tüdegs/d mühendslk Clt: Sayı: Ağustos 00 Genetk algotmalala smülatö kontolünde PD katsayılaının optmzasyonu Sat N.YUR *, İbahm ÖZKO İÜ Uçak Uzay Blmle Fakültes,Uçak Mühendslğ Bölümü, 8066, Maslak, İstanbul Özet Bu çalışmada b plotu eğtmek amacıyla uçuş sıasında oluşablecek bbn takp eden haeketle sonucundak kuvvet ve momentlen uçuş smülatöüyle oluştuulması tasalanmaktadı. Bu sebeple bu tasaım çn 6-3 Stewat Platfom Mekanzması (SPM) kullanılmaktadı. Elde edlen dnamk modeln kontolü çn, ayak uzunluğuna dayanan b PD kontol algotması uygulanmıştı. PD katsayılaının optmzasyonunda Geçel kodlanmış Genetk Algotmala (GA) kullanılmıştı. Daha hızlı ve efektf b pefomans elde etmek çn GA da seçlen uygunluk fonksyonu, sstemn bm basamak cevabına lşkn maksmum aşım, yeleşme zamanı ve kalıcı hatayı çemekted. Son olaak ele alınan sstemn pefomansı lteatüdek çalışmala le kaşılaştıılmıştı. Anahta Kelmele: Paalel mekanzmala, Dnamk Analz, PD kontol, Genetk Algotmala. Optmsaton of the PD coeffcents n a flght smulato contol va GAs Abstact In ths study the desgn of moton-based flght smulatos s caed out by specfyng the pefomance equed of the moton cueng mechansm, to geneate tanslatonal and angula motons, as a 6-3 Stewat Platfom Mechansm hese motons ae ntended to appoxmate the specfc foces and angula acceleatons encounteed by the plot n the smulated acaft. Fstly, the dynamcs of ths 6-3 Stewat Platfom Mechansm s gven n closed fom as n ou eale study. hen, fo the contol of obtaned dynamc model, a leg-length based PD algothm s appled. In the optmsaton of the appled PD algothm s coeffcents, Real Coded Genetc Algothms (GAs) ae used. So as to have faste and effectve system s pefomance, the ftness functon chosen, n Genetc Algothms, havng maxmum oveshoot value, settlng tme and steady state eo whch ae obtaned fom the unt step esponse. he pefomance of the system studed s compaed to the smla studes n the lteatue exst, eveals that the pefomance obtaned about thee tmes bette than any pefomances fo the smla system, gven n the lteatue. Futhemoe, achevement n the system pefomance can be nceased by usng moe adaptve algothms by whch t s possble to make pecse eal tme contol. Howeve, n ode to manage ths goal, the dynamcal model needed futhe mpovement such as fcton modellng on the movng sufaces. Keywods: Paallel mechansm, dynamc analyss, PD Contol, GAs. * Yazışmalaın yapılacağı yaza: Sat N. YUR. syut@yahoo.com; el: () 85 3 00. Bu makale, bnc yaza taafından İÜ Uçak Uzay Blmle Fakültes'nde tamamlanmış "6-3 Stewat platfom mekanzmasının knematk, dnamk analz ve kontolü" adlı doktoa teznden hazılanmıştı. Makale metn 04.0.00 tahnde degye ulaşmış, 3.05.00 tahnde basım kaaı alınmıştı. Makale le lgl tatışmala 3..00 tahne kada degye göndelmeld.
