Ders 8: Çok Kriterli Karar Verme

09.2.20 Genel Bakış Ders 8: Çok Kriterli Karar Verme 2 Tek bir amaç yerine çok sayıda kriter ile çalışmak suretiyle karar verme. Üç teknik: hedef programlama (goal programming), analitik hiyerarşi prosesi (analytical hierarchy process) ve puanlama modelleri (scoring models). Hedef programlama, amaç fonksiyonunda birden fazla amaç içeren bir doğrusal programlama çeşididir., karar vericilerin çeşitli kriterler üzerindeki karşılaştırmalarına göre her bir karar alternatifi için bir puan hesaplamakta ve alternatifleri sıralamaktadır.. Puanlama modelleri basit ağırlıklı puanlama tekniklerine dayanmaktadır. Örneği Problem Data ( of 2) Ürün karışımı problemi: Kase ve kupa üreten bir firma üretim için kil kullanmaktadır. Bir kase üretimi için 4 kg kil, bir kupa üretimi için kg kil gerekmektedir. Bir kase saatte, kupa ise 2 saatte üretilmektedir. Çeşitli nedenlerden dolayı firmanın sağlayabildiği kil miktarı günlük 20 kg ile sınırlıdır. Günde 40 saat çalışılmaktadır. Üretilen kaselerin her biri firmaya 40$, kupaların her biri ise 50$ kar bırakmaktadır. Verilen işçilik ve malzeme kısıtları altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim bileşimini seçmektir. Maximize Z = $40x 50x 2 subject to: x 2x 2 40 hours of labor 4x x 2 20 pounds of clay x, x 2 0 x = number of bowls produced x 2 = number of mugs produced Örneği Problem Data (2 of 2) 4 Firmanın önceliklerine göre hedefleri aşağıda sıralanmıştır: P P2 P P4 Şirket günlük işgücü kullanımının, 40 saatin altında olmasını istememektedir. Şirket günlük karının,.600$ dan düşük olmasını istememektedir. Kilin kurumaması için özel bir bölgede saklanması gerekliliği nedeniyle, şirket günde 20 kg. dan fazla kil bulundurmak istememektedir. Fazla mesai ücretleri çok yüksek olduğu için, şirket fazla mesai sürelerini minimum kılmak istemektedir. Tanımlar (/) Tanımlar (2/) Bir HP modeli genel olarak aşağıdaki formda ifade edilir: Min (Hedeflerden sapmaların toplamı) Kısıtlar Hedef denklemleri Fonksiyonel kısıtlar (varsa) Tüm değişkenler (karar ve sapma değişkenleri) için negatif olmama kısıtı Amaç: Bir sistemin arzu edilen bir durumunu tanımlamak için yönetim tarafından yapılan genel bir ifadedir. Hedef: Bu amaç için, yönetimin başarmayı istediği kesin bir ifadedir. Örneğin maliyeti minimum kılmak bir amaç ise, maliyetin x pb. seviyesinde tutulması bir hedeftir. 5 6 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN

