (ikinci satırda tüm köklerin ikişerli çarpımlarının toplamı; üçüncü satırda tüm köklerin üçerli çarpımlarının toplamı yazılmıştır.) (Aliyev & Karakaş, 2012) 3

4 Buraya kadar genel olarak kullanacağımız tanım teoremleri rdik. Bu kısımda da yöntemimizi açıklayalım. Yöntem. Bir denklemin köklerinin kuvtleri toplamı istenen sorular Vektörasyon yöntemi ile aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülür: 1. Denklemin katsayılar ktörü yazılır. 2. Denklemin köklerinin kuvtler toplamı ktörü yazılır. 3. Oluşan iki ktör birbirine dik olacağından bu ktörlerin skaler çarpımı alınır. 4. Skaler çarpım ile T 1 'den başlanarak sırayla değerleri hesaplanır. Şimdi bu yöntemi detaylı olarak açıklayalım. negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere, kuvtleri toplamı ktörel yazımı yazımı denkleminin kökleri kökler Buna göre, denklemin katsayılarının köklerin kuvtler toplamlarının ktörel olmak üzere; dır. için olur. olduğunda soruda istenen T k değerine göre denklemin katsayılar ktörü yazılırken ktörün tane bileşeni olacak şekilde 0 bileşeni eklenir. 4

5 Bulduğumuz bu yöntemi aşağıda rilen problemlerin üzerinde uygulayalım. Soru 1. denkleminin kökleri ise, (Özdemir, 2010) Çözüm. Soruyu ilk olarak küp açılımı Vieta teoremiyle çözelim. Vieta teoremine göre kökler toplamı yani Vieta teoreminden köklerin ikili çarpımlar toplamı yani, c Vieta teoremine göre köklerin çarpımı yani 11 Cevap: D Sorumuzu şimdi de kendi geliştirdiğimiz Vektörasyon yöntemi ile çözelim. Denklemin kökler kuvtleri toplamı polinom denkleminin katsayılar ktörünü yazalım: ise, Benzer biçimde ifadesinden Şimdi köklerin küpler toplamını bulalım. ifadesinden, ise, Cevap: D 5

6 Soru 2. denkleminin kökleri değerlerini bulunuz. (Newton's Sums, 2014) Çözüm. Vieta teoremine göre kökler toplamı, köklerin çarpımı, köklerin ikili çarpımlar toplamı = değerini Vieta teoremi yardımıyla hesaplayalım. Vieta teoremini kullanarak değerini hesaplayalım. ifadesinin açılımından yola çıkarak formunda yazdığımızda; -2 Şimdi de Vektörasyon yöntemiyle çözelim. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: Benzer biçimde, yani, 6

7 Soru 3. gerçel sayıları denkleminin farklı kökleri ise, nedir? (TÜBİTAK, 2012) Çözüm. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: i hesaplayarak başlayalım. Benzer düşünce ile, ) olarak hesaplanır. Cevap: D 7

8 Soru 4. denkleminin kökleri ise, a) değerini hesaplayınız. b) değerini bulunuz. Çözüm. a) Payda eşitlenip, Vieta formüllerine göre olduğu kullanılırsa, elde edilir. Yani, 'ü bulmalıyız., b) için, 'yı da bulabiliriz. Bunun için, rilen polinomu 'in kuvtiyle çarparız. Bunun için, denklemini ile çarpalım. olur. bu denklemi sağlarlar. Taraf tarafa toplanırsa da, olur. Bulunan sonuçlar yerine yazılırsa olur. Benzer düşünce ile, elde edilir. (Özdemir, 2010) Sorunun çözümünde, bulunduktan sonra için bulunuyor ( için polinom ile çarpılmış). Hâlbuki biz, yöntemimizde ktörlerin skaler (iç çarpım) çarpımını kullandığımız için ek değişken çarpımına ihtiyaç duymadan sonuca ulaşıyoruz. Vektörasyon yöntemi ile çözelim. Kökler kuvtleri toplamına diyelim. 8

