RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

Transkript

1 RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

2 Rjt csmn knetğ, csme etk eden kuvvetler le csmn şekl, kütles ve bu kuvvetlern yarattığı hareket arasındak bağıntıları nceler. Parçacığın knetğ konusunda csm yalnızca kütle merkeznden baret br nokta gb ele almıştık ve csme etkyen tüm kuvvetler bu noktadan geçmek zorundaydı. Rjt csmde se csmn gerçek boyutları le brlkte, kuvvetlern csme uygulandıkları noktaların yer de göz önüne alınacaktır. Csmn tamamının yaptığı hareketn yanı sıra, csmn kend kütle merkez etrafındak hareket de ncelenecektr.

3 Kütle-Kuvvet-İvme Bağıntıları enel Hareket Denklemler Statkte, csme etkyen kuvvet sstem keyf olarak alınan br noktaya br bleşke kuvvet ve br bleşke kupl moment olarak ndrgeneblyordu. Yan kuvvet sstem sonsuz sayıda bleşkeyle yer değştreblyordu. Eğer bu keyf noktayı rjt csmn kütle merkez olarak alır ve bleşkey bleşke kuvvetn doğrultusu bu noktadan geçecek şeklde yerleştrrsek dış kuvvet sstemnn etksne csmn verdğ dnamk yanıtı (Dynamc Response) aşağıdak gb canlandırablrz:

4 SCD Eşdeğer Kuvvet-Kupl Dyagramı Knetk Dyagram (a) (b) (c) F ma M H 1) Csme etkyen dış kuvvetlern gösterldğ SCD ) Bleşke kuvvetn ye ndrgendğ eşdeğer kuvvet-kupl dyagramı 3) Bunların sonucunda csmn bunlara verdğ dnamk yanıt (davranış)-knetk dyagram

5 RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKET DENKLEMLERİ xy düzlemnde genel hareket yapan csmn kütle merkez doğrusal vmesne ve csm w açısal hızı ve a açısal vmesne sahp olsun. enel hareket yapan bu csmn kütle merkezne göre neye eşt olduğunu çıkaralım ve daha sonra zaman türevn alalım. açısal momentumunun Csm oluşturan parçacıklardan herhang brn temslen m parçacığını dkkate alalım. Bu parçacığın ye göre açısal momentumu: H H m v w H : m parçacığının ye göre konum vektörü cos snj w wk m w m parçacığının hızı a

6 Rjt csmn ye göre açısal momentumu, onu oluşturan tüm parçacıkların ye göre açısal momentumlarının toplamına eşt olacaktır. I katı csmn ye göre (veya den geçen ve şekl düzlemne dk olan z eksenne göre) kütle eylemszlk (atalet) momentdr. w w w w w w w w I H k I H k m k m H m j m j k m j m H H I 1 sn cos sn cos sn cos sn cos 1 kgm I dm m I n m n a w w a I dt d I I dt d dt H M H M M Ia

7 Analz Yöntem Rjt csmlern hareketler le kuvvet-kütle-vme problemler çözülürken aşağıdak sıra zlenr: 1) Knematk : Öncelkle ne tp br hareket olduğu tanımlanmalı ve blnmeyen gerekl doğrusal-açısal vme değerler knematk bağıntılar kullanılarak belrlenmeldr. ) Dyagramların çzlmes : SCD ve knetk dyagram oluşturulup uygun eksen takımı seçlmeldr. M I 3) Hareket denklemlernn uygulanması ( F ma, a )

8 O Kütle Atalet Moment dm kütlel sonsuz küçük br elemanın OO eksenne göre kütle atalet moment di r dm di r dm O m kütlel csmn toplam atalet moment I se I di r dm I her zaman poztftr, brm kg. m dr. Paralel Eksenler Teorem: Kütle merkeznden geçen eksene göre atalet moment blnyorsa, herhang br eksene göre kütle atalet moment; I O I md d O

9 Bazı eometrk Şekllern Kütle Atalet Momentler İnce Çubuk İnce daresel plaka İnce dkdörtgen plaka Jrasyon (Atalet) Yarıçapı Br doğruya göre kütle atalet moment: I k m k I m k : jrasyon yarıçapı

10 1) ÖTELENME a) Doğrusal Ötelenme (Rectlnear Translaton): SCD w0 a0 Knetk Dyagram F F 1 A m d P F n x A P m d ma x x F 3 F ma d. k. Fx max d. k. M dk 0 M A dk 0 M P mad dk

11 b) Eğrsel Ötelenme (Curvlnear Translaton): SCD w0 a0 Knetk Dyagram F F 1 m nn yörünges t A d A B d B m ma t mar t F 3 F man n d. k. t F ma t dk n F n ma n mw r n M 0 dk M A ma dk nd M B matd B dk A + + Csmn kütle merkeznn eğrsel br yörünge zlemes kendsnn açısal br hareket yaptığı anlamına gelmez.