S. N. Yut, İ. Özkol Gş Son yıllada, paalel mekanzmala çeştl dsplnledek bçok aaştımacının lgsn çekmekted. Bu çalışmada b uçuş smülatöünde plotun algılaması geeken bbn takp eden haeketle oluştuacak doğusal ve açısal vmelenmele oluştuacak b mekanzmanın tasalanması amaçlanmaktadı. Bu haeketlele, smüle edlen uçaktak plotun kaşılaştığı özel vmelee b yaklaşım yapılması ve plotun zledğ ekan le kend vücudunun algıladığı vmelenmele aasında b uyumun sağlanması amaçlanmaktadı. Bu haeketle geçekleşten Stewat platfomu söz konusu geeksnmlen b fonksyonu olaak boyutlandıılabl. (Red ve Nahon, 988, Advan v. dğ., 999). Stewat platfom mekanzması (SPM) boylaı değşeblen bacaklala bbne bağlanmış k jt csmden oluşan, altı sebestlk deecel b mekanzmadı. Bu paalel mekanzma yapısı, 965 te D. Stewat taafından uçuş smülatöü olaak sunulan mekanzmanın genelleştlmes le elde edl. Stewat platfomunun uçuş smülatöü olaak kullanılmasından sona bu yapıda se-paalel veya tamamen paalel olaak kullanılmasına yönelk bçok değşklkle önelmşt. Son bkaç yılda bçok aaştımacı paalel mekanzmala konusuna knematk ve dnamk olaak bazı açıladan genşlk kazandımıştı. Genelleştlmş Stewat platfomu he k ucun-da küesel mafsal veya b ucunda küesel dğe ucunda ünvesal mafsal bulunan altı adet bacak le bbne bağlanmış, b sabt dğe haeketl k adet platfom çemekted (Şekl ) (Dasgupta ve Muthyunjaya, 998a). Bu çalışmada kolay kontol edleblen daha kuvvetl b paalel mekanzma oluştuablmek çn ncelenen 6-3 Stewat Platfom mekanzmasındak uzayıp kısalablen ayakla bleştleek üst platfoma bağlanmışladı. He b bacağın alt paçası ünvesal mafsal kullanılaak alt platfoma bağlanmıştı. Bu ünvesal mafsallaın sabt eksenle alt platfom düzlemnde ve üst taaftan bleştlen bacaklaın alt noktalaından geçen doğu yönünded. Ana Platfom Haeketl Platfom Şekl. Stewat Platfom mekanzmasının genel b göünüşü He b bacak çftnn üst paçalaı döne mafsal kullanılaak bbne bağlanmıştı. Bacak çftlenn belledğ düzlemn üzende bulunan döne mafsallaın dönme mekezne küesel b mafsal yeleştlmşt. Bu döne mafsallaın haeketl üst platfoma bağlantısı, söz edlen bu küesel mafsallala sağlanmaktadı. He k platfoma, bacaklaa at kütle tanımlamalaı ve atalet momentle le 6-3 UPS SPM n dnamk denklemlenn tüetlmesne at metodoloj, kaynak (Yut ve Ozkol, 00) ta göstelmşt. Buada Newton-Eule yaklaşımıyla gelştlen dnamk modelde bütün mafsallaa at sütünmele göz önüne alınmıştı. Dnamk Model Son yıllada paalel mekanzmalaın knematğ ve dnamğ üzene patk ve teok bçok çalışma yapılmaktadı. Paalel mekanzmalaın dnamk modelnn kuulmasına yönelk olaak, agange yaklaşımı, Newton-Eule yaklaşımı ve vtüel ş pensbnn kullanılması gb metotla önelmşt (ee ve Shah, 988; ebet v. dğ., 993). Dnamk denklemlen çıkaılmasında Vtüel ş pensbnn kullanılması, paalel mekanzmalaın tes dnamğ çn daha uygundu (Wang ve Gosseln, 998; sa, 000). Dğe taaftan agange yaklaşımı y yapılandıılmış b fomülasyon olmakla blkte metodun geektdğ kısm tüevlen bulunmasında yüklü mktada sembolk hesaplamala geektmekte-
