CHAPTER 5 TIME SERIES AND THEIR COMPONENTS

Transkript

1 CHAPTER 5 TIME SERIES AND THEIR COMPONENTS Zaman serileri belirli zaman aralıklarıyla kayıt altına alınırlar. Bir yerdeki aylara göre su tüketim miktarları buna örnek olarak verilebilir. Genellikle zaman serileri random değillerdir ve analizleri için özel metodlar kullanmak gerekir. Zaman serilerindeki veriler kendilerinden sonra gelen veriler ile ilişkilidirler bu da serinin autocorrelated olduğunu gösterir ve bu sayede biz gelecek ayların veya yılların değerleri hakkında öngörülerde bulunabiliriz ve bu şirket yönetimine azımsanamayacak derecede faydalar sağlamaktadır. Güzel şekilde yapılmış zaman serisi tahminlemeleri gelecekte karşılaşılabilecek belirsizlikleri ortadan kaldırır ve yönetimin alternatif stratejiler geliştirmesine de yardımcı olur. 1 Tahminlemeler önceki bölümlerde de bahsi geçen 4 faktöre göre yapılır. Bunlar, trend, seasonality, cyclical ve randomness idi. DECOMPOSITION Decomposition işlemi zaman serilerindeki trendleri ve sezonsal faktörleri tanımlamak için kullanılır. Bu modelde biz bazen sezonsal faktörleri seriden kaldırıp trendi daha açık bir şekilde göreceğiz, bazen de trendi kaldırıp sezonsal faktörü daha açık bir şekilde seri grafiğinde görebileceğiz. Mesela Amerika daki birçok bölgede işsizlik oranı yaz aylarındaki tarım

2 işlerine olan işçi ihtiyacının artmasından dolayı düşmektedir. Bu nedenle haziran ayında işsizlik oranının mayıs ayına oranla düşmesi, bu ülkedeki işsizlik oranının düşük olduğunu göstermez. Gerçek bir trendin olup olmadığını görmek için biz haziran ayındaki işsizliğin mayısa göre düşük olduğunu adjust etmeliyiz. Yani sezonsal faktörü kaldırıp trendi açık bir şekilde görebileceğiz. Decomposition konusunda iki modelimiz var; additive ve multiplicative modelleri, 1. Additive: x t = Trend + Seasonal + Random 2. Multiplicative: x t = Trend * Seasonal * Random Peki neye göre hangi formülü seçeceğiz? Eğer serideki değişim sabitse additive modeli tercih ederiz, fakat değişim süreç içerisinde artış gösteriyorsa multiplicative modeli seçeriz. Örnekleyecek olursak; 2 Yukarıdaki grafikte değişim aynı büyüklükte artış göstermektedir. Mesela her çeyrekte 20 birim artmaktadır. Bu durumda additive modeli tercih etmemiz gerekir.

3 Aşağıdaki örnekte ise multiplicative modeli tercih etmeliyiz çünkü seri her seferinde çoğala çoğala, artarak değişim göstermektedir. TREND Trend, bir zaman serisindeki uzun dönemlik hareketlenmelere denir. Trend bazen düz bir çizgi gibi yani straight line bazen de eğri yani smooth curve şeklinde olabilir. Trend önemlidir çünkü trendi seriden ayrıştırdığımızda yani decomposition yaptığımızda bize serinin seasonality si hakkında bilgiler verir. 3 The Linear Trend (Doğrusal) The Quadratic Trend (İkinci Dereceden) Exponential Trend

4 Yukarıdaki formüllerde, T t tahminlenen değer, b 0 ve b 1 ise modelin parametreleridir. Yukarıdaki modelleri kullanarak trendi hesaplayabiliriz. Hata ise şu formül ile hesaplanır; Example 5.1 Data on annual registrations of new passenger cars in the United States from 1960 to 1992 are shown in the following table and plotted in the later figure. 4 Yukarıdaki veriler zaman serisine aktarıldığında şu grafik ortaya çıkar; Görüldüğü gibi seride bir trend söz konusudur.

