BÖLÜM 5 EWO U İKİCİ KAUU, ÇEKİM 5.1 Giriş Bundan önceki bölümde kuvvet ve ivme kavramlarını ayrı ayrı inceledik. Denge problemlerinde bir cisme etkileyen bileşke kuvvet sıfır olduğu zaman ivmenin de sıfır olduğunu ifade eden ewton un birinci kanununu kullandık. Bundan sonraki adım, bir cisme etkiyen bileşke kuvvet sıfır olmadığı zaman cismin hareketinin ne olacağını incelemektir. Bu da ewton un ikinci hareket kanunudur. Bu kanun etkiyen bileşke kuvvet sıfır olmadığı zaman cismin ivmeli hareket yapacağını ve verilen kuvvet için cismin kütlesine bağlı olduğunu ifade eder. Hareket ve hareketi meydana getiren kuvveti birlikte inceleyen mekanik bölümüne dinamik denir. Statik ivmenin sıfır olduğu halleri, kinematik ise sadece hareketle ilgilenir. 5.. ewton un İkinci Kanunu, Kütle Sükûnetteki bulunan bir cismin kendi kendine harekete geçmeyeceğini deneylerden bilmekteyiz. Cismin harekete geçmesi için başka bir cisim tarafından çekilmesi veya itilmesi gerekir. Hareketteki bir cismin durdurulması veya yavaşlatılması için bir kuvvetin gerektiği de bildiğimiz gerçeklerdendir. Aynı şekilde doğrusal hareket yapan bir cismin yörüngesinden çıkarılması için yanlamasına bir kuvvet gerekir. Bütün bu yukarıdaki olaylar(hızlanma, yavaşlama veya hareketin doğrultu değiştirmesi) cismin hızının doğrultu ve şiddet değişmesini içine alır. Başka bir değişle yukarıdaki hallerin hepsinde cisim ivmeli hareket yapar ve ivmenin olabilmesi içinde cisme bir dış kuvvetin etkimesi gerekir. Aşağıdaki örneği göz önüne alalım. Şekil 5.1(a) da görüldüğü gibi sürtünmesiz bir düzlem üzerinde bulunan serbest bir cisme F kuvveti etkimektedir. Cismin dönmediğini ve kuvvetin doğrultusunun ağırlık merkezinden geçtiğini kabul edelim. Bu halde cisim dönmez, sadece öteleme hareketi yapar. Etkiyen kuvvet dinamometre ile a ivmesi kronometre ile ölçülür. Önce aynı cisim ; fakat değişik şiddet ve doğrultularda kuvvetler, sonrada farklı cisimler kullanılarak bir çok ölçmeler yapılır. Bu ölçüler bizi aşağıdaki sonuçlara götürür.
F F y F a a y a (a) a x (b) F x Şekil 5.1 (a) a ivmesi F bileşke kuvvetin doğrultusundadır. (b) bileşen kuvvetlerin her biri, kendine ait ivme bileşenini verir. 1. Bütün hallerde ivmenin doğrultusu kuvvetin doğrultusuyla aynıdır. Bu sonuç cisim başlangıçta hareketsiz de olsa belli bir hıza sahipte olsa doğrudur.. Belli bir cisim için kuvvetin şiddetinin ivmenin şiddetine oranı sahiptir. F = sabit (belli bir cisim için) a Yukarıdaki oran genel olarak cisimden cisime değişir. Kuvvetin ivmeye oranı olan bu sabit sayı cismin bir özelliğini gösterir. Bu da cismin kütlesidir. Kütle m ile gösterilir. veya yazılabilir. F a = m F = m. a Bir cismi hızlandırmak, hızını küçültmek veya yörüngesinden saptırmak için büyük kuvvetler gerekiyorsa bu cismin kütlesi de büyüktür. Bu halde cismin eylemsizliği de büyüktür diyebiliriz. F = m. a denklemi vektörel bir eşitliktir. F vektörü, a vektörünün m katı kadardır. Ve doğrultusu ile yönü a anınki ile aynıdır. m skaler bir büyüklüktür. Eğer iki vektör eşitse bunların dik bileşenleri de eşit olur. F x = m. a x F y = m. a y
Bir cismi aynı anda bir çok kuvvet etkirse kuvvetler x y bileşenlerine ayrılabilir. Ve F x, F y cebirsel toplamlar hesaplanabilir. Bundan sonra da ivme bileşenleri F x = m. a x F y = m. a y Eşitliklerinden bulunabilir. Bu denklem çifti : F = m. a vektörel denklemine eşdeğerdir. Burada F, cisme etkiyen bütün dış kuvvetlerin vektörel toplamı veya bileşkesidir. F = m. a denklemi ewton un ikinci hareket kanununun matematik ifadesidir. ewton, bu kanunu aşağıdaki gibi ifade etmiştir. Hareketteki değişim uygulanan kuvvetle orantılıdır ve kuvvetin etkidiği doğrultuda meydana gelir. ayrıca ivme kuvvetle orantılıdır ve kuvvetin doğrultusundadır diyebiliriz. F = m. a dan hareketin sabit ivmeli olması için, gerekli fiziksel şartları görebiliriz. a ivmesi sabitse F kuvveti de sabit olmalıdır. Başka bir deyimle, sabit ivmeli hareket, sabit kuvvetin etkisinde meydana gelir. Kuvvet değiştiği zaman, m kütlesi sabit olduğundan ivme de kuvvetle orantılı olarak değişir. F = m. a da bir cisme etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa, cismin ivmesinin sıfır ve dolayısıyla hızının sabit olacağı açıkça görülmektedir. Yani cisim hareket halinde ise hızının doğrultusu ve şiddeti değişmeden yoluna devam eder. Eğer cisim hareketsiz bulunuyorsa, gene hareketsiz kalır (hızı sabit ve sıfıra eşit). Fakat bunlar ewton un birinci kanununun uygulanabileceği şartlardır, buna göre kuvvetle ivmenin sıfır olması halinde birinci kanunun, ikinci kanunun özel bir hali olduğunu görmüş oluyoruz. Böylece, ancak iki bağımsız kanun, ikinci ve üçüncü kanunların varlığı düşünülebilir. ewton, birinci kanunun,ikinci kanunun özel bir hali olduğunu belirtmeliydi. Acaba niçin birinci kanunu da vermişti. Bu sorunun cevabı şüphesiz, birinci kanunun Galileo tarafından bulunmuş olması ve ewton a daha genel olan ikinci kanunu bulmasına imkan vermesiydi.
