ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

Transkript

1 ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

2 GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler bir A matrisi ile çarpıldıkları zaman yön değiştirir, bazıları ise değiştirmezler. Bazı özel x vektörleri, Ax vektörü ile aynı yönde kalmaktadır. İşte bu vektörlere özvektörler denir. Bir özvektörün A matrisi ile çarpımı olan Ax vektörü, orijinal x vektörünün olmak üzere katıdır.

3 GİRİŞ Sonuç olarak temel denklem Ax x şeklindedir. Burada skaleri A matrisinin bir özdeğeridir. Bu skaler, özvektörün A matrisi ile çarpılması halinde elde edilen yeni vektörün uzunluğunun, orijinal x vektörüne göre büyüdüğü, küçüldüğü ya da aynı kalıp kalmadığı bilgisini vermektedir. Özdeğer sıfır değerini alabilir. Bu durumda Ax 0x olur ve özvektör x, sıfır uzayında tanımlıdır.

4 GİRİŞ Eğer A birim matris ise, Ix x olur. Bu durumda n 1 boyutlu tüm vektörler özvektördür ve A matrisinin tüm özdeğerleri 1 dir. A matrisinin varsayılsın. T n n : şeklinde bir doğrusal dönüşümün tanım matrisi olduğu Bu durumda Ax x eşitliği sağlanıyorsa x x T olur. Bunun anlamı, eğer x, A matrisinin özvektörü ise T dönüşümünün sonucunda x vektörünün görüntüsü bir skalerle çarpımı olan x vektörüdür.

5 GİRİŞ Ax x x Ax x x Ax 2x Özdeğer=2 Ax 1x Özdeğer=1 Ax 1x Ax Özdeğer=-1 Ax 0 Özdeğer=0 Ax 0

6 ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR Tanım: Özdeğer, Özvektör A bir nn boyutlu kare matris olsun. Eğer λ bir skaler ve x vektörü de sıfır olmayan, x 0 Ax x, bir sütun vektörü olmak üzere, eşitliği sağlanıyorsa x vektörü, A matrisinin özvektörü, λ skaleri de A matrisinin özdeğeridir. Aynı zamanda x, λ özdeğerine karşılık gelen özvektördür. Bir skaler olan λ, nn boyutlu A matrisi için Ax x denkleminde x in sonsuz çözümü olduğu durumda bir özdeğer tanımlar.

7 ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR Temel Özellikler Özdeğer λ sıfır değerini alabilirken, özvektör x asla sıfır vektörü olamaz. Özdeğer sıfır olduğunda Ax 0x, A matrisinin tersi alınamaz. Boyutu nn olan bir A matrisinin tersinin alınabilir olması için tüm özdeğerlerinin sıfırdan farklı olması gerekir.

8 ÖZ-UZAY Tanım: Öz Uzay Boyutu nn olan bir A matrisi için öz uzay, A matrisinin her bir özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörlerin oluşturduğu kümedir

9 ÖZDEĞERLER Teorem: Özdeğerlerin Sayısı Eğer λ, nn boyutlu A matrisinin özdeğeri ve x vektörü de bu A matrisinin özvektörü ise, 0 x olmak üzere, A I x 0 eşitliğinde det I 0 sağlayacak şekilde, A nın en fazla n adet farklı özdeğeri bulunur. n A ı n

10 ÖZDEĞERLER A I x 0denkleminin sonsuz çözümü sadece ve sadece deta I 0 n n olduğunda ya da diğer bir deyişle A I n matrisinin tersi alınamaz olduğu durumda vardır. Çünkü bu matrisin tersinin alınamaması demek her bir sütunda pivot elemanın olmaması ve dolayısıyla homojen denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması demektir. Bu durumun aksine A I n nin tersi alınabiliyorsa, ortaya çıkan tek çözüm sıfır çözümdür. Sonuç olarak A matrisinin özdeğerlerini bulabilmek için A I x 0 denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması gerekmektedir homojen n

11 ÖZDEĞERLER Teorem:Özdeğer ve Determinant Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımı, matrisin determinantına eşittir..... det( A ) 1 2 Teorem: Özdeğer ve İz Özdeğerlerin toplamı matrisin izine eşittir. n... trace a a... a 1 2 n Sonuç olarak özdeğerlerlerin toplamları ve çarpımları matrisin kendisi üzerinden hesaplanabilir. nn

12 ÖZDEĞERLER Teorem: Sıfır Özdeğeri ve Determinant Boyutu nn olan bir A matrisinin sadece ve sadece determinantı sıfır olduğunda tersi alınamaz. Özdeğerlerden en az biri sıfır ise bu determinant sıfır değerini alır. Tekil matrislerin en az bir özdeğeri sıfırdır.

