Fizik 101-Fizik I 2013-2014 Potansiyel Enerji ve Enerjinin Korunumu Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel:4331 Potansiyel enerji (U) bir cisimler sisteminin enerjisidir. Başka bir deyişle, cisimler sisteminin konumunu etkileyen kuvvetlerin yarattığı enerji potansiyel enerjidir. 1
Kütle-Çekim Potansiyel Enerjisi Yere doğru düşen bir cisim üzerine etki eden kütle-çekim kuvveti cisim üzerinde iş yapar ve bu yüzden cismin kinetik enerjisi artar. U g =mgh 2
Örnek Kütlesi 120 kg olan bir posta torbası 3.5 m uzunluğundaki düşey bir ipe asılı olarak duruyor. Daha sonra bir postane çalışanı torbayı ilk konumundan 2.0 m yana itiyor ve bu esnada ip hep gergin kalıyor. a) Torbayı yeni konumunda tutabilmek için gerekli olan yanal kuvvet nedir? b) Torba bu konuma gelirken i) ip tarafından ve ii) çalışan tarafından yapılan iş nedir? 3
Örnek (devam) Torba başlangıçta ve son halinde durgun olduğu için; K 1 =K 2 =0 W net =0 Örnek (devam) 4
Örnek (devam) İpteki gerilme kuvveti radyal doğrultudadır. Yerdeğiştirme ise ipe teğet olduğundan; W ip =0 W işçi =-W yerçekimi =U 2 -U 1 =mg(y 2 -y 1 )= 120.9,8.0,6277 W işçi = 740 joule Esneklik Potansiyel Enerjisi 5
6
Esneklik Potansiyel Enerjisi Bir yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisi; Örnek İhmal edilebilir kütleli bir yayın sabiti k=1600 N/m dir. a) Yay 3.20 joule potansiyel enerji depolaması için ne kadar sıkıştırılmalıdır? b) Yayı bir ucundan zemine düşey olarak sabitledikten sonra yayın üst noktasına 0.80 m uzaklıktan 1.20 kg lık kitap bırakılıyor. Yayın en fazla sıkışabileceği mesafeyi bulun. 7
Örnek (devam) (b) K 1 +U 1 +W diğer =K 2 +U 2 W diğer =0 (hava direnci ihmal ediliyor) Örnek (devam) K 1 =0 K 2 =0 Kitabın son konumunda y=0 alınırsa; 8
Örnek (devam) d pozitif olmalı; Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler Korunumlu kuvvetin iki önemli özelliği vardır; 1) Bir kuvvetin, herhangi iki nokta arasında hareket eden bir parçacık üzerinde yaptığı iş, parçacığın aldığı yoldan bağımsızsa kuvvet korunumludur 2) Kapalı bir yol boyunca korunumlu bir kuvvetin parçacık üzerinde yaptığı iş sıfırdır. (Kapalı bir yol, başlangıç ve bitiş noktaları özdeş olan bir yoldur) 9
Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş; W=Ui-Us=-ΔU Korunumlu bir kuvvet tarafından yapılan iş, bu kuvvete ait potansiyel enerjideki değişimin negatifine eşittir. Korunumsuz kuvvetler Bir kuvvet mekanik enerjide değişmeye sebep olursa bu kuvvet korunumsuzdur. 10
İş-Enerji Teoremi Bir cisme hem konumlu hem de korunumsuz kuvvetlerin etki ettiğini düşünelim. Korunumlu kuvvetlerin yaptığı iş W C ve korunumsuz kuvvetlerin yaptığı iş W NC olsun. Net iş; W net =W C +W NC olur. Daha önce bir cisim üzerinde yapılan net işin kinetik enerjideki değişim olduğunu bulmuştuk. ΔK=W net =W C +W NC Korunumlu kuvvetlerin yaptığı iş de potansiyel enerjideki değişimin negatifine eşit olduğuna göre; W NC =ΔK+ΔU 11