12 ) SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME Sabt br O noktası etrafında dönme hareketnde, csmn tüm noktaları dönme eksen etrafında dareler çzerler, csmn yne tek br w ve a sı vardır. n-t koordnatlarda kütle merkez nn vme bleşenlerne a ve a dersek ve olur. SCD ve knetk dyagram da şekldek gb elde edlr. n t a t ra a n rw SCD Knetk Dyagram Hareket denklemler; F ma M Ia Kuvvet denklemnn skaler bleşenler; F t mar, F mw r n O noktasındak mesnet tepks SCD nda unutulmamalıdır.

13 Sabt eksenl dönme hareketnde, moment denklemnn doğrudan O noktasına uygulanması bazen kolaylık sağlar. M M O Ia mr O a t I mr a mrra I a O O Paralel eksenler teoremnden; M O I o a I O I I I mr O mr Eğer dönme eksen den geçyorsa a 0 ve F 0 M Ia kalır. olur, sadece SCD Knetk Dyagram

14 3) ENEL DÜZLEMSEL HAREKET Ötelenme ve dönmenn brlkte olması haldr. SCD Knetk Dyagram Hareket denklemler; F ma M Ia Herhang br P noktasına göre yazılan alternatf moment denklem de kullanılablr: M P Ia mad

15 PROBLEMLER 1. Düzgün 30 kg OB çubuğu O dak mesnet ve A dak tekerlek le yatayla 30 o yapacak şeklde vmelenen çerçeve üzerne monte edlmştr. Çerçevenn yatay vmes a=0 m/s se tekerleğe uygulanan F A kuvvet le O dak pme gelen kuvvetn x- ve y- bleşenlern hesaplayınız.

16 PROBLEMLER. A bloğu ve ona bağlı çubuk toplam 60 kg kütleye sahptr ve 800 N luk etks altında 60 o lk kılavuz boyunca hareket etmektedr. Düzgün yatay çubuğun kütles 0 kg olup B noktasında bloğa kaynaklanmıştır. Kılavuzdak sürtünme hmal edleblr. B noktasında kaynaktan çubuğa etkyen M momentn hesaplayınız.

17 ÇÖZÜM SCD x Knetk Dyagram m T a x =60a x x N 60 o W=60(9.81) N a x F x ma x 4.84 m / s (9.81)sn 60 60a x B y Çubuğun SCD Çubuğun KD m 1 a x =0a x B x M W 1 =0(9.81) N M B ma x M 196 m / s d M 0(9.81)0.7 (0)(4.94)(0.7sn 60)

18 PROBLEMLER 3. Paralelkenar mekanzma hem plaka hem de EF çubuğuna kaynaklanan br pmle E noktasında plakaya bağlanan düzgün 8 kg kütlel EF çubuğu le brlkte düşey düzlemde hareket etmektedr. Kolları hareket ettrmek üzere, saat yönünde br moment (şeklde görülmüyor) AB koluna uygulanmaktadır. q, 60 o ye ulaştığında kolların açısal vmes ve hızı sırasıyla 6 rad/s ve 3 rad/s dr. Bu an çn E dek pme etkyen F kuvvet le M momentn hesaplayınız.

19 PROBLEMLER kg kütlel düzgün kütük k kablo le taşınmaktadır ve şahmerdan olarak kullanılmaktadır. Eğer kütük görülen konumdan serbest bırakılıyorsa serbest bırakıldıktan hemen sonra her br kablodak çekme kuvvet le kabloların açısal hızını hesaplayınız.

20 ÇÖZÜM SCD +n Knetk Dyagram T A T B man +n +t W=100(9.81) N ma t Harekete başladığı anda v=0, w=0 fakat a 0 w r 0 Fn 0 T cos A TB mg TA TB d k Ft mat mg sn30 mat at m / s a t T A d. k. ar M d. k N T B a Kütük eğrsel öteleme hareket yapıyor. 0 T A N.45 rad / s sn 60(1.5) T Kablo uzunluğu B a n sn 60(0.5) 0 3T A +t T B * *

21 PROBLEMLER kg kütlel düzgün üçgen plaka AB ve CD kabloları le taşınmaktadır. Plaka görülen konumda ken kabloların açısal hızı s..t.y. 4 rad/s dr. Bu anda, plakanın kütle merkeznn vmes le her br kablodak çekme kuvvetn hesaplayınız. A C 4 cm 60 B 60 D 10 cm 0 cm 0 cm Cevap: a 6.3 m / s TAB N TCD N

22 PROBLEMLER 6. 8 kg düzgün nce çubuk O dan geçen yatay br mle mafsallanmıştır ve yatay konumdan serbest bırakılmaktadır. Başlangıç açısal vmesnn 16 rad/s olması çn kütle merkeznden O ya olan b mesafes le serbest bırakıldıktan hemen sonra O dak tepkler hesaplayınız.