5.3. Birim Sistemleri Bir cismin kütlesi, bu cisme etkiyen bileşke kuvvetin ivmeye oranıdır. Önce İngiliz mühendislik birim sistemini göz önüne alalım. Bu birim sisteminde kuvvet pound, ivme ft/sn ile ölçülür. Kütle birimi ise, slug denir. F (Ib) = m (slug) a (ft/sn ) olacaktır. Metre - kilogram saniye (mks) birim sisteminde kilogram kütle birimi olarak alınmıştır. Bu sistemde kuvvet birimi kilograma bir m/sn lik kuvvettir. Bu kuvvete 1 ewton denir. Mks birim sisteminde ; F (ewton) = m (kg). a (m/sn ) Santimetre gram saniye (cgs) birim sisteminde kütle birimi 1 gramdır. Bu sistemde bir gramlık kütleye 1 cm/sn lik ivme veren kuvvet 1 dyn dir. Cgs birim sisteminde ; F (dyn) = m (gr). a (cm/sn ) 1 kg = 10 3 gr ve 1 m/sn = 10 cm/sn olduğunda 1 newton = 10 5 dyn olur. 5.4 Kütle ve Ağırlık Bir cisme yerin uyguladığı çekim kuvvetine, o cismin ağırlığı denir. Bir cisim serbest düşmeye bırakılınca sadece w ağırlığının etkisinde kalır ve g çekim ivmesiyle hareket eder. Buna göre cismin kütlesi, m = F a = w g olacaktır. Bir cismin ağırlığı kuvvettir. Kuvvet birimleriyle ölçülmelidir. İngiliz birim sisteminde ağırlık birimi pound, mks birim sisteminde ewton, cgs birim sisteminde dyn ile ölçülür. Bir maddenin değişmeyen miktarına kütle denir. İngiliz birim sisteminde kütle birimi slug, mks birim sisteminde kilogramdır. Yukarıdaki birim sisteminden başka, mühendislik sistemine benzer şekilde, kütle gibi kuvvetinde keyfi seçildiği iki birim sistemi daha vardır. Bu sistemler, kuvvet birimi olarak, standart kilogram ve gramın ağırlıklarını alır. Birincisine Kilogram kuvvet, ikincisine gram kuvvet denir. gram kuvvet okuyucunun da rastlamış olabileceği gibi, basit fizik kitaplarında çok kullanılır. Kilogram kuvvet özellikle metrik sistemlerin kullanıldığı
mühendislikte kuvvet birimi olarak alınır. Bu kitapta son iki birim kullanılmayacak ve gram ile kilogram kütle birimi olarak alınacaktır. 5.5 ewton un Genel Çekim Kanunu Bütün mekanik konularında, üzerindeki cisimlerle Dünya arasındaki çekim kuvvetleri ile karşılaşılır. Bu kuvvetlere cisimlerin ağırlığı denir. Şimdi bu çekim olayını ayrıntılarıyla inceleyeceğiz. Genel çekim kanunu, Sir Isaac ewton tarafından bulunmuştur. 1686 yılında ilk olarak verilen ifadesi aşağıdaki şekildedir: Evrendeki bütün madde parçacıkları, birbirlerini kütlelerinin çarpımı ile doğru aradaki uzaklıkla ters orantılı bir kuvvetle çekerler. F mm r Yukarıdaki orantılılık ifadesi, çekim sabiti denilen bir G sayısı yardımıyla aşağıdaki şekilde bir eşitliğe çevrilebilir. F = G mm r ewton un bu kanunu buluşunda, bir elmanın düşüşünden ilham aldığı söylenir. Bununla beraber, yukarıdaki bağıntının doğruluğunu göstermek için yaptığı ilk neşriyatın hesapları ayın etrafındaki hareketi ile ilgilidir. G sabitinin sayısal değeri, kuvvet, kütle ve uzaklığın, ifade edildiği birim sistemine bağlıdır. Bu katsayı, m,m kütleleri ve birbirinden uzaklıkları bilinen iki cisim arasındaki çekim kuvveti ölçülerek deney yolu ile bulunabilir. ormal büyüklükte cisimler için bu kuvvet son derece küçüktür, bununla beraber Rev. John Michell tarafından hazırlanan ve bu iş için ilk defa Sir Henry Cavendish in 1798 de kullandığı bir aletle ölçülebilir. Buna benzer bir aleti Coulumb elektriksel ve manyetik çekme-itme kuvvetlerinin incelenmesinde kullanmıştı. Cavendish terazisi (Şekil 5-) ortasından çok ince bir ipliğe, örneğin kuartz bir tele yatay olarak asılmış hafif bir çubuğun uçlarına m kütlesinde iki küçük küre tespit edilerek hazırlanmıştır. Askı teline yapıştırılmış küçük bir ayna ince bir ışık demetini bölmeli bir cetvele yansıtır. Ölçme yapılırken kütlesi m olan iki büyük küre şekildeki gibi yerleştirilir.