09.2.20 7 Tanımlar (/) Sapma Değişkenleri Bu modelde tüm kısıtların aynı anda sağlanması mümkün olmadığı için, modelin hedef kısıtları ile yeniden kurulması gerekir. Bunun için her bir hedef için aşağıdaki değişkenler tanımlanır. d i (negatif sapma değişkeni) d i Sol taraf değerinin, sağ taraf değerinin altında kalması Hedef değerinin başarılamaması Hedef değerden negatif sapma d i (pozitif sapma değişkeni) d i Sol taraf değerinin, sağ taraf değerini aşması Hedef değerinin aşılması Hedef değerden pozitif sapma 8 Model Kurulumu Hedef Kısıtları ( of ) İşçilik hedefi: Kar hedefi: x 2x 2 d d = 40 (saat/gün) 40x 50 x 2 d 2 d 2 =,600 ($/gün) Malzeme hedefi: 4x x 2 d d = 20 (kg kil/gün) HP'de Hedef Kısıtlarının Formülünün Kurulmasındaki Temel İlkeler Durum : Eşitlik Durumu Bu durumda hedef kısıtı, negatif (d ) ve pozitif (d ) sapma değişkenlerinin her ikisini birden içerir. Amaç fonksiyonunda Pk (d d ) terimi yer alır. Bu durumda çözüm süreci aynı P k seviyesinde her iki değişkeni birden minimum kılmaya çalışır. Durum 2: 2A) Negatif Sapmaya Kayıtsız Kalınması ve Pozitif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda negatif sapmaya kayıtsız kalınır, pozitif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı, negatif (d ) ve pozitif (d ) sapma değişkenlerinin her ikisini birden içerir. Amaç fonksiyonunda sadece P k d terimi yer alır. 2B) Pozitif Sapmaya Kayıtsız Kalınması ve Negatif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda pozitif sapmaya kayıtsız kalınır, negatif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı, negatif (d ) ve pozitif (d ) sapma değişkenlerinin her ikisini birden içerir. Amaç fonksiyonunda sadece P k d terimi yer alır. 9 0 Durum : A) Negatif Sapmanın Kabul Edilmemesi ve Pozitif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda negatif sapma kabul edilmez, pozitif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı negatif sapma değişkeni içermez, sadece pozitif sapma değişkeni (d )içerir. Amaç fonksiyonunda sadece P k d terimi yer alır. B) Pozitif Sapmanın Kabul Edilmemesi ve Negatif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda pozitif sapma kabul edilmez, negatif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı pozitif sapma değişkeni içermez, sadece negatif sapma değişkeni (d ) içerir. Amaç fonksiyonunda sadece P k d terimi yer alır. Model Kurulumu Amaç Fonksiyonu (2 of ) İşçilik hedefi kısıtı (.öncelik işçilik hedefi; 4. öncelik minimum fazla mesai): Minimize P d, P 4 d Kar hedefi kısıtı (2.öncelik ): Minimize P d, P 2 d 2, P 4 d Malzeme hedefi kısıtı (. öncelik): Minimize P d, P 2 d 2, P d, P 4 d 2 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN 2

09.2.20 Model Kurulumu Model ( of ) Complete Goal Programming Model: Minimize P d, P 2 d 2, P d, P 4 d subject to: x 2x 2 d d = 40 40x 50 x 2 d 2 d 2 =,600 4x x 2 d d = 20 x, x 2, d, d, d 2, d 2, d, d 0 (labor) (profit) (clay) Hedef Kısıtlarının Alternatif Formları ( of 2) 4. öncelik hedefi olan fazla mesaiyi minimize etmek yerine 0 saatle sınırlandırılması durumunda: d d 4 d 4 = 0 minimize P d, P 2 d 2, P d, P 4 d 4 5. öncelik hedefi olarak bir hedef eklediğimizi düşünelim: Depo kapasite kısıtı nedeniyle günde 0 kaseden ve 20 kupadan fazla üretilememektedir : x d 5 = 0 kase x 2 d 6 = 20 kupa minimize P d, P 2 d 2, P d, P 4 d 4, 4P 5 d 5 5P 5 d 6 4 Yeni Model (2 of 2) Computer Solution Using Excel ( of ) Complete Model with Added New Goals: Minimize P d, P 2 d 2, P d, P 4 d 4, 4P 5 d 5 5P 5 d 6 subject to: x 2x 2 d d = 40 40x 50x 2 d 2 d 2 =,600 4x x 2 d d = 20 d d 4 d 4 = 0 x d 5 = 0 x 2 d 6 = 20 x, x 2, d, d, d 2, d 2, d, d, d 4, d 4, d 5, d 6 0 5 6 Computer Solution Using Excel (2 of ) Computer Solution Using Excel ( of ) 7 8 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN

