KUVVETLER VEKTÖRDÜR BU YÜZDEN CEBİRSEL VEKTÖR TEKNİKLERİ KULLANMALIYIZ

Transkript

1 Rijit Cisim Dengesi

2 KUVVETLER VEKTÖRDÜR BU YÜZDEN CEBİRSEL VEKTÖR TEKNİKLERİ KULLANMALIYIZ

3 KUVVET SİSTEMİ 2 B KUVVET SİSTEMLERİ Detaylar 1- KO-LİNEER 2- BİR NOKTADA BULUŞAN (KONKÜRENT) 3- PARALEL 4- GENEL

4 DENGE DENKLEMLERİ 2 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Denklemler 1- KO-LİNEER 1 bilinmeyen 2- BİR NOKTADA BULUŞAN (KONKÜRENT) 2 bilinmeyen 3- PARALEL 2 bilinmeyen 4- GENEL 4- GENEL 3 bilinmeyen

5 2 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Denklemler 1- KO-LİNEER Sadece BİR bilinmeyen (Kuvvet bileşeni) bulunabilinir!

6 2 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Denklemler 1- KO-LİNEER Örnek: Cisme uygulanan iki kuvvetin dengeyi sağlaması için F kuvvetini bulunuz? F kuvvet yönü bilinmediğinde, sağ tarafa doğru olduğunu düşünüyoruz F x = 0 ; + F + 10N = 0 F = -10N F kuvveti olduğundan önceden düşünülen yön doğru değil tam tersi yön doğru (yön sol tarafa).

7 2 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Denklemler 1- KO-LİNEER Örnek: Dengenin sağlanması için P kuvvetinin değerini bulunuz? P F P=0 P=180 kn x

8 2 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kolineer Kuvvetlerde Bileşke: Örnek: Farklı çap ve malzemelerden oluşan silindirik sisteme uygulanan kuvvetlerin bileşke kuvvet F 1 bulunuz?. Çelik Pirinç Aliminyum F 1

9 DENGE DENKLEMLERİ 2 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Denklemler 1- KO-LİNEER 2- BİR NOKTADA BULUŞAN (KONKÜRENT) 3- PARALEL 4- GENEL

10 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Tek noktadan geçen 2 Boyutlu kuvvetlerin x-y eksenlerideki denge denklemleri. F 0 F x i + F y j = 0 2- Konkürent Bu sistemin dengede olabilmesi için ayrı ayrı bu iki vektör denkleminin sıfır değerini sağlaması gerekir. + F x = 0 F 1x + F 2x +.. = 0 + F y = 0 F 1y + F 2y +.. = 0 Cebirsel toplam her denklem için sıfır olmalı. Sadece İKİ bileşke kuvveti bulunabilinir!

11 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent İki Kuvvet bileşeni bulunanilir. F 0 F i x F y j 0 x y F 0 F 0 ve

12 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Verilen kuvveti i ve j bileşenlerine ayır ve denge denklemlerini uygula. + F x = 0 + F y = 0 Skaler olan bu denge denklemlerini cebirsel toplayarak ayrı ayrı x ve y bileşenlerini sıfıra eşitle. En çok İKİ bilinmeyen kuvvet bileşkesi bulunabilir!

13 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent Örnek: Kuvvetlerin denge oluşturabilmesi için F 1 ve F 2 kuvvet büyüklüklerini bulunuz? θ=60.

14 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri En çok İKİ bilinmeyen kuvvet bileşkesi bulunabilir! F 1 =1.827 kn F 2 =9.596 kn

15 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Örnek (T): Verilen kuvvetlerin bileşke büyüklüğü ve + x-ekseninden saatin ters yönü esas alınarak açısını bulunuz?

16 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 8 kg lık ampulün asılmış olduğu AC kablosunun gerekli uzunluğunu bulunuz. Deforme olmamış yay uzunluğu AB l AB = 0.4 m, ve yay esneklik katsayısı k AB = 300 N/m dir.