Smülatö kontolünde PD katsayılaının optmzasyonu d (ee ve Geng, 993; Pang ve Shahnpoo, 994; u ve u, 000). Bununla blkte, Newton-Eule yaklaşımında bağlantı elemanlaı aasındak bütün kısıtlayıcı kuvvet ve momentlen hesaplanması geek (Dasgupta ve Muthyunjaya, 998b). Gelştlen dnamk modele bağlı olaak kuvvetle ve momentle bu çalışmamızda yaptığımız gb smülasyonun kontol paametele le lşklendlebl. Başlangıçta, dnamk modeln oluştuulmasında kullanılacak platfoma at büyüklükle tanımlayalım. Buada q, üst platfomun kend eksen takımında köşe koodnatlaı ve R dönüşüm mats olmak üzee, bacak vektöü S y: q R p S = ( :,,,6 ) () =, ( :,,..,6) () q + t b şeklnde yazablz. İnds kaışıklığını önlemek amacıyla, üçgen olan üst platfomun köşele yukaıdak fadelede {p, p, p, p, p 3, p 3 } gb k kee sayılmış ve köşe sayısı altı olaak düşünülmüştü. Bu sstemde kşel guuplanan bacaklaın uç noktalaının hızlaı aynı olacaktı. Bacaklaa at hızlaı: S & = ω q + t&, ( :,,...,6) (3) şeklnde yazablz. Ayıca bacaklaın uzunluklaı, ve bm vektöle, s, aşağıda velmşt: s = S / (4) = S (5) Bacaklaa at büyüklükle kend eksen takımlaında velmekted. Bacaklaa at dnamk denklemlen se sabt eksen takımında veya ona paalel b eksen takımında yazılması geekmekted. Bunun çn kullanılacak dönüşüm mats, k bacağa bağlanan ünvesal mafsalın sabt dönme eksen doğultusu olmak üzee: xˆ yˆ zˆ = s = ( k = xˆ ; s ) / yˆ k s ; (6) = xˆ yˆ zˆ ] (7) [ şeklnde seçlebl. Bundan sona, kend eksen takımında velen ayağın alt ve üst kısımlaının ağılık mekez koodnat vektöle ve atalet momentle: =, (8) d d0 = ( v + 0 ) (9) u u v = [ 0 0 ] (0) I = I, () I d u d0 [ Iu mu 0 + = dag( 0 )] () şeklnde yazılabl. Bacağın alt ve üst kısmı a- asındak hız ve bacağa at açısal hız aşağıda velmşt: & W = s S&, (3) = s S& / (4) İvme Analz Ayağın üst platfoma bağlandığı noktanın vmesn, ayağa at S vektöü fadesnden: S&& = && s + W & s + W ( W S ) + A S (5) şeklnde veya üst platfoma at S vektöü fadesnden: S & = a + U (6) p a = & t&+ α (7) p q ( ω ) U = (8) ω q şeklnde yazablz. Yukaıdak fadelede bacağın açısal vmesn gösteen A ve bacağın k paçası aasındak kayma haeketnn vmesn gösteen & ye at fadele (5)ve (6) nolu denklemleden yaalanaak: & = s a + u (9) u P = s U s ( W { W S }) (0)