5 1960 tan 1992 ye kadar tüm veriler trend equation ını geliştirmek için kullanılır. Registration lar dependent variable ve time ise independent variable dır ve 1960 = 1, 1961 = 2 şeklinde kodlanmıştır. Fitted trend line ise şu şekildedir; Bu değerlerden 7,988 line ımızın y ekseniyle kesiştiği noktadan gelmektedir. Aslına bakılırsa yukarıdaki eşitlik ile gelecek yılların tahminlemesini yapıyoruz t=0 olduğu andaki verimiz 7,988 ve ortalama olarak bu veri her dönemde 0,687 artmaktadır. Bu sayede geleceğe yönelik gerçeğe yakın tahminlemelerde bulunabiliyoruz. Bu eşitlik bilgisayar ortamında yazılımlar kullanılarak kolayca oluşturulabilir. Eşitlikteki değişkenler coefficient değerleridir. Mesela başka bir örnek için coefficient değerlerine bakarsak sales için eşitliğimiz şöyle olacaktır; 5 Örneğimize dönecek olursak 1992 yılı için registration değerimiz şöyledir; 1992 yılı için gerçekte ortaya çıkan değer ise 8,054,000 dir. Yaklaşık 2,2 milyonluk bir hata payı söz konusudur.

6 Böyle bir grafik söz konusu olursa linear trendi kullanamayız. Çünkü linear trend kullanabilmek için line ımızın sabit olarak artması veya azalması gerekir. Bu yüzden yukarıdaki grafik için quadratic trend modelini kullanmalıyız. Linear trend model ise şu grafikler için uygundur; 6 Az önceki örneğimize quadratic trend modelini uygularsak şu grafik ortaya çıkar;

7 Görüldüğü gibi fits değerleri actual değerlere daha uygundur. Bir diğer modelimiz de yukarıda formül ile belirttiğimiz üstel yani exponential trend modelidir. Eğer serimizdeki değerler yavaş yavaş artış veya azalış gösterirken birden hareketleniyorlarsa burda da exponential trend söz konusudur. Grafiği ise şöyledir; 7 Yukarıdaki grafiğe linear modeli uygulasaydık her sene 9 satış elemanı artacaktı. Böyle olunca da ilk yıllar için öngörülen değerler fazla son yıllar içinse az olacaktı. Üstteki grafikte bir şirketin yıllara göre aldığı satış elemanı sayısı gösterilmektedir. Exponential trend formulünü uygulayacak olursak şöyle bir eşitlik ortaya çıkar; T t = (1.313) t

8 Bu formüle göre b 1 (1.313) büyüme oranıyla ilgili bir parametredir. Eğer exponential trend zaman serisindeki datalara uyuyorsa büyüme oranı şu şekilde hesaplanır; 100(b 1-1)% Yukarıdaki grafiğe tekrar dönecek olursak son yıllarda yüksek sayıda satış elemanı alındığı açıkça görülüyor. Yani exponential trend, grafiğe uyuyor ve az önceki verdiğimiz T t = (1.313) t eşitliği yıllık büyüme oranının %31(1. 313) civarlarında olduğu anlamına geliyor. Sonuç olarak eğer model 2005 yılı için 51 satış elemanı alındığını hesaplamışsa bu 2006 yılında 16 artarak 67 ye çıkmaktadır. Peki nasıl 16 arttı??? 51 ile büyüme oranı %31 i çarptık böylece 16 yı elde ettik daha sonra 2005 yılında alınan satış elemanı sayısı 51 i 16 ile toplayarak 2006 yılında alınması öngörülen 67 kişi olduğunu hesapladık. Tablodan gerçek değere baktığımızda da 68 kişi alındığını görüyoruz. Yaptığımız hesap gerçek değere oldukça yakın çıktı. Exponential trend equation ın dezavantajı ise %31 lik büyüme oranının birkaç yıl içerisinde öngörülen miktarın çok yüksek değerler almasına sebep olmasıdır. Herhangi bir ekonomik değişim satış elemanı alımını düşürebilir. Biz exponential trend modeli kullanırsak eleman alımı düşse bile yüksek değerler hesaplayacaktık. 8 FORECASTING TREND Şimdi farz edelim ki t = n anındayız ve Y yani bir sonraki yıl için tahminlemede bulunmak istiyoruz. Bir sonraki yıl da (+p) olsun. Hesaplamayı yaptığımız an yani n, time origin olarak adlandırılır ve bir sonraki yıl dediğimiz p ise lead time olarak adlandırılır. Linear trend için formülümüz şu şekildedir; T n+p = b 0 + b 1 (n + p) Şimdi bu formülü car registration örneği üzerinde uygulayalım yılı için t=34 yapılan öngörüleme 1992 yılında t=n=33 yapılmıştır. Burda p miz 1 e eşittir. Çünkü bir yıl sonrası için hesap yapıyoruz. O zaman; T 33+1 = (33 + 1) = (34) = Aynı şekilde eğer p=2 olursa T 33+2 = (33 + 2) = (35) =