Büyük ve küçük küreler arasındaki çekim kuvvetlerinin meydana getirdiği kuvvet çifti askı telini küçük bir açı kadar burar ve bu burulma askı teline bağlı aynada yansıyan ışık demeti yardımıyla cetvelde görülebilir. Çok ince bir askı teli kullanılarak ışık sapması yeteri kadar büyültülebilir ve çekim kuvveti ölçülebilir. Bu şekilde çekim sabiti için, G = 6,670. 10 8 dyn cm gr G = 6,670. 10 11 newton m kg bulunmuştur. m m m m Şekil 5. Gavendich terazi 5.6. Yerin Kütlesi G sabitinin sayısal değeri laboratuarlarda yapılan ölçmelerde bulunabildiğinden, yerin kütlesi hesaplanabilir. Serbest düşen bir cismin hareketinden, bir gramlık bir cisim yerin uyguladığı çekim kuvvetinin 980 dyn olduğunu biliyoruz. Kütleler arasındaki uzaklık yerin yarıçapı kadar yani 6380 km veya 6.38 10 8 cm dir. Buna göre, 980 dyn = (6.67. 10 8 dyn cm gr ). 1 gr. m e (6.38. 10 8 cm) Eşitlikte m e dünyanın kütlesini göstermektedir. Yukarıdaki eşitlikten, bulunur. Yerin hacmi ise, m e = 5.98. 10 7 gr
V = 4 3 π. r3 = 1.09. 10 7 cm 3 tür. Kütlenin hacme oranı özkütleyi verdiğinden yerin özkütlesi, m e V = 5.98. 107 gr 1.09. 10 7 cm 3 = 5,5 gr cm 3 bulunur. 5.7. g nin Değişimi ise, g çekim ivmesi cisimlerin kendi ağırlıkları ile kazandıkları ivmedir. Bu cismin ağırlığı w = G m.m E r Şeklinde yazılabilir. Burada m cismin, m e yer küresinin kütleleri, r ise yer merkezinin cisimden uzaklığıdır. Diğer taraftan w = m. g olduğundan m. g = G m. m e r g = G. m e r bulunur. G ve m e sabit olduğundan, r büyüdükçe g küçülecektir. Buna göre, bir cismin düşmesi sırasında sabit ivme ile hareket ettiği ancak yaklaşık olarak doğru sayılabilir. Hava direnci bir tarafa bırakılırsa, cisimler yere yaklaştıkça ivme sürekli olarak artar. Bununla beraber birçok hallerde bu artış ihmal edilebilir. Yer çekim ivmesi, dünya üzerinde noktadan noktaya çok az değişir. Bunun sebebi, yer küresinin yarıçapının yerden yere değişmesi, maden filizleri, petrol ve diğer maddelerin öz kütlesinin yerin ortalama öz kütlesinden farklı oluşudur. Bununla beraber, en büyük değişme sebebi Bölüm 6 da açıklanacağı gibi yerin dönmesidir. g nin değerindeki değişimlerin incelenmesi, yerin tabakalarındaki maden filizi ve petrolun varlığı hakkında fikir verir. Buna göre, g nin incelikli ölçülmesi jeofizik yoldan maden araştırmasında bir metot olmaktadır. 5.8. ewton un İkinci Kanununun Uygulanması Örnek 1 : 10 kg kütlesinde bir cisim, yatay bir düzlem üzerinde hareketsiz duruyor. Cisimle düzlem arasında sürtünme kuvveti, sabit ve 5 newton olduğuna göre, bu cismin saniyede 4 m/sn lik bir hız kazanması için uygulanması gereken yatay kuvveti ne olmalıdır? Bütün kuvvetlerin cismin merkezine etkidiğini kabul ediniz.
Cismin kütlesi bilinmektedir. y doğrultusundaki ivme bileşeni sıfırdır. Belli sürede kazanılması gereken hızdan faydalanarak x ekseni doğrultusundaki ivme bileşeni bulunabilir. F=5 nt. Kuvvet sabit olduğuna göre ivmenin x ekseni doğrultusundaki bileşeni de sabittir ve ivme bağıntısından, a x = v v 0 t = 4 m sn 0 sn = m sn bulunur. ewton un ikinci kanununun bileşenlere ait bağıntılarını kullanarak, F y = m. a y w = 0, W=m g = w = m. g = 10 kg. 9,8 m/sn = 98 newton, F x = m. a x 5 sn = 10 kg. m/sn = 5 sn olmalıdır. Örnek : Bir asansörün yükü ile birlikte ağırlığı 1600 nt gelmektedir. Bu asansör 0 m/ sn lik hızla inerken sabit bir ivme ile 50 m sonra durduğuna göre hareket süresince askı halatındaki gerilmeyi bulunuz. (Şekilde görüldüğü gibi) Asansörün kütlesi, m = w 1600 n = = 163 kg g 9.8 m sn sabit ivmeli hareket denkleminde, w v = v 0 + a y a = v v 0 y yazılabilir. İlk hız -0 m/sn, v hızı sıfırdır. gidilen yol 50 metredir. Bu verilere göre,
0 ( 0 ) a =. 50 = 4 m sn bulunur. İvme pozitif olduğuna göre yukarı yönlenmiştir. F = w = 1600 n F = m a 1600 = 163. 4 = 65 n = 5 n bulunur. Örnek.3 Yatayla θ açısı yapan sürtünmesiz bir eğik düzlem üzerinde bulunan bir kutunun hareketinin ivmesini bulunuz. Cisme etkiyen kuvvetler, sadece kutunun w ağırlığı ve cisme düzlemin uyguladığı normal kuvvettir.(şekil 5. 5) F y = m. g cos θ F x = m. g sin θ bulunur. Diğer taraftan, a y = 0 olduğu bilindiğinden F y = m. a y denkleminden = m. g cos θ bulunur. F x = m. a x eşitliğinden ise, m. g sin θ = m. a x a x = g. sin θ bulunur. θ mg.sinθ mg.cosθ w=mg θ Örnek.4 Şekilde yatay sürtünmesiz bir düzlem üzerinde bulunan w 1 = 16 n ağırlığında bir kutu, sürtünmesiz küçük bir makaradan geçen ince bir iplikle w = 8 n luk diğer bir cisme bağlıdır. Sistemin ivmesi ve cisimleri birbirine bağlayan sicimin gerilimi ne kadardır?