S. N. Yut, İ. Özkol A = P + ( s a ) U () = ({ s U } & W ) () U şeklnde elde edeblz. Bacağın alt kısmının sadece dönme ve üst kısmının hem dönme hem de öteleme haeket yaptığı göz önüne alınısa, alt ve üst kısmın ağılık mekezlenn vme fadele a d ve a u sıasıyla: a d = P d + ( s a ) U3 (3) Buada, M u = platfoma bağlantı noktasındak döne mafsal sebebyle oluşan moment CuW, = ünvesal mafsalın vskoz sütünmesnden oluşan eaksyon kuvvet M Ut = bacaklaın kend eksen etafında dönememes sonucu oluşan moment A, = bacaklaın açısal vmes W, = bacaklaın açısal hızı olaak tanımlanmıştı. a = ( s a P ) s + ( s a P ) U + U 4 U (4) U 3 U d + W ( W d ) = (5) U 4 = us + U + & W s şeklnde yazılabl. u + W ( W u ) (6) Dnamk Denklemlen üetlmes İkşel guplanmış bacaklaın haeketl paçalaına at kuvvet dengesn, paçalaın vmesz haeket yaptığını kabul edeek aşağıdak gb yazablz (Şekl ): F m g. s C & F + ( ) F. s = 0 (7) U p S Buada, F = bleştlen bacaklaın bbne uyguladıklaı kuvvetle F I = pstona uygulanan basınç F S, = bacaklaa üst platfomun uyguladığı kuvvet Cp, = pzmatk mafsal sebebyle bacaklaa uygulanan kuvvet olaak tanımlanmıştı. Bacağın bütünü çn alt bağlantı noktasına göe Newton-Eule fomülasyonunu kullanaak moment dengesn yazalım: m d + S + M d + W ( I ( F U a d S s d + m + I + ( + C U + ) F U U U U U + ( I d + I U ) W = ( mdd + muu ) g ) + M (8) W a ) A Şekl. Ayak çftlene uygulanan tüm kuvvet ve momentle Bacaklaın alt kısımlaı ünvesal mafsalla bağlı olduğu çn ağılık mekezn gösteen vektöle aşağıdak gb belleyeblz (Şekl 3). Şekl 3. Bacaklaın alt ve üst kısımlaının ağılık mekezle(d, u) ve bacak bm vektöü(s) ds us K d = = d u =. s. s d ds s (9) (30) (3)
Smülatö kontolünde PD katsayılaının optmzasyonu K U = U Us s (3) Yukaıda velen tüm tanımlamalaı kullanaak ve aşağıdak sadeleştmele yapaak: Q + + U + = [ E ] [ s s ] m d [ K K ] + [ K K ] d mu [ K s ] + ~ s ( I + I ) U d 3 d d U 5 d d ( I d + IU ) U ( m V = m [ & + m U U md( ds ) + m 3 U + m [ ~ s ] U + W ( I U U d ) g + C 5 = C p + mug s ] s 0 ~ s = sz s y s s 0 x z s y s 0 x U d U m U + I W U + U U 5 U 4 ) W s ( US ) (33) (34) (35) (36) bacaklaın üst platfoma uyguladıklaı tepk kuvvetn: [ Q ] a p + V5 s F F S = (37) şeklnde fade edeblz. Haeketl Üst Platfoma At Denklemle Üst platfom çn kuvvet ve moment denges yazalım (Şekl 4): 6 Mg + RFExt FS Ma = 0 (38) = MR p a + I pα + ω ( I pω) = 6 q F + Mg + S = = 3 M f + RM Ext (39) (38) ve (39) fadelendek denklemle bleştl ve duum denklem tazında fade edl se: t RFext J & + η = HF+ (40) α RMext denklemlen elde edez. Şekl. 4. Haeketl üst platfoma uygulanan kuvvetle ve momentle Smülasyon ve Kontol Dnamk model ayıntılı b şeklde elde edlen sstemn smülasyonu, Matlab paket pogamındak 4-5 deece Runge-Kutta metodu kullanılaak geçekleştlmşt. Bugüne kada yapılan bçok çalışmada olduğu gb üst platfomun konumunu ve yönelmesnn bellenmes, ayak uzunluklaının ölçümlene dayanılaak geçekleştlmşt. nee sensöle kullanılaak elde edlen bu ölçümle, doğu b konum ve yönelmey smüle etmek çn knematk denklemlede