Örnek Uzayın belirli bir bölümünde bir elektronu etkileyen kuvvet F=Cxj olsun. Burada C pozitif bir sabittir. Elektron saat yönünün tersine xy-düzleminde bir karenin etrafında dönmektedir. Karenin köşeleri (x,y) = (O,O), (L,O), (L,L) ve (O,L) olsun. Kuveet F nin, başlangıç noktasında başlayıp başlangıç noktasında biten bu hareket sonunda yaptığı işi bulunuz. Bu kuvvet korunumlu mu, korunumsuz mudur? F=Cxj W = P 2 P 1 F dl Leg 1: Kuvvet yerdeğiştirmeye dik W=0 Leg 2: Kuvvet yerdeğiştirmeye paralel F = CLj ve dl = dyj F dl = CLj dyj = CLdy W 2 = (L,L ) Örnek (devam) F dl = CLdy = CL dy = CL 2 (L,O) y =L y =0 L 0 12
F=Cxj Leg 3: Kuvvet yerdeğiştirmeye dik W=0 Örnek (devam) Leg 4: Kuvvet sıfır W=0 Toplam iş: W=W 1 +W 2 +W 3 +W 4 = 0+CL 2 +0+0 = CL 2 Mekanik Enerjinin Korunumu Korunumlu kuvvetler yolu ile etkileşen yalıtılmış cisimler sisteminde, sistemin toplam mekanik enerjisi sabit kalır!!! E=K+U K i +K s =U i +U s ΔK+ ΔU=0 13
Kathleen mi yoksa Paul mu kayağın sonunda daha hızlıdır? Kim yarışı kazanır? 14
Örnek Bir inşaat alanında işçi 65.0 kg beton dolu bir kova, hafif ama güçlü bir halat ve bu halatın içinden geçtiği hafif ve sürtünmesiz makarayla yatay bir zeminde duran 80.0 kg lık kutuya bağlıdır. Halat kutuya yatay olarak bağlıdır ve kutunun üzerinde 50.0 kg lık içi çakıl dolu bir çuval durmaktadır. Kutu ile zemin arasındaki kinetik sürtünme sabiti μ k =0.400, satatik sürtünme sabiti ise μ s =0.700 dür. a) Çuval ile kutu arasındaki sürtünme kuvvetini bulunuz. b) İşçi bşr anda çakıl dolu çuvalı kaldırıyor. Enerjinin korunumunu göz önüne alarak beton dolu kovanın hareketsiz olduğu noktadan 2.00 m aşağı indiğindeki süratini bulunuz. Örnek (devam) Çuval kaldırılınca kovanın aşağıya indiği nokta referans alınırsa, K 1 =0 y 1 =2.00m olur. Kutu ve kova birlikte hareket ettiği için; K 2 =(1/2) (m kutu +m kova )v 2 ve y 2 =0 dır. W diğer =-f k.d burada d=2.00 m dir. f k =μ k m kutu g 15
Örnek (devam) Çuval kaldırılmadan önce maksimum sürtünme kuvveti; Bu kuvvet kovanın ağırlığı olan 637 N dan fazladır. Bu durumda çuval üzerine yatay bir kuvvet etki etmediği için sürütnme kuvveti sıfırdır. Örnek (devam) Enerjinin korunumundan; m kova gy 1 -f k d=(1/2) m toplam v 2 v = 2(m kovagy 1 µ k m kutu gd) m toplam 16
Korunumlu Kuvvetler ile Potansiyel Enerji Arasındaki Bağıntı Bir kuvvetin yaptığı iş, kuvvetle ilgili potansiyel enerjideki değişimin negatifine eşit olduğunu biliyoruz. Yani, W=F x Δx=- ΔU. Kuvvetin uygulama noktası sonsuz küçük bir dx yerdeğiştirmesi yaparsa, sistemin potansiyel enerjisindeki sonsuz küçük du değişimi du= -F x dx olur. Kuvvet ve Potansiyel Enerji 17
Kuvvet ve Potansiyel Enerji (devam) Örnek Birbirinden büyük bir uzaklık olan x kadar ayrılmış bir hidrojen atomu çiftinin potansiyel enerjisi U(x)=C 6 /x 6 olarak verilmektedir (C 6 pozitif bir sabittir). Bir atomun diğeri üzerine uyguladığı kuvvet nedir? Kuvvet çekici mi yoksa itici midir? Kuvvet çekicidir! 18
Örnek 2.00 kg lık bir blok, ihmal edilebilir kütleli ve kuvvet sabiti k=400 N/m olan yayı 0.220 m sıkıştıracak şekilde ittiriliyor. Blok serbest kaldığında önce sürtünmesiz yatay bir düzlemde yol alıp daha sonra eğimi 37.0 olan sürtünmesiz bir düzleme tırmanıyor. a) Bloğun yaydan fırlatıldıktan sonra yatay düzlemde kayarken sürati nedir? b) Blok geriye kaymaya başlamadan önce eğik düzlem üzerinde ne kadar yol alabilir? Örnek-devam a) Yatay sürtünmesiz olduğu için mekanik enerjinin korunumundan; elde edilir. 19