Diyagramda cisimlerin her birine etkiyen kuvvetler görülmektedir. Sicimin cisimlere uyguladığı kuvvetler, etki tepki çifti olarak düşünülebildiğinden, bunlar aynı harfi ile gösterilmiştir. Yatay düzlem üzerindeki kutu için, g = 10 m sn alındığında, F x = = 1,6 kg. a, F y = w y = 16 n = 0 yazılabilir. I w 1 Aslında cisim için, w F y = w = 8 n = 0,8 kg. a olabilir. Cisimlerin her ikisi için de a nın değeri aynı olduğundan, birinci ve üçüncü denklemler çözülünce, a = 3,4 m sn = 5,44 n bulunur. Örnek.5 buraya kadar, ewton un ikinci kanunu, etkidiği cisme sabit bir ivme sağlayan, şiddeti değişmeyen, bileşke kuvvetler haline uygulandı. Bu haller çok önemlidir ve az matematik ister. Bileşke kuvvetin şiddeti değişirse, ivme de sabit kalmaz ve sabit ivmeli hareketlere uygulanan denklemlerden faydalanılamaz. Bu kısımda değişen kuvvet etkisinde, üç hareket örneği inceleyeceğiz. 50 kg kütlesinde bir otomobil, 30 m/sn lik hızla ilerlemektedir. Sürücü arabayı v = v 0 k. t
bağıntısına uyacak şekilde frenliyor ve durduruyor. Eşitlikteki v 0 = 30 m sn, k = 0,30 m sn 3, t frenin uygulamasından sonra geçen ve saniye olarak ölçülen süredir. Frenlemenin başlamasından 5 saniye sonra, hareketi yavaşlatıcı bileşke kuvveti bulunuz. Otomobilin kütlesi bilinmektedir. ewton un ikinci kanunundan faydalanarak bileşke kuvvetin bulanabilmesi için önce ivmenin hesabı gerekir. Hız bağıntısından faydalanarak, t = 5 sn için, Olacaktır. Bu andaki kuvvetin şiddeti, a = d v d t = d d t v 0 k. t = k. t bulunur. a =.0,30 m m sn 3. 5 sn = 3 sn F = m. a = 50 kg. 3 m = 150 n dır. sn Örnek.6 500 kg kütlesinde bir otomobil sukünetten harekete geçiyor. İlk 10 sn içinde otomobile etkiyen bileşke kuvvet F = F 0 k. t dir. Burada F 0 = 000 n, k = 100 n sn ve t hareketin başlamasından sonra saniye olarak geçen süredir. 10 uncu saniye sonundaki hızı ve bu süre içinde gidilen yolu bulunuz. Bu problemde otomobilin kütlesi ve etkiyen bileşke kuvvet verilmiştir. Bu verilerden, ewton un ikinci kanunundan faydalanarak ivme hesaplanabilir ve hız ile konum kinetik prensipleri yardımıyla bulunabilir. İkinci kanundan, a = d v d t = F m = F 0 m k m t d v = F 0 dt k t dt m m d v = F 0 dt k t dt m m v = F 0 k t m m t + C 1 Sonucuna varılır. Eşitlikteki C 1 bir integrasyon sabitidir. t = 0 için v = 0 olduğunan C 1 de sıfır olacaktır. t = 0 sn için, v = 000 n 500 kg.10 sn 100 n sn 1000 kg. (10 sn) = 40 m sn 10 m sn = 30 m sn Konumu bulmak için Denk (5-7) yi kullanabiliriz.
v = d x = F 0 k t d t m m t d x = F 0 k t dt m m t dt + C x = F 0 m t k 6m t + C Hareket noktası başlangıç olarak alınırsa, t = 0 için x = 0 olacağından C = 0 bulunur. t = 10 sn için, x = 000 n 1000 kg. (10sn) 100 n sn 3000 kg. (10sn) = 00 m 33 m = 167 m bulunur. Çözümlü Problemler 5.1 50 gramlık bir cisim sürtünmesiz bir düzlem üzerinde x=0 konumunda sükunette bulunuyor. t=0 anında bu cisme x eksenine paralel 10 dyn lik bir kuvvet etkiyor ve 5 sn sonra bu etki kalkıyor. a) t = 5 sn sonunda cismin konumu ve hızı ne olur? b) t = 15 sn sonunda aynı kuvvet tekrar uygulandığına göre, t = 0 sn sonunda cismin hızı ve konumu ne olur? Çözüm: W F=10 dyn a) t = 5 sn v =? x =? x = 1 a. t v = a. t F = m. a x = 1. 1 5. 5 = 5 =,5 cm 10 = 50. a v = 1. 5 = 1 cm sn 5 a = 1 cm sn 5 b) t = 15 sn t = 15 5 = 10 sn cisim sabit ızla gidiyor. alınan yol x = v. t x = 1.10 = 10 cm gider. F = 10 dyn a = 1 cm 5 sn x = v 0. t + 1 a. t
t = 5 sn x = 1.5 + 1. 1. 5 = 5 +,5 = 7,5 cm 5 oplam yol Hız x =,5 + 10 + 7,5 = 0 cm v = v 0 + a. t = 1 + 1. 5 = cm sn 5 5. 10 newton luk bir kuvvet düzgün yatay bir düzlem üzerinde duran bir cisme yatay olarak etkiyor. Cisim sükunetten harekete geçiyor ve 5 saniyede 50 m yol gidiyor. a) Cismin kütlesi ne kadardır? b) Kuvvetin etkisi 5 saniye sonunda kalkarsa, bundan sonraki 5 saniye içinde gideceği yol ne olur? Çözüm : P=10 nt. W a) F = 10 newton v 0 = 0 t = 5 sn x = 50 m x = 1. a. t 50 = 1. a. 5 500 = 5. a a = 0 m sn F = m. a 10 = m. 0 m = 1 kg b) t = 5 sn P = 10 nt m = 1 kg v = a. t x = v. t v = 0.5 = 100 m sn x = 100.5 = 500 metre yol alır.