09.2.20 Solution for Altered Problem Using Excel ( of 6) Solution for Altered Problem Using Excel (2 of 6) Minimize P d, P 2 d 2, P d, P 4 d 4, 4P 5 d 5 5P 5 d 6 subject to: x 2x 2 d d = 40 40x 50x 2 d 2 d 2 =,600 4x x 2 d d = 20 d d 4 d 4 = 0 x d 5 = 0 x 2 d 6 = 20 x, x 2, d, d, d 2, d 2, d, d, d 4, d 4, d 5, d 6 0 9 20 Solution for Altered Problem Using Excel (4 of 6) Solution for Altered Problem Using Excel (5 of 6) 2 22 Solution for Altered Problem Using Excel (6 of 6) Genel Bakış AHP farklı karar vericinin birden fazla amacı veya kriteri olması durumunda karar alternatiflerinin sıralanması ve en iyi alternatifin seçilmesi için kullanılan bir metottur. Karar verici, karar alternatiflerini birçok kriter üzerinden karşılaştırarak karar vermektedir. Seçim kararı, alternatifler arasından karar kriterlerini en iyi karşılayan alternatifin seçilmesi şeklinde verilir. AHP karar alternatiflerini karar vericinin kriterlerini karşılama derecesine göre sıralamak için her bir alternatife nümerik bir puan belirleme sürecidir 2 24 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN 4

09.2.20 Örnek Problem Southcorp Firması ülke çapında alışveriş merkezleri kuran ve işleten bir firmadır. Firma son projesi için üç alternatif belirlemiştir. Üç alternatif bölge: Atlanta Birmingham Charlotte. Alternatifleri karşılaştırmak üzere dört adet kriter belirlenmiştir: Pazar (Pazar büyüklüğü ve müşterilerin farklı yaş seviyelerine göre dağılımı) Gelir düzeyi Altyapı (imar) 25 26 Ulaşım (tedarikçi ve müşterinin ulaşımı için yollar) Karar Hiyerarşisi. düzey: amaç (en uygun yerin seçimi). 2. düzey: Dört adet kriterin amaca göre değerlendirilmesi. düzey: Üç alternatifin her bir kritere göre değerlendirilmesi Adımlar İkili Karşılaştırmalar Her bir kritere göre her bir alternatifin değerlendirilmesi Kriter önem derecelerinin belirlenmesi (kriterlerin önemine göre sıralanması) Önceki iki adımın birleştirilmesiyle her bir alternatif için bir puan elde edilmesi En yüksek puana sahip olan alternatifin seçilmesi Bir ikili karşılaştırmada iki alternatif bir kriter üzerinde karşılaştırılarak bir tanesi tercih edilir. Bu karşılaştırma sırasında aşağıdaki skala kullanılır: 27 28 İkili Karşılaştırma Matrisi 29 Bir ikili karşılaştırma matrisi bir kriter için ikili karşılaştırmaları özetlemektedir.. Customer Market Site A B C A B C / /2 5 2 /5 A B C Income Level Infrastructure Transportation /6 6 9 / /9 / /7 7 2 / /4 /2 4 Alternatiflerin Kriterler Üzerinde Değerlendirilmesi 0 Customer Market Site A B C A B C / /2 /6 5 9 2 /5 6/5 Customer Market Site A B C A 6/ /9 5/8 B C 2/ / /9 5/9 /6 5/6 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN 5

09.2.20 Alternatiflerin Kriterler Üzerinde Değerlendirilmesi Alternatiflerin Kriterler Üzerinde Değerlendirilmesi 2 Kriterlerin Ağırlıklandırılması İkili Karşılaştırma Matrisi: Criteria Market Income Infrastructure Transportation Market Income Infrastructure Transportation 5 / /4 /5 /9 /7 9 /2 4 7 2 Kriterlerin Sıralanması Market Income Infrastructure Transportation 0.99 0.655 0.0860 0.062 4 Toplam Puan Hesabı 5 Toplam puan: A nın puanı =.99(.502).655(.289).0860(.790).062(.56) =.09 B nin puanı =.99(.85).655(.0598).0860(.6850).062(.696) =.595 C nin puanı =.99(.80).655(.658).0860(.60).062(.224) =.54 Son Sıralama: Site Charlotte Atlanta Birmingham Score 0.54 0.09 0.595.0000 AdımlarÖzet 6 Karar alternatiflerini her bir kriter üzerinde değerlendirmek için ikili karşılaştırma matrisleri hazırlanır. İkili karşılaştırma matrisinin her sütunundaki değerlerin toplamı bulunur. Matristeki her sütundaki her değer ilgili sütun toplamına bölünür. Normalize matristeki satır değerlerinin ortalaması alınır Her bir kriter için bu işlemler tekrarlanarak birleştirilir. Kriterler için bir ikili karşılaştırma matrisi hazırlanır. Normaliz matris oluşturulur. Ağırlık vektörü oluşturulur. Her bir karar alternatifi için toplam puan hesaplanır. Karar alternatifleri sıralanır. Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN 6