kullanılı. Bu çalışmada bacak uzunluklaının ölçüldüğü kabul edlmşt. Bu blnen değelen kullanılmasıyla ayakladak pstonlaa uygulanması geeken F kuvvetle: F = ( K ) {( ) } ( K ) & 0 (4) p şeklnde gelştlen b PD algotmasıyla bellenmekted. Buada K p oantı katsayısı ve K d tüev katsayısıdı. Dnamk sstemn smülasyonu, başlangıç değele t& 0, θ & 0, t 0, θ0, 0, stenen bacak uzunluklaı () d, zaman adımı h=0.00 s ve (K p ) =8809, (K d ) =379 olmak üzee 000 adım çn Şekl 5' te sunulmuştu. t = [ 0.0 0.0 ] 0 [ 0.0 0.0 0. ] & t 0 = 0 [ 0.0 0.0 0. ] θ 0 = 0 [ 0.00 0.00 0. ] θ & 0 = 00 [.8.8.8.8.8. ] ( ) 0 = 8 d
S. N. Yut, İ. Özkol d [.5.5.5.5.5. ] ( ) = 5 He b ayağın geometk ve yapısal özellkle aynı olduğundan bacakladak pstonu kontol etmek çn seçlen PD katsayılaı bbyle aynı olacaktı. Buada yapılan kabule göe genetk algotmala kullanılaak yapılan optmzasyon şlem tek b K p ve K d değe çn yapılmıştı. Daha hızlı ve efektf b algotma elde etmek çn seçlen uygunluk fonksyonunda smüle edlen sstemn basamak cevabından elde edlen maksmum aşım (M a ), yeleşme zamanı ( s ) ve kalıcı duum hatası (e ss ) bağımsız değşkenle olaak kullanılmaktadı. f = M a + s + e ss (4) Yukaıda bahsedlen bu değelen hesaplanması çn sstemn smülasyonu he b gen çn teka çalıştıılmıştı. He b popülasyonda 30 gen olmak üzee 0 popülasyon oluştuulmuştu. Çapazlama olasılığı 0.8, mutasyon olasılığı 0.00, tunuva olasılığı 0.7, ve mutasyon ölçeğ 0. olaak seçlmşt. Sonuçla Buaya kada bahsedlenle kısaca b özetlesek, göz önüne alınan uçuş smülatöünün tasaımı, plota geçekç b uçuşu yaşatmak üzee, dsplnle aası koodnel b çalışmayı geekten b aktvted. Bu tasaımı geçekleşteblmek çn dnamk denklemle ayıntılı b şeklde çıkaılmıştı. Uygulanan kuvvetle ve momentlee göe konum ve yönelmedek doğuluğu elde etmek üzee haeketl platfomu kontol etmek çn bacak uzunluklaına dayanan PD algotması gelştlmşt. Böylece yüksek pefomanslı b sstem elde edlmşt. Bunu sağlamak çn GA dak seçlen uygunluk fonksyonu, maksmum aşım, yeleşme zamanı ve kalıcı duum hatasını çemekted. Elde edlen sstemn pefomansı lteatüdek sonuçlala kaşılaştııldığında üç kat daha y b sonuç elde edlmşt. Şekl 5. İncelenen dnamk ssteme at üst platfomun konumunu, yönelmesn ve bacak uzunluklaını gösteen smülasyon sonuçlaı
Smülatö kontolünde PD katsayılaının optmzasyonu ablo. teatüdek çalışmalala ncelenen sstemn pefomansının kaşılaştıılması SİSEM PERFORMANSI Yeleşme Zamanı (s),,... 6 Maksmum Aşım (%),,... 6 Kalıcı Duum Hatası (%),,... 6 teatüdek çalışma (Dasgupta and Muthyunjaya, 998) 0.670 0.0940 0.760 0.0980 0.740 0.0970 0.560 0.070 0.380 0.060 0.870 0.0990 8.59 0.49 7. 