5.3 Bir tüfek makinesinin hızı 36000 cm / sn dir. Bu mermi yumuşak bir kütüğe çarpıyor ve kütükte 10 cm ileriliyor. Merminin kütlesi 1,8 gr dır. Mermiyi frenliyen kuvveti sabit kabul ediniz. a) Merminin kütük içinde durması için ne kadar süre gerekir? b) Frenleme kuvvetinin dyn ve nt olarak şiddeti nedir? Çözüm a) v 0 = 36000 cm sn v = 0 x = 10cm m = 1,8 gr t =? v = v 0. a. x a = v 0 v = v 0 a. t t = v 0 a =.x v 0 t =.x b) v = v 0 a. t a = v 0 = 36000 1 t 1800.10 = 1 sn 36000 1800 = 648. 10 5 cm sn F = m. a = 1,8. 648. 10 5 = 1166,4. 10 5 dyn = 1166,4 t 5.4 16 nt luk bir cisim yatay bir düzlem bir düzlem üzerinde duruyor. Cisimle düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,0 statik sürtünme katsayısı 0,30 dur. a) Cisme yatay 8 nt luk bir kuvvet uygulanınca etkiyen bileşke kuvvet ne olur. b) 8 nt luk kuvvet cisme 4 sn uygulandıktan sonra etki kaldırılırsa, cisim duruncaya kadar ne kadar yol gider? Çözüm : f W P=8nt. a) F = P f k = P µ k. m. g = 8 0,. 16 = 4,8 nt b) t = 4 sn P = 8 nt P f = m. a 1 4,8 = 16 9,8. a 1 a 1 =,94 m sn t = 4 sn sonraki cismin ız ve konumu
x 1 = 1. a 1. t 1 x 1 = 1.,94.16 x 1 = 3,5 m v 1 = a 1. t 1 =,94.4 = 11,76 m sn P = 8 nt luk etki kalkarsa v 0 = 11,76 m sn v = 0 F = m. a µ k.. m. g = m. a a = 0,. 9,8 = 1,96 m sn v = v 0. a. x x = v 0 = (11,76) a.1,96 = 35,8 m gidilen toplam yol = x = x 1 + x = 3,5 + 35,8 = 58,8 metre 5.4 Bir cisim, asansörün tavanına bağlı bir dinamometreye asılmıştır. a) Asansör 4 m/ sn lik bir ivme ile yükselirken dinamometre 45 nt gösteriyor. Cismin gerçek ağırlığı nedir? b) hangi şartlarda dinamometre 35 nt gösterir? c) asansörün askı halatı koparsa dinamometre ne gösterir? ÇÖZÜM. a) Asansörde dinamometreye aşağı doğru ağırlığı, yukarı doğru 45 nt etkir. =45 nt Harekete sebep olan kuvvet a F = W = m. a m. a = m. g m a + g = m = a + g W = m. g = w 45. g W =. 9,8 = 31,96 a + g 4 + 9,8 b) F = W m. a = W a = W m a = 35 31,96 3,6 = 0,93 m sn a = 0,93 m sn olduğu zaman = 35 nt olur. m = w g = 31,96 9,8 = 3,6
c) F = m. g = 0 olduğunda dinamometre sıfırı gösterir. F = + W m. g = + m. g = 0 5.5,5 gr lık bir cisim yatay bir düzlem üzerinde durmaktadır. Cisimle düzlem arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,30 kinetik sürtünme katsayısı 0,5 dır. Cisme değişken ve yatay bir P kuvveti etkimektedir. Bu kuvvet başlangıçta sıfırdır ve sn de nt artmaktadır. a) cisim ne zaman harekete geçer? b)hareketin 8 saniyesinde ivme ne olur? Çözüm a) Cismin arekete geçmesi için, P = f s olmalıdır. f s = µ s. = µ s. m. g = 0,3.9,8.,5 = 7,35 nt f W 1 sn de nt artarsa 7,35 nt kaç saniyeye karşılık gelir. t = 7,35 P = 3,675 sn cisim 3,675 sn sonra areket etmeye başlar. b) t = 8 sn a =? P = 7,35 +. 8 = 3,35 nt P f k = µ k. m. g = 0,5.,5. 9,8 = 6,15 nt F = m. a P f k = m. a 3,35 6,15 =,5. a a = 7 m/sn f k W 5.6 Bir cisim yatayla θ açısı yapan bir düzlem üzerinde hareketsiz durmaktadır. Kinetik sürtünme katsayısı 0,50 ve statik sürtünme katsayısı 0,75 tir. a) θ büyütülüyor. Cismin kaymaya başlayacağı θ açısını bulunuz. b) Kayma başladığı zaman ivme değeri ne olur? c) Cismin düzlem üzerinde 0 m kayması için geçecek zamanı hesaplayınız. Çözüm F s θ W θ W W
a) µ k = 0,50 µ s = 0,75 w x = w. sin θ f s = m s. w. cos θ w x f s = 0 w x = f s w. sin θ = µ s. w. cos θ sin θ cos θ = µ s = 0,75 b) w x f k = m. a w. sin θ µ k. w. cos θ = w g. a sin 37 0,50. cos 37 = a 9,8 0,6 0,5.0,8 = a 9,8 a = 0,.9,8 = 1,96 m sn c) x = 0 m x = 1. a. t 0 = 1. 1,96. t t = 4,5 sn 5.7 kg kütlede bir cisim 30 o eğimli uzun bir düzlem üzerinde m/sn lik bir hızla yukarı doğru fırlatılıyor. Düzlemle cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0,3 tür. a) Cisim düzlem üzerinde ilerlerken etkiyen sürtünme kuvvetini bulunuz. b) Cisim düzlem üzerinde ne kadar süre hareket eder? c) Cisim düzlem üzerinde ne kadar ilerle d) Cisim ( c ) deki konumundan ilk hareket noktasına ne kadar sürede gelir? e) Bu noktaya hangi hızla gelir? f) Cismin kütlesi kg yerine 5 kg olsa idi yukarıdaki soruların cevapları değişir mi idi? Çözüm: a) m = kg v 0 = m sn µ = 0,3 w y = 0 = w y = w. cos 30 f = µ. = 0,3..9,8. cos 30 = 0,3. 19,6 0,86 = 5,06 nt b) F = m. a w x = w. sin 30 w x =.9,8.0,5 = 9,8 nt f = 5,06 nt. V = V 0 a. t t = V o = =,96 sn a 7,43 W x + f = m. a 9,8 + 5,06 =. a a = 7,43 m s c) t =,96 sn x = V o. t 1 at 30 W 30 W W