9 Bu iki sonuç 4. sayfanın alt kısmındaki grafikte fitted trend line olarak gösterilmiştir. Aynı mantıkla bu hesabı quadratic trend için de yapabiliriz. Bu şekilde yaparsak da sonuçlar T 33+1 = T 33+2 = şeklinde olur. Bu sonuçlar da 7. sayfanın başındaki grafikte gösterilmiştir. Dikkat edecek olursak her iki formülle elde ettiğimiz sonuçlar arasında çok büyük farklar var. İşte bu örnek doğru trend seçiminin niçin bu kadar önemli olduğunun göstergesidir. Trend eğrisi modelleri aşağıdaki iki varsayıma dayanmaktadır; -The correct trend curve has been selected. -The curve that fits the past is indicative of the future. Bu varsayımlar doğru kararın ve uzmanlığın trend seçiminde ve uygulanmasında önemli rollere sahip olduğunu gösterir. SEASONALITY 9 Sezonsallık veri setinindeki dataların belli periyotlarla kendini tekrar etmesidir. Zaman serisindeki sezonsal bileşenlerin analizi short-term olarak yapılır ve yetkili birimler tarafından önem verilerek incelenir. Mesela yaz aylarında su tüketiminin artması sezonsallık ile ilgilidir ve bu iş ile ilgilenen firmalar bunu göz önünde bulunduruyorlardır. Sezonsal değişimin ölçümü için birkaç metot geliştirilmiştir. Bu metotlardan en bilineni orijinal seriden trendin çıkarılıp sonra da bileşenlerin smoot edilmesi yani düzleştirilmesidir. Bir zaman serisindeki sezonsal bileşenlerin teşhisinin, trend analizine göre iki farkı vardır; -Trend direkt olarak orijinal datadan belirlenir fakat sezonsal bileşenlerin belirlenmesi için önce diğerlerinin datadan eliminate edilmesi yani silinmesi gerekir böylece en sona sezonsallık kalacaktır. -Trend, seriye en iyi uyan yani fitted olan eğri yada eşitlik olarak gösterilir fakat ayrı bir sezonsal değer yılın her bir aralığı (ay, yıl, çeyrek) için hesaplanmalıdır ve bir indeks sayı şeklinde olmalıdır. Sezonsallığı her zaman indeks sayılar, yüzdeler şeklinde hesaplarız ve bu zamanla gerçekleşen değişimi gösterir, seasonal index olarak adlandırılır.

10 Example 5.2 Period Sales 12 Month Moving Total Two-Year Moving Total 12-Month Centered Moving Average Seasonal Index 2004 January 518 February 404 March 300 April 210 May 196 June 186 4,869 July 247 4,964 9, August 343 4,952 9, September 464 4,925 9, October 680 5,037 9, November 711 5,030 10, December , January 613 5,101 10, February 392 5,178 10, March 273 5,239 10, April 322 5,452 11, May 189 5,630 11, June 257 5,814 11, July 324 5,868 August 404 September 677 October 858 November 895 December Month Moving Total = 4, = 4,964 Two-Year Moving Total 4, ,964 = 9,833 4, ,952 = 9, Month Centered Moving Average 9, = , = Seasonal Index = = 0.83

11 Örnekte aylık bir data için sezonsal indeksin nasıl hesaplandığını gösterdik. Eğer datamız quarterly yani çeyrek data olsaydı hesaplamalarımız daha farklı olacaktı. Peki ne işe yarıyor bu sezonsal indeks? Mesela sezonsal indeksin 0.60 olması neyi ifade eder? Herhangi bir ay için sezonsal indeks 0.60 ise bu, verimizin o ay için ortalamanın %40 altında olacağını gösterir. Mesela satışlar 12 ayın ortalaması 1,000 lira olsun ve mart ayı için sezonsal indeksimiz de 0.60 olsun. O zaman satışlar mart ayı için 400 lira daha az yani 600 lira olacaktır. Aynı şekilde indeks 1.25 olsa bu sefer 250 lira fazla 1,250 lira olacak. Sezonsal indeksler gerçekleşmesi beklenen artış veya düşüşleri gösterirler. SEASONALLY ADJUSTED DATA İlk olarak sezonsal bileşenler seriden ayrıştırılır. Bunun için additive modelde Y t S t = T t + I t formülü kullanılır, multiplicative modelde ise Y t S t = T t I t 11 formülü kullanılır. Peki niçin sezonsal faktörü adjust ediyoruz? Bir örnekle açıklayacak olursak, aralık ayında Amerika da hindi satışlarının %40 oranında artması ülkede diğer aylarda da çok yüksek oranlarda hindi satışı olduğunu göstermez. Daha doğru kararlar almak için sezonsallığı kaldırıp gelecek hakkında daha makul kararlar alabiliriz. In a survey concerned with the acquisition of seasonally adjusted data, Bell and Hillmer (1984) found that a wide variety of users value seasonal adjustment. They identified three motives for seasonal adjustment: 1. Seasonal adjustment allows reliable comparison of values at different points in time. 2. It is easier to understand the relationships among economic or business variables once the complicating factor of seasonality has been removed from the data. 3. Seasonal adjustment may be a useful element in the production of short-term forecasts of future values of a time series. CYCLICAL AND IRREGULAR VARIATIONS Cyclical pattern de süreklilik olmaz. Bilindiği üzere cyclical patternlerin oluşmasında ekonominin de payı vardır. Mesela ekonomi daralırsa yani kötüye giderse cyclical valley oluşuyordu ve bu durum aniden ortaya çıkar. Bu yüzden süreklilik olmaz. Cyclical patterni iyi anlayabilmek için trend ve