Örnek-devam b) Bloğun eğik düzlem üzerinde alabileceği maksimum yol L ise bu noktadaki yükseklik Lsin(37.0 ) olur. Yine enerjinin korunumundan; Örnek Potansiyel enerji fonksiyonu U(x,y)=α(1/x 2 +1/y 2 ) olan korunumlu bir kuvvet, xy düzleminde hareket eden bir cisme etki ediyor (α pozitif bir sabittir). Birim vektörler i ve j cinsinden ifade edilen bu kuvvet için matematiksel bir ifade türetiniz. 20
Örnek 15.0 kg kütleli bir taş karla kaplı bir tepenin üzerindeki A noktasını 10.0 m/s lik süratle terk ederek aşağı doğru kaymaya başlıyor Tepe üzerindeki A ve B noktaları arasında sürtünme yoktur ancak tepenin taban seviyesindeki B noktası ile duvar arasında sürtünme bulunmaktadır. Taş parçası pürüzlü yatay bölgeye ulaştığında 100m yol giderek yay sabiti 2.00 N/m olan hafif çok uzun bir yaya çarpıyor. Taş ile yatay düzlem arasındaki statik ve kinetik sürtünme katsayıları sırayla 0.20 ve 0.80 dir. a) Taş B noktasına ulşatığında sürati nedir? b) Taş yayı ne kadar sıkıştırır? c) Yay tarafından durduruşduktan sonra taş parçası tekrar hareket eder mi? Örnek-devam Enerjinin korunumundan; K 1 +U 1 +W diğer =K 2 +U 2 B noktasındaki hızı; Taş yayı sıkıştırır ve durursa, bu durumda son hız 0 dolayısıyla K 2 =0 olur. Bu harakette ilk hız 22.2 m/s olarak alınırsa; 21
Örnek-devam c) Yay taşı durdurduğunda yayın uyguladığı geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü; Bu kuvvete karşı koyan yerdeki sürtünme kuvveti ise; bulunur. Bu durumda yay statik sürtünmeyi yenemez ve taş yayı sıkıştırdıktan sonra hareketsiz kalır. Örnek Değişken bir kuvvet olan F sürtünmesiz ve yarı dairesel bir yüzey boyunca teğetsel olarak sürekli uygulanıyor. Kuvvetteki yavaş değişimlerle w ağırlığında bir blok bağlı olduğu yayın gerilmesiyle nokta 1 den nokta 2 ye hareket ettiriliyor. Yayın kuvvet sabiti k dır. ve göz ardı edilebilecek bir kütleye sahiptir. Yayın usu a yarıçaplı bir daire üzerinde hareket ediyor. F kuvveti tarafından yapılan işi hesaplayınız. 22
Örnek-devam Yay yarım daire üzerinde aθ kadar gerilmiştir. 1 noktasını potansiyel için referans alırsak, 1 den 2 ye kütle çekim potansiyel enerjideki değişim; U 2 U 1 = mg(y 2 y 1 ) ΔU = mgasinθ Toplam potansiyel enerjideki değişim, kütle çekim ve elastik potansiyel enerjideki değişimdir; Örnek devam F kuvvetinin yaptığı iş enerjideki değişime eşit olmalıdır; W F =ΔK+ΔU olur. Cisim çok yavaş hareket ettiğinden kinetik enerjideki değişim 0 kabul edilir. Bu durumda W F 23
Örnek F = Cy 2 ˆ j Kuvveti, C negatif bir sabit ve birimi N/m 2 ise korunumlu mudur korunumsuz mudur? F = Cy 2ˆ i Kuvveti, C negatif bir sabit ve birimi N/m 2 ise korunumlu mudur korunumsuz mudur? F = Cy 2 ˆ j Örnek-devam Herhangi bir P 1 noktasından P 2 noktasına hareket sırasında yapılan iş; Bu durumda P 1 den P 2 ye hangi x değeri ile gidilirse gidilsin sonuç değişmez ve F kuvvetinin korunumlu olduğu sonucuna varılır. 24
F = Cy 2ˆ i Örnek-devam Benzer şekilde P 1 den P 2 ye gidilirken; Farklı noktalar farklı y ve x değerine sahiptir. Örneğin y nin sabit y 0 olduğu durumda iş; Dolayısıyla iş yola bağlıdır ve F kuvveti korunumsuzdur 25