13 ÖZDEĞERLER Matrislerin Toplamlarının ve Çarpımlarının Özdeğerleri:, A matrisinin özdeğeri, da B matrisinin özdeğeri olmak üzere, AB matrisinin özdeğeri değildir.. Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için A ve B nin aynı x özvektörüne sahip olmaları gerekir. Aynı şekilde A+B nin özdeğeri de değildir. Eğer x, hem A hem de B matrisinin özvektörü ise ABx x eşitliği geçerlidir. Bazı durumlarda tüm özvektörler ortaktır. Bunun sağlanabilmesi için AB=BA olmalıdır.

14 KARAKTERİSTİK DENKLEM Tanım: Karakteristik Denklem, Karakteristik Polinom det det I 0 A denklem sistemine A matrisinin karakteristik denklemi, n I 0 A polinomuna da karakteristik polinomu denir. A matrisinin n özdeğerleri, karakteristik polinomun kökleridir. Karakteristik denklem sadece değerlerini içerir, x değerlerini içermez. 2 2 lik bir 2 a b A c d matrisi için karakteristik polinom tracea det A şeklindedir. Not: Yukarıda verilen karakteristik polinom eşitliği sadece 2 2 lik matrisler için geçerlidir.

15 ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI Herhangi bir n n boyutlu matris için özdeğerler hesaplanırken şu adımlar izlenmelidir: n 1. A I n determinantı hesaplanır. Bu determinantın sonucu ya da başlayan, n-inci dereceden bir polinomdur. 2. det I 0 n ile A için polinomun kökleri bulunur. Bulunan n adet kök, A matrisinin n n adet özdeğerini tanımlar. Ayrıca bu değerler A I n yı tekil hale getirir. 3. Her bir değeri için A I x 0 Eğer A I x 0 n n çözülerek özvektör x bulunur. işleminin sonucunda x 0 sonucu bulunuyorsa, özdeğer değildir.

16 ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI Örnek: 2 1 A 1 2 matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz. 1.adım: A matrisinin karakteristik denklemi A ya da adım: Bu denklemin köklerinden özdeğerler, 1 ve 3bulunur.

17 ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI 3.adım: Özvektör denklemi A I x x x 2 0 veya x 2 x x x Bu bir homojen denklem sistemi olduğu için mutlaka bir çözüm vardır. n

18 ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI 1 için, x x x 1 2 x Burada 1 e karşılık gelen özvektör, x 0 için, 2 x olup, 1 1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.

19 ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI 3 için, x x x 1 2 x Burada 3 e karşılık gelen özvektör, x 0 için, 2 olup, x şeklinde bir öz uzay tanımlar.

20 BENZER MATRİSLER Tanım: Benzer (Similar) Matrisler A ve B nn boyutlu iki matris olmak üzere, 1 A PBP şeklinde tanımlanmış ve tersi alınabilir bir P matrisi mevcutsa bu iki matris benzer matrislerdir. Teorem: Eğer nn boyutlu iki matris benzer matris ise, karakteristik denklemleri ve buna bağlı olarak da özdeğerleri birbirine eşittir.

21 SATIR-DENK MATRİSLER Tanım: Satır-Denk Matrisler İki mn boyutlu matris sadece ve sadece aynı satır uzayına sahipse satır-denk matrislerdir. Yani satır işlemleriyle bir matris diğerine benzetilebilir durumdadır. Bu iki matrisin tanımladığı homojen denklem sistemleri aynı çözüm kümesine (aynı boş uzaya) sahiptir.

22 SATIR-DENK MATRİSLER Not: nn boyutlu A ve B matrisleri satır-denk matrisler ise benzer matris olmak zorunda değildirler. Örneğin satır-denk matrisler 2 0 A 0 1 ve 1 0 B 0 1 yi ele alınsın. Eğer bu iki matris benzer matris olsalardı 1 A PBP şeklinde tanımlanmış ve tersi alınabilir bir P matrisi ortaya çıkardı. B matrisi birim matris olduğu için A PIP 1 1 PP I olur. A matrisi birim matris olmadığı için A ve B matrisleri eş matrisler değillerdir. Ayrıca benzer matrislerin özdeğerleri birbirine eşit oldukları halde satır-denk matrisler için aynı durum söz konusu değildir.