x =.,96 1 7,43(,96) = 3,57 m d) F k = m. a f k W x f k = m. a 9,8 5,06 =. a a =,37 m s 30 W 30 W W x = 3,57 m x = 1 at 3,57 = 1,37. t t = 5,4 sn
e) v = a. t =,37.5,4 = 1,4 m/sn f) a da değişir. b c d e de değişmez. a = g. (sin 30 + μ. cos 30) ivme kütleye bağlı değildir. 5.8 00 gr lık bir cisim 800 gramlık bir cismin üzerinde bulunuyor. Bu sistem şekilde görüldüğü gibi 00 gr lık bir cisim yardımıyla yatay bir düzlem üzerinde sabit bir hızla çekiliyor. a) İlk 00 gr lık cisim şekil (a) da görüldüğü gibi 800 gramlık cismin üzerinden alınıp, askıdaki 00 gramlığa bağlanınca sistemin ivmesi ne olur? b) Şeklin (b) kısmında 800 gr lık cisme bağlı sicimdeki gerilim nedir? 00 gr 800 gr 800 gr 00 gr 00 gr Şekil a Şekil 00 gr Çözüm: a) f 00 gr 800 gr A w f B 00 gr 800 gr A w A 00 gr Şekil a Şekil 00 gr W b Sistem sabit hızla hareket ettiği için Dengenin 1.ci şartı : W b A cismi için; f = 0 B cismi için; W B = 0 = f W B = = 00.980 = 196000 dyn = f = μ. = μ. 1000.980 196000 = μ. 980000 μ = 196 = 0, olur. 980 A cismi için; f = 800. a B cismi için; W B = 400. a
39000 156800 W B f = 100. a a = = 196 cm s 100 b) W B = 400.980 = 39000 dyn f = μ s. = 0,.800.980 = 156800 dyn = 800.196 + 156800 = 313600 dyn 5.9 Şekildeki A cisminin ağırlığı 3 n, B cisminin ağırlığı 30 n dur. B cismi ile yatay düzlem arasındaki sürtünme katsayısı 0,1 dir. B a) B nın ivmesi sağa doğru ve 6 m/sn olduğuna göre O cisminin ağırlığı nedir? b) B nın ivmesi yukarıdaki değerde iken sicimlerin her birindeki gerilim ne kadardır? A C Çözüm: a) A cismi için 1 W A = m A. a (1) B cismi için 1 f B = m B. a () C cismi için W c = m c. a (3) A f B B W B =3 C μ = 0,1 1 den 1 3 = 3 9,8. a 1 = 0,3. a + 3 = 4,8 W A =3 W C =? den 3 0,3a 0,1.30 = 30 9,8 a 6 = 3,06. a + 0,3. a = 6 + 3,36.6 = 6,16 W c 6 3,36. a = W c 9,8. a W c 6 1,96 = 6 9,8. W c W c = 67,58 nt. b) = 3 + 0,3.6 = 4,8 nt = 6,16 nt
5.10 Şekilde görüldüğü gibi hafif sürtünmesiz bir makaradan geçen sicimin uçlarına 100 er gramlık ağırlıklar asılmıştır. 40 gramlık başka bir ağırlık cisim üzerine konulmuş ve saniye sonra kaldırılmıştır. 100 50 a) 40 gramlık cisim kaldırılınca ilk saniye içinde cisimler ne kadar yol gider? 30 53 b) 40 gramlık cisim kaldırılmadan evvel sicimdeki gerilim ne kadardır? Bu ağırlık kaldırılınca ne olur? c) 40 gramlık ağırlık kaldırılmadan makaranın asıldığı sicimdeki gerilim ne kadardır? Makaranın ağırlığını ihmal ediniz. Çözüm: W Ax = W A. sin 30 = 100.0,5 = 50 nt W Bx = W B. sin 53 = 50.0,8 = 40 nt W Ax > W Bx old. areket sola doğrudur. A cismi için; W Ax = m A. a 100 W A x W W A A W B W B 30 y y 53 50 W B x B cismi için; W Bx = m B. a W Ax W Bx = a m A + m B 50 40 = a 10, + 5,1 a = 10 = 0,65 m sn 15,3 = W Ax m A. a = 50 10,.0,65 = 43,37 n 5.11 10 n luk iki ağırlık şekilde görüldüğü gibi bir sicimin uçlarına bağlanmıştır. Cisimlerden birisinin saniyede 4 m yol alması için üzerine ne kadar bir ağırlık eklenmelidir? 10 nt 10 nt
Çözüm : W A =W B =10 nt t = sn x = 4 m x = 1 a. t 4 = 1 a. 4 =. a a = m / sn A cismi için ; - W A = m A. a B cismi için ; ( W B +W ) = ( m B +m ).a W B +W W A = (m A + m B +m ).a W = a.[( 1,0+1,0+ (W / 9,8)] 10 nt A B W 10 nt W = a. [(,04 + ( W / 9,8)] W = 5,13 nt W A W B 5.1 Aşağıdaki ifadenin doğru veya yanlışlığını açıklayınız. Bir elmanın yere düşeceği yerde dünyanın elmaya doğru yaklaşmama sebebi, dünyanın elmaya nazaran çok büyük olması ve elmaya daha büyük çekim kuvveti uygulamasıdır. Çözüm: Evrendeki bütün kütleler birbirlerini F = G m 1m r aynı kuvvetle çekerler. Yalnız burada kütlesi büyük olanın ivmesi küçük kütlesi küçük olanın ivmesi büyük olur. Dolaysıyla elmanın ivmesi büyük olur ve elma dünyaya doğru hareket eder. O halde ifade yanlış olur. 5.13 G yi ölçmekte kullanılan bir Cavendish terazisinde 800 gramlık bir kürenin 4 gramlık diğer bir küreyi, merkezleri arasındaki uzaklık 4 cm iken 13. 