17 D at Point A Etki eden üç kuvvet: kablolaki kuvvet AC, yaydaki kuvvet AB ve ampul ağırlığı. AB kablosu kuvveti bilinirse, yaydaki esneme F = ks formülü ile bulunur. + F x = 0; T AB T AC cos30º = 0 + F y = 0; T AC sin30º 78.5N = 0 Denklem çözümü, T AC = N T AB = N

18 T AB = k AB s AB =136.0N = 300N/m(s AB ) s AB = m Esnemiş uzunluk için, l AB = l AB + s AB l AB = 0.4m m = 0.853m Yatay mesafe BC, 2m = l AC cos m l AC = 1.32m

19 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent Örnek: Şekildeki gibi dengede olan 250 kg makine parçasının AB ve AD kablolarında oluşturduğu çekme kuvvetlerini hesaplayınız?

20 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Verilen makine ağırlık birimi kütle ( kg (skaler)) ancak kuvvetler (ağırlık vektör) olması gerektiğinden, öncelikle uygun birim olan Newton a çevrilmesi gerekir. (kütle * yerçekimi ivmesi)

21 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Analiz Yolu: Serbest Cisim Diyagramı - Uygun x, y eksen yönlerini belirle - Tüm bilinen kuvvet ve büyüklüklerine ve bilinmeyen kuvvet ve büyüklere isim ver ve okla yön belirle. - Bilinmeyen kuvvetin yönünü sen istediğin yön olarak kendin seç.

22 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Analiz Yolu: 2. Denge Denklemleri - Denge denklemlerini uygula + F x = 0 + F y = 0 - bileşenleri, eğer eksenin pozitif yönünü işaret ediyorlarsa pozitif değer ile, eksenin ters yönünü işaret ediyorlarsa eksi değer ile ifade et.

23 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri

24 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: A Noktasının SCD - İki kablo kuvveti etki eder, AB ve AD - kablo kuvvetleri ve makinenin ağırlığı [W=m.g] = (250kg)(9.81m/s 2 ) = kn (CA kablosu taşır). - Toplam üç kuvvet etki eder; A bölgesi SCD T B and T D ve makine ağırlığını taşıyan CA kablosu

25 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: + F x = 0; T B cos30 - T D = 0 + F y = 0; T B sin = 0 T B = kn T D = kn A bölgesi SCD. *Not: Kabloların ağırlıkları taşıdıkları cismin ağırlığı ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilecek kadar küçük olduğundan hesaplamalara katılmamıştır.

26 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent Örnek: A torbasının ağırlığı 20 N dur. Verilen şeklin dengede olabilmesi için B torbasının ağırlığını bulunuz?

27 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: ss TEC ss ETKİ - TEPKİ TEC ss ETKİ - TEPKİ ss ss

28 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent E noktası SCD TEC C noktası SCD

29 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: E noktası SCD. Üç kuvvet etki eder, EG ve EC kablo kuvvetleri ve EA kablosunun çekmede taşıdığı 20 N luk torba yükü. E noktası SCD

30 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: Kuvvetlerin birleşme noktasına denge denklemlerini uygula, böylece bilinmeyen çekme yüklerini bul + F x = 0; T EG sin30 - T EC cos45 = 0 + F y = 0; T EG cos30 - T EC sin45-20 = 0 T EC = N T EG = N

31 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent C noktası SCD E noktası SCD

32 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: C noktası SCD - Üç kuvvet etki eder. - CD kablo kuvveti, EC kablo kuvveti (bilinir) ve B torbasının CB kablosuna olan etkisi. C noktası SCD

33 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Çözüm: + F x = 0; cos45 - (4/5)T CD = 0 + F y = 0; (3/5)T CD sin45 W B = 0 T CD = N W B = N *Not: T CD bileşeni üçgeni ile ayni eğimdedir!

34 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent Örnek (T): 50-kg homojen bir küre 30 eğimli A düzlemi ile dik bir duvar olan B arasındadır. A ve B temas yüzeylerine uyguladığı kuvvetleri bulunuz? B 30 A

35 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri 2- Konkürent Örnek: C 30 B R B B A 30 W 30 A R A Kürenin SCD

36 2B Tek Noktadan geçen Kuvvet Sistemleri Örnek: W 50x N F 0 F cos = 0 F N + y A A x B B (assumed Düşünülen direction yön doğru correct) F sin30 -F 0 F N (assumed Düşünülen direction yön doğru correct)

37 3 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Kuvvet Sistemi Detaylar 1- Tek noktada konkürent 2- Tek çizgide konkürent 3- Paralel 4- Genel