9 a) Payda eşitlenip, Vieta formüllerine göre olduğu kullanılırsa, elde edilir. Yani, 'ü bulmalıyız. Şimdi polinomun katsayılar ktörünü yazalım: değerini hesaplayarak başlayalım. b) değerini hesaplayarak devam edelim. Soru 5. denkleminin kökleri ise, Çözüm. denklemin kökleri,, eşitlikleri sağlanır. Bunları taraf tarafa toplarsak, elde edilir. Vieta formüllerine göre, (Özdemir, 2010) 9

10 Şimdi de Vektörasyon yöntemi ile Vieta teoremine gerek kalmadan çözelim. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: Soru 6. polinomunun üç farklı reel kökü =? (Özdemir, 2010) Çözüm. denklemi için katsayılar ktörünü yazalım: Soru 7.,, ise, (Yücesan, 2012) Çözüm. Bu soruda izleyeceğimiz yol diğerlerinden biraz farklı. Polinomun katsayıları yerine değerlerini biliyoruz. Bu rilerden yola çıkarak önce polinomun katsayılarını bulup, sonra 'ü hesaplayalım. 10

11 sayıları 3. dereceden bir polinomun kökleri olmak üzere, katsayısı ) Vektörasyon yöntemini kullanarak; olarak tanımlayalım. ( teriminin 3. dereceden bir polinomda olduğu görülür. Buna göre, Soru 8. denkleminin kökleri toplamını hesaplayınız. Çözüm. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: Bu iki ktörü modelleyelim: Şekil 1 11

12 Bu ktörlerin birbirine dik olduğunu görmekteyiz. (Şekil 1) buradan Şimdi de bu iki ktörü modelleyip dik olduklarını görelim. (Şekil 2) Şekil 2 Sonuçlar Tartışma. Biz bu çalışmayı yaparken, bir denklemin katsayılarını kökler kuvtlerinin toplamlarını ktör şeklinde yazdığımız için bu tür analiz-cebir problemlerini modellenebilir hale getirmiş olduk. Aynı zamanda bu ktörler arasındaki ilişkiyi inceledik birbirlerine dik olduklarını gördük. olmak üzere, değerlerinin ktörler kullanılarak hesaplanması konusunda çalışmaların yapılabileceğini düşünüyoruz. değerleri aynı olan farklı denklemler arasındaki ilişkinin incelenmesi konulu projeler yapılabilir. Çarpımlar toplamlarının kullanıldığı başka konularda da ifadelerin ktör olarak yazılmasıyla alternatif yöntemler geliştirilebilir. Birbirine dik herhangi iki ktör kullanılarak Vektörasyon yöntemi ile çözülebilecek soru yazılıp yazılamayacağı konusunda çalışmalar yapılabilir. Matematiğin farklı alanlarındaki iki konu arasında bir bağlantı kurulabileceğini gördük. 12

13 Kaynakça (2011). MIT OpenCourseWare : adresinden alınmıştır Aliyev, İ., & Karakaş, H. İ. (2012). Analiz Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri Çözümleri. Ankara: Palme Yayıncılık. Dağ, E., & Acar, E. B. (2014). Dizi Dizi Üreteç. Tübitak Araştırma Projesi, İstanbul. Geogebra. (2014). Geogebra: adresinden alınmıştır Gülsüm, M., & Esen, M. Y. (2013). Bölmenin Patikalı Yollarında Seyahat. Tübitak Araştırma Projesi, İstanbul. Karakuyu, E., & Bağcı, O. (2014). Ortaöğretim Matematik 9 Ders Kitabı. Ankara: Dikey Yayıncılık. Newton's Sums. (2014). Art of Problem Solving: adresinden alınmıştır Özdemir, M. (2010). Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Analiz-I. İzmir: Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım. Şehirlioğlu, D. D. (2014). Vektörler. Dokuz Eylül Ünirsitesi: kisi.deu.edu.tr/userweb/kemal.sehirli/vektorler.pdf adresinden alınmıştır TÜBİTAK. (2012). 20. Ulusal Matematik Olimpiyatı 2012 Birinci Aşama Sınavı. A Kitapçığı 23. Soru. Wikipedia. (2014). Wikipedia: adresinden alınmıştır Wikipedia. (2015). Wikipedia: adresinden alınmıştır Wolfram Alpha. (2015). adresinden alınmıştır Yücesan, R. (2012). Meraklısına Lise Matematik. İzmir: Zambak Yayınları. 13