10-6 dyn lik bir kuvvetle çektiği görülmüştür. Dünya yüzeyinde yer çekim ivmesi 980 cm/sn ve dünyanın yarıçapı 6400 km dir. Bu verilere göre, dünyanın kütlesini bulunuz. Çözüm: F = G. m 1m G = F.r = 13.10 6.16 = 6,5. 10 8 dyn. cm /gr r m 1 m 800.4 g = G M e r M g. r e = G = 980. (6400. 103. 10 ) 6,5. 10 8 = 40559. 10 3 gr 5.14 Her biri 6400 gram olan iki küre A ve B noktalarına tesbit edilmiştir. Yalnız A ve B noktalarındaki kürelerin çekim etkisinde bulunan, P noktasındaki 10 gramlık kütlenin doğrultusunu bulunuz. 10 gr Çözüm: F A = G. m A m B r = 6,67. 10 8. 6400.10 100 F A α α F B F A = 4,7. 10 5 dyn 10 cm 10 cm F B = 4,7. 10 5 dyn 6 cm 6400 gr A 8 cm 8 cm B 6400 gr
A VA=0 A VA=0 F = F A. cos α + F B. cos α =. F A. cos α =.4,7. 10 5. 0,6 = 5,1. 10 5 dyn 5.15 Ayın kütlesi yer kütlesinin seksen birde biri ve yarıçapı yerindekinin dörtte biridir. Ay üzerindeki çekim ivmesi ne kadardır? Çözüm: M A = M e 80 çekim kuvveti g A = G. M A R A R A = R e 4, R e R A = 4 G. M A g A R = A g e G. M = M A e R. R e = 1 16. 16 = A M e 80 80 R e, g e = G. M e R e g A = 16 m. 9,8 = 1,96 80 sn olur. 5.16 Şekilde görüldüğü gibi yatayla 30 0 A açı yapan ve uzunluğu 4 m olan bir eğik h düzlemin üzerinde kütlesi m olan bir AB=4 m cisim en üst noktadan harekete başlıyor. a)bütün yüzeylerde sürtünme katsayısı 0, 30 O B C ise cismin B noktasında sahip olduğu hızı? b)cisim yatayda duruncaya kadar aldığı yolu bulunuz. (g = 10 m / sn ) Çözüm : Sin30 = h / 4 h = m A V A = 0 AB=4 m AB = 4 m a) AB arası için ewton un.kanunu: F = m. a 1 W X f 1 = m. a 1 h f 1 W Y 30 W W X 30 O B f W V C = 0 C
W. sin30 µ k. W. cos30 = W g.a 1 10 (0,5-0,.0,86) = a 1, a 1 = 3,8 m / sn v B = v A +. a 1. AB V B =.3,8.4 = 6,4 V B = 5,1 m/sn b) BC arası için ewton un.kanunu: F = m. a f = m. a μ. m. g = m. a a = 0,.10 = m/sn V c = V B. a. BC V B =.. BC 6,4 = 4. BC BC = 6,56 metre 5.17 Şekilde görüldüğü gibi yolun KL arası sürtünmeli olup eğik düzlem sürtünmesizdir.kütlesi kg olan cisim v hızıyla K noktasından harekete başlıyor.kl boyunca cisme f = 5 nt lük bir sürtünme kuvveti etki etmektedir. Cisim KL yolunu geçtikten sonra eğik düzlemin noktasına kadar çıkabildiğine göe cismin v hızını bulunuz. g=10 m/sn v K KL =4m 4 m K L θ Çözüm f = 5 nt f = µ. m. g w x 4 m K v K f L θ w w y w
KL arası için hareket denklemi : F = m. a 1 f = m. a 1 µ. m. g = m. a 5 =. a 1 a 1 = 5 =,5 m sn v L = v K. a 1. KL v L = v K. 5. 4 v L = v K 0 1 Eğik düzlemde hareket denklemi : sin θ = 4 L 4 F = m. a w x = m. a m. g. sin θ = m. a 10. L = a a = 40 L v = v L. a. L v L =. 40. L = 80 L v 80 = v K 0 v K = 100 v K = 10 m sn L = 80 1 de yerine koy 5.18 Şekilde görüldüğü gibi bir cisim A noktasından A serbest bırakılıyor. Eğik düzlemi indikten sonra yatayda ne kadar yol alır. g =10 m/sn, cos37 = 0,8, sin37 = 0,6 µ 1 =0,1 15 m C µ =0,1 B 37 0 Çözüm : v A = 0 AB arası için hareket denklemi : A F = m. a = w x f 1 = m. a m.g.sin37 - µ 1.m.gcos37 = m.a 1 f 1 w 1x µ 1 =0,1 15 m w 1y 10.0,6-0,1.10.0,8 = a a = 6-0,8 = 5, m / sn C µ =0,1 f B 37 0 w 1 v B = v A +. a. AB w v B =.5,.5 = 60 sin37 = 15 AB AB = 15 0,6 =5 m
v B = 60 v B = 16, m/sn BC arası için hareket denklemi : F = m. a, µ.m.g = m.a a = 0,. 10 = m / sn v C = v B. a. BC 60 =.. BC BC = 60 4 = 65 m 5.19 Şekildeki m 1 kütlesi 4 kg ve m kütlesi kg dır. m ile yatay düzlem m arasındaki sürtünme katsayısı 0,5 m 1 µ=0,5 ve eğik düzlem sürtünmesizdir. a) ipteki gerilim kuvvetini 30 0 b) blokların ivmesini bulunuz. sin30 = cos60 = 0,5, sin60= cos30 = 0,86, g = 10 m / sn Çözüm: Üstteki cisim için t..kanunu f = m 1. a f = μ. = 0,5.0 = 10 nt 10 =. a W = 0 = W =.10 = 0 nt. 1 W 1x 30 0 W 1 W 1y W f µ=0,5 Eğik düzlemdeki cisim için; W 1x = m 1. a 1 W y = 0 W 1x = 4.10. sin 30 = 40.0,5 = 0 nt. 0 = 4. a 10 =. a 0 = 4. a 10 = 6. a a = 10 6 = 1,66 m sn =.1,666 + 10 = 13,33 nt.