0.3 7.0 0.45 5.73 0 6.87 0 6.79 0.85.78 0.83 3.6 0.86.64 0.63.84 0.57.54 0.7.7 0.69 GA kullanılaak optmze edlen PD katsayılaı le elde edlen sstem pefomansı Ekle Platfoma at tanımlamala Alt Platfom köşe noktalaı - 0.60 -.8599.6378.586 -.974-0.0988 b 3 4 5 b6 = -.03-0.89-0.5563 -.06.4084 3.08 [m] 0 0 0 0 0 0 [ b b b b ] Üst platfom köşe noktalaı (Sabt efeans eksen takımında) -.0 -.0.0.0 -.0 -.0 p 3 4 5 p6 = -.333 -.333 -.333 -.333.666.666 [m] 0 0 0 0 0 0 [ p p p p ] Ünvesal mafsalın sabt eksen yönündek bm vektöle 0.6 0.6 0.35 0.35-0.83-0.83 [ k k k3 k4 k5 k6 ] = 0.8 0.8-0.9363-0.9363 0.5546 0.5546 [m] 0 0 0 0 0 0 Ayaklaın alt ve üst paçalaının ve üst platfomun atalet matsle 0.050 0.003 0.004 0.005 0.00 0.00 0.0 0.005 0.007 Ip0 = 0.003 0.040 0.003 Iu0 = 0.00 0.00 0.00 Id0 = 0.005 0.00 0.003 0.004 0.003 0. 0.00 0.00 0.003 0.007 0.003 0.00 Küesel, ünvesal ve pzmatk mafsallaa at vskoz sütünme katsayılaı C u = 0.000, C p = 0.00, C s = 0.000,
S. N. Yut, İ. Özkol Kaynakla Advan, S. K., Nahon M. A., Haeck N. ve Albonda, J., (999). Optmzaton of sx Degees-of-feedom Moton Systems fo Flght Smulatos, Jounal of Acaft, 36, 5, 89-86. Dasgupta, D. ve Muthyunjaya,. S., (998a). Closedfom dynamc equatons of the geneal Stewat platfom though the Newton-Eule appoach, Mechansm and Machne heoy, 33, 993-0. Dasgupta, D. ve Muthyunjaya,. S., (998b). A Newton-Eule fomulaton fo the nvese dynamcs of the Stewat platfom manpulato, Mechansm and Machne heoy, 33, 35-5. ebet, G., u, K. ve ews, F.., (993). Dynamc analyss and contol of a Stewat platfom manpulato, Jounal of Robotc Systems, 0, 69-655. ee, J. D. ve Geng, Z., (993), A Dynamcal Model of a Flexble Stewat Platfom, Compute and Stuctues, 48, 3, 367-374. ee, K. ve Shah, D., (988). Dynamc analyss of a thee-degees-of-feedom n paallel actuated manpulato, IEEE ansactons on Robotcs and Automaton, 4, 36-367. u, M.,, C. X. ve, C. N., (000). Dynamc analyss of the Gough-Stewat platfom manpulato, IEEE ansactons on Robotcs and Automaton, 6, 94-98. Pang, H. ve Shahnpoo, M., (994). Invese Dynamcs of a Paallel Manpulato, Jounal of Robotc Systems,, 8, 693-70. Red,. D. ve Nahon, M. A., (988). Response of alne plots to vaatons n flgth smulato moton Algothm, Jounal of Acaft, 5, 7, 639-646. Stewat, D., (965-66). A Platfom wth sx degees of feedom, Poceedngs Insttuton of Mechancal Engnees, 80, 37-386. sa, -W, (000). Solvng the nvese dynamcs of a Stewat-Gough manpulato by the pncple of vtual wok, Jounal of Mechancal Desgn, ansactons of the ASME,,, 3-9. Wang, J. ve Gosseln, C. M., (998). A New Appoach fo the Dynamc Analyss of paallel Manpulatos, Multbody System Dynamcs,, 37-334. Yut, S. N. ve Ozkol, I., (00). A Study on the Dynamc Analyss and Contol of 6-3 Stewat Platfom Mechansm, EECO 00 Second Intenatonal Confeence on Electcal and Electoncs Engneeng, Novembe, 37-3.
Smülatö kontolünde PD katsayılaının optmzasyonu