09.2.20 : Tutarlılık 7 Consistency Index (CI): Tutarlılık Indeksi Örnek: Southcorp firmasının kriter ağırlıkları matrisindeki ikili karşılaştırmaların tutarlılığının analizi Adım : İkili karşılaştırma matrisi ile ağırlık vektörü çarpılır. Market Income Infrastruc. Transp. Criteria Market /5 4 0.99 Income 5 9 7 X 0.655 Infrastructure / /9 2 0.0860 Transportation /4 /7 /2 0.062 ()(.99)(/5)(.655)()(.0860)(4)(.062) = 0.828 (5)(.99)()(.655)(9)(.0860)(7)(.062) = 2.8524 (/)(.99)(/9)(.655)()(.0860)(2)(.062) = 0.474 (/4)(.99)(/7)(.655)(/2)(.0860)()(.062) = 0.247 8 : Tutarlılık Adım 2: Her bir değer ağırlık vektöründeki ilgili ağırlığa bölünür ve ortalama hesaplanır. 0.828/0.99 = 4.786 2.8524/0.655 = 4.648 0.474/0.0860 = 4.040 0.247/0.062 = 4.0422 6.257 Ortalama = 6.257/4 = 4.564 Adım : Tutarlılık indeksi hesaplanır: Consistency Index (CI) CI = (Ortalama n)/(n), where n is no. of items compared CI = (4.5644)/(4) = 0.052 (CI = 0 matrisin tam tutarlı olduğunu gösteriri) : Tutarlılık Analytical Hierarchy Process Excel Spreadsheets ( of 4) Adım 4: CI/RI Oranı hesaplanır. RI tablodan belirlenen rassal indextir. CI/RI = 0.052/0.90 = 0.0580 Note: CI/RI < 0.0 ise matris tutarlıdır denir. 9 40 Exhibit 9.2 Analytical Hierarchy Process Excel Spreadsheets (2 of 4) Analytical Hierarchy Process Excel Spreadsheets ( of 4) 4 Exhibit 9. 42 Exhibit 9.4 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN 7

09.2.20 Analytical Hierarchy Process Excel Spreadsheets (4 of 4) Scoring Model Overview Each decision alternative graded in terms of how well it satisfies the criterion according to following formula: where: S i = g ij w j w j = a weight between 0 and.00 assigned to criterion j;.00 important, 0 unimportant; sum of total weights equals one. g ij = a grade between 0 and 00 indicating how well alternative i satisfies criteria j; 00 indicates high satisfaction, 0 low satisfaction. 4 Exhibit 9.5 44 Scoring Model Example Problem Scoring Model Excel Solution Mall selection with four alternatives and five criteria: Grades for Alternative (0 to 00) Weight Decision Criteria (0 to.00) Mall Mall 2 Mall Mall 4 School proximity 0.0 40 60 90 60 Median income 0.25 75 80 65 90 Vehicular traffic 0.25 60 90 79 85 Mall quality, size 0.0 90 00 80 90 Other shopping 0.0 80 0 50 70 S = (.0)(40) (.25)(75) (.25)(60) (.0)(90) (.0)(80) = 62.75 S 2 = (.0)(60) (.25)(80) (.25)(90) (.0)(00) (.0)(0) = 7.50 S = (.0)(90) (.25)(65) (.25)(79) (.0)(80) (.0)(50) = 76.00 S 4 = (.0)(60) (.25)(90) (.25)(85) (.0)(90) (.0)(70) = 77.75 Mall 4 preferred because of highest score, followed by malls, 2,. 45 46 Exhibit 9.6 Modellemeye GirişYrd.Doç.Dr. Ceyda ŞEN 8