5.0 Birbirine iple bağlanmış w A =35,6 nt, w B =71, nt ağırlığındaki iki blok 30 0 lik bir eğik düzlemden aşağı doğru kayıyorlar. 35,6 nt luk blok ile düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,1 ve 71, nt luk blok ile düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0, dir. A 30 0 B a) Blokların ivmesini bulunuz. b) 35,6 nt luk bloğun önde gittiğinde ipteki gerilimi bulunuz. c) Blokların yeri değiştirilirse ipteki gerilim ne olur. g = 10 m / sn Çözüm: a) B A cismi için H.D. ; W A. sin 30 μ x. W A. cos 30 = m A. a B cismi için H.D. ; W B. sin 30 + μ B. W B. cos 30 = m B. a W Ax 30 0 A A W A W Ay f A B W Bx W B W By f B 35,6.0,5 0,1.35,6.0,86 = 35,6 10 a 71,.0,5 + 71,.0,.0,86 = 71, 10 a 14,74 = 3,56. a 3,35 + = 7,1. a 38,09 = 10,68. a a = 38,09 = 3,56 m sn 10,68 b) = 7,1.3,56 + 1,5 35,6 = 5,34 + 1,5 35,6 = 1,99 nt c) Bu durumda =0 olur.bloklar birbirlerinden bağımsız hareket ederler. Belli bir zaman sonra birinci blok ikinciye çarpar.
5.1 Şekildeki sistem yukarı doğru sn hareket ettikten sonra ip kopuyor. m 1 kütleli cisim ile eğik düzlem arasındaki sürtünme kuvveti 5 nt dur. İp koptuktan sonra m 1 kütleli cisim kaç sn daha eğik düzlem üzerinde yukarı doğru hareket eder. g = 10 m / sn Çözüm: m 1 =m =10 kg 30 0 m 1 a m m 1 = m = 10 kg f = 5 nt g = 10 m sn m 1 cismi için areket denklemi ; F = m 1. a w x f + = m 1. a m cismi için areket denklemi W X F = m. a w = m. a w x f = m 1. a 30 0 f W y W 1 W w = m. a 50 5 = 10. a 100 75 = 0. a a = 5 = 1,5 m sn 0 w x = w 1. sin 30 = 10.10.0,5 = 50 nt cisim bu ivme ile t = sn sonuda ız v = v 1 + a. t v 1 = 0 v = 1,5. =,5 m sn olur. İp kopunca; F = m. a w x + f = m. a 50 + 5 = 10. a 10. a = 75 m sn W X v = v 0 a. t v = 0 v 0 =,5 m sn t = v 0 a =,5 7,5 = 1 3 sn sonra durur. 30 0 f W 1 Wy
5. 0 o eğimli bir rampa üzerinde V o ilk hızı ile yukarı doğru atılan paket B noktasında durduktan sonra tekrar A noktasına geliyor. Paket B noktasına,4 sn de. B den A ya ise 4,5 sn de eriştiğine göre a) Paket ile rampa arasındaki sürtünme katsayısını b) A ile B arasındaki uzaklığı B V 0 0 o A c) Paketin A noktasındaki ilk ve son hızını bulunuz. Problem ewton un.inci kanununa göre çözülecek. ( Sin 0 o = 0,34 cos 0 o = 0,94 ) Çözüm: ız v = v 0 a 1. t 1 v 0 = a 1. t 1 B yol d = v 0. t 1 1. a 1. t 1 d = 1. a 1. t 1 (1) w x + f = m. a 1 W y W f W x V 0 0 o A m. g. sin α + µ. m. g. sin α = m. a 1 a 1 = g (sin α + µ. cos α) B a 1 a = t t 1 1 ve den 1. a 1. t 1 = 1. a. t g sin α + µ. cos α g sin α µ. cos α = 4,5,4 f W y W W x V 0 o A µ = 0,03 çıkar. ız v A = v 0 + a. t v A = a. t yol d = 1. a. t () w x f = m. a m. g. sin α µ. m. g. cos α = m. a a = g ( sin α µ. cos α) b) a 1 = 10 (0,34 + 0,.0,94) a 1 = 5,8 d = 1. 5,8. (,4) = 1. 5,8.5,76 d = 15, m
v a = a. t = 1,5.4,5 = 6,84 m sn a = 10 0,34 0,.0,94 a = 1,5 m sn v 0 = a 1. t 1 = 5,8.,4 v 0 = 1,67 m sn 5.3 Şekildeki 3 kg lık cisimle yüzey arasındaki sürtünme katsayısı µ=0, dir.kütleler sukünetten harekete başlıyarak 5 kg lık cisim m düştükten sonra hızı ne olur? g =10 m/sn 3 kg A B 5 kg Çözüm: m = 0, v 0 = 0 x = cm v =? A cismi için areket denklemi f = m a. a B cismi için areket denklemi w B f = a (m a + m B ) w B = m B. a w B = 5.10 = 50 nt f = m. = 0,. 3. 10 = 6 nt f W A 50 6 = a 5 + 3 a = 44 8 = 5,5 m sn W B = m a. a + f = 3. 5,5 + 6 =,5 nt zamansız ız formülünden ; v = v 0 +. a. x v =. a. x v =. 5,5. v = v = 4,69 m sn