23 KÖŞEGEN MATRİSLER Teorem: Köşegen Matris Boyutu n n olan simetrik bir A matrisinin n 1 boyutlu ve n adet doğrusal bağımsız özvektörleri x1, x2,..., x n olduğu varsayılsın. Bu özvektörleri sütunlarında barındıran P matrisine özvektör matrisi denir. P 1 AP matrisi ise özdeğer matrisidir. Bir A matrisinin özdeğer matrisinin tersi olan -1 P, A matrisi ile çarpılır ve elde edilen sonuç da P ile çarpılırsa, ortaya çıkan Λ matrisinin köşegen elemanları, A matrisinin özdeğerlerini verir. P x, x2,, 1 x n P AP Λ 0 0 n

24 KÖŞEGEN MATRİSLER İspat: A matrisi özvektörleri tanımlayan P matrisi ile çarpılsın. AP matrisinin ilk sütunu Ax 1 dir. Bu sütun 1x 1 vektörüne eşittir. P nin her bir sütunu özdeğerleri ile çarpılırsa, AP A x x x x 1 n 1 1 n n Burada yapılan işlem AP matrisini PΛ matrisine dönüştürmektir n 2 1x1 nxn x1 xn PΛ

25 KÖŞEGEN MATRİSLER Böylece aşağıdaki eşitlikler geçerli olmaktadır: -1 AP PΛ P AP Λ veya A PΛP -1 P matrisinin tersi vardır. Çünkü A matrisinin özvektörlerinin doğrusal bağımsız oldukları varsayılmıştı. Diğer bir deyişle n adet bağımsız özvektör olmaksızın köşegenleştirme işlemi yapılamaz.

26 KÖŞEGEN MATRİSLER Teorem: Özvektörler x,..., 1 x n ve bunlara karşılık gelen özdeğerler doğrusal bağımsız ise n farklı özdeğere sahip nxn boyutlu bir matris köşegenleştirilebilir. İspat: c 1x1 c2x2 0 olsun. A matrisini bulabilmek için bu ifadeyi önce 1 sonra da 2 ile genişletilsin. Daha sonra elde ettiğimiz sonuçları birbirinden çıkararak, 1c1x1 1c2 x2 2c1x1 2c2x2 0 0 c x x 0 sonucu elde edilir c2 2

27 KÖŞEGEN MATRİSLER Buradan c1 0 olduğu görülmektedir. Eğer lar birbirinden farklıysa ve x 0 ise, 1 c1 0 sonucu elde edilir. Aynı şekilde c2 0 dır. Başka herhangi kombinasyon c1x 1 c2x2 0 sonucunu vermez. Bu yüzden x 1 ve x 2 bağımsız olmak zorundadır.

28 KÖŞEGEN MATRİSLER Not: Ters alma ve köşegenleştirme işlemleri ile ilgili şu bilgilere dikkat edilmelidir; - Bir matrisin tersinin alınabilmesi özdeğelerine(sıfır olup olmadıklarına) bağlıdır. - Bir matrisin köşegenleştirilebilmesi ise özvektörlerinin doğrusal bağımsızlıklarına bağlıdır.

29 ÜST ÜÇGEN MATRİSLER Teorem: Üst Üçgen Matrisin Özdeğerleri Üst üçgen bir matrisin özdeğerleri, köşegen elemanların üzerinde tanımlıdır. Burada dikkat edilmesi gereken noktalar şunlardır: 1. Özdeğerler 1, 2,..., n birbirinden bağımsız ise özvektörler x1, x2,..., x n de bağımsızdır. Tekrar etmeyen özdeğerlere sahip herhangi bir matris köşegenleştirilebilir. 2. Özvektör matrisi P eşsiz değildir. Özvektörler sıfır olmayan herhangi bir sabit ile çarpılabilir A matrisini köşegenleştirmek için özvektör matrisi kullanılmak zorundadır. P AP Λ ifadesinden AP PΛ ve ayrıca özdeğer tanımından Ax x olduğu bilinmektedir. Bu eşitlikler ancak ve ancak x vektörünün bir özvektör olduğu durumda sağlanır.

30 MATRİSİN KUVVETLERİ Tanım: Matrisin Kuvvetleri Herhangi bir nn boyutlu A matrisi bir köşegen matris ile benzer matris olabiliyorsa köşegenleştirilebilirdir. Köşegenleştirilebilen bir A matrisi için A -1 PΛP eşitliği sağlanmalıdır. Burada P tersi alınabilir ve ise köşegen bir matristir. Bu özellik kullanılarak bir matrisin kuvvetleri kolaylıkla elde edilebilir.

31 MATRİSİN KUVVETLERİ Örneğin A köşegenleştirilebilir bir matris olmak üzere A 3 ü bulunsun A 3 PΛP PΛP PΛP PΛP PΛP PΛP PΛP PΛ P P Λ P P ΛP PΛΛΛP 3-1 PΛ P olur. Bu durum genellendiğinde, eğer A -1 PΛP ise A k k -1 PΛP olur.