38 DENGE DENKLEMLERİ KUVVET SİSTEMİ 1- Tek noktada konkürent 3 BOYUTLU KUVVET SİSTEMİNDE DENGE Serbest Cisim Diyagramı Denklemler 3 bilinmeyen 2- Tek çizgide konkürent 5 bilinmeyen 3- Paralel 3 bilinmeyen 4- Genel 6 bilinmeyen

39 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent Üzerine x-y-z eksenlerinde konkürent kuvvet uygulanan cismin dengede olabilmesi için sağlanması gerekli denge denklem şartları: F 0 F x i + F y j + F z k = 0 Bu vektörel denklemlerin geçerliliği x, y ve z bileşen toplamlarının ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi ile olur. + F x = 0 F 1x + F 2x +.. = 0 + F y = 0 F 1y + F 2y +.. = 0 + F z = 0 F 1z + F 2z +.. = 0 En çok ÜÇ bilinmeyen değer bulunabilinir!

40 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent Dışarıdan 3 Boyutlu kuvvet sistemleri etki eden bir cismin dengede olabilmesi için: F = ( F x ) i + ( F y ) j + ( F z ) k = 0 Böylece her bileşen denklem grubu ayrı ayrı sıfır eşitliğini sağlamalıdır: F x =0, F y =0, F z =0.

41 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent Kuvvet bileşenlerini i, j ve k bileşenlerine ayır ve denge kuvvetlerini uygula: + F x = 0 + F y = 0 + F z = 0 Denklemler cebirsel olarak toplanıp x, y ve z denge denklemler ayrı ayrı sıfıra eşitlenir. Üç bilinmeyen bulunabilinir!

42 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent Örnek: Tavana üç farklı noktadan bağlı iplerle asılı 100 kg lık cisimin her ipe (AB, AC ve AD) uyguladığı çekme kuvvetini bulunuz? Not: Yerçekimi kuvveti y yönündedir.

43 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Çözüm Stratejisi: Tek noktada Konkürent A noktasına yakın biryerden ipleri de gösterek izole ediniz. İplerin çekme kuvvetlerini düşünerek SCD çiziniz. Tüm toplam etki eden dış kuvvetler x, y, ve z yönlerinde DENGEDE OLACAĞINDAN, 3 DENKLEM ve üç bilinmeyenden çekme kuvvetini bulunuz. Bu işlemi gerçekleştirmek için kuvvetleri bileşenlerine ayırınız.

44 SCD: 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent

45 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent İpleri A noktasına yakın bir bölgede izole ederek iplere uygulan çekme kuvvet yönlerini belirleyip deklemleri sıfıra eşitleyin. Kuvvetleri bileşenlerine ayırıp yazınız F = T AB + T AC + T AD (981 N)j = 0 Doğultu vektörleri ve lambda birim vektörlerini λ elde et. r AB = (x B x A )i + (y B y A )j + (z B z A )k = 4i + 4j +2k (m)

46 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent rab e AB 0.667i 0.667j k r λ AB AB

47 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent T AB vektörünü bileşenlerine lambda birim vektör yardımı ile bulunur. λab T AB = T AB e AB == T AB (0.667 i j k) λab = T AC ve T AD kuvvetlerini de ayni yaklaşımla hesapla. T AC = T AC ( i j k) T AD = T AD ( i j k )

48 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent Bu bileşenler Denge denklemlerine aktarıldığında: T AB + T AC + T AD (981 N)j = 0 Ancak i, j, ve k bileşenleri ayrı ayrı sıfır a eşitlenerek: i-bileşen: 0.667T AB 0.408T AC 0.514T AD = 0 j-bileşen: 0.667T AB T AC T AD = 981 k-bileşen: 0.333T AB 0.408T AC T AD = 0 3 lineer denklem çözülerek çekme kuvvetleri bulunur: T AB = 519 N T AC = 636 N T AD = 168 N

49 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent

50 3 Boyutlu Kuvvet Sistemleri Tek noktada Konkürent Örnek: Şekilde gösterilen balonu bağlamak için üç tane kablo kullanılmıştır. AB kablosundaki çeki kuvvetinin 270 N olduğu bilindiğine göre, balonun A noktasına uyguladığı P düşey kuvvetini bulunuz.