23 PROBLEMLER 7. Yay, düzgün çubuk düşey konumda ken serbest konumundadır. Çubuk görülen konumdan sy de 30 o döndürüldüğü konumdan serbest bırakıldığında çubuğun a başlangıç açısal vmesn hesaplayınız. Yaydak çökmey ve yayın kütlesn hmal ednz.

24 ÇÖZÜM Yayın serbest uzunluğu: 5 l o (l / 4) l l q=30 o ken yay uzunluğu: l l yay 3 q=30 o ken yay kuvvet: F yay k 5 l 3 l kl 5 3 (Bası) O t W +t 60 o O +n 30 o 60 o. F yay l l yay 30 o +t ma t +n ma n Ia mw l 4 0 M O l mg cos 60 F 4 a Ia ma k m t yay l g l 1 1 ml ma t l a 4 l 4 O n

25 PROBLEMLER 8. Şekldek mekanzmada volanın kütles 50 kg ve merkezne göre atalet (jrasyon) yarıçapı 160 mm dr. 10 kg kütlel AB pston kolu ünformdur. Pstonun kütles se 15 kg dır. T kuplu volanı 50 rad/s sabt açısal hız le s..t.y. nde döndürmektedr. q=53 o konumunda AB pston kolunun açısal hız ve açısal vmesn, pston koluna A ve B pmlernden etkyen kuvvetler hesaplayınız. Sürtünmey hmal ednz. sn 53=0.8, cos 53=0.6 alınız.

26 PROBLEMLER 9. AB elemanı br tork tarafından (şeklde görülmüyor) sabt w=10 rad/s açısal hızı le döndürülmektedr. AB elemanı, 3 kg kütlel D dşl çarkını döndüren 6 kg kütlel BC elemanını hareket ettrmektedr. Dşl çarkın C ye göre jrasyon yarıçapı 00 mm dr. Dşl çarkın yarıçapı r=50 mm olarak verlmektedr. örülen anda, C ve B pmlerne gelen kuvvetler hesaplayınız.

27 PROBLEMLER kg kütlel dengelenmemş volanın kütle merkezne göre atalet (jrasyon) yarıçapı 0 mm dr. 0 o lk eğk düzlemden aşağı doğru kaymadan yuvarlanmaktadır. örülen konumda volanın açısal hızı 3 rad/s dr. Bu anda volana etkyen sürtünme kuvvetn hesaplayınız.

28 ÇÖZÜM enel Hareket SCD KD I mk 0(0.0) kgm mg y a o ar 0. 5a x = x Ia F N a a ma ao a / O 0.5a ak 0.5a j Fx max mg sn 0 F 0 0.5a dk F 5a Fy ma y N mg cos a dk N a M Ia N( 0.075) F(0.5) a dk a x a y k 3k a F N rad / s N N

29 PROBLEMLER 11. Şekldek düzlemsel mekanzmada, dsk düzgün yatay yüzey üzernde, görülen yönde w=35 rad/s açısal hız le kaymadan yuvarlanmaktadır. Dskn merkez O noktasının vmes sağa doğru 30 cm/s dr. Düzgün yatay kanal çersnde kaymakta olan E bloğunun hızını, AB çubuğunun açısal vmesn, kanaldan E bloğuna etkyen normal kuvvet ve 3 no lu ünform DE çubuğuna pmlerden etkyen kuvvetler belrleynz. E bloğunun kütles 8 kg, DE çubuğunun kütles se 6 kg dır. Dğer elemanların kütleler hmal edleblr.

30 PROBLEMLER 11. Ünform 15 kg çubuk kütles hmal edlen küçük br tekerlek le yatay yüzeyde A noktasına dayanmaktadır. B ucu ve düşey yüzey arasındak knetk sürtünme katsayısı 0.3 se görülen konumdan serbest bırakıldığı andak A ucunun başlangıç vmesn hesaplayınız.