12 sezonsal bileşenleri seriden eliminate etmememiz yani çıkarmamız gerekir. Multiplicative trend için uyguladığımız formülün benzeri bunun için de geçerlidir; Y t T t xs t = T txc t xs t xi t T t xs t = C t xi t I yı smooth etmek için de moving average metotu kullanılır. Eğer datamız aylıksa 5, 7, 9 ve 11 periyotluk moving average uygulayabiliriz fakat datamız quarterly ise 3 lük moving average kullanmalıyız. En son Irregular bileşenleri hesaplamak için şu formül devreye girer; I t = C txi t C t Diğer bileşenler seriden çıkarıldıktan sonra Irregular bileşenler, zaman serisindeki variability i yani kararsızlığı gösterir ve residual yada error olarak adlandırılır. Sonuç olarak trend, seasonality, irregularity ve cyclical gibi bileşenlerin seriden ayrıştırılması orijinal data değerlerinin daha iyi anlaşılmasına, kavranmasına yardımcı olur. 12 EXAMPLE 5.3 Örnekte quarterly sales ların anlaşılması için decomposition metotu kullanılıyor. Aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi sezonsallığın güncel olması için son 7 yıl örnek alınıyor. Daha sonra trend equation oluşturuluyor; T t = t Mesela 2000 yılının ilk çeyreği için detrend işlemi yapalım bunun için ilk çeyrekteki sales değerini trende böleriz; SCI = Y T = =.888 Çıkan değeri aşağıdaki tablodan da görebiliyoruz. Aynı şekilde seasonality i çıkarmak istersek benzer bir formül olan formülünü kullanabiliriz. TCI = =

13 yılı ilk çeyreğinde TCI sütununa bakacak olursak yani seasonality nin adjust edilmesi durumunda sales ın olduğunu görüyoruz. Fakat ilk sütundaki sales e bakarsak daha düşük bir değer görüyoruz (242.6) bu da şu anlama gelir ki sezonsallık dahil olursa satışlar düşmektedir. Yani yılın belli dönemlerinde seasonality den dolayı satışlar düşüyor. Minitab ile yapılan hesaplamalar sonucunda da seasonal index leri buluyoruz; First quarter = > 78.0% Second quarter = > 101.6% Third quarter = > 111.7% Fourth quarter = > 108.8% Bu verileri dikkate alarak aşağıdaki figüre bakarsak first quarter için satışların %22 oranında düşüş gösterdiğini görüyoruz, second için aşağı yukarı aynı, third için %12 artış ve son olarak fourth için %9 bir artış söz konusudur.

14 Cyclical sütununu hesaplamak için daha önce de belirttiğimiz gibi bu quarterly data set olduğu için three-period moving average kullanılır. Böylece 2000 yılının ikinci çeyreği; = > 3.354/3 = olur. En son da irregularity i bulmak için CI sütununu C ye bölerek cyclical compenenti seriden çıkarıp I yı yani irregular compenet i hesaplamış oluruz; I = CI C = = Irregularity sütununu inceleyecek olursak 2002 yılının son çeyreğinde irregular index 111.4% ten 2003 yılının ilk çeyreğinde 87% ye düşüyor ve bir sonraki çeyrekte tekrar 106.2% ye çıkıyor. Bunun sebebi de 2003 yılının ilk çeyreğinde yapılan satışların düşük(178.3) olmasıdır.