32 MATRİSİN KUVVETLERİ Teorem: Bir n n boyutlu A matrisi ele alındığında, A nın tüm kuvvetleri için özvektörler sabit kalır. Özdeğerler ise A matrisinin kuvveti ile orantılıdır. Diğer bir deyişle eğer x, A matrisinin özvektörü ise, aynı zamanda A 2, A 3,,A t nin de özvektörüdür. A A A 2 3 k 2 x x 3 x x k x x (k pozitif bir tam sayı olmak üzere) A k matrisi için özvektör matrisi hala P dir. Fakat özdeğer matrisi k Λ olur. Teorem: A matrisinin özdeğerleri ise matrisinin özvektörleri ile aynıdır. 1 A matrisinin özdeğerleri 1 olup özvektörleri A

33 TEOREMLER Teorem: Her bir simetrik matris A T QΛQ şeklinde reel özvektörlerden oluşan Λ ve ortanormal özvektörlerden oluşan Q için bir faktörizasyona sahiptir. Teorem: A ve B köşegenleştirilebilen matrisler olsun. Eğer AB=BA eşitliği sağlanıyorsa bu iki matris aynı özvektör matrisi P ye sahiptir. Teorem: Reel simetrik bir matrisin özdeğerleri reeldir. Teorem: Reel simetrik bir matrisin özvektörleri her zaman birbirine diktir. Teorem: Bir n n boyutlu A matrisi için birbirinden farklı özdeğerler,..., 1 n ve bunlara karşılık gelen özvektörler 1,..., n x x ise, x,..., 1 xn kümesi doğrusal bağımsızdır.

34 SİMETRİK MATRİSLER Simetrik Matrisler: Simetrik matrislere ilişki önemli iki özellik şunlardır: 1. Simetrik bir matrisin özdeğerleri birbirinden farklı ve reeldir. 2. Simetrik bir matrisin özvektörleri ortanormal(uzunlukları bir ve iç çarpımları sıfır olan vektörler ortanormaldir) hale dönüştürülebilir. Simetrik bir matris için A=A T eşitliği geçerlidir. Bu eşitliği özdeğerler ve özvektörler açısından incelensin. -1 T -1 A PΛP eşitliğinin transpozu alınıırsa T T A P ΛP olur. A=A T olduğu için ilk formdaki -1 P, ikinci formdaki T P a eşit olmalıdır. O halde T P P I dir. Bunun anlamı: P deki her bir özvektör diğer özvektörlere ortogonaldir (özvektörler birbirine diktir ve çarpımları sıfırdır).

35 SİMETRİK MATRİSLER Ayrıca A T matrisinin özdeğerleri A matrisinin özdeğerlerine eşittir. H izdüşüm matrislerinin özdeğerleri 0 ya da 1 R yansıma matrislerinin özdeğerleri 1 ya da 1 dir. dir. Her bir simetrik matrisin özvektör matrisi P, ortogonal bir matris olan Q ya dönüşür. Ortogonal matrisler için Q Q eşitliği geçerlidir. 1 T

36 SİMETRİK MATRİSLER Teorem: Simetrik bir A matrisinin 1 ve 2 ile tanımlanan iki farklı özdeğerine karşılık gelen özvektörleri x 1 ve x 2 olsun. Bu durumda x 1 ve x 2 ortogonal vektörlerdir.

37 SİMETRİK MATRİSLER İspat: Ax olduğundan, x x ve Ax 2 2x2 1 1x1 T T 2Ax 1 1x 2x1 T T 1Ax 2 1x 1x2 İlk eşitliğin transpozu alınarak, x T T T 1A x2 1x 1x2 ve ikinci eşitlikten çıkarılarak (A=A T olduğundan), 1 2 x T x özdeğerler 1 2 olduğundan, x T 1x2 İspat tamamlanır. 0

38 CHOLESKY AYRIŞIMI Teorem: Eğer A boyutu nn rankı rn ve pozitif yarı tanımlı matris ise L köşegen elemanlarının r adedi pozitif ve n-r adedi sıfır olan bir alt üçgen matris olmak üzere, A=L T L şeklinde ayrıştırılabilir

39 CHOLESKY AYRIŞIMI Cholesky Ayrışımı: Tüm pozitif tanımlı simetrik A matrisleri T A LL şeklinde ayrıştırılabilir. Burada L, köşegen elemanları pozitif olan bir alt üçgen matrisidir. L matrisine A matrisinin Cholesky faktörü denir.3 3 lük bir A matrisi için Cholesky ayrışımı şu şekilde yapılır: l 0 0 l l l T l21 l l22 l 32 l31 l32 l l 33 A LL l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

40 CHOLESKY AYRIŞIMI L matrisinin elemanları şu şekilde elde edilir: k1 2 kk kk kj j1 l a l l a l l i1 1 ki ki ij